九年级数学锐角三角函数同步练习5

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九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ，在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米．故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -，解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。

第28章锐角三角函数练习 2022--2023学年人教版九年级数学下册

第28章锐角三角函数（练习）-人教版九年级下册一．选择题1．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，则AC的长为（）A．6B．2C．3D．93．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m（）A．8B．16C．4D．45．如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（）A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．无法确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝7．如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高（）A．CD＝AB•tan B B．CD＝AD•cot A C．CD＝AC•sin B D．CD＝BC•cos A 8．若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，下列的三角函数对应正确的是（）A．sin∠BAD＝B．cos∠BAD＝C．sin∠CAD＝D．tan∠CAD＝10．如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（+h）米C．m tanαD．米二．填空题11．计算：cos30°+sin60°＝．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，则sin∠ABC＝．13．已知锐角A满足tan（90°﹣A）＝，则∠A＝．14．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm．15．某学校准备改善原有户外楼梯AB的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角∠BAC的度数为30°（i为铅直高度与水平宽度的比）则楼梯底部A向外延伸的长度为米．（结果精确到0.1，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）三．解答题16．黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米至点D处，已知建筑物AB的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，tan C＝，BC＝12．（1）求DC边的长；（2）求cos B的值．19．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°．（1）请你求出AD的长度；（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．832．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A =3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒4．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（）A ．12B ．32C ．1D ．35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（） A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα6．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,37．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（）A．322B．332C．32D．333229．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE 的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．3D．3510．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（）A ．12B ．52C ．255D ．5511．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或4512．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题13．如图，河宽CD 为1003米，在C 处测得对岸A 点在C 点南偏西30°方向、对岸B 点在C 点南偏东45°方向，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）14．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =，3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， P 为对角线AC 上一动点，过线段BP 上的点M 作EF BP ⊥，交AB 边于点E ，交BC 边于点 F ，点N 为线段EF 的中点，若四边形BEPF 的面积为18，则线段BN 的最大值为 ________ ．17．3cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 18．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．19．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．20．如图，矩形ABCD中，AD=1，CD=3，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为__.三、解答题21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23．计算；（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒ （2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．25．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．26．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，C 是AD 中点，弦CE AB ⊥于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点；（2）若O 的半径为5，D 是BC 的中点，求弦CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠ 90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠ ,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒， ,FAG BCG ∴∠=∠ ,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽ ,AF FGEF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+= AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()((2222,x x ∴=+235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠ 1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,m m ∴=⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==故选：.C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．D解析：D 【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：2222345c a b =++=，∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．3．