分式不等式教案
级安徽职高高一数学教案：第二章 不等式13
课题： 列不等式解实际应用问题课时：1课时教学目标：1．学会列简单的不等式解决一些实际应用中的问题2．培养学生理论联系实际的能力3．培养学生解决实际问题的能力教学重点：列不等式解实际的应用问题教学难点：如何根据题目给的已知条件，列出符合题意的不等式教学过程：一．引入在初中已经学习了列一元一次方程、一元二次方程、分式方程和二元一次方程组等解应用题。
这些实际问题，反映了不同量之间的相等关系。
根据题设条件可列出含有未知数的等式，即方程。
但是，还有大量的实际问题不能用等式表示，必须用不等式赖解决二．举例例1 某校团委举行讲演比赛，要发纪念品，派一人带120元钱去商店买一打10元一支的钢笔，但商店里没有10元一支的钢笔，有13元一支和8元一支的钢笔，因此总共买了一打这两种钢笔，要使这打钢笔中含有尽可能多的13元一支的钢笔，那么这两种钢笔各应买多少支呢？分析：设买13元一支的钢笔x 支，那么买8元一支的钢笔为（12－x ）支，买13元一支的钢笔共用去13x 元，买8元一支的钢笔共用去8（12－x ）元，这两种钢笔用的钱数应小于或等于120元，根据题意就可以列出不等式求解解：设买13元一支的钢笔x 支，那么买8元一支的钢笔是（12－x ）支，根据题意，得13x+8(12-x)≤120，解得 x ≤4.8，所以，买13元一支的钢笔为4支，把x=4带入12-x 中，得 12-4=8答：买13元一支的钢笔4支，买8元一支的钢笔8支例2 李明在工厂生产一种机器零件，第一天生产72个，第二天生产86个，第三天再生产多少个才能使三天平均生产的机器零件在80个以上？分析：设李明第三天生产的机器零件为x 个，那么他三天生产的机器零件的平均数应该是38672x ++个；题中要求李明三天生产的机器零件平均在80个以上，所以他三天生产的机器零件的平均数，必须大于或等于80个解：设李明第三天生产的机器零件为x 个，根据题意，得38672x ++≥80 解得 x ≥82答：李明第三天应生产机器零件82个以上例3 学校会议室里有一个长3米，宽2米的长方形桌子，要做一块桌布，使它的面积是桌面面积的两倍以上，并要求从桌面四边垂下的长度相等，应怎样做？分析：设桌布垂下的长度为x 米，则桌布的长为(2x+3)米，宽为(2x+2)米，桌布面积是(2x+3) (2x+2)平方米，它的面积应大于或等于桌面面积3×2平方米的2倍解：设桌布垂下的长度为x 米，那么桌布的长是(2x+3)米，宽是(2x+2)米根据题意，得(2x+3)(2x+2)≥2×3×2整理，得 03522≥-+x x ，解03522=-+x x ，得3,2121-==x x 所以 x ≥21 或 x ≤－3，x ≤－3不合题意，应舍去 答：桌布四边垂下得长度是0.5米以上列不等式解应用题，关键在于分析题中的数量关系及它们之间存在的不等关系，找出解题思路课堂练习：课本58页，练习，第1题作业：课本59页，习题三，A 组的第5题课题：第二章复习课时：1课时教学目标：1．使学生全面地回顾第二章的全部知识2．让学生比较系统地掌握第二章的重点知识3．培养学生实际解决问题的能力教学重点：不等式的性质、一元二次不等式及其解法、分式不等式及其解法、含绝对值的一元一次不等式及其解法和列不等式解实际应用问题教学难点：列不等式解实际应用问题教学过程：一．数集非负整数集（自然数集）――N ；正整数集――+N ；整数集――Z有理数集――Q ；实数集――R它们之间的关系是：+N ⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R 且+N ⊂N ⊂Z ⊂Q ⊂R二．不等式的性质1．性质1如果a>b ，那么b<a ；反过来，如果b<a ，那么a>b ，也就是a>b ⇔b<a2．性质2如果a>b ，b>c ，那么a>c ，也就是a>b ，b>c ⇒a>c注：性质2称为不等式的传递性3．性质3如果a>b ，那么a+c>b+c ，也就是a>b ⇒a+c>b+c推论：a>b ，c>d ⇒a+c>b+d4．性质4如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc ，也就是a>b ，c>0⇒ac>bc ； 推论1：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd推论2：如果a>b>0，那么n n b a > ()1,>∈+n N n5．性质5a>b>0⇒n n b a >（1,>∈+n N n ）三．一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式有两种解法：①是求等价不等式法，②是用图象法例 解不等式：09682≥--x x解：方法1 原不等式等价于0)32)(34(≥-+x x 则有 ⎩⎨⎧≥-≥+032034x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤+032034x x 分别解这两个不等式组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥2343x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤2343x x 画数轴，选解集. 得. 原不等式解集为：{x| x ≥23或x ≤43-} 方法2 先把原不等式当方程来解，09682=--x x ，解得431-=x ，232=x 那么一元二次函数9682--=x x y 的图象与x从图象上可以看出不等式 09682≥--x x 的解集为：{x| x ≥23或x ≤43-} 2．