分类讨论思想第七篇_不等式中的分类讨论思想_汪和平
浅谈初中数学中的分类讨论思想
浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用摘要：在初中数学解题中，分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还也是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”思想和归类整理思想这两个部分。
在初中数学教学中，如果教师在进行初中数学的教学时，对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步的培养学生的思维能力。
本文主要是对分类讨论在初中数学解题的应用进行探讨。
关键词：分类讨论思想初中数学教学应用俗话说的好，“数学是思维的体操”，要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行每一步探索，都是需要思维来完成。
因此，在初中的数学教学中，教师要对学生慢慢的进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯，这样不仅符合了新课改的新要求，而且其还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。
一、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用简单的来说，分类讨论起本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。
其在教学中的具体表现为对题目“化整为零”，一个一个的进行逐步击破，这样的就实现了积零为整的教学方式。
在目前，分类讨论思想已经成为一种非常重要的数学思想，其在我国数学教学中得到了广泛的应用。
它不仅只是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时其更是一种有效的解题策略。
由于分类讨论在对不同的问题进行综合考虑时，其在逻辑上具有优势，特别是在培养学生的学习能力以及提升学生的思维严谨性有很好的促进作用。
在对数学题进行解答时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答出来，这样的情况下，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化，方便对其进行解答。
二、分类讨论思想在初中数学解题的应用1.在不等式中的运用不等式在初中数学中是一种比较基础和普遍的内容。
因为不等式要涉及到绝对值，所以就要进行转换符号，同时一个不等式可能会存在不止一个绝对值问题，遇到这样的情况，学生往往会变得无所适从，这也就影响着学生的学习成绩的提升，运用分类谈论思想，就能够对不等式进行很好的解答。
分类讨论思想在不等式中的应用
分类讨论思想在不等式中的应用在不等式的解法这一节中，含参不等式的解法，是一个难点。
含参问题的一个特点，就是要分类讨论，而同学们往往对讨论的时机和讨论的标准把握不好，因此容易出错。
下面就以含参的一元二次不等式为例，希望能够加深同学们对分类讨论思想的认识。
例1解关于x的不等式 ax2-(2a+1)x+(a+1)1；当a≠０时，不等式可化为：（ax-a-1）(x-1)0时，不等式可化为：(x-■)(x-1)1，解得：10，且■1；综上所述：当a=0时，原不等式解集为：{x|x>1}；当a>0时，原不等式解集为：{x|11}.例2解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0【剖析】两根含有参数，需讨论两根大小。
【解析】不等式可化为：(x-a)(x-a3)>0，对应方程两根分别为：x1=a，x2=a3：当a1时，解得：xa2；当a=a3即a=0或a=1时，解得：x≠a；当a>a3即01；综上所述：当a1时，原不等式解集为{x|xa2}；当a=0或a=1时，原不等式解集为{x|x≠a}；当0不等式解集为{x|xa} .例3解关于x的不等式(m+1)x2 -4x+1≤０【剖析】二次项系数含参数，需讨论，；判别式含参数，需讨论。