A解析：A【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x−10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x−10，∴CE＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EFCE ＝-10xx，∴x＝（x−10）tan 50°，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．5．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC=，BC∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.6．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【详解】⊥轴于D点，解：如图，过A点作AD x∆的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30．Rt OAB30AOD ∴∠=︒， 12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====， 2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(3，1)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．A解析：A 【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==，∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())24sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．8．A解析：A【分析】分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC 的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．【详解】解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，∴OH ∥AB ，又O 为中点，∴H 为BC 的中点，∴BH=12BC=32∵GI ⊥OH ，∴四边形BHIG 为矩形，∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt △OGI 中，32cos 2GI OG OGI ==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 9．B解析：B【分析】先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝103tan303CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝1033⨯＝15（m ）．故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．10．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB ＝225AC BC a +=， ∴cosA ＝555AC AB a==，故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．11．C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =，．sin ∠AOD=2，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=2，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.12．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC ∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．100+100【分析】根据正切的定义求出AD 根据等腰直角三角形的性质求出BD进而得到AB的长【详解】在Rt△ACD中tan∠ACD＝则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米）在Rt△CDB解析：【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD，则AD＝CD×tan∠ACD＝100（米），在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝∴AB＝AD+BD＝（故答案为：（【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质求解【详解】解：∵AB=4在x轴正半轴上∴图1中B坐标为（40）在图2中过B作BE⊥x轴于点E那么OE=4×cos30°=2BE=2在图2中B点的坐标为（22）；易知图1中点C解析：()2⎝⎭【分析】根据旋转的性质求解．【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°BE=2，在图2中B点的坐标为（2）；易知图1中点C 的坐标为（4，3），在图2中，设CD 与y 轴交于点M ，作CN ⊥y 轴于点N ，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cos30°=23，那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，∴MN=CM•sin30°=43-，CN=CM•cos30°=433-，则ON=OM+MN=334+， ∴图2中C 点的坐标为（433-，334+）．【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．15．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．16．【分析】在△ABC 中求出AC 与AB 的长点P 在AC 上则6≤BP≤8由点N 为线段EF 的中点∠ABC=90º则EF=2BN 根据四边形BEPF 的面积为18利用对角线乘积的一半求面积得BN 与PB 成反比例PB 最解析：154【分析】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=求出AC 与AB 的长，点P 在AC 上则6≤BP≤8，由点N 为线段EF 的中点，∠ABC=90º，则EF=2BN ，根据四边形BEPF 的面积为18，EF BP ⊥利用对角线乘积的一半求面积得，PB BN=18，BN 与PB 成反比例， PB 最小时，BN 最大，当PB ⊥AC 时，PB 最小，求出最小值即可．【详解】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， ∵22sin cos 1CAB CAB ∠+∠=，∴3sin 5CAB ∠=，由正弦函数定义BC sin=ACCAB∠，∴AC=BC6==103sin5CAB∠，由勾股定理得AB=2222AC1068BC-=-=，点P在AC上则6≤BP≤8，∵点N为线段EF的中点，由∠ABC=90º，∴EF=2BN，∵四边形BEPF的面积为18，EF BP⊥，∴S四边形EBFP=11PB EF=PB2BN=PB BN=1822⨯，∴PB BN=18，∴18BN=PB，当PB最小时，BN最大，当PB⊥AC时，PB最小，即S△ABC=11AB BC=AC BP 22BP最小=AB BC8624== AC105⨯BN最大=1815= 2445故答案为：154．【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形与点到直线距离最短问题，掌握锐角三角函数及其之间的关系，会用锐角三角函数解直角三角形，掌握垂线段最短，会利用面积或勾股定理求BP的最小值，解题时要理解BP最小，BN最大是解题关键．17．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°解析：20°＜∠A＜30°．【详解】∵3＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．18．【分析】当m从变化到时点N相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM如图1点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=解析：23 3【分析】当m从13变化到23时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=13时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的13，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=23时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的23，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．【详解】解：①当m=13时，连接PM，如图1，∠APM=13×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×33=33．