2021届浙江省三校(新昌中学 浦江中学 富阳中学)高三上学期第一次联考数学试题及答案
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221UA B =-=+∞，，，，所以()[)12UA B =，，故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x ，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B 为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2021届浙江省名校新高考研究联盟高三上学期第一次联考数学试题Word版含答案
2021届浙江省名校新高考研究联盟高三上学期第一次联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为 A.32 B.3 C.233D.2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
《精编》浙江省三校高三数学联考试题 文 新人教A版.doc
2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔文〕试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图，那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 (4) 假设直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，那么A. a 内的所有直线与l 异面B. a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与l 平行D. a 内的直线与l 都相交(5) 在圆06222=--+y x y x 内，过点E 〔0，1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A ．25B ．202C ．215D ．102〔6〕在以下区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为〔 ▲ 〕 A.〔14，12〕 B.〔-14，0〕 C.〔0，14 〕 D.〔12，34〕 〔7〕设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,那么( ▲ )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．假设△1MNF 为正三角形，那么该双曲线的离心率为(▲)A ．6B ．3C ．2D ．33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[2)+∞， B.[2)+∞， C.(0,2] D.[2,1][2,3]--二．填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分.(11) 右图是CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_______▲ _。
2021年高三三校第一次联考(数学文)
2021年高三三校第一次联考（数学文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = （ ）A ．[0，1]B ．C ．D ．2．复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若平面向量的夹角是180°，且等于 （ ） A ．（－3，6） B ．（3，－6） C ．（6，－3）D ．（－6，3） 4．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．（1，2）5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．已知x 、y 满足约束条件的取值范围为（ ） A ．[－2，－1] B ．[－2，1] C ．[－1，2] D ．[1，2]7．已知是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 （ ） A ． B ． C ． D ．8．动点在圆上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 俯视图 第4题图9．函数的图象如图所示， 则y 的表达式为 （ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可 以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10， …，则a 21的值为 （ ） A ．66 B ．220 C ．78 D ．286 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021届浙江省三校(新昌中学 浦江中学 富阳中学)高三上学期第一次联考数学答案
设 ,
由已知,方程 有两个不为0,-1的实根,
当 时, 在 上递增, 至多一个实根,故
在 上递减,在 上递增,
且 ………………………………5分
(ii)由（I）不妨设
要证 ,即证 而 ,
由 在 上递减,在 上递增,且
故只要证 ,又 ,故只要证
可知必有两解 , ,且 ,故对任意 必存在 ,从而存在 .
由②可知 ,从而
当 时, ,从而①式成立；
当 时, , ,从而①式成立；
当 时, , ,从而①式成立；
因此满足②的解 也满足①式,从而对任意 ,都存在这样的点P,使得 所在直线平行于 轴. ………………………………………………………………………………………15分
19. 证明：（1）连接 交于 ,连 ,, 为 中点, 为 中点 , , . ……………6分
（2）
,
,如图建立坐标系,
则
由 得 ,
设面BCF法向量 ,由 可取 ,因此设线面角为 则有 . ………………………………………………15分
20．解答：（Ⅰ）易知 , .
由 可知 ,即 ,令 ,易知 在 上递增, 上递减,且 ,
即证 ,又
即证
设
递增,
即
………………………………………10分
（II）显然 和 均不为该函数零点,令 ,则 的三个交点的横坐标即为三个零点 ,由 ,可知 在 上增,在 上减,在 上增,即 ,所以 ,此时显然有 在 上增,且 , ,故 为唯一负零点,且 .
令 ,则 ,即递增, ,而 ,所以 ,可得 .…………………15分
11.抛物线12. 1， .
13.63；-18014. ,
2021 届高三三校第一次联考数学试卷
（Ⅰ）求 的方程；
3,
1 2
.
（Ⅱ）过抛物线 C : y2 = 2 px ( p 0) 上一点 P 的切线 l 交 于 D, E 两点，线段 DE , PA 的
中点分别为 M , N .求证：对任意 p 0 ，都存在这样的点 P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
y
P
A N D
B
A
M
x
V= 1 Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.