【解析】当m+1=0即m=-1时，不等式可化为：-4x+1≤0，解得：x≥■当m+1≠0即m≠-1时，一元二次方程(m+1)x2-4x+1=0的判别式为△=4(3-m)当m+10，两根分别为x1=■，x2=■且x1>x2，解得x≤■或x≥■；当m+1>0且△>0即-10且△=0即m=3时，不等式可化为(2x-1)2≤0，解得x=■；当m+1>0且△3时，解得x∈φ；综上所述：当m3时，原不等式解集为φ.【点评】在高中数学学习中，“分类讨论”是一个重要话题，这里不可避免地会产生所谓的分类时机和分类原则的问题。
其中“分类时机”是指我们什么时候需要分类讨论，如本文所述：对含参一元二次不等式的分类讨论标准为：①二次项系数含参，讨论符号；②判别式含参，讨论符号；③两根含参，讨论大小。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
分类讨论思想的核心就是将问题进行分类，然后分别讨论每个分类下的情况。
这种思想在解决数学问题时非常有用，可以帮助学生更好地理解问题、找到解题的路径，提高解题的效率。
本文将针对高中数学中常见的几个知识点，介绍分类讨论思想在这些知识点中的应用。
一、组合数学中的分类讨论思想在高中数学中，组合数学是一个重要的内容，它涉及到排列、组合等概念。
而分类讨论思想在组合数学中有着广泛的应用。
以排列组合问题为例，当问题比较复杂时，可以通过分类讨论的方法将问题简化，从而更好地解决问题。
有一道高中数学题目：“从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，将它们按照从小到大的顺序排列成一组数，那么共有多少种排列方式？”这个问题涉及到排列的概念，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。
我们可以将这个问题分成两种情况来讨论，一种是选取的3个数字没有重复，另一种是选取的3个数字中有重复的数字。
对于第一种情况，我们可以直接使用排列的公式来计算出结果；对于第二种情况，我们可以先计算出选取的3个数字中有重复的数字的情况，然后再根据具体的情况来进行讨论。
通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解问题，更快速地找到解决问题的路径。
二、几何中的分类讨论思想在几何中，分类讨论思想同样有着重要的应用。
几何问题通常涉及到图形的性质、面积、体积等概念，而分类讨论思想可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
有一道高中数学题目：“在平面直角坐标系中，有一个正方形的对角线的两个端点分别为A（1，2）和B（4，5），求这个正方形的面积。
”这个问题涉及到正方形的性质和面积的计算，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。
我们可以确定正方形的另外两个顶点的坐标，然后再根据正方形的性质来计算出正方形的面积。
通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解图形的性质和面积的计算方法，更快地解决问题。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论是高中数学中一种较为常见的解题思想，这种思想可以帮助我们在面对复杂问题时，将其分解成数个简单问题，从而使整个问题的解决变得更加容易。
下面我们将介绍分类讨论在高中数学解题中的应用。
1. 数列在数列的题目中，分类讨论常常被用来探讨数列的性质。
例如，在求等差数列或等比数列的前 $n$ 项和时，我们通常首先去求出 $n$ 为偶数和 $n$ 为奇数两种情况下的和，从而通过分类讨论得到这个数列的和。
2. 不等式在不等式的题目中，分类讨论可以帮助我们找到不等式的解集。
例如，如果我们要求解 $|x-2|\leq 5$ 的解集，我们可以将其拆分成两个方程，即 $x-2\leq 5$ 和 $2-x\leq 5$，从而得到 $x\in[-3,7]$。
3. 三角函数在三角函数的题目中，分类讨论常常被用来探讨三角函数的性质。
例如，在求$\sin(x)$ 的值域时，我们可以将其拆分成 $[-1,1]$ 的两个闭区间，即 $[-1,0]$ 和$[0,1]$，然后再讨论在这两个区间内 $\sin(x)$ 的取值情况。