②当m=23时，连接PM，如图2，∠APM=360°-23×360°=120°，同理可得：3综合①、②可得：点N相应移动的路径长为33+33=33．23【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考解析：（2+23【分析】由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【详解】在Rt△ABC中，2333BCACtanθ===∴AC+BC=(2+23)米，∴地毯的面积至少需要1×（2+23=（2+232）；故答案为：（2+23）．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．20．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=解析：2π﹣2【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=BC AD AB CD == ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 21601122360222ππ⋅⨯=+-=-．故答案为：2π﹣2．【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式．三、解答题21．（1）见解析；（26π- 【分析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案．（2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =3=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝326π-．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．22．（1）该圆的半径为5m ．；（2）2米．【分析】（1）连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，利用垂径定理求出AD ，再利用勾股定理求出圆的半径．（2）过点O 作OE ⊥AB'，利用垂径定理求出A'E 的长，再利用勾股定理求出OE 的长，然后求出水面上涨的高度．【详解】（1）解：连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB∴116322AD AB ==⨯= ，设圆的半径为r ，OD=r-1在Rt △AOD 中 OD 2+AD 2=AO 2即（r-1）2+9=r 2．解之：r=5．∴该圆的半径为5m ．（2）解：过点O 作OE ⊥AB'∴A'E=1''2A B =4，∴2222''543OEA O A E ， ∴水面上涨的高度为5-3=2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（132）231【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式123342322232=⨯-+⨯ 2113=--+ 3=（2）原式()23123221312=-+-32231=+ 231=．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键． 24．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度．【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12；（2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论；（3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上．【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+，得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴=== 4312AM MO OA ∴=+=+．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为123+1243-()3不在，理由如下：假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．连接PO′，OO′，则有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°，所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．设沿直线y=-32x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，在Rt△OPE中，tanOEOPEOP∠=，在Rt△OAO′中，tanOAAO OAO'∠='，所以OE OAOP AO'=，即8612AO='，所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2解得：a=394，所以将直线y=-32x+12沿y轴向下平移94单位得直线y=-32x+394，将矩形ABCO沿直线y=-32x+394折叠，点O恰好落在边AB上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．25．10．【分析】以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE ，根据旋转变换的性质得到∠DEB ＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ，DE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BP ＝AB•cos ∠ABP ＝3，∠DEA ＝∠ABC ＝60°，∴∠DEB ＝30°＋60°＝90°，BE ＝2BP ＝6，在Rt △BED 中，BD 22ED BE ＋＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．26．（1）见解析；（2）53CE= 【分析】（1）先证明CAD ACE ∠=∠可得PA=PC ，然再证明PC=PQ ，即可得到P 是AQ 的中点；（2）首先证明：△CAQC0△CB4，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC 、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH 的长，则可以求得CE 的长．【详解】（1）证明：∵CE AB ⊥，AB 是直径∴AC AE =又∵AC CD =∴AE CD =∴CAD ACE ∠=∠∴AP CP =∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，∴90ACE BCP CAD CQA ∠+∠=∠+∠=°∴BCP CQA ∠=∠∴CP PQ =∴AP PQ =即P 是线段AQ 的中点；（2）∵C 是AD 中点, D 是BC 的中点∴==AC CD DB ，AB 是直径∴90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∠CAB=60°又∵5210AB =⨯=∴5AC =，∴BC ==又∵CE AB ⊥,∠CAB=60°∴CH=AC·sin60°∴22CE CH === 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧的中点的性质以及三角形的面积公式，灵活应用相关相关性质是解答本题的关键．。

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。

初三年级数学下学期同步练习：28.1锐角三角函数

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
初三年级数学下学期同步练习：28.1 锐角三角函数
大家在遇到各种类型的题型时，能否沉着应对，关键在于平时多做练习，下文是由为大家推荐的初三年级数学下学期同步练习，一定要认真对待哦!
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分)
1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100 米，那幺他上升的最大高度是
(D)
A.30 米
B.10 米
C. 米
D. 米
2.如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC 为，则两树间的坡面距离AB 为
(C)
A. B. C. D.
3.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)
在她家北偏东60 度500m 处，那幺水塔所在的位置到公路的距离AB 是( A)
A.250m
B. m
C. m
D. m
4.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是(C)
A. 2 3
B. 3 2
C. 3 4
D. 4 3
