无理方程
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，即所以移项得解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．。
第3节 无理方程
第21章 第三节《无理方程》知识概要 1.无理方程的概念定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程。
2.代数方程的分类整式方程和分式方程统称为有理方程，有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
3.无理方程的求解思路解无理方程的基本思路是去根号，将无理方程转化为有理方程进行求解，再验根，把不符合题意 的根舍去，得到原方程的根。
方程变形的基本依据是等式的性质，解无理方程会涉及到乘方运算，所以要充分利用乘方与开方的运算性质进行同解变形，根据实际问题的背景，最后都需要验根。
经典题型精讲 (一)无理方程的概念例1.在方程x x =+532、23-=+x 、373=-x 、0342=-+x 中，哪些是无理方程?试一试：在方程①0=+x x ，②021=++x ，③07232=-+x x ，④0312=+-+x x ，⑤2113=---x x x ，⑥0251=-+xx 中，是无理方程的是______________.(只要填写方程的序号)例2.不解方程，试说明下列方程为什么无实数根?(1))1(5222+-=+x x (2)1=-+x x (3)119-=+-+x x (4)142=+x试一试：不解方程，说明下列方程是否有实数根：(1)01212=-+-x x (2))()(4)(22b a b a x x b a ≤-=--(3)523=-+-x x (4)012=-++y y(二)无理方程的求解 例3.解下列方程：(1)x x =+32 (2)011=-+-x x (3)3621=-+⋅-x x x试一试：解下列方程：(1)6922=--x x (2)03)2(=--x x (3)0232=--⋅-x x例4.解下列方程：(1)1542++=-x x (2)734=-++x x (3)1342=+-+x x (4)23823=--+x x (5)77=-+x x (6)x x x -=+-1342例5.解下列方程：(1)x x x -=---6112 (2)533265-=---x x x例6.解下列方程：(1)625222=+++x x x x (2)2)5(31522=++++x x x x换元法试一试：解下列方程：(1)215325322=++++x x x x (2)1725210422=+-+-x x x x(3)21212=--+-+x x x x (4)820x -=例7.解下列方程：(1)0226622=-----x x x x x (2)0166422=-----x x x x x例8.解下列方程：(1)335836522-=+-+-+x x x x x (2)14222=+++x x x x试一试：解下列方程：(1)315112622-=+-+--x x x x x (2)x x x x x 242222-=++++(3)1168143=--++--+x x x x(三)无理方程的解的讨论例9.已知关于x 的方程142=+--a x x 有一个增根4=x 。
拓展培优竞赛自招讲义-无理方程(详细解答版)
第十四讲无理方程̅̅̅̅̅̅̅̅̅+√5x−19-√2x+8=0例1、解方程J3x−3解答：练习：解方程√x−7-√x−10=√x−5-√x−2解答：方程两边同时平方得到(x-7)+(x-10)-2√[(x-7)(x-10)]=(x+5)+(x-2)-2√[(x+5)(x-2)]移项并合并同类项,约分得到10+√[(x-7)(x-10)]=√[(x+5)(x-2)]两边再平方得到100+(x-7)(x-10)+20√[(x-7)(x-10)]=(x+5)(x-2)移项合并同类项约分得到x-9=√[(x-7)(x-10)]继续平方得到x²-18x+81=x²-17x+70移项,合并同类项得到x=11经检验,x=11是原方程的根.无理方程式因为在解题过程中有平方的过程,所以有可能出现增根,最后有必要对根进行检验,以免出现把增根当做原方程的根.例2、解方程x2+18x+30=2√x2+18x+45解答：设√（x^2+18x+45）=y原方程即y^2-15=2yy^2-2y-15=0(y+3)(y-5)=0y1=-3(不合题意,舍去）,y2=5x^2+18x+45=25x^2+18x+20=0x=(-18±√244)/2x=-9±√61练习：解方程x2-√x2−3x+5=3x+1 解答：x=-1或者4例题3：4x2+2x√3x2+x+x-9=0解答练习：3x2+2x√2x2+5x−2+5x-38=0解答：作业例6：解方程：x +1-y +2-z =21（x+y+z ） 解答：将原方程变形为：x+y+z-2x -21-y -22-z =0 所以（1-x ）2+（1y --1）2+（2z --1）2=0所以x=1，y=2，z=3.经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根，所以原方程的根为：x=1，y=2，z=3.练习：21x ++4-y +1z 2+=21（x+y+z 2+21） 解：设x+21=a 2,y-4=b 2,z 2+1=c 2则可得（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2=0即a=b=c=1,所以x=21,y=5, z=01. 解方程：5+x +3x - =4解答： 5+x =4-3x -x+5=16−83x - +x-3x −3=1x=4.经检验：x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4.2. 解方程：32x -1-2x+1=0解：32x -1=1-2x,两边同时平方得，9=1-2x所以x=-45. 