在函数的题目中，分类讨论可以帮助我们找到函数的性质。
例如，在求一个函数的值域时，我们可以将其拆分成几个单调区间，然后再分类讨论每个单调区间的性质，从而得到整个函数的值域。
5. 几何在几何的题目中，分类讨论可以帮助我们找到几何图形的性质。
例如，在求一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以将其分类讨论为三种情况：底边等于其中一边，底边等于另一边，两边长度相等。
然后对于每一种情况进行讨论，从而得到这个三角形是否为等腰三角形。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中非常重要的一种思维方式，它在高中数学中的应用也非常广泛。
本文将从高中数学的各个领域入手，探讨分类讨论思想在高中数学中的具体应用。
一、代数在代数学中，分类讨论思想常常用于解决方程组、不等式和函数的性质等问题。
在解决代数方程组的问题时，我们经常会遇到由未知数或系数的范围条件所限制的方程组，这时可以通过分类讨论的方法来解决。
已知方程组a +b = 10ab = 16求解a和b的值。
我们可以先根据ab=16进行分类讨论，列出所有符合条件的数对，然后再通过a+b=10的条件筛选出符合条件的解，这样就可以很方便地得到方程组的解。
不等式问题中，分类讨论思想也常常发挥重要作用。
对于不等式|x-2|<3，我们可以通过分类讨论的方法得到其解集为-1<x<5。
在函数的性质问题中，分类讨论思想也经常被用于证明函数的单调性、奇偶性等性质。
代数学中分类讨论思想的应用丰富多样，为我们解决代数问题提供了有力的工具。
二、几何在几何学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。
几何问题常常涉及到对图形的分类和判断，这时就需要运用分类讨论的方法来解决。
对于平面几何中的定理证明问题，常常需要对几何形状进行分类讨论，从而得出定理的证明。
在证明平行四边形的性质时，就需要通过对各种情况的分类讨论来得到结论。
三、概率与统计在概率论与统计学中，分类讨论思想也有着广泛的应用。
概率论问题常常涉及到对事件的分类和计算，这时就需要通过分类讨论的方法来得出事件的概率。
在掷骰子问题中，我们可以通过对骰子点数的分类讨论来计算各种事件的概率。
统计学中也常常需要通过分类讨论的方法来得出数据的统计特征。
在描述某个总体的特征时，我们经常需要对数据进行分类讨论，从而得出总体的统计特征。
分类讨论思想在概率与统计学中有着重要的应用，它为我们解决概率与统计问题提供了有力的工具。
四、数论分类讨论思想在高中数学中有着广泛的应用。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是一种常用的数学解题方法，在高中数学中尤为常见。
它的基本思想就是将问题分成几类，针对每一类分别进行讨论和解决。
分类讨论思想通常适用于较为复杂的问题，包含多个条件或情况的情况。
由于这样的问题通常不易一步到位地解决，因此需要将其分解成几个相对简单的问题，再进行逐一解决。
在高中数学中，分类讨论思想的应用非常广泛。
下面我们就针对几种常见的情况，分别讨论其具体应用。
一、不等式问题在高中数学中，不等式问题是一个非常重要的内容。
而在解决不等式问题时，分类讨论思想是非常常见的解题方法。
例如：已知实数a,b，求证：|a+b|≤|a|+|b|解法：对a+b分两种情况进行讨论：1、a+b≥0时，|a+b|=a+b，|a|=a，|b|=b，故综上所述，无论a+b的值为正还是为负，都有|a+b|≤|a|+|b|。
二、函数问题设函数f(x)满足f(x+1)=3x，f(0)=a，求f(2)的值1、当x为整数时，设x=k，则f(k+1)=3k，故f(k+2)=3(k+1)，因此f(2)=3-2a2、当x为非整数时，设x=[k]+δ，其中δ为小数部分，[k]表示不超过k的最大整数，则有：f(x+1)=f([k]+1+δ)=3[k]+3δ注意到3δ<3，同时又有[k]+1>x，则有：f(x+1)<3x+3进而有f(x+2)<3(x-1)+3=3x，即f([k+2]+δ)<3[k+2]，因此f(2)=f([2]+δ)<3[2]+3=9综上所述，当x为整数时，f(2)=3-2a；当x为非整数时，f(2)<9。
