中考复习三角形
初中数学中考专题复习：第四讲《三角形》
第十章：图形的认识及变换
一、选择题
1. 如图，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°， 则D ∠等于（ ） A ．70° B ．80° C ．90° D ．100°
2. 如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，
则∠3= （ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．60°
3. 如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130°
4. 下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是( )
A ．
B ． C. D.
5. 矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点 C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．
112
C ． 4
D ．5
2
6. 如图，△ABC 与△A`B`C`关于直线l 对称，且∠A=78°，∠C`=48°， 则∠B 的度数为（ ） A ．48° B ．54° C ．74° D ．78° 7．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知∠AOB ＝45， 则∠AOD 等于（ ）Ａ．55° Ｂ．45° Ｃ．40° Ｄ．35°
8.如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转
180 ，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A C B
C A
B O
A
B C
D
E G
F
（5题）
F 1 A E
D
C
B
F
l 1
l
2
1
2 3 C
A E
B F D
A ．
34 B ．36 C ．32 D ．3
8
9．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O 成中心
对称的图形．若点A 的坐标是(1, 3)，则点M 和 点N 的坐标分别为（ ）
A ．(1
3)(13)M N ---，，， B ．(13)(13)M N ---，，， C ．(1
3)(13)M N --，，， D ．(13)(13)M N ---，，，
O
N
M
A
y
x
10. 如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°， AC=1，则BB '的长为（ ）A ．4 B ．
33 C ．332 D ．3
34 二、填空题
11.如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠BAC ＝65°，则∠BCD ＝___________度。
12.如图，AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ．
13．点P （2，3）绕着原点逆时针方向旋转90o 与点P /重合，则P /
的坐标为 。 14．将直角边长为5cm 的等腰直角ABC △绕点A 逆时针旋转15
后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是 2
cm 。
A
C
B
B '
E
D
C
B A
300
A
C
B '
B
C '
15．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 ． 16．如图，将△OAB 绕点0按逆时针方面旋转至△0′A ′B ′，使点B 恰好落在边A ′B ′上．已知AB=4cm ，BB ′=lcm ，则A ′B 长是 cm ． 三、解答题
18．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE ＝
4
1
，△ABF 是△ADE 的旋转图形。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？
19．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10。若将△PAC 绕点A 逆时
针旋转后，得到△P /
AB 。⑴求点P 与点P ′之间的距离 ⑵∠APB 的度数。
20．如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点）， 将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到11AB C △．（1）在正方形网格中，作出11AB C △；（不要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形， 然后求出它的面积．（结果保留π）
B C
A
第十一章：三角形
一、选择题
1.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°
2. 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中 不一定成立的是（ ）
A ．PA P
B = B ．PO 平分APB ∠
C ．OA OB =
D ．AB 垂直平分OP 3. 如图，在ABC △中，90C ∠=。，EF//AB,150∠=。
,则B ∠的度数为（ ） A ．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
4．如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A ．
32 B ．76 C ．256
D. 2 5．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A 、B 、C 、D 的边长 分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A ．13 B ．26 C ．47 D ．94
6．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）
A..CB CD = B ．BAC DAC =∠∠
C ．BCA DCA =∠∠
D ．90B D ==?∠∠ 7. 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40°
8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ）
A
D B
E C O
B
A
P
C
A
B
B '
A '
A
B C
D
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．3∶2
D ．3∶3
A
B C
D
9．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB 10．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ） A ．
32 B ．23 C ．12 D ．3
4
二、填空题。 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ． 12. 如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）．
13．某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°， 因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
14．已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
15．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 16. 长度为2、3、4、5的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是_____. 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，
DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM ． 在不添加任何辅助线和字母的情况 下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可） 18．已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2， 则S △ABC ＝____________
19 .在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的