Pn(k)= Cnk pk (1 − p)n−k (k = 0,1, 2, , n) 台体的体积公式
球的表面积公式 S=4πR2
1
V= (S1+
3
S1S2 +S2) h
球的体积公式
其中 S1、S2 表示台体的上、下底面积，h 表示棱 台的高.
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1.
已知集合 A = {x || 2x −1| 6}, B
= x
2x +1 3− x
0 ,
则
A
RB =
（）
A.
E
22. （本小题满分 15 分）
已知函数 f ( x) = ex + ax2 ，其中 e = 2.71828…… 是自然对数的底数.
（I）若 g ( x) =
f x
(x)
+1
(
x
−1)
有三个极值点
x1,
x2 ,
x3
，
浙江三校2021高三数学上第一次联考试题
()()()()()()浙江2021届高三三校第一次联考数学试题卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k )=(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --= 球的表面积公式 台体的体积公式 S =4πR 2 V =13(S 1S 2) h 球的体积公式 其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V =43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合21{||21|6},0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则RAB = （ ）A .517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ B .517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C .1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D .1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知a R ∈，若112a ii +++（i 为虚数单位）是实数，则实数a 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．23 D ．253．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y =+的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ． 5D ．9 4. 设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 ( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件5．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图像如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图像可能是 ( )A B C D6.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a =对称，则该双曲线C 的离心率为 （ ）5.A .5B .2C .2D 7. 设函数()2cos f x x x =-,设{}n a 是公差为8π的等差数列, f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π,则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）.0A 21.16B π 21.8C π 213.16D π8. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o ，且()12c a tb t R =-+∈.则c c a+- 的最小值为 （ ） A ．13 B ．4 C ．23 D ．9349.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是31,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,则ξ的数学期望E ξ= （ ）131.81A 143.81B 433.243C 593.243D 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩.这里U C A 表示集合A 在全集U 中的补集.已知A U ⊆，B U ⊆，以下结论不正确．．．的是 （ ） A .若A B ⊆，则对于任意x ∈U ，都有()()A B f x f x ≤； B .对于任意x ∈U ，都有()()1U C A A f x f x =-； C .对于任意x ∈U ，都有()()()A BA B f x f x f x =⋅；D .对于任意x ∈U ，都有()()()AB A B f x f x f x =+．非选择题部分（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理
2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．命题“”的否定是A． B．C． D．3．函数的定义域为A．B． C． D．4．定积分A． B． C． D．5．函数的零点所在的区间为A． B． C． D．6．已知，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知命题不等式的解集为，则实数；命题“”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是A． B． C． D．8．已知，，则下列结论正确的是A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数9．函数的一段大致图象是A B C D10．已知函数对任意都有，的图像关于点对称，且，则A． B． C． D．11．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A． B． C． D．12．定义区间的长度为（），函数（，）的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．= ．14．设函数，则．15．设函数的最大值为，最小值为，则．16．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）设：实数满足，：实数满足．（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数，为常数，且函数的图象过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求满足条件的的值．19．（本小题满分12分）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数满足（其中,）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）对于函数，当时，,求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，的值为负数，求的取值范围.21．（本小题满分12分），曲线在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的范围；（Ⅲ）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若的半径为，，求的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．24．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．高三理数第一次联考测试题（参考答案）13． -4 14. 3 15. 2 16.17．（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是. …………2分由，得，即为真时实数的取值范围是.…………4分因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是. …………6分(2)由得，所以，为真时实数的取值范围是. …………8分因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且…………10分所以实数的取值范围为：. …………12分18．解：（1）由已知得，解得．…………3分（2）由（1）知，又，则，即，即，…………6分令，则，即，…………8分又，故，…………10分即，解得．…………12分19．解：（1）因为函数在点处的切线恰好是直线，所以有即…………3分∴∴…………4分（2）依题意得：原命题等价于方程在区间[-2,1]上有两个不同的解。
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浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学)
2021届高三年级上学期第一次联考质量检测
数学试题参考答案
2020年10月
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
CBΒιβλιοθήκη DAAD
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
16.在平面直角坐标系中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在 轴的正半轴上移动,当 取最大值时,点P的横坐标为__________.