若以x 为未知数的方4x 2++k=3有实数根,则实数k 的取值范围是解:对4x 2++k=3移项,得4x 2+=3−k 由于4x 2+≥2,于是有3-k ≥2移项,得k_≤16. 已知已知关于x 的方程42x -=a +x +1有一个增根x=4，则方程的根是 解：原方程可变为2x −4=x+a+2a +x +1因为x=4是增根，2x −4=x+a+2a +x +1 所以a=5或a=-3当a=5时，2x −4=x+a+2a +x +1解之得x=4或x=20；当x=-3时，2x −4=x+a+2a +x +11解之得x=4而x=4是此方程之增根，故舍去a=-32x −4=x+a+2a +x +1只有a=5，x=207. 设实数x>0,并且满足方程x-1+2-x 3=21x +，求x 的值 解：原方程变为x-2+(x+1)÷(x-2)=21x +所以（12-x +-x ÷1x +）2=0，所以x 2-5x+3=0 解得x=2135+ 8. x x x x 249727x 2-=++++解：令t=7x ++x ,则可得056t 2=-+t ，解得t=7,或者t=-8舍去所以x=9习题1. 方程x x x x 24222x 2-=++++ 解：由于x .2x +=x x 22+，即可把方程变为 （x +2x +-2）（032x =+++x 所以22x +-=-x ，解得x=41 经检验，x=41是原方程得根2. 方程23222312x 2222+-+++=--+-x x x x x x解：(12x 2-)-(23x 2--x )=(322x 2++x )-(2x 2+-x ) 即32212x 22++=-x x解得x=-2经检验，x=-2是原方程得解3. 解方程()()22111x x 2++-=-+x x 解：两边平方得01x 2=-所以x=1,或者x=-1经经验x=14. 解关于x 的方程：2a2222x a x a x a x a x =++---+ 解：化简整理可得a a x 24x 22--=a2x 所以04x 22=-a ，所以x=2a,或者x=-2a 经经验，x=2a,或者x=-2a,都是方程的根例4：√5x2−4x+4+√5x2−4x−3=7 解答：练习：√3x2−2x+9+√3x2−2x−4+13 解答：例5、x+=2√2√x2−13=1−√x+1练习;解方程√2+x解答：。
无理方程解法九种
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本 文 特 举 出 无 理 方 程 的 九种
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乘 有理 化 因 式 法
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初 等 解 题 厅法 如 下
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例
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这是 一 种 基 本 方 法
其 思 路 是将 无 理 方
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则 可 将 方程
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求 下 面 方程 的 实数 根 ( 以 下 各例
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一
都是 指 求实 数 根
无理方程
1、方程31=+x 的解是 。
2、方程0x x 2=-的解是 。
3、方程33=-+x x 的解是 。
4、方程x 396x x 2-=+-的解是 。
5、方程0x 1x x 1=-+-实数根的个数有 个。
6、方程x 2+111-+=-x x 的实数解是 。
7、关于x 的方程m+2-x =3没有实数解时，则m 的取值范围是 。
8、3(2-x +2)=2x 49x 1=,x 2=69、33x 2x 3=++-10、972=-++x x11、5x2+x －x 021x 52=--12、x2－x 322-x =2－x13、(2x 2－3x+1)2=22x 2－33x+114、x 2+3x －1x 6x 22++=115、x 235x 7x 27x x 2-=++++16、132643222++=-+x x x x17、0381x 1x 1x 1x =-+---+18、059x x4x 91=-+++19、(x2+x －4)2+(x 2+x －1)2=320、2x 54x 2x 36x 7x 322+=+++++ 21、方程x=2+x 的根为 。
22、方程x x -=-44的根为 。
23、若方程k x =+2有实数根，则k 的取值范围为 。
24、若方程k x =+22有实数根，则k 的取值范围为 。
25、不解方程，试说明下列方程为什么无解： (1)82+x +1=0； (2)3-x +x+5=0； (3) 6-x =4－x ； (4)x x -=-26。
26、x －x -1=1；27、6－x=32-x ；28、2232=--+x x29、01582=++-+x x30、解关于x 的方程：b a b x a x +=+++22(a ＞0，b>0)31、已知方程k k x x +=--1222有一个根为x=1，这个方程还有别的根吗?32、解方程276262622=+-++-x x x x 时，若设y x x =+-622，那么，原方程可变为关于y 的方程 。
沪教版数学八年级下册21.3《无理方程》教学设计
沪教版数学八年级下册21.3《无理方程》教学设计一. 教材分析《无理方程》是沪教版数学八年级下册第21.3节的内容，主要介绍了无理方程的定义、特点和解法。
无理方程是指含有无理数的方程，它的解通常不是有理数，需要采用特殊的方法来求解。