因此，我们可以得出：f(2)=min(3-2a,9)三、几何问题已知正方形ABCD的边长为a，点P在AD边上，点Q在AB边上，且BP=CQ=b，求AP的长度解法：我们可以将正方形分成两个三角形ABP和CPD来讨论。
当P和Q都在AD边的同侧时，有AP=AD-b；当P和Q分别在AD边的两侧时，设QD=x，则AP=√(a²+(x-b)²)，又因为CD=a-x，因此有：a-x=b+√(a²+(x-b)²)解得x=ab/(a+b)，再代入AP的式子得：综上所述，我们可以通过分类讨论的方式解出AP的值。
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养江苏省口岸中学 韩 兵在高中数学中，对于数学思想的学习掌握是很重要的。
其中，分类讨论思想在高中数学解题教学中最为常用。
在高中数学解题中，常常会遇到一些问题包含多种情况，这就需要学生应用分类讨论思想，将问题细化成多个部分，最后综合起来，得到最终的结果。
一、明确分类讨论思想应用标准在应用分类讨论思想进行解题时，教师需要帮助学生明确其应用标准。
首先，学生要全面理解题意，明确题目中需要分类讨论的具体情况。
一般来说，在高中数学解题中，需要进行分类讨论的情况有以下几种：一些概念、公式、性质等条件具有分类的内容；含有参数的函数、方程、不等式等，因为参数的不确定性，会导致问题出现不同的情况；在进行几何问题的求解时，有些图形位置或图形形状无法确定，在不同情况下会有不同求解；排练组合问题中存在着一些特殊的情况。
第二，教师要教授学生应用分类讨论思想的方法。
科学严谨的分类讨论，必须达到一定的标准。
在应用分类讨论思想时，学生需要明确分类标准、全面讨论分类的各个情况，做到不漏项、不重复，在题目中所需进行的分类讨论有多种对象时，要对问题进行分层讨论，清晰化解题思路。
第三，应用分类讨论思想进行解题，需要在最后对分类的结果进行总结归纳。
分类讨论思想的逻辑性很强，同样的，应用分类讨论思想进行解题也需要学生具有较强的分析能力和逻辑思维能力，学生在解题时要锻炼自身的解题意识，准确判断题目是否真的需要进行分类讨论。
在具体的解题过程中，应用分类讨论思想进行函数解题的过程如下。
其一，由数学题目中包含的概念确定分类标准。
例如，求函数y=|x+1|+|x-2|-2的值域。
对于这道题的求解，首先可以根据绝对值符号中的部分确定函数的零点分别为x=-1和x=2，因此，对于这道题的分类讨论，就可以从其零点入手，将定义域分为三个部分，x<-1，-1≤x≤2和x>2，然后分别对每个部分对应y的值进行分类讨论：当x<-1时，y=-2x-1；当-1≤x≤2时，y=1；当x>2时，y=2x-3。
解不等式中的分类讨论思想
解不等式中的分类讨论思想不等式的分类讨论常常围绕以下几点展开：1．一元一次不等式的一次项系数．该系数的符号与不等式解集的形态有关，所以若含有参数则要进行讨论．2.一元二次不等式的二次项系数．该系数若含有参数时，要讨论系数的符号.3.二次不等式的判别式．判别式△的符号决定解集的类型，所以若不等式系数中含有参数时，往往要对判别式进行讨论．4．在二次函数f(x)与x轴有两个交点(x1，0)、(x2，0)的情况下，求f(x)>0或f(x)< 0的解集，若x1、x2中含有参数，要对x1与x2的大小关系进行讨论.5．指数、对数不等式的底数．指数、对数不等式的变形常与指数函数、对数函数的单调性有关，所以要对含有参数的底数分成(0,1)和(1，+∞)两个区间讨论.6绝对值不等式的讨论．与前面不同的是，绝对值不等式的分类讨论往往并非由于含有参数，而是为了运用绝对值本身的意义化不等式为不含绝对值的形式.例1 已知关于x的不等式k(x - 2) > x + 6 (1)解该不等式； (2)若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围．例2 解关于x的不等式kx2 + 6x + k – 8 < 0例3 关于实数x的不等式|x-2)1(2+a|≤2)1(2-a与x2 - 3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0(a∈R)的解集依次记为A与B，求使A⊆B的a的取值范围．例4 已知a > O,a ≠1，解不等式log a (4+3x-x 2) – log a (2x – 1) > log a 2.例5 已知|x+1| + |21x –1|≥a 的解集为R ，求实数a 的最大值．。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