解一元不等式组解一元不等式组，就是求不等式组中各个不等式解集的交集，这个交集就是不等式组的解集 例 求不等式组 ⎩⎨⎧≤<<≤-3011x x 的解集解：画出数轴，找出这两个不等式的解集的公共部分，就是所求的不等式组的解集，为 (0,1)四．分式不等式及其解法分式不等式的基本形式：0,0<++>++dcx b ax d cx b ax 解分式不等式的基本方法：找它的等价不等式组例 求分式不等式1223≥+x x 的解集 解：原不等式等价于01223≥-+x x ⇔0222≥+-x x ⇔⎩⎨⎧>+≥-02202x x 或⎩⎨⎧<+≤-02202x x ⇔ ⎩⎨⎧->≥12x x 或⎩⎨⎧-<≤12x x ⇔2≥x 或1-<x所以，原不等式的解集为 {x | 2≥x 或1-<x }五．含绝对值的一元一次不等式及其解法a x a x a x a x a x a a x a x -<>⇔>⇔><<-⇔<⇔<或2222||,||如果a 是一个负数，那么 |x|<a 的解集是空集；|x|>a 的解集是实数集R例 求不等式| 1-2x | >5的解集解：令t=1-2x ，原不等式可化为 | t | >5 ，解得 t >5 或 t <-5，把t=1-2x 代入，得 1-2x >5 或 1-2x <-5，解得 x <-2 或 x >3所以，原不等式的解集为{ x | x <-2 或 x >3}六．列不等式解实际应用问题列不等式解应用题，关键在于分析题中的数量关系及它们之间存在的不等关系，找出解题思路。
高一新课第五讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法
第八、九讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法教学要求：1．在熟练掌握一元一次不等式（组）的解法基础上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些简单的高次不等式和分式不等式的解法。
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式（组）。
3．初步掌握含参不等式的解法，形成讨论思想，要注意它们的讨论依据的选取！ 一、复习：1.类型（1类型（2类型（3类型（4）（但去绝对值一般不要轻易采用平方法）二、新课：1．一元二次不等式的解法（型如2）（一）解简单的一元二次不等式 例1.求下列不等式的解集：（1）22320x x -->；（2）2362x x -+≥；（3）24410x x -+>；（4）2230x x -+->。
变式练习一：解下列不等式：①232x x -<-； ②2320x x -+>。
变式练习二： 二次函数2()y axbx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式的解集是______________________。
（二）含参一元二次不等式的解法例2．解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈。
变式练习： 设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，且12x x <，则关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集（用12,x x 表示）为_________________________。
（三）一元二次不等式解法的逆向问题 例3. 0αβ<<，已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<，求不等式2()(2)0a c b x b a x a +-+-+>的解集。
变式练习： （1）{}21230xx x ax bx c ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭++>，则{}20x cx bx a =++<________________。
不等式的性质教学教案
不等式的性质教学教案第一章：不等式的引入1.1 不等式的概念：介绍不等式的定义，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义。
1.2 实例解析：通过实际问题引入不等式，让学生感受不等式的应用。
1.3 解不等式：讲解如何解简单的不等式，如2x > 6。
第二章：不等式的基本性质2.1 性质1：不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。
2.2 性质2：不等式两边乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变。
2.3 性质3：不等式两边乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变。
第三章：不等式的运算3.1 加减法运算：讲解不等式中加减法的运算规则，举例说明。
3.2 乘除法运算：讲解不等式中乘除法的运算规则，举例说明。
3.3 复合不等式：介绍含有多个不等式的复合不等式，讲解求解方法。
第四章：不等式的应用4.1 最大值和最小值问题：利用不等式的性质求解最大值和最小值问题。
4.2 范围问题：利用不等式表示范围，求解实际问题。
4.3 线性规划：简单介绍线性规划问题，利用不等式求解最优解。
第五章：不等式的进一步性质5.1 不等式的传递性：讲解不等式的传递性质，即如果a > b且b > c，a > c。
5.2 不等式的比较：介绍如何比较两个不等式的大小，讲解不等式的排序。
5.3 不等式的恒等变形：讲解如何通过对不等式进行恒等变形，得到新的不等式。
第六章：不等式的绝对值性质6.1 绝对值不等式：介绍绝对值不等式的概念，如|x| > 5。