( 第2 题) ( 第3 题) ( 第4 题)
5.如果&ang;A 是锐角，且，那幺&ang;A=(B)
今天的努力是为了明天的幸福。

第7章-专题16用锐角三角函数解决问题-同步学与练(含解析)-数学苏科版九年级下册

专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）知识点2．仰角、俯角问题（重点）知识点3．方向角问题知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题题型2．利用锐角三角函数解航线问题题型3．利用锐角三角函数进行方案设计题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题考法2．方向角问题考法3．坡度问题【方法四】成果评定法【学习目标】1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）1．如图，坡面的铅垂高度（A）和水平宽度（B）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作A，即B．坡度通常写成DC的形式，如i=1︰1.5．2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作B．坡度C与坡角B之间的关系：B．【例1】．（2023秋•盘州市期中）1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数坡角ADC据：sin430.68cos430.73ta430.93，，】︒=︒=︒=n，，；sin310.52cos310.86tan310.60︒=︒=︒=知识点2．仰角、俯角问题（重点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例2】．（2023秋•成都期中）2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠= ，求小李到古塔的水平距离即BC的长. （结果精确到1m，参考数据：75AOC≈≈）1.73知识点3．方向角问题1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位．角A的取值范围为0360θ≤<【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）3．如图，海岸边上有三个观测站,,A B C ，观测站B 在观测站A 的东北方向，观测站C 在观测站B 的正东方向，观测站,B C 之间的距离为30海里．某天，观测站,,A B C 同时收到一艘轮船在D 处发出的求救信号，经分析，D 在观测站C 的南偏东15︒方向，在观测站B 的东南方向，在观测站A 的正东方向．(1)求CD 的长度．（结果精确到个位）(2)目前只有观测站A 与B 配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B 的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C 处，才能再去D 处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A 的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D 处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 处？（参考数据：1.732≈≈）知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）【例4】．（2023•秦都区校级模拟）4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【例5】．（2023秋•大东区期末）5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈，1.732)≈【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题（2023秋•长春期末）6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E C A 、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 27 1.7︒==】．（2023秋•闵行区月考）7．小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．题型2．利用锐角三角函数解航线问题（2023上·山东东营·九年级统考期中）8．如图，灯塔A 周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C 处，测得灯塔A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan 320.625︒≈，sin 580.848︒≈，cos580.530︒≈，tan 58 1.6︒≈）（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）9．嘉淇看到这样一道题目：如图，某巡逻船在A 处测得一艘敌舰在北偏东31︒的B 处，卫星测得AB 相距6海里，巡逻船静止不动，6分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东57.6︒的C 处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为30海里/小时．（结果保留整数，参考数据：tan310.6︒≈，tan 57.6 1.6︒≈，tan 26.60.5≈° 2.236≈）嘉淇过点C 作CD AB ⊥于D ，设CD x =海里，请你帮她接着解决以下问题：(1)BD =______里（用含用x 的代数式表示）；(2)求敌舰在C 处时与巡逻船的距离．题型3．利用锐角三角函数进行方案设计（2023•东台市一模）10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道120AB cm = ,两扇活页门的宽60OC OB cm == ,点B 固定，当点C 在AB 上左右运动时，OC 与OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若50OBC ∠=︒,求AC 的长；(2)当点C 从点A 向右运动60cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长.（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）图1 图2（2023•洪泽区二模）11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10cm AB =，5cm =BC ．求零件的截面面积．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈）（2023•滨湖区一模）12．如图，某工程队从A 处沿正北方向铺设了184米轨道到达B 处．某同学在博物馆C 测得A 处在博物馆C 的南偏东27︒方向，B 处在博物馆C 的东南方向．（参考数据：sin 270.45︒≈︒，cos270.90︒≈︒，tan 270.50︒= 2.45=．）(1)请计算博物馆C 到B 处的距离；（结果保留根号）(2)博物馆C 周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B 处时，只需沿北偏东15︒的BE 方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）（2023•苏州）13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题（2023•建湖县三模）14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧AB ，弦AB 为水平面，设弧AB 所在圆的半径为r ，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A 处测得桥拱上点C 处的仰角为30︒，BC a =，则r = ．（用含a 的代数式表示）(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：50B ∠=︒，8.8AC =米，求半径r （结果精确到0.1）．（参考数据：sin 200.34cos 200.94tan 200.36sin 500.77,cos500.64tan 50 1.19︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，）(3)如图④，在弧AB 上任取一点C （不与A B 、重合），作CD AB ⊥于点D ，若2CD =，3BD =，8AD =，求r 的值．【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题（2023•南通）15．如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（）A．B．C．D．（2023•淮安）16．根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：点Q 为古塔底面圆圆心，测角仪高度15m AB CD ==.