在高中数学中，分类讨论思想是一种常见的解题方法。
通过将问题分解成若干类别，
并分别进行讨论和解决，可以使复杂的问题变得清晰明了。
分类讨论思想在高中数学解题
中的应用非常广泛，涉及到各个数学领域，包括代数、几何、概率统计等。
本文将重点探
讨分类讨论思想在高中数学解题中的应用，并通过具体的例子加以说明。
在代数中，分类讨论思想常常用于解决方程和不等式问题。
对于一个复杂的方程或不
等式，我们可以首先将其分解成几种基本情况，然后针对每种情况分别进行讨论和解决。
通过这种方式，可以大大简化复杂问题的解决过程，并提高解题的效率。
以解代数方程为例，假设有一个复杂的方程组，在进行求解的时候可以将方程的解空
间进行分类讨论。
首先可以讨论方程的系数、变量的关系等，并将方程分解成几种基本情况，然后分别进行求解。
这样可以避免陷入到复杂的计算过程中，同时也可以减少出错的
可能性。
在几何中，分类讨论思想常常用于解决图形的性质和问题。
对于一个复杂的几何图形，我们可以将其分解成若干个简单的部分，并分别讨论每个部分的性质和问题。
这样可以使
复杂的几何问题变得简单，同时也可以从不同的角度去分析和解决问题。
以求解几何问题为例，假设有一个复杂的几何图形，需要求解其面积或者体积等问题。
我们可以将图形分解成若干个简单的部分，例如三角形、矩形、圆等，并分别进行讨论和
解决。
通过这种方式，可以将原来复杂的问题转化成一系列简单的子问题，从而方便我们
进行分析和求解。
分类讨论思想在高中数学教学中的应用
分类讨论思想在高中数学教学中的应用分类讨论思想是一种在数学教学中广泛应用的教学方法，它通过将知识点进行分类、比较和讨论，帮助学生深入理解数学概念，提高解决问题的能力。
在高中数学教学中，分类讨论思想有着重要的应用价值，能够帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学学习的效果。
本文将从分类讨论思想的基本原理、在高中数学教学中的应用以及实际案例分析等方面展开讨论，以探讨分类讨论思想在高中数学教学中的具体应用和效果。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将问题或知识点进行分类、比较和讨论，以便于学生更深入地理解问题的本质和解决方法。
它主要包括以下几个基本原理：1.分类思维：将问题或知识点进行分类，找出彼此之间的共性和差异性，有利于加深对问题的理解。
2.比较思维：通过比较不同类别的问题或知识点，帮助学生更好地把握问题的本质和特点。
3.讨论思维：通过讨论问题或知识点，引导学生进行深入思考和交流，促进他们在思考问题中形成自己的见解和观点。
分类讨论思想强调的是培养学生的综合分析和解决问题的能力，而非简单地死记硬背知识点，因而广受教师和学生的欢迎。
在高中数学教学中，分类讨论思想常常被应用于解决复杂问题、巩固知识点和引发学生的思维激发学生的学习热情。
在高中数学教学中，分类讨论思想常常被运用于以下几个方面：1.巩固知识点通过将同一类别的知识点进行分类、比较和讨论，有利于加深学生对知识的理解和记忆，让他们在思考和讨论中领悟出知识的本质和内在联系，从而牢固掌握知识。
2.解决问题将一个复杂的数学问题进行分类、比较和讨论，可以帮助学生逐步理清问题的内在逻辑和解题思路，从而更有针对性地进行解答和讨论，提高解决问题的效率和准确度。
3.拓展思维通过分类讨论思想，教师可以引导学生对数学问题进行更深入的思考和探讨，培养他们的综合分析和创新解决问题的能力，激发他们了解数学的兴趣和学习的欲望。
在高中数学教学中，教师可以在教学中根据不同的知识点和教学目标选择不同的分类讨论方法，例如将数学问题按照解题方法进行分类，按照知识点的相似性进行比较，利用小组讨论的方式引导学生深入思考等，从而更好地将分类讨论思想融入到教学实践中，实现教学目标。
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为 4 的 边 作 为 母 线 ， 底 面 周 长 为 2 的 圆 柱 ； 其 体 积 等 于 V2=
4 π
.
故
形成
圆柱
的
体积
等
于
8 π
或
4 π
.