6.2 绝对值性质：讲解绝对值不等式的性质，如|a| ≥0，|a| = a 当a ≥0，|a| = -a 当a < 0。
6.3 绝对值不等式的解法：讲解如何解绝对值不等式，举例说明。
第七章：不等式的分式性质7.1 分式不等式：介绍分式不等式的概念，如1/(x-1) > 0。
7.2 分式性质：讲解分式不等式的性质，如当分子分母同号时，分式不等式的符号与分子分母的符号相同。
初中数学《分式》优秀教案(通用12篇)
初中数学《分式》优秀教案〔通用12篇〕篇1：初中数学分式教案初中分式教案初中数学分式教学反思经历了三周多的学习，学生已根本掌握了分式的有关知识(分式的概念、分式的根本性质、约分、通分、分式的运算、分式方程和能化为一元一次方程的分式方程的应用题等)，并且获得了学习代数知识的常用方法，感受到代数学习的实际应用价值。
但是，“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根，均属于运算才能问题，因此在教学中应特别关注这一深层根，并根据学生的实际情况寻找相应对策。
下面是我在教学中的几点体会：一、教学中的发现1、本章可以让学生通过观察、类比、猜测、尝试等活动学习分式的运算法那么，开展他们的合情推理才能，所以教学时重点应放在对法那么的探究过程上。
一定要让学生充分活动起来。
在观察、类比、猜测、尝试当一系列思想活动中发现法那么、理解法那么、应用法那么，同时还要关注学生对算理的理解，以培养学生的代数表达才能、运算才能和有理的考虑问题才能。
可是我在知识的传授上并没有注重探究、类比法那么，而重在对分式四那么运算法那么的运用和分式方程的运用上，没有抓住教学的关键环节恰当的选择教学方法。
今后要防止类似事情的发生。
2、问题(1) 分式的运算错的较多。
分式加减法主要是当分子是屡次式时，假如不把分子这个整体用括号括上，容易出现符号和结果的错误。
所以我们在教学分式加减法时，应教育学生分子部分不能省略括号。
其次，分式概念运算应按照先乘方、再乘除，最后进展加减运算的顺序进展计算，有括号先做括号里面的。
(2)分式方程也是错误重灾区。
一是增根定义模糊，对此，我对增根的概念进展深化浅出的阐述，⑴增根是分式方程的去分母后化成的整式方程的根，但不是原方程的根;⑵增根能使最简公分母等于0;二是解分式方程的步骤不标准，大多数同学缺少“检验”这一重要步骤，不能从解整式方程的形式中跳出来;(3)列分式方程错误百出。
不等式的解法(1)答案 上课教案+课后小作业
1.1.不等式的解法（1）——整式与分式不等式的解法（学案） 姓名【一.方法与概念】 1.整式不等式的解法：2.分式不等式的解法： 移项、通分、因式分解成()0()f xg x >的形式，再用标根法解之。
【二.基本题型】例1.写出下列不等式的解集：①2230x x -->的解集为 ；②2230x x -+≤的解集为 ③2210x x -+≥的解集为 ；④22x <的解集为 例2.解下列不等式： ①015223>--x x x ； ∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或②0)2()5)(4(32<-++x x x ．（若0≤；0≥的解集各是多少？） ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或 ③32-+x x x ）（＜0 （>0; 0≥; 0≤）④12731422<+-+-x x x x ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞【三.含有字母参数的不等式问题】例3. 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ① ①当0<a 时，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时，此时的解为11<<x a．例4.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，求不等式x 2－bx －a <0的解集.解．(2,3)例5.若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为____(－∞，0] __．【四.课堂练习】练1.解不等式x xx x x <-+-+222322． 解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ． 解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．练2. 已知集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x <0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}(a ∈R )，若S ∪T ＝R ，则实数a 的取值范围是 0≤a ≤1练3.ax x －1>1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则a 的取值集合是____{2}____．1.1.不等式的解法（1）——整式与分式不等式的解法（作业） 姓名1.下列不等式与012≤+x x同解的是 （ C ） A. 01≤+x x B.0)1(≤+x x C.0)1lg(≤+x D.21|1|≤+x x 2.已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是 ( D )A ．－x <x <x 2B ．x <－x <x 2C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x3.