无理方程的解法
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，即所以移项得解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．。
拓展培优竞赛自招讲义-无理方程(详细解答版)
第十四讲无理方程̅̅̅̅̅̅̅̅̅+√5x−19-√2x+8=0例1、解方程J3x−3解答：练习：解方程√x−7-√x−10=√x−5-√x−2解答：方程两边同时平方得到(x-7)+(x-10)-2√[(x-7)(x-10)]=(x+5)+(x-2)-2√[(x+5)(x-2)]移项并合并同类项,约分得到10+√[(x-7)(x-10)]=√[(x+5)(x-2)]两边再平方得到100+(x-7)(x-10)+20√[(x-7)(x-10)]=(x+5)(x-2)移项合并同类项约分得到x-9=√[(x-7)(x-10)]继续平方得到x²-18x+81=x²-17x+70移项,合并同类项得到x=11经检验,x=11是原方程的根.无理方程式因为在解题过程中有平方的过程,所以有可能出现增根,最后有必要对根进行检验,以免出现把增根当做原方程的根.例2、解方程x2+18x+30=2√x2+18x+45解答：设√（x^2+18x+45）=y原方程即y^2-15=2yy^2-2y-15=0(y+3)(y-5)=0y1=-3(不合题意,舍去）,y2=5x^2+18x+45=25x^2+18x+20=0x=(-18±√244)/2x=-9±√61练习：解方程x2-√x2−3x+5=3x+1 解答：x=-1或者4例题3：4x2+2x√3x2+x+x-9=0解答练习：3x2+2x√2x2+5x−2+5x-38=0解答：作业例6：解方程：x +1-y +2-z =21（x+y+z ） 解答：将原方程变形为：x+y+z-2x -21-y -22-z =0 所以（1-x ）2+（1y --1）2+（2z --1）2=0所以x=1，y=2，z=3.经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根，所以原方程的根为：x=1，y=2，z=3.练习：21x ++4-y +1z 2+=21（x+y+z 2+21） 解：设x+21=a 2,y-4=b 2,z 2+1=c 2则可得（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2=0即a=b=c=1,所以x=21,y=5, z=01. 解方程：5+x +3x - =4解答： 5+x =4-3x -x+5=16−83x - +x-3x −3=1x=4.经检验：x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4.2. 解方程：32x -1-2x+1=0解：32x -1=1-2x,两边同时平方得，9=1-2x所以x=-45. 若以x 为未知数的方4x 2++k=3有实数根,则实数k 的取值范围是解:对4x 2++k=3移项,得4x 2+=3−k 由于4x 2+≥2,于是有3-k ≥2移项,得k_≤16. 已知已知关于x 的方程42x -=a +x +1有一个增根x=4，则方程的根是 解：原方程可变为2x −4=x+a+2a +x +1因为x=4是增根，2x −4=x+a+2a +x +1 所以a=5或a=-3当a=5时，2x −4=x+a+2a +x +1解之得x=4或x=20；当x=-3时，2x −4=x+a+2a +x +11解之得x=4而x=4是此方程之增根，故舍去a=-32x −4=x+a+2a +x +1只有a=5，x=207. 设实数x>0,并且满足方程x-1+2-x 3=21x +，求x 的值 解：原方程变为x-2+(x+1)÷(x-2)=21x +所以（12-x +-x ÷1x +）2=0，所以x 2-5x+3=0 解得x=2135+ 8. x x x x 249727x 2-=++++解：令t=7x ++x ,则可得056t 2=-+t ，解得t=7,或者t=-8舍去所以x=9习题1. 方程x x x x 24222x 2-=++++ 解：由于x .2x +=x x 22+，即可把方程变为 （x +2x +-2）（032x =+++x 所以22x +-=-x ，解得x=41 经检验，x=41是原方程得根2. 方程23222312x 2222+-+++=--+-x x x x x x解：(12x 2-)-(23x 2--x )=(322x 2++x )-(2x 2+-x ) 即32212x 22++=-x x解得x=-2经检验，x=-2是原方程得解3. 解方程()()22111x x 2++-=-+x x 解：两边平方得01x 2=-所以x=1,或者x=-1经经验x=14. 解关于x 的方程：2a2222x a x a x a x a x =++---+ 解：化简整理可得a a x 24x 22--=a2x 所以04x 22=-a ，所以x=2a,或者x=-2a 经经验，x=2a,或者x=-2a,都是方程的根例4：√5x2−4x+4+√5x2−4x−3=7 解答：练习：√3x2−2x+9+√3x2−2x−4+13 解答：例5、x+=2√2√x2−13=1−√x+1练习;解方程√2+x解答：。
初中数学 无理数方程的解如何计算
初中数学无理数方程的解如何计算无理数方程是含有无理数的方程，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
解决无理数方程的关键是找到方程中无理数的近似解。
下面将介绍一些常见的无理数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和解决无理数方程。
一、平方根无理数方程平方根无理数方程是指含有平方根的方程。
例如，√x = 3是一个平方根无理数方程，其中√x是一个无理数。
1. 消去平方根法：对于方程√x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边平方，得到x = a^2。
例如，对于方程√x = 3，可以平方得到x = 3^2 = 9。
因此，方程的解是x = 9。
2. 迭代法：迭代法是一种逼近法，通过不断逼近无理数的近似值来解方程。
对于方程√x = a，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (x + a/x)/2，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：可以设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