5． 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l， 使 l 与棱
AB， AD， AA1 所成的角都相等， 这样的直线 l 可以作 （ ）
+∞）．
点评： 含参数的恒成立不等式是否成立与参数取值范围
紧密相关， 分析参数对不等式两边代数式性质的影响， 确定
分类标准与层次是解题的关键， 要学会运用导数研究函数的
58 广东教育·高中 2015 年第 2 期
性质， 合理地进行转化．
三、 不等式中的轮换对称引发分类讨论
例 3. 已知定义在[0， 1]上 的 函 数 f（x）满 足 ： ①f（0）=f（1）=
二、 恒成立不等式中的参数引发分类讨论
例 2.
设函数
f（x）=
ex xex+1
. 当 x>0 时，
f
（x）=
1 ax2+1
恒成立,
求实数 a 的取值范围．
解析：
f′（x）＝
ex（1-ex） （xex+1）2
．
当 x∈（0, +∞）
时，
f′（x）<0，
f（x）
单调递减，
所 以 0<f（x）<f（0）=1．
2
的不等式与原不 等 式 相 同 ， 称 为 轮 换 对 称 不 等 式． 讨 论 x－y≤
1 2
及 x－y> 1 2
两种不同情形，
对| f（x）-f（y） |运用不 同的转化放
缩策略. 轮换对称不等式形式优美， 解题时要充分认识不等式
的性质与结构特征， 适当分类讨论， 灵活转化．
（作者单位:安徽省潜山野寨中学）
再将 3 组分到 3 个班，
共有
15A33=90 种不同的分配方案；
②将 5 名教师分成三组， 一组 3 人， 另两组都是 1 人，
有
C53·C21·C11 A22
=10
种分组方法，
再将 3 组分到 3 个班，
共有
10A33=150 种不同的分配方案.
由①②可知共有 90+60=150 种不同的分配方案， 故选 D．
h′（x）>0，
h（x）单 调
递增， h（x）>h（0）=0；
（ii）
若
0<a<
1 2
，
则 当 x∈（0,
1-2a a
）时，
h′（x）<0，
h（x）
单调递减， h（x）<h（0）=0. 于 是 ， 若 a>0， 不 等 式 （*） 成 立 当
且仅当 a≥ 1 ； 2
综上知，
实数 a 的取值范围是
[1 2
九个球， 从中任意取出两个， 则这两个球的编号之积为偶数
的概率是 （
）
A．
5 9
B．
1 6
C．
13 18
D．
5 18
解析： 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 九个球中， 任意
取 出 两 个 球 的 取 法 种 数 为C92=36种． 取 出 的 两 个 球 的 编 号 之 积 为偶数有两种情况： 一奇一偶； 两个偶数.
均匀分组， 即有两组人数相同， 为避免重复， 故要除以 A22 . 例 2. 用 1、 2、 3、 4、 5、 6 六 个 数 组 成 没 有 重 复 数 字 的
六 位 数 ， 其 中 5、 6 均 排 在 3 的 同 侧 ， 这 样 的 六 位 数 共 有
__________ 个 （用数字作答） ．
的值； （2） 求 （1+mx）n（1-x）6 展开式中含 x2 项的系数．
解 析 ： （1） 由 题 意 可 知 ，2n=32，则n=5；由 通 项 Tr+1=C5rmrxr （r=0， 1， …， 5）， 则 r=3， 所以 C53m3=80， 所以 m=2；
（2） （1+mx）n（1-x）6=（1+2x）5（1-x）6， 即 求 （1+2x）5（1-x）6
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
解析： 考查空间感和线线夹角的计算和判断， 重点考查
考生分类、 划归转化的能力.第一类： 通过点 A 位于三条棱之
间的直线有一条体对角线 AC1； 第二类： 在图形外部和每条棱 的外角和另 2 条棱夹角相等， 有 3 条， 合计 4 条.答案为 D.
（作者单位: 安徽省宿松程集中学）
况有 C41·C81=32种.
广东教育·高中 2015 年第 2 期 59
第八篇： 概率统计中的分类讨论思想
■ 洪汪宝
概率统计知识应用广泛， 是高考考查学生应用意识和应
用能力经久不衰的热点.不少的概率统计问题涉及到分类讨论，
认真审题， 弄清背景， 确定标准， 恰当分类， 不重不漏， 问
题即可迎刃而解.