关于x 的不等式12<++m mx mx 的解集是R ，则m 的取值范围是 （ C ） A. )(0,∞- B. )()∞+ ⎝⎛∞-,340, C.(]0,∞- D. (]⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞-,340, 4.关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( C )A ．2B ．1C ．0D ．－15.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6 x ≥0x ＋6 x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( A )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)6.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 x >0x 2＋bx ＋c x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为 ( C ) A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B ．[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞) D ．[－3，＋∞) 7.已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是 ( B )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 38.写出下列不等式的解集：①.(x －2)2·(x －1)>0的解 (1,2)⋃(2,+∞) ；②不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为(,1]{1}-∞-⋃ ； ③不等式x x<的解集为 (-1,0) ∪（1，+∞） ；④7.不等式21≥+x x的解集为 [-2,-1) . 9.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_（－3，－2）______.10.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为__1_____.11.已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是_ 3(,]2-∞ _.12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是___ x <－1或x >2313..若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是___⎝⎛⎦⎤259，4916 解析：由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解不等式得，2－a 4－a <x <2＋a4－a，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a (2＋a )(2－a )，亦即12＋a <x <12－a，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，∵0<a <4，∴14<12＋a ，∴3<12－a≤4，解之得259<a ≤4916.答案：14.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，求a 的最小值。
七年级数学下册《不等式》教案、教学设计
c.引入：今天我们要学习的就是这种表示大小关系的数学表达式，它叫做“不等式”。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解不等式的定义、基本性质、一元一次不等式的解法。
教学过程：
a.介绍不等式的定义，包括不等式的符号、形式等。
b.讲解不等式的基本性质，如传递性、加法和乘法性质等。
a.导入：通过生活实例，引导学生思考如何表示大小关系，自然引入不等式的概念。
b.新课：讲解不等式的定义、性质和解法，结合实际例题，让学生在实践中掌握方法。
c.练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予反馈和指导。
d.小结：引导学生总结本节课所学的不等式知识，强调重点和难点，提升学生的概括能力。
a.布置练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。
b.学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程，及时发现问题并进行个别辅导。
c.对学生完成的练习题进行批改，给予反馈，让学生了解自己的学习情况。
d.针对普遍存在的问题，进行集中讲解，帮助学生巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的不等式知识进行总结，强调重点和难点，提升学生的概括能力。
3.采用“从特殊到一般”的教学策略，先让学生解决具体的不等式问题，再引导学生总结归纳出一元一次不等式的解法。
4.利用数轴、图像等直观工具，帮助学生形象地理解不等式的解集，提高学生的几何直观能力。
5.引导学生通过自我评价和同伴评价，反思自己在解题过程中的思维方法和策略，培养学生的自我调控能力。
（三）情感态度与价值观
b.在解题过程中遇到的困难和解决方法。
c.对不等式在实际问题中应用的体会。
不等式的基本性质数学教案