直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．
A C
E
B
D
A
D C
P
B
60°
D
C
E
F
A B
（第
13题） B
C
A
30
° B D C
E
M
A
A B
C
E
F
H
第12题图
三、解答题
20．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）2
2
2
AD DB DE +=．
21．1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分） （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. （5分）
第十二章：全等三角形
一、选择题 1、如图，△ABC ≌△BAD ，点A 点B ，点C 和点D 是对应点。
如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC 的长是（ ）。 (A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)无法确定 2、如图，△ABN ≌△ACM ，AB=AC ，BN=CM ，∠B=50°，∠ANC=120°，
则∠MAC 的度数等于（ ）
A ．120° B.70° C.60° D.50°. 3.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
Ａ.一锐角对应相等 Ｂ.两锐角对应相等 Ｃ.一条边对应相等 Ｄ.两条边对应相等 4.在△ＡBC 和△A ˊB ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，在下面判断中错误的是（ ） A. 若添加条件AC=A ˊC ˊ，则△ABC ≌△A ′B ′C ′ B. 若添加条件BC=B ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′ C. 若添加条件∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′ D. 若添加条件 ∠C=∠C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A ．带①去
B ．带②去
C ．带③去
D ．①②③都带去
6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，
则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°
7. 下列说法中不正确的是（ ）
D C A B B
C D
A
B
D C
G F
H
A D C
E
B A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等
8．如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）
A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙
9.如右图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形。
则下列结论：① AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；
④∠AHC=600,⑤△BFG 是等边三角形；⑥ FG ∥AD 。 其中正确的有（ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 二．填空题 10．如图示，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ，则其它对应角分别为 ______________________，对应边分别为_____________________.
11．
如图示，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______； 12.如图示,点B 在AE 上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC ≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可） 13．BD AC 于O ，BO=OD ，图中共有全等三角形 对。
14.如右图示,正方形ABCD 中,E 、F 分别在AB 、BC 上，AC 、BD 交 于O 点且AC ⊥BD,∠EOF ＝90o
,已知AE ＝3,CF ＝4,则S △BEF 为＿＿＿. 15.如右图示，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD 的取值范围是
16．如右图示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度 数为（ ）
A ．80°
B ．100°
C ．60°
D ．45°．
A D
C B
A D
B C
O
E
D C
B
A
三、证明题
17、如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.
18. 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD.
求证：D点在∠BAC的平分线上
19、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=
1
2
AB，已知△ABE≌△ADF.
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。
第十三章：相似三角形
一、选择题
1.如图1，已知AB CD EF
∥∥，那么下列结论正确的是（）
A．
AD BC
DF CE
=B．
BC DF
CE AD
= C．
CD BC
EF BE
=D．
CD AD
EF AF
=
图3 图3
图1
2.如图2所示，给出下列条件：①B ACD
∠=∠；②ADC ACB
∠=∠；③
AC AB
CD BC
=；④2
AC AD AB
= ．其中单独能够判定ABC ACD
△∽△的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
A
B C
D E
7
4
D
A
F
C
B
E
3.如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4. 若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D ．１∶2
5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC
△相似的是（）
6. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图5所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
7. 如图6，在Rt ABC
△中，90
ACB
∠=°，3
BC=，4
AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）
A．
3
2
B．
7
6
C．
25
6
D．2
图5 图6 图7
8.如图7，AB是O
⊙的直径，AD是O
⊙的切线，点C在O
⊙上，BC OD
∥，23
AB OD
==
，,则BC的长为（）
A．
2
3
B．
3
2
C ．
3
2
D ．
2
2
二、填空题
12. ABC
△与AEF
△中，AB AE BC EF B E AB
==∠=∠
，，，交EF于D．给出下列结论：①AFC C
∠=∠；②DF CF
=；③ADE FDB
△∽△；④BFD CAF
∠=∠．
其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．
13. Rt ABC
△中，90
ACB
∠=°，直线EF BD
∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若
1
3
AEG EBCG
S S
=
△四边形
，则
CF
AD
=．
A.
14 .点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．
15.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
三、解答题
16.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ， 求证：△ADE ∽△EFC ．
17.如图，已知
AB 是O ⊙的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC ．
（1）求证：ABC POA △∽△； （2）若2OB =，7
2
OP =
，求BC 的长．
O
F
D A
E
B
C
?