本节内容是在学生学习了实数、平方根等知识的基础上进行的，为后续学习函数、不等式等知识打下了基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了有理数的运算、平方根等知识，对实数的概念有一定的了解。
但是，对于无理数和无理方程的概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。
同时，学生可能对无理方程的解法感到困惑，需要通过具体的例题和讲解来掌握解题方法。
三. 教学目标1.了解无理方程的定义和特点，能够识别和理解无理方程。
2.掌握无理方程的解法，能够独立解简单的无理方程。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：无理方程的定义和特点，无理方程的解法。
2.难点：理解无理方程的解法，能够灵活运用解法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和讨论引导学生思考和探索无理方程的定义和特点。
2.通过具体的例题和讲解，让学生掌握无理方程的解法，并能够独立解题。
3.采用小组合作和讨论的方式，让学生互相交流和分享解题经验，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括无理方程的定义和特点的示例，以及无理方程的解法的示例和练习题。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问和讨论，引导学生回顾实数和平方根的知识，激发学生的学习兴趣，引出无理方程的概念。
2.呈现（15分钟）介绍无理方程的定义和特点，通过具体的示例让学生理解无理方程的形式和性质。
同时，展示无理方程和解法的相关知识，让学生初步了解无理方程的解法。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，进行一些简单的无理方程的练习题，让学生亲自动手解题，巩固对无理方程解法的理解和掌握。
无理方程与无理不等式练习题及解答
无理方程与无理不等式练习题及解答以下是一些关于无理方程与无理不等式的练习题及解答，帮助你更好地理解和掌握这个数学概念。
练习题1：解方程：√(2x+3) - 1 = 5解答：首先，将方程两边都加1，得到√(2x+3) = 6。
然后，两边同时平方消去根号，得到2x+3 = 36。
接着，将方程两边都减去3，得到2x = 33。
最后，将方程两边都除以2，得到x = 16.5。
因此，方程的解为x =16.5。
练习题2：解方程：2√(3x+1) - 4 = 8解答：首先，将方程两边都加4，得到2√(3x+1) = 12。
然后，两边同时除以2，得到√(3x+1) = 6。
接着，两边同时平方消去根号，得到3x+1 = 36。
最后，将方程两边都减去1，得到3x = 35。
因此，方程的解为x = 11.67。
练习题3：解不等式：√(x+2) > 3解答：首先，将不等式两边都平方，注意要保持不等号的方向，得到x+2 > 9。
然后，将不等式两边都减去2，得到x > 7。
因此，不等式的解集为{x | x > 7}。
练习题4：解不等式：2√(5-3x) ≤ 4解答：首先，将不等式两边都除以2，注意要保持不等号的方向，得到√(5-3x) ≤ 2。
然后，将不等式两边都平方，得到5-3x ≤ 4。
接着，将不等式两边都减去5，得到-3x ≤ -1。
最后，将不等式两边都除以-3，并反转不等号的方向，得到x ≥ 1/3。
因此，不等式的解集为{x | x ≥ 1/3}。
练习题5：解不等式：√(2x-1) + 3 < 7解答：首先，将不等式两边都减去3，得到√(2x-1) < 4。
然后，将不等式两边都平方，注意要保持不等号的方向，得到2x-1 < 16。
接着，将不等式两边都加上1，得到2x < 17。
最后，将不等式两边都除以2，得到x < 8.5。
因此，不等式的解集为{x | x < 8.5}。
第7讲 无理方程(讲义)解析版
第7讲 无理方程模块一：无理方程的概念和解法知识精讲1．无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2．解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3．解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．例题解析例1.下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=；（3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -=．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，12x =，可知（3）也是无理方程．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．例2.下列哪个方程有实数解（）A 0=B 30+=C 2=D x=-【难度】★【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A 选项，1x ³³无实数解；对B 330+³¹，可知方程无实数解；对C 选项，1040x x -³ìí--³î，x 无解，即方程无实数解；故选D ．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．例3.若方程1k +=有解，则k 的取值范围是________．【难度】★【答案】1k ³．【解析】移项得1k =-，方程有解，根据二次根式的非负性，可得10k -³，得1k ³．【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．例4.