不等式的基本性质数学教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
二、教学内容：1. 不等式的概念2. 不等式的基本性质3. 不等式的解法三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的解法。
2. 教学难点：不等式的性质在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的基本性质。
2. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习相关知识，引导学生进入不等式学习。
2. 讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的基本性质。
3. 实例分析：运用不等式的基本性质解决实际问题。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检测学习效果。
6. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，评估学生对不等式基本性质的理解和应用能力。
2. 课堂互动：观察学生在小组讨论和回答问题时的表现，评估他们的参与度和理解程度。
3. 知识测试：通过书面测试或口头提问，检验学生对不等式基本性质的记忆和运用。
七、教学拓展：1. 对比等式的性质，引导学生探讨不等式与等式的异同。
2. 引入绝对值不等式和分式不等式，为学生提供更多不等式解题方法。
八、教学资源：1. PPT课件：展示不等式的基本性质，方便学生理解和记忆。
2. 练习题库：提供丰富的习题，帮助学生巩固所学知识。
3. 实际问题案例：用于引导学生将不等式应用于解决实际问题。
九、教学反馈：1. 课堂反馈：课后与学生交流，了解他们对不等式基本性质的理解程度。
2. 家长反馈：与家长沟通，了解学生在家中的学习情况。
3. 自我反馈：教师根据学生的作业和测试成绩，反思教学效果，调整教学策略。
十、教学改进：1. 根据学生的学习情况，调整教学进度和难度，确保学生能够跟上课程。
华师大版方程、不等式教案
华师大版方程、不等式教案第一章：方程与等式的概念1.1 方程的定义与基本性质理解方程的定义，掌握方程的基本性质学会解简单的一元一次方程1.2 方程的解法学习解方程的方法，包括代入法、加减法、乘除法等能够运用各种方法解一元一次方程1.3 不等式的定义与性质理解不等式的定义，掌握不等式的基本性质学会解简单的一元一次不等式第二章：一元二次方程2.1 一元二次方程的定义与基本性质理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的基本性质学会解简单的一元二次方程2.2 一元二次方程的解法学习解一元二次方程的方法，包括直接开平方法、因式分解法、求根公式法等能够运用各种方法解一元二次方程第三章：二元一次方程组3.1 二元一次方程组的定义与基本性质理解二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的基本性质学会解简单的二元一次方程组3.2 二元一次方程组的解法学习解二元一次方程组的方法，包括代入法、加减法、行列式法等能够运用各种方法解二元一次方程组第四章：不等式与不等式组4.1 不等式的性质掌握不等式的基本性质，包括同向相加、同向相减、同乘同除等学会解简单的不等式4.2 不等式组的解法学习解不等式组的方法，包括同向相加、同向相减、同乘同除等能够运用各种方法解不等式组第五章：方程与不等式的应用5.1 方程与不等式在实际问题中的应用学会将实际问题转化为方程与不等式问题能够运用方程与不等式解决实际问题5.2 应用题练习练习解各种类型的方程与不等式应用题提高解决实际问题的能力第六章：函数与方程的关系6.1 函数的定义与性质理解函数的定义，掌握函数的基本性质学会利用方程表示函数关系6.2 反函数的概念理解反函数的定义，掌握反函数的性质学会求反函数第七章：分式方程7.1 分式方程的定义与性质理解分式方程的定义，掌握分式方程的基本性质学会解简单的分式方程7.2 分式方程的解法学习解分式方程的方法，包括去分母法、代入法、加减法等能够运用各种方法解分式方程第八章：无理方程8.1 无理方程的定义与性质理解无理方程的定义，掌握无理方程的基本性质学会解简单的无理方程8.2 无理方程的解法学习解无理方程的方法，包括换元法、平方根法、倒数法等能够运用各种方法解无理方程第九章：不等式与函数的应用9.1 不等式在函数中的应用学会利用不等式解决函数问题能够运用不等式分析函数的性质9.2 函数在实际问题中的应用学会将实际问题转化为函数问题能够运用函数解决实际问题第十章：综合练习与拓展10.1 综合练习练习解各种类型的方程与不等式综合题提高解决复杂问题的能力10.2 拓展与应用学习方程与不等式的拓展知识，如微分方程、线性规划等能够运用拓展知识解决实际问题重点和难点解析一、方程与等式的概念补充说明：不等式的定义及其基本性质，如传递性、可加性、同向相加等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2.3分式不等式的解法
上海市虹口高级中学 韩玺
一、 教学内容分析
简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容 .对一
个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法 这两类不等式将
在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握
二、 教学目标设计
1、 掌握简单的分式不等式的解法 •
2、 体会化归、等价转换的数学思想方法 .