，在B D 、处分别测得古塔顶端的仰角为3245,9m BD ︒︒=、，测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离12.9m DG =．点B D G Q 、、、在同一条直线上．参考数据sin320.530,cos320.848,tan320.625︒≈︒≈︒≈项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．（2023•泰州）17．如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）考法2．方向角问题（2022•南京）18．如图，灯塔B 位于港口A 的北偏东58︒方向，且A ，B 之间的距离为30km ，灯塔C 位于灯塔B 的正东方向，且B ，C 之间的距离为10km ．一艘轮船从港口A 出发，沿正南方向航行到达D 处，测得灯塔C 在北偏东37︒方向上，这时，D 处距离港口A 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）考法3．坡度问题（2023•淄博）19．如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625（2023•深圳）20．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30° 1.732≈ 1.414≈）（）A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J（2023•辽宁）21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）（2023•大庆）22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）【方法四】成果评定法一、选择题（共5小题）（2023•苏州一模）23．如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（）A ．30tan α米B ．30tan α米C ．30sin α米D ．30sin α米（2023秋•沛县校级月考）24．如图，滑雪场有一坡角20︒的滑雪道，滑雪道AC 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（）米．A ．200cos 20︒B ．200sin 20︒C ．200cos 20︒D ．200sin 20︒（2023秋•淮阴区期中）25．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC a =米，35PCA ∠=︒，则小河宽PA 等于（）A ．sin 35a ⋅︒米B ．sin 55a ⋅︒米C ．tan 35a ⋅︒米D ．tan 55a ⋅︒米（2023•梁溪区校级二模）26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角120BAD ∠=︒，当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90︒的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离为（）A B ．200厘米C D ．170厘米（2023秋•江阴市月考）27．如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为)1海里．观测站B 到AC 的距离BP 是（）AB ．1C ．2D 二、填空题（共5小题）（2023秋•通州区校级月考）28．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2m BC =， 5.8m CD =，30DCF ∠=o ，则车位所占的宽度EF 为米． 1.7≈，结果精确到1m)（2023秋•靖江市期中）29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．（2023•靖江市模拟）30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．（2023秋•无锡月考）31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．（2023秋•海门市校级月考）32．已知B港口位于A观测点北偏东45︒方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75︒方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 km ．三、解答题（共7小题）（2023秋•通州区校级月考）33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，E ，D 三点共线且头部到斜坡的距离GD 为1.05m ，上身与大腿夹角53GFE ∠=︒，膝盖与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，30EMD ∠=︒(1)求此滑雪运动员的小腿ED 的长度；(2)求此运动员的身高．（运动员身高由GF EF DE 、、三条线段构成；参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）（2023•灌云县校级模拟）34．如图，建筑物BC 的顶部有一个广告牌AB ，从距离建筑物15米的D 处测得广告牌的顶部A 的仰角为39︒，测得广告牌的底部B 的仰角为30︒，求广告牌AB 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.73≈．（2022秋•高邮市期末）35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为n ︒时，箱盖DCE 落在DC E ''的位置（如图2），100cm DC =，20cm CE =，40cm EB =．(1)若72n =，求点C 、C '两点之间的距离；（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈）(2)若60n =，求E 、E '两点之间的距离．（2023•阜宁县二模）36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈ ，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos 665︒≈，9tan 664︒≈）（2023秋•泰兴市期中）37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l 旁设一个菜鸟驿站点P ，使驿站到公路同侧的A 、B 两个小区的距离相等．(1)如图 1，当A 小区到公路l 的距离300m AC =， B 小区到公路l 的距离400m BD =，且700m CD =时，求驿站点P 到A 小区的距离；(2)如图2，若A 、B 两个小区到公路l 的距离均为a ，CD 的长度为2a ，求APB ∠的度数；(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A 小区到公路l 的距离a 与B 小区到公路l 的距离b 之和等于CD 的长度时，APB ∠始终是直角．请利用图3加以说明．（2023秋•启东市期中）38．如图，上午8时，一条船从A 处测得灯塔C 在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C 的正东方向D 处?（2023•栖霞区校级三模）39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈参考答案：1．2.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在Rt ABC △中，求出AC 的长，再在Rt ADC ，由tan AC ADC CD ∠=，即可求出CD 的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【详解】解：在Rt ABC △中，sin AC ABC AB∠=，()sin4320.68 1.36m AC AB ∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC 中，tan AC ADC CD ∠=， ∴()1.36 2.3m tan 310.60AC CD ==≈︒，∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．2．21【分析】过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据题意可得：40AO =米，20OC =米，OE BD =，OE BD ∥，从而可得45EOC OCD ∠=∠=︒，进而可得30AOE ∠=︒，然后在Rt OCD △中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，再在Rt AOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，从而求出BD 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，由题意得：8540AO =⨯=（米），4520OC =⨯=（米），OE BD =，OE BD∥∴45EOC OCD ∠=∠=︒，∵75AOC ∠=︒，∴30AOE AOC EOC ∠=∠-∠=︒，在Rt OCD △中， cos 4520CD OC =⋅︒==（米），在Rt AOE 中，cos3040OE AO =⋅︒==，∴OE BD ==，∴21BC BD CD =-=-≈（米），∴小李到古塔的水平距离即BC 的长约为21米．