17.若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的最小值为_________.
三．解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （本小题满分14分）
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则 =（）
A. B. C. D.
2.已知 ,若 （ 为虚数单位）是实数,则实数 等于 （ ）
A．1B．2C． D．
3．若 ,则 的最小值是（ ）
A．0B．1C．5D．9
4.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是()
A．当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
5．已知函数y＝sinax＋b(a>0)的图像如图所示,则函数y＝loga(x＋b)的图像可能是()
(Ⅱ)求BE与平面BCF所成角的正弦值.
20．（本小题满分15分）
已知数列 的首项 ,前 项之和 ,满足 .数列 的前 项之和 ,满足 , .
（Ⅰ）若对任意正整数 都有 成立,求正数 的取值范围；
（Ⅱ）当 ,数列 满足： ,求证： .
21. （本小题满分15分）
已知椭圆 左顶点为 ，离心率为 ，且过点 .
11.抛物线12. 1， .
13.63；-18014. ,
15.3； 16.3 17.
三．解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解答：当选① ：易知 , ,……………………3分
,…………………………………………………6分
………………14分
当选② :可知 , ,从而 , ,而 当且仅当 时取等号,从而 .
如果事件A在一次试验中发生的概率为p,那么nV= Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.
Pn(k)= 球的表面积公式
台体的体积公式S=4πR2
V= (S1+ +S2)h球的体积公式
其中S1、S2表示台体的上、下底面积,h表示棱V= πR3
台的高.其中R表示球的半径
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）过抛物线 上一点P的切线 交 于 两点，线段 , 的中点分别为 .求证：对任意 ，都存在这样的点P，使得 所在直线平行于 轴.
22. （本小题满分15分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
（I）若 有三个极值点 ，
(i)求实数 的范围；
(ii)求证： ；
（II）若 有三个零点 ，且 ，求证： .
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：
如果事件A、B互斥,那么柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh
如果事件A、B相互独立,那么其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高
P(A•B)=P(A)•P(B)锥体的体积公式
12.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 的值是▲,该几何体的表面积是▲.
13.已知多项式 ,
则 ▲, ▲.
14.已知 ,则 ▲, ▲ ..
15.过 上一点 作直线与 相切于 , 两点.当 时,切线长 为________________；当 最小时, 的值为__________.
9.袋子 中装有若干个均匀的红球和白球,从 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是 ,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为 ,则 的数学期望 （）
10．定义全集U的子集A的特征函数 .这里 表示集合A在全集U中的补集.已知 , ,以下结论不正确的是（）
A.若 ,则对于任意x∈U,都有 ；
B.对于任意x∈U,都有 ；
C.对于任意x∈U,都有 ；
D.对于任意x∈U,都有 ．
非选择题部分（共110分）
二．填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
11.在2000多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆；把平面渐渐倾斜,得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。已知一个圆锥的高和底面半径都为2,则用与底面呈45 的平面截这个圆锥,得到的曲线是▲.
绝密★启用前
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数学试题
2020年10月
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
在① ② 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.
问题：已知 内角 的对边分别为 ,若 ,_____,试求 的范围.
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19. （本小题满分15分）
如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为正方形, ,F为DE的中点.
(Ⅰ)求证：BE//平面ACF；
A BCD
6.已知 是双曲线 的左右两个焦点,若双曲线左支上存在一点P与点 关于直线 对称,则该双曲线C的离心率为（）
7. 设函数 ,设 是公差为 的等差数列,f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝ ,则 （）
8.已知平面向量 , , 满足： , , 夹角为 ,且 .则
的最小值为（）
A． B． C． D．