不解方程，说明下列方程是否有实数根：（10=；（2）2(()()a b a b a b -=-£．【难度】★【答案】（1）有唯一实数根12x =；（2）当a b <时，方程无实数根；当a b =时，方程有无数个实数根．【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：120120x x -³ìí-³î，即得x 的定义域为12x =，0==，即得方程有唯一实数根12x =；（2）当a b <0a b =-<，根据二次根式非负性，可知方程无实数根； 当a b =时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足240x x -³即可．【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定．例5.用换元法解方程231x x --=y =．则该方程转换整式方程是____________．【难度】★【答案】260y y --=．y =，可得2235x x y -=-，原方程即为251y y --=， 整理即为260y y --=．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．例6.解下列方程：（1x =；（23x =．【难度】★★【答案】（1）3x =；（2）5x =．【解析】（1）两边平方，得：223x x +=，整理得：2230x x --=，解得：13x =，21x =-，经检验，21x =-是原方程的增根，即原方程的根为3x =；（23x =+，两边平方得：()()()21263x x x -+=+，因式分解整理得：()()530x x -+=，解得：15x =，23x =-，经检验，23x =-是原方程的增根，即原方程的根为5x =．【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．例7.解下列方程：（1）10x =-；（2）()30x +=；【难度】★★【答案】（1）20x =；（2）1x =．【解析】（1）两边平方，得：()()24510x x +=-，整理得：224800x x -+=，解得：14x =，220x =，经检验，14x =是原方程的增根，即原方程的根为20x =； （2）由原式得：30x +=或10x -=，解得：11x =，23x =-， 经检验，23x =-是原方程的增根，即原方程的根为1x =．【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．例8.解下列方程：（11=+；（2）5x =．【难度】★★【答案】（1）x =；（2）4x =．【解析】（1）两边平方得：22721x x +=-+，整理得：260x --=，配方法解得：1x =2x =，经检验，2x =是原方程的增根，即原方程的根为x =（25x =-，两边平方得()24155x x -=-，整理得214400x x -+=， 解得：14x =，210x =，经检验，210x =是原方程的增根，即原方程的根为4x =．例9.133=．【难度】★★【答案】154x =-，254x =．a =1a =，原方程即为1133a a +=，解得：13a =，213a =，3=13=，解得：154x =-，254x =，经检验，154x =-，254x =都是原方程的根．【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系．例10.解方程：（1）2233x x +-=-； （2）3(5)2x x ++=．【难度】★★【答案】（1）192x =-，23x =；（2）15x =-，20x =．【解析】（1()0y y =³，得22239x x y +=-，原方程即2953y y --=-，整理得2560y y --=，解得：11y =-（舍），26y =，6=，平方整理得223270x x +-=，解得：192x =-，23x =，经检验，192x =-，23x =都是原方程的根；（2()0y y =³，得2251x x y +=-，原方程即()22312y y +-=，整理得23250y y +-=，解得：153y =-（舍），21y =，1=，平方整理得250x x +=，解得：15x =-，20x =，经检验，15x =-，20x =都是原方程的根．【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根．例11.解下列方程：（17=；（21=+．【难度】★★【答案】（1）12x =；（2）9x =+．【解析】（17=-，两边平方得4349x x +=-+-移项得42=，两边平方得39x -=，解得：12x =，经检验，12x =是原方程的根；（2）两边平方得2151x x -=+++7x =-，两边平方整理得218290x x -+=，配方法解得：19x =+，29x =-，经检验，29x =-是原方程的增根，即原方程的根是9x =+【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例12.=．【难度】★★★【答案】5x =．【解析】平方得2116x x x -+--=-24x =-，两边平方整理得2213150x x -+=，解得：132x =，25x =，经检验，132x =是原方程的增根，即原方程的根是5x =．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例13.解下列方程：2660x x ---=．【答案】x =()0y y =³，则有2222x x y --=，由此原方程可变形得：2236620x x x ----=，整理即为22320y xy x --=，因式分解法解得：123y x =-，2y x =23x =-x =，由23x =-，整理得2518180x x --=，解得：1x =，2x =经检验，1x =x =，可解得：1x =-，经检验，1x =-是原方程的增根，综上所述，原方程的根是x =【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验．