- 迭代结果：最终得到的x值即为方程的近似解。
二、立方根无理数方程立方根无理数方程是指含有立方根的方程。
例如，∛x = 2是一个立方根无理数方程，其中∛x是一个无理数。
1. 消去立方根法：对于方程∛x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边立方，得到x = a^3。
例如，对于方程∛x = 2，可以立方得到x = 2^3 = 8。
因此，方程的解是x = 8。
2. 迭代法：对于立方根无理数方程，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (2*x + a/(x^2))/3，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
无理方程的十种特殊解法
作者： NULL
出版物刊名： 玉溪师范学院学报
页码： 104-106页
摘要：解无理方程,中学课本主要讲述了“两边平方法”和“换元法”解一些简单的无理方程。
实际上,很多无理方程仅用这两种常规方法是不易解出的,必须根据不同形式的无理方程,寻求其特殊解法。
现举例介绍无理方程的十种特殊解法,供教学参考。
一、利用定义域例1 解方程2ｘ-3-4-5ｘ=6ｘ。
解:由2ｘ-3≥0得ｘ≥32;由4-5ｘ≥0得ｘ≤45。
因两者矛盾,故原方程无解。
二、利用非负数性质例2 解方程ｘ+ｙ-4+9ｘ2+ｙ2=6ｘｙ。
解:原方程变形为ｘ+ｙ-4+(3ｘ-ｙ)2=0∵两个非负数之和为零,必然两个数均为零,∴ｘ+ｙ=43ｘ-ｙ=0。
解之ｘ=1ｙ=3即为原方程的解。
三、分段讨论法例3 解方程ｘ2-3ｘ+ｘ2-6ｘ+9=2。
解:按ｘ2-3ｘ≥0的解集ｘ≤0或ｘ≥3,分两段讨论。
当ｘ≤0时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(3-ｘ),解之ｘ=-1。
经检验ｘ=-1是增根;当ｘ≥3时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(ｘ-3),解之ｘ=257。
经检验ｘ=257是原方程的解。
四、配方法例4 解方程22ｘ(ｘ+7)-2ｘ-ｘ+7=13-3ｘ。
解:围绕中间项22ｘ(ｘ+7)进行配方,即(2ｘ)2+22ｘ(ｘ+7)+(ｘ+7)2-3ｘ-7-13+3ｘ...。
无理方程的解法
无理方程解法定义:根号下含有未知数的方程,叫做无理方程.1.平方法解无理方程例1解方程1x =分析:移项、平方,转化为有理方程求解.解:移项得1x =+两边平方得:2721x x x +=++移项,合并同类项得:260x x +-=解得:3x =-或2x =检验:把3x =-代入原方程,左边≠右边,所以3x =-就是增根.把2x =代入原方程,左边 = 右边,所以2x =就是原方程的根.所以,原方程的解就是2x =.说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤:①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根.例2解方程3+=分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式,再用例4的方法解方程.解:原方程可化为3=-两边平方得:3293x x -=-+整理得:1427x x =-⇒=-两边平方得:29(3)4914x x x +=-+整理得:223220x x -+=,解得:1x =或22x =. 检验:把1x =代入原方程,左边=右边,所以1x =就是原方程的根.把22x =代入原方程,左边≠右边,所以22x =就是增根.所以,原方程的解就是1x =.例3解方程解:移项得 两边平方后整理得再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0, 所以 x 1=4,x 2=-7.经检验知,x 2=-7为增根,所以原方程的根为x=4.说明:含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤:①移项,使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例4的说明.2.换元法解无理方程例4 解方程 223152512x x x x ++++=分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现:2231533(51)x x x x ++=++.因此,可以设251x x y ++=,这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理.解:251x x y ++=,则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为:23(1)22y y -+=,即23250y y +-=,解得:1y =或53y =-.(1)当1y =时225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或;(2)当53y =-时,2510x x y ++=≥,所以方程无解.检验:把1,0x x =-=分别代入原方程,都适合.所以,原方程的解就是1,0x x =-=. 说明:解决根式方程的方法就就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体现了化归思想.例5解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).设则u2-v2＝w2-t2, ① u+v=w+t. ②因为u+v=w+t=0无解,所以①÷②得u-v=w-t. ③②＋③得u=w,即解得x=-2.经检验,x=-2就是原方程的根.3、用公式法解例6 解方程即所以移项得4、分式无理方程例 7 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同,则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2.解得x=±2a. 经检验,x=±2a就是原方程的根.。
