昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。

2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。

3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。

4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为 。

6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。

7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。

（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。

）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。

（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。

请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。

（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。

（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。

（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。

（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。

（8分）（２） 试构造形如1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)nn n n n n f f x y f f x y ---==。

试确定系数0101,,,a a b b ，使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。

（14分）（考试时间2小时30分钟）（08）一、填空（每空3分，共30分）1．若开平方查6位函数表，则当x=30的误差限为 。

2．若01()1,(1),n n n n f x a x a =+≠则f[x ,x ,...x ]= 。

3．若332,01()1(1)(1)(1),132x x S x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是3次样条函数，则 a= ，b= ，c= 。

4．A=1222⎛⎫ ⎪⎝⎭,则‖A ‖1= ；‖A ‖2= ；Cond 2(A)= 。

5．考虑用复化梯形公式计算210x e dx -⎰，要使误差小于60.510-⨯，那么[0，1]应分为 个子区间。

6．2()(5)x x a x Φ=+-,要使迭代法()x x =Φ局部收敛到x *=，即在邻域1|5|<-x 时，则a 的取值范围是 。

二、计算与推导1、用追赶法解三对角方程组Ax b =，其中2100121001210012A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦，1000b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（12分）请确定其形如y at b=+的拟合函数。

（13分）3、确定系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x =+⎰。

（13分）4、证明用Gauss-seidel 迭代法求解下列方程组123302102142121x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，对任意的初始向量都收敛；若要求*()410k x x -∞-，需要迭代几次（推导时请统一取初始迭代向量(0)(000)T x =）？（13分）5、试用数值积分法或Taylor 展开法推导求解初值微分问题 '0(,),()y f x y y x a ==的如下中点公式：2112(,)n n n n y y hf x y +++=+及其局部截断误差。

（14分） 6、试推导(,)b dacf x y dydx ⎰⎰的复化Simpson 数值求积公式。

（5分）（考试时间2个半小时）（09）一、（填空(每空3分,共36分)1．3232,01()21,12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++-≤≤⎩是以0，1，2为节点的三次样条函数， 则b= ，c= 。

2．设3()421f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f = ，[0,1,2,3,4]f = 。

3．函数32()3245f x x x x =+-+在[-1，1]上的最佳2次逼近多项式是 ，最佳2次平方逼近多项式是 。

4．1221a A +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当a 满足条件 时，A 可作 LU 分解；当a 满足 条件 时，A 可作 T A L L =•分解；5．1111222211112222000A ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎥=⎥⎥⎢⎣，则A ∞= ，2()cond A = 。

6．求方程cos x x =根的newton 迭代格式是 。

7．用显式Euler 法求解'80,(0)1y y y =-=，要使数值计算是稳定的，应使 步长0<h< 。

二、计算与推导一、计算函数3()sin()f x n x =在*0.0001x =附近的函数值。

当n=100时，试计算在相对误差意义下*()f x 的条件数，并估计满足*(())0.1%r f x ε=时自变量的相对误差限和绝对误差限。

（12分）二、有复化梯形，复化simpson 公式求积分1x e dx ⎰的近似值时，需要有多少个节点，才能保证近似值具有6位有效数字。

（12分）四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法11211()(3)()2n n n n n n y y y y h f f αα+--++--=++中的α值，使方法是四阶的。

（12分）五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留5六、对下列线性方程组231231232212100.5231x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩，（1）构造一定常迭代数值求解公式，并证明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为*X ，若取初始迭代向量(0)(000)T X =,要使*()310K X X --≤，请估计需要多少次迭代计算。

（14分）（考试时间2个半小时）（10）一、填空（每空2分，共24分）1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。

2．设74()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018[2,2,......2]f = 。

3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。

4．1234A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1A = ，A ∞= ，2A = 。

5．210121012A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其条件数2()Cond A = 。

6．2101202A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，为使分解T A L L =•成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取值范围应是 。

7．给定方程组121122,x ax b a ax x b -=⎧⎨-+=⎩为实数。

当a 满足 且02ω时，SOR 迭代法收敛。

8．对于初值问题/2100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。

二、推导计算（15分）（小数点后至少保留5位）。

（15分）3．确定高斯型求积公式0011010()()(),(0,1)x dx A f x A f x x x ≈+∈⎰的节点01,x x 及积分系数01,A A 。

（15分） 书内三、证明1.在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

证明当112a -时高斯-塞德尔法收敛，而雅可比法只在1122a-时才收敛。

（10分） 2.给定初值020,x a≠以及迭代公式1(2),(0,1,2....,0)k k k x x ax k a +=-=≠证明该迭代公式是二阶收敛的。

（7分） 3.试证明线性二步法212(1)[(3)(31)]4n n n n n hy b y by b f b f ++++--=+++当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。

（14分）（12）一、填空题（每空2分，共40分）1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限为 。

3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并计算=)0(2L 。

4．设32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳二次平方逼近多项式为 。

5．高斯求积公式)()()(11010x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数0A = ，1A = ，节点0x = ，1x = 。

6．方程组b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。

7．00100A ⎤⎥⎥=⎢⎥⎢⎥，其条件数2()Cond A = 。

8．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。

9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

10．对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= ________________二、计算题（每题10分，共50分）1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。

2. 若用复合梯形公式计算积分dx e x ⎰1，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021-⨯ 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0,1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。