模块二：无理方程的根的讨论知识精讲3．增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.例题解析例1.关于x 1=有一个增根x =4，求：（1）a 的值；（2）方程的根．【难度】★★【答案】（1）5a =；（2）20x =【解析】（1）移项，两边平方得：241x x a -=+++，移项得5x a =--，两边平方得：()()()224525x a x a x a +=---+，将4x =代入有()24412a a a +=++， 整理得22150a a --=，解得：13a =-，25a =，当25a =时，4x =是方程增根，当13a =-时，4x =不是方程增根，由此即得5a =；（2）将5a =代入上述平方整理的方程即有()()()245510525x x x +=---+，移项整理得224800x x -+=，解得：14x =，220x =，由题意可得14x =是原方程的增根，即得原方程的根是20x =．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例2.2x m =-有一个根是1x =，求实数m 的值．【难度】★★【答案】0m =．【解析】因为方程有一个根是1x =，12m =-，平方整理得2240m m -=， 解得：10m =，22m =，经检验，22m =是方程的增根，应舍去，即得0m =．【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．例3.若关于x 20kx -+=有实数根，求k 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1k ³或0k <．()0a a =³，则有242a x -=，原方程即为24202a a k --×+=，整理即为22440ka a k ++-=，当0k =时，则有2a =-是增根，应舍去；当0k ¹时，分解因式得()()2220ka k a +-+=，解得：12a =-（舍），222k a k-=，因为方程有实数根，则应有2220k a k-=³，分类讨论得1k ³或0k <，即得k 的取值范围为1k ³或0k <．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．例4.若关于x 20x m ++=只有一个实数根，求m 的取值范围．【难度】★★★【答案】6m £．()0a a =³，则有23x a =-，原方程即为()2230a a m +-+=，整理即为2260a a m ++-=，因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足0a ³，则另一根必满足0a <，根据韦达定理可得：12602m a a -=£，得m 的取值范围是6m £．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．模块三：无理方程的应用知识精讲4．应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．例题解析例1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．【难度】★★【答案】24cm 和25cm ．【解析】设另外一条直角边长为xcm ，依题意可得756x ++=，解得：24x =，经检验，24x =是原方程的根且符合25cm =，即另两边长分别为24cm 和25cm ．【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．例2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．【难度】★★【答案】224m ．【解析】设原场地的边长为xm ，100.1cm m =，则扩大后场边长为()0.1x m +， 依题意得()225400.126000.6x x +=´+，整理得22754520x x --=，解得：115x =，2255x =-（舍），由此得原场地面积为2221600600245x m æö=´=ç÷èø．【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．例3.若Q 点在直线21y x =+上，且Q 到点P (0，2)，求Q 点的坐标．【难度】★★【答案】1355Q æö-ç÷èø，或()13Q ，【解析】设点()21Q x x +，=平方整理，得：25410x x --=，解得：115x =-，21x =，经检验，115x =-，21x =都是原方程的根，由此代入即得1355Q æö-ç÷èø，或()13Q ，．【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标．例4.1l 与2l 为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O 点同时出发，分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A 与B 地，一座学校座落于距1l 8千米，距2l 5千米的P 处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？是几千米？【难度】★★【答案】经过43h 两人距离学校路程相等．【解析】设经过th 两人距离学校距离相等，即AP BP =， 则有OA t =，8AM t =-，5=，平方整理得2340t t -=，解得：143t =，20t =，经检验，143t =，20t =都是原方程的根，但20t =不符合题意，应舍去，即经过43h 两人距离学校路程相等．