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程无理方程一般指含有无理数的方程，其中最常见的是双根式方程。
双根式方程是指方程的解可以表示为两个无理数的有理运算。
解决双根式方程的一种有效方法是巧用柯西不等式。
柯西不等式是数学中常用于解决无理不等式的方法之一，也适用于双根式方程的求解。
以下是如何巧用柯西不等式解决高中数学双根式方程的步骤：1.确定方程的形式：双根式方程一般可以写成√a+√b=c，其中a、b、c是已知的实数。
2.假设方程的解为x=√p+√q，其中p和q是要确定的实数。
3. 平方等式：将x = √p + √q 的两边平方，得到x² = (√p +√q)² = p + 2√pq + q。
4. 根据双根式方程的形式，将√a + √b = c 代入x² = p +2√pq + q，得到x² = a + 2√(ab) + b。
5.根据柯西不等式，对于任意两个实数p和q，有(p+q)²≤(1²+1²)(p²+q²)，即p+q≤√(2(p²+q²))。
6. 将x² = a + 2√(ab) + b 的两边应用柯西不等式，得到x² ≤a + 2√(2ab) + b，即x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
7. 比较 x 和√(a + 2√(2ab) + b) 的形式，可以推断出 x 的取值范围为0 ≤ x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
8. 根据x = √p + √q 的定义，可以得出√p ≥ 0，√q ≥ 0。
同时结合第7步的结论，可以推断出√(a + 2√(2ab) + b) ≥ 0。
9. 根据第8步的结论，可以得出a + 2√(2ab) + b ≥ 0。
10. 根据第9步的结论，可以将x² = a + 2√(ab) + b 改写为x² - (a + 2√(ab) + b) = 0。
高中数学中的无理数方程的解法
高中数学中的无理数方程的解法在高中数学中，我们经常会遇到各种各样的方程，其中有一类特殊的方程叫做无理数方程。
无理数方程是指方程中含有无理数的方程，例如根号2、根号3等。
解无理数方程是高中数学的重要内容之一，本文将介绍一些常见的无理数方程的解法。
一、一次无理数方程一次无理数方程是指方程中只含有一个无理数的方程，通常形式为ax+b=0，其中a和b是已知的有理数，x是未知的无理数。
解一次无理数方程的方法有两种：代入法和平方消去法。
代入法是将方程中的无理数代入到方程中，求解出有理数的值。
例如，对于方程根号2x+1=0，我们可以将根号2x代入到方程中，得到2x+1=0，进一步解得x=-1/2。
平方消去法是通过平方的性质来求解方程。
例如，对于方程根号3x+2=0，我们可以将方程两边平方，得到3x+2=0，进一步解得x=-2/3。
二、二次无理数方程二次无理数方程是指方程中含有二次无理数的方程，通常形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知的有理数，x是未知的无理数。
解二次无理数方程的方法有两种：配方法和求根公式。
配方法是通过配方将二次无理数方程转化为一次无理数方程，然后再采用一次无理数方程的解法进行求解。
例如，对于方程根号2x^2+3x-1=0，我们可以将方程两边平方，得到2x^2+3x-1=0，进一步解得x=(-3±根号17)/4。
求根公式是一种直接求解二次无理数方程的方法，根据二次无理数方程的一般形式ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±根号(b^2-4ac))/(2a)进行求解。
例如，对于方程根号3x^2+4x-2=0，我们可以使用求根公式，进一步解得x=(-2±根号(4+24))/6。
三、其他无理数方程除了一次和二次无理数方程，高中数学中还存在其他类型的无理数方程，例如分式无理数方程和高次无理数方程。
分式无理数方程是指方程中含有无理数的分式的方程，通常形式为ax+b/c=0，其中a、b和c是已知的有理数，x是未知的无理数。
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无理方程的解法Revised on November 25, 2020
无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．
例1 解方程
解移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x
1=4，x
2
=-7．
经检验知，x
2
=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
例2 解方程
方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
所以
两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，
两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，
例3 解方程
即
所以
移项得
例4 解方程
解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
例5 解方程
所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．
xy=2．③
例6 解方程
解观察到题中两个根号的平方差是13，即
②÷①便得
由①，③得
例7 解方程
分析与解注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．
设
则
u2-v2＝w2-t2，①
u+v=w+t．②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u-v=w-t．③
②＋③得u=w，即
解得x=-2．
经检验，x=-2是原方程的根．
例8 解方程
整理得y3-1=(1-y)2，
即(y-1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=-1．
经检验知，x=-1是原方程的根．
整理得y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．
例9 解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．。