3．(1)42（海里）；(2)A 观测站搜救艇可以更快到达D 处．【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理15︒是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以90B Ð=°，15C ∠=︒，1AB =的Rt ABC △中，作AD BC =．∵15C DAC ∠=∠=︒∴30ADB C DAC ∠=∠+∠=︒∴在Rt △ABD 中，1AB =，∴由锐角三角函数可得BD =2AD CD ==，∴2BC =+，在Rt ABC △中，tan tan152AB C BC ∠=︒===．如图，过点D 作ED BC ⊥于点E ，由题意可得，45A HBD BDH ∠=∠=∠=︒，15FCD DC ∠=∠E =︒30BC HF ==．设CE x =，则30BE BH ED x ===+，∴在Rt EDC 中，tan tan152CE CDE ED∠=︒==∴(2CE ED =⋅∴(30)(2x x =+1)x =-，∴1)CE =，301)1)ED =+=．由勾股定理得，222CE ED CD +=∴42CD ==≈（海里）．（2）由（1）知，1)BH ED ==，∴从A 观测站行驶距离：21)AD BH ==（海里）时间：11) 2.732t ==≈（小时）；从B 观测站行驶距离1)BC CD +=（海里）时间：20.5 1.5 2.914t ==≈（小时）∵12t t <，∴A 观测站的搜救艇可以更快到达D 处．4．约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒（米），∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．(1)车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m(2)没有碰头的危险．理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E ''⊥于点F ，根据题意求出60C B F ''∠=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt AB E '△中，1m AB AB '==，27B AD '∠=︒，sin B E B AE AB ''∠='，()sin 1sin 270.454m B E AB B AE '''∴=⋅∠=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：()0.454 1.7 2.154 2.15m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E ''⊥于点F ，在Rt AB E '△中，27B AD '∠=︒，则902763AB E '∠=︒-︒=︒，123AB C ABC '∠=∠=︒ ，60C B F ''∴∠=︒，0.6m B C BC ''== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠⨯''=''='，∴点C '到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m -=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．6．塔AB 的高度约为11.1m【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设m AB h =，根据题意得：()m,3m DF EA h DE FA ====则()3m BF h =-，然后在Rt BDF △中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【详解】由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC △中，90,30DEC DCE ∠=︒∠=︒，3m DE =，CE ∴==BA EA ⊥ ，在Rt ABC △中，m,45AB h BCA =∠=︒，m tan45AB AC h ∴=︒=()mAE EC AC h ∴=+=+过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由题意得：()m,3m DF EA h DE FA ==+==，m AB h = ，()3m BF AB AF h ∴=-=-，在Rt BDF △中，27BDF ∠=︒，()tan270.5m BF DF h ∴=⋅︒=()30.5h h ∴-=，解得：611.1h ==11.1m AB ∴=∴塔AB 的高度约为11.1m ．7．31.5+【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B ' 和Rt MN B ' 中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan β=)210BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,在Rt MM B ' 中，()1·tan 2103BM MM x α==+'；在Rt MN B ' 中，·tan BM MN β'=，∵sin 13β=，∴cos β=，∴tan β=∴)210BM x =+，∴())12202103x x +=+，解得：35x =，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m ．8．渔船没有触礁的危险．【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点A 作AD BC ⊥，分别解Rt ADC 和Rt ADB ，求出AD 的长，即可得出结论．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，8BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴8BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6258AD x ABD BD x ∠==≈+，∴13x ≈，∴13AD ≈，∵1312>，∴渔船没有触礁的危险．9．(1)()62x -；(2)敌舰在C 【分析】(1)在Rt ADC 中运用1tan 2CD CAD AD ∠==，可求出2AD x =，再根据线段的和差即可求解； (2)运用勾股定理求出3CD =或95，再根据勾股定理求出AC 的长即可求解；本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．【详解】（1）解：根据题意得， 57.63126.6CAB ∠=︒-︒=︒，630360BC =⨯=(海里)，在Rt ADC 中，CD x =海里，∴1tan 2CD CAD AD ∠==，∴2AD x =，∴()62BD AB AD x =-=-海里，故答案为：()62x -；（2）解：∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴222BD CD BC +=，即()222623x x -+=，解得13x =，295x =，∵CD BC <，∴13x =不合，舍去，∴95x =，又222AD CD AC +=，即()2222x x AC +=，∴AC =(负值舍去)，∴AC =海里) ，答：敌舰在C 10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.【详解】【分析】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △OBH 中，由cos ∠OBC=BH OB，求得BH 的长，再根据AC=AB －2BH 即可求得AC 的长；（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧OC 的长，即点O 在此过程中运动的路径长.【详解】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，∵OC=OB=60，∴CH=BH ，在Rt △OBH 中，∵ cos ∠OBC=BH OB，∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB －2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC 的长约为43.2cm ；（2）∵AC=60，∴BC=60 ，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60 ，∴△OBC 是等边三角形，∴ OC 的长=6060180π⨯=20 3.14⨯ =62.8，∴点O 在此过程中运动的路径长约为62.8cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.11．