【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系．例5.有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的89遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?【难度】★★★【答案】这群小蜜蜂共有72个．【解析】设这群蜜蜂共有x 个，根据蜂群总数，依题意可得8119x x +++=，平方整理得221536480x x -+=，解得：192x =，272x =，经检验，192x =是原方程的增根，即得这群小蜜蜂共有72个．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏．例6.m 、n 为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A 在公路n 上，距离公路m 为1千米．工厂B 距离公路m 为2千米，且距离公路n 为3千米，现在要在公路m 上选一个地址造一个车站P ，使它与A 、B 两厂的距离和为P 的位置?【难度】★★★【答案】车站P 在两公路交点上方211km 或2km 处．【解析】以直线n 为x 轴，以直线m 为y 轴，两直线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意有()10A ，，()23B ，，设点()0P x ，，=二次平方后，整理得：2112440x x -+=，解得：1211x =，22x =，经检验，1211x =，22x =都是原方程的根，即车站P 在两公路交点上方211km 或2km 处．【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．随堂检测1.下列方程是无理方程的是（）．A ．20x -+=B 9x+=C 2=-D 45x =【难度】★【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程，可知D 是无理方程，故选D ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．2.根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：（130+=；（20x +=；（34x =-；（4x +=．【难度】★【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解．【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1）330+³¹，故方程无实数解；对（2），由20x +³，即有2x ³-0x =-³，可知方程有实数解；对（3），6040x x -³ìí-³î，x 无解，即方程无实数解；对（4），3020x x -³ìí-³î，x 无解，即方程无实数解．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．3.4x =-的实数解为（）．A ．4x =B ．4x <C ．4x £D ．0x =【难度】★【答案】C44x x ==-=-，可知40x -£，得4x £，故选C ．4.用换元法解方程23640x x --+=时，y =．则该方程可转换成整式方程是_________．【难度】★【答案】23280y y --=．y =，可得:2224x x y -=-，原方程即为()234240y y --+=， 整理即为23280y y --=．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．5.解方程：（12x =；（2）2(3x =．【难度】★【答案】（1）1x =；（2）4x =．【解析】（1）移项两边平方得：()22272x x x +=+，整理得:2340x x +-=， 因式分解法解得14x =-，21x =，经检验，14x =-是原方程的增根， 即原方程的根为1x =；（2）移项得6x =-，两边平方得()()2436x x -=-，整理得:216480x x -+=， 解得:14x =，212x =，经检验，212x =是原方程的增根，即原方程的根为4x =．【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．6.(奉贤2018期末2)下列判断中，错误的是（ ）A. 方程是一元二次方程B. 方程是二元二次方程C. 方程3233x x x +-=+是分式方程D. 20x -=是无理方程【答案】D ；【解析】解：A 、方程x （x-1）=0是一元二次方程，不符合题意；B 、方程xy+5x=0是二元二次方程，不符合题意；C 、方程3233x x x +-=+是分式方程，不符合题意；D 20x -=是一元二次方程，符合题意，故选：D ．7.（闵行期末3）下列说法正确的是（A 4=的根是16x =±；（B x =的根是13x =，21x =-；（C 1x =+变形所得的有理方程是2211x x -=+；（D 10+=没有实数解．【答案】D ；【解析】A 、方程4=的根是16x =，故A 错误；B 、解方程x =得13x =，21x =-，经检验，得21x =-是增根，故原方程的根是3x =，故B 错误；C1x =+变形所得的有理方程是22121x x x -=++，故C 错误；D10+=没有实数解，所以D 正确；故答案选D.8.（崇明2018期中2）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A.2220x x ++=；B.111xx x =--；30+=；x =-.【答案】D ；【解析】A 、根的判别式小于零，故无实数根；B 、x=1是增根，故B 无实数根；C、330+³¹，故原方程无实数根；D 、可解得方程的根为1x =-，故有实数根；因此答案选D.9.