三、 教学重点及难点
重点简单的分式不等式的解法•
难点不等式的同解变形•
四、 教学过程设计
一、分式不等式的解法
1、引入
某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶 梯上楼（楼
梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的 2倍，他俩 同时上楼，且甲比乙早
到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几 倍•
设楼梯的长度为S ,甲的速度为V,自动扶梯的运行速度为 V0.
S
,乙上楼所需时间为
V
V
o
整理的丄 -
V 2V0 +V
由于此处速度为正值，因此上式可化为2V0 V 2V ,即V ∙ 2V0 .所以,
甲的速度应大于自动扶梯运行速度的 2倍.
2、分式不等式的解法
X +1
例1解不等式： ∙2.
3x—2
于是甲上楼所需时间为
由题意，得
V
o
2
』：
0
3x -2
(X—1 >0 = (3x —2Xx—1)vO
,可以简化上述解法•
3x 一2 ：： 0
a a
另解：（利用两数的商与积同号（ O= ab ∙0, O= ab ：：：0 ）化
b b
为一元二次不等式）
2 ^2
= 3x -2 X -1 ：：： 0
X <1 ,所以，原不等式的解集为',1
3 13
J
由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：
（1） 不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零
（2） 利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解 一般地，分式不等式分为两类：
f （X ）
（1） 0（ :： 0）二 f X g X 0 （ ：： 0）；
g X
f（x）" VC jf （χ）g（χp°（兰 °）
（2） 0 （匕 0） •
g X
g X =0
U 2= 1-2 0 =
3x—2 3x—2
3x -2
x-1
3x -2
：
：
0
解：（化分式不等式为 次不等式组）
丄丄
2
3x—2
3X—2 一2 2
3x -2
亠。
3x -2
X -1 :： 0
3x -2 0
或
x—1 0
3x-2 ：： 0
X : 1 2或 X - 3 X 1
2
X
一
3
Ig
I或X
不
存在•
所以，原不等式的解集为
3
1
-
，
即解集为
2,i
x-10
3
［说明］
解不等式中的每一步往往要求 “等价”，即同解变形，否则所得的解集
或“增”或“漏” •由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程
那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要
例2解下列不等式
—x +1
(1)
0
.
X -5
(2) — 3
.
3 -5X
X —1
解(1)原不等式 O= x-1 x-5 ：：：0 U X 5，
X - 5
所以，原不等式的解集为 1,5 .
(2)原不等式 2 -3_0 二恢一7_0U 15X^7 乞 0
3 —5X 3 —5x 5x—3
15x -7 5x-3 <0
J 5x - 3 = 0
ZX 3
15 5
所以，原不等式的解集为
(3)分母：
X
2 +2x+3 = (x+1)2
+1 ≡M>0 ,贝U
原 不 等 式
⅛ x 8 2 = 2x：2 2x X — = x 23 x4x 2 2 6
=X ：：： -2或X -
,所以，原不等式的解集为
2
O
O —2)Ufl
,2 2,
(3)
X 8
X2 2x 3
<2.
7
15
X=3
5
4
例3当m为何值时，关于 X的不等式
m x-1
=3x2
的解是
（2）是负数?
解：mx-1 =3x 2 = m-3x=m 6 （*）
当 m =3 时，（*） ：= O ∙χ =9 = X不存在.
当 m = 3 时，（*） = X =m~6.
m -3
（ 1 ） 原 方 程 m 6 UX O = （m m6- ） m -3 （ 2 ） 原 方 程 m +6 C UX O ：= （ m m —3 所以，当mp：-二,-6 3「：时，原方程的解为正数.当m∙ -6,3 时，原方程的解为负数. 四、作业布置 选用练习2.3（ 1）（2）、习题2.3中的部分练习. 五、课后反思 解分式不等式关键在于同解变形 .通过同解变形将其转化为熟悉的不 等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的 方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调 整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上， 应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结 （1）正数? 的 解 为 正 数
U m ：： -6 或 m 3
.
的 解 为 负 数
二
-6 ■■ m ：： 3
.
m3-：：）