一、 计数问题中的分类讨论
例 1. 将 5 名实习教师分配到高 一 年 级 的 3 个 班 实 习 ， 每
班至少 1 名， 则不同的分配方案有 （
）
A． 30 种
B． 60 种
C． 90 种
D． 150 种
解析： 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，
每班至少 1 名， 有 2 种情况：
①将 5 名教师分成三组， 一组 1 人， 另两组都是 2 人，
有
C51·C42·C22 A22
=15
种分组方法，
第七篇： 不等式中的分类讨论思想
■ 汪和平
不等式是课标的主干内容之一， 高考中往往与集合、 函
数、 导数等知识融合， 体现其工具性、 实用性和灵活性．不等
式问题中常常涉及到参数或未知量的分类讨论， 下面结合典
例予以说明．
一、 解参数不等式引发分类讨论
例 1． 解关于 x 的不等式： [（m+3）x-1]（x+1）>0 （m∈R）.
所 以 （1+mx）n（1-x）6展 开 式 中 含 x2 项 的 系 数 为15+（-60）+
40=5．
点评： 本题第 （1） 小题比较常规， 注意二项式系数之和
与各项系数之和的不同； 第 （2） 小题若直接展开比较麻烦，
而考虑 x2 项的来源比较简单， 要分成三类.
三、 概率问题中的分类讨论
例 4. 盒子 中 装 有 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 的
展开式中含 x2 项的系数.
当第一个括号中提供常数项， 则第二个括号中提供 x2 项，
其系数为 C50·C62（-1）2=15； 当 第 一 个 括 号 中 提 供 x 项 ， 则 第 二 个括号中提供x项， 其系数为2C51·C61（-1）1=-60； 当第一个括号 中提供 x2 项， 则第二个括号中提供常数项， 其系数为22C52·C60= 40.
0；
②对所有 x，
y∈[0， 1]，
且 x≠y，
有|
f（x）-f（y）
|<
1 2
| x-y |．
若对所有 x， y∈[0， 1]， | f（x）-f（y） |<k 恒成立， 则 k 的最小值
为( )
A． 1 2
B． 1 4
C. 1 2π
D． 1 8
解析：
不妨设
0≤y<x≤1.当
x－y≤
1 2
时，
|
f
等式的解题方法进行转化， 即战略上藐视参数．但在求解过程
中要审视参数对不等式类型、 同解变形、 解的结构等是否有
不确定性影响， 若有不确定性必须讨论， 即战术上重视参数．
本题中的参数先后对不等式的类型、 同解变形、 解的结构产
生不确定性影响， 故分三个层次对参数进行分类讨论， 同时
在 m+3<0 时又要进行二级分类．
（x）-f（y）
|<
1 2
| x-y |=
1 2
(x-y)≤
1 4
．当
x-y>
1 2
时，
| f（x）-f（y） |＝| f（x）-f（1）-f（y）
-f（0）
|≤|
f（x）-f（1）
|+|
f（y）-f（0）
|<
1 2
，
故
kmin＝
1 4
，
选答案 B．
点评： 不等式|f（x）-f（y）|< 1 | x-y |中的 x， y 互换位置， 得到
当 m<-4 时，
-1< 1 m+3
，
原不等式的解集为：{x | -1<
x< 1 }． m+3
综 上 知 ， 当 m <-4 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 ： {x | -1 <x <
1 m+3
}；
当 m=-4 时，
原不等式解集为 Ф；
当-4<m<-3 时，
原
不等式的解集为
{x |
1 m+3
点评： 本题是一道分配问题， 对于这类问题， 先考虑分
组， 再进行分配．分组要分两种情况进行讨论： ①将 5 名教师
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
分成三组， 一组 1 人， 另两组都是 2 人； ②将 5 名教师分成
三组， 一组 3 人， 另两组都是 1 人． 发现这两种情况都是部分