A
B
C
D
E O 18.如图，在矩形A B C D 中，点E
F 、分别在边A D D C 、上，A B E D E F △∽△，
692AB AE DE ===，，，求EF 的长．
19如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的
高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．
20.⊙O 中，弦AB CD 、相交于AB 的中点E ，
连接AD 并延长至点F ，使DF AD =，连接BC 、BF ． （1）求证：CBE AFB △∽△；
（2）当5
8
BE FB =时，求CB AD 的值
21已知：如图在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的
点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ． （1）求证：BC ＝CD ；
（2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；
（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．
22.正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM
MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M
点运动到什
么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．
第十四章：解直角三角形
一、选择题：
1、已知α为锐角，则m=sin α+cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m=1 C ．m ＜1
D ．m≥1
2、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值 （ ）
A 也扩大3倍
B 缩小为原来的
3
1
C 都不变
D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 （ ） A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα)
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=
5
3
，则BC 的长是 （ A ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 5、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于 （ ） A 20° B 30° C 40° D 50° 6、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是
( )
A 、20°
B 、30°
C 、35°
D 、50°
7、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.()
3214+米 8、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a, 测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为 ( ) A.a m B.(a ·tan α)m C.(a/tan α)m D.a(tan α－tan β)m
B N
A
C
D
M
9、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是( )
A ．60°
B ．45°
C ．15°
D ．90° 二、填空题：
10、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ .，sinB ＝ ，tanB ＝ . 11、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 12、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 13、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 14、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 15、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA=
3
3
，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为 . 三、解答题：
16.计算：(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°
(2)
50
cos 40sin 0cos 45tan 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．
17、△ABC 中，∠C ＝90°(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c.
18 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h （即
3
50
m/s ）．交通管理部门在离该公路100 m 处设置了一速度监测点A ，在如图所示的坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．
（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC
，
y/m
x/m
A （0, -100） B
O 60°
东
北
并标出点C的位置；
（2）点B坐标为，点C坐标为；
（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路
3取）
上是否超速行驶？（本小问中7.1
19.如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o≈0.47，tan28o≈0.53）
20.如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在
M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的
圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏
东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水
线路是否会穿过居民区？
2019中考数学解直角三角形汇编
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
自然地理特征描述类
自然地理特征描述类 地理事物的特征是指该地理事物区别于其他地理事物的最典型的标志，它一般用来表示该地理事物的形态、状态、属性、分布规律等方面的内容。在高考地理非选择题中，特征描述类比较常见，如描述某海岸线形状特征、据图描述图示地区降水的分布状况及地形特征、根据材料归纳某河流的水文特征等。 审题要求：此类问题常涉及行为动词有“归纳、列举、概括、简述、简析、说明、描述、分析”等，中心词一般为“特征”“特点”等，关键词常有“（时空）分布、时间分布、空间分布、发展变化”等。 答题思路 一．地理位置特征 归纳描述角度： 1.半球位置（南北半球、东西半球）； 2.大洲位置（哪个洲的哪个位置） 3.纬度位置（高中低纬、热量带）； 4.海陆位置（大陆东西部、大洋东西岸、临海、离海较近、深居内陆）； 5.相对位置（与哪些国家接壤、与哪些国家隔海相望、与哪些行政区相邻、与交通线的位置关系等） ①坡向：阴/阳坡；迎/背风坡 ②海拔高低； ③经济/文化发展水平/交通相对位置。 表述范例：①珠江三角洲，毗邻港澳台、东南亚等经济发达地区；②“硅谷”周边有众多高等院校，科研人才众多；③上海地处长江入海口，河海交汇，同时位于我国东部沿海南北航线的中点，地理位置优越。
【例题】（13 年四川卷）14（1）简述甲国的地理位置（6 分） 标准答案： 该国位于北半球、西半球， 地处北美洲南部（2 分）； 位于低纬度地区（或位于热 带）（2 分）； 东临加勒比海，西濒太平洋； 北接洪都拉斯，南连哥斯达 黎加（2 分）。 解析答案： 【练习1】（11 年上海卷）37（2）简述乍得湖地理位置特征。（6 分） 【练习2】阅读下图，简述新西兰的地理位置特征。
三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.
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1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D