（金山2019期末100=的解是_________________【答案】1x =；【解析】依题得10101010x x x x -=+=ìï-³íï+³î或，所以111x x x ==-ìí³î或，所以1x =.10.（松江2018期中20）解方程：3x =.【答案】2x =；【解析】解：原方程化为：3x -=，两边平方，得2(3)23x x -=-，整理，得28120x x -+=，解得122,6x x ==，经检验：12x =是原方程的根，26x =是增根. 所以原方程的根是2x =.11.7+=.【答案】16x =；【解析】解：移项，7=-，两边平方，得749x x -=-+，整理，4=，解得16x =，经检验16x =是原方程的根，故原方程的根是16x =.12.解方程：（110-=；（22-=．【难度】★★【答案】（1）11x =；（2）13x =，211x =．【解析】（11=，两边平方得2351x x +=+++，移项得3x =-，两边平方整理得210110x x --=，解得:111x =，21x =-，经检验，21x =-是原方程的增根，即原方程的根为11x =；（2）移项两边平方得2324x x +=-++，移项得1x =+，两边平方整理得214330x x -+=，解得:13x =，211x =， 经检验，13x =，211x =都是原方程的根．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．13.解方程：（1）241017x x -=；（2）22330x x +-=．【难度】★★【答案】（1）172x =，21x =-；（2）192x =-，23x =．【解析】（1()0y y =³，得22252x x y -=-，方程即()22217y y -+=，整理得22210y y +-=，解得:172y =-（舍），23y =，3=，平方整理得22570x x --=，解得：172x =，21x =-，经检验，172x =，21x =-都是原方程的根；（2()0y y =³，得22239x x y +=-，原方程即29530y y --+=，解得：11y =-（舍），26y =6=，平方整理得223270x x +-=，解得：192x =-，23x =，经检验，192x =-，23x =都是原方程的根．【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．14.有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木 板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．【难度】★★【答案】小木板面积为25602.5225m ．【解析】设小木板面积为2xm ，则大木板面积为()245x m +，由30.3dm m =，依题意可得0.3-=，移项整理得74.85=，即得：274.855602.5225x ==，经检验，5602.5225x =是原方程的根，即小木板面积为25602.5225m ．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．15.如果y 轴上一点P 到两点A （3，5）、B （-1，-2）的距离相等，求P 点的坐标．【难度】★★【答案】29014P æöç÷èø，．【解析】设点()0P x ，=， 平方得22103445x x x x -+=++，解得：2914x =，经检验，2914x =是原方程的根， 即29014P æöç÷èø，．【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．16.1-=．【难度】★★【答案】5x =．【解析】23x =-，根据题意，1=，23x +=-，1x =-，平方整理得250x x -=，解得：10x =，25x =，经检验，10x =是原方程的增根，即原方程的根是5x =．【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．17.712=．【难度】★★★【答案】7x =．()0a a =³1a =，原方程即为1712a a -=，解得：143a =，234a =-（舍）43=，解得：7x =，经检验，7x =是原方程的根．【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．18.已知a 为非负整数，若关于x 的方程240x a -+=至少有一个整数根， 求a 的值．【难度】★★★【答案】2a =或6a =．()0m m =³，则有21x m =-，原方程即为()22140m am a ---+=，得26201m a m -=³+，由0m ³，可得2620m -³，则有203m ££，因为x 为整数，则2m 为整数，同时a 为整数，则m 必为有理数，由此可得：0m =或1m =，当0m =时，得6a =；当1m =时，得2a =；综上，2a =或6．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算19.A 地在M 地的正北方向12千米处，B 地在M 地的正东方向12千米处，某人从B 地出发向正西方向行至C 地，再沿CA 方向到达A 地，这样比由B 地到M 地再到A 地的路程少4千米，求M 地与C 地之间的距离．【难度】★★★【答案】5MC km =．【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点M 为原点，则有()012A ，，()120B ，，设()0C a ，，根据两点间距离公式AC =，1241212a +-+=+8a =+，解得：5a =，经检验，5a =是原方程的根，即得5MC km =．【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题．。