截面的面积为250cm ．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得AE ，BE 的长，再解直角三角形求解BF ，FC 的长，进而可求解四边形EFDA ，ABE ，BCF △的面积，根据截面的面积ABE BCF EFDA S S S =-- 四边形计算可求解．【详解】解：四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，∴AD EF ∥，90E F ∠=∠=︒，53BAD EBA ∴∠=∠=︒，在Rt ABE △中，90E ∠=︒，10cm AB =，53EBA ∠=︒，sin 0.80AE EBA AB∴∠=≈，cos 0.60BE EBA AB ∠=≈，8AE ∴=，6BE =，90ABC ∠=︒ ，9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒，9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCF 中，90F ∠=︒，6BC cm =，sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC BCF BC∠=≈，4BF ∴=，3=FC ，6410EF ∴=+=，()281080cm EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯=四边形，()2118624cm 22ABE S AE BE =⋅=⨯⨯= ，()211436cm 22BCF S BF CF =⋅=⨯⨯= ，∴截面的面积()28024650cm ABE BCF EFDA S S S =--=--= 四边形．答：截面的面积为250cm ．12．(1)博物馆C 到B 处的距离约为(2)博物馆C 周围至少225米内不能铺设轨道【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C 作CG AB ⊥于点G ，证明BCG 是等腰直角三角形，得到CG BG =，设CG BG x ==，则BC =，再由锐角三角函数定义得2AG x =，再由2184x x =+，问题可解；（2）过点C 作CH BE ⊥于点H ，根据题意得60CBE CBG DBE ∠=∠+∠=︒，利用锐角三角函数的定义求出CH 的长即可．【详解】（1）解：如图1，过点C 作CG AB ⊥于点G ，在Rt BCG 中，45CBG ∠=︒，。

锐角三角函数同步练习(应用题)

第28章锐角三角函数练习题姓名：________1.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取23=1. 732，结果保留两位小数）2.(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)3．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC ．4．(2009年云南省)如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请5.（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.CB AP600米山顶发射架 45° AB C D 60°（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 6．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°CD 的高度．（参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）7．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）8.（2009年福州）如，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .9．（2009年日照）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．10．（2009贺州）如图，︒=∠25MON ，矩形ABCD 的对角线ON AC ⊥，边BC 在OM 上，当AC=3时，AD11.（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离． A CD EFBCG E DB A F ACD AO25°CBM NDC A12. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．13. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 14.（2009呼和浩特）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足5075α°≤≤°．如图，现有一个长6m 的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m ．（1）求梯子顶端B 距离墙角C（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（3 1.732≈，2 1.414≈）15.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2316.（2009年常德市）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．17.（2009年包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）18．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．19.（2009年台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的20．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，B D CA O1 1yx图11 BC A 墙地面 C BA5°D乙C B A甲EC∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积.21.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）22. (2009年金华市) 如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离ABADCD24.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．第28章锐角三角函数练习题参考答案1. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米2.解：如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB 又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60A BCD图1 图2DABCEF∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米. 3. 解：在Rt PAB △中，∵tan AB PA α=， ∴6001000m 3tan 5AB PA α===．在Rt PAC △中， ∵tan ACPAβ=， ∴5tan 1000625m 8AC PA β===． ∴62560025m BC =-=．答：发射架高为25m ．4. 解：过点A 作AE ∥BD 交DC 的延长线于点E ，则∠AEC =∠BDC =90°．∵45EAC ∠=，20AE BD ==， ∴20EC =．∵tan tan ABADB EAD BD∠=∠=， ∴20tan 60203AB =⋅=2032014.6CD ED EC AB EC =-=-=≈（米）．答：树高约为14.6米．5. 解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-. ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+. ∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度. 6. 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥，45°AB ED60°C∴90CEF ∠=°，设CE x =，在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°；在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°；∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）．答：古塔的高度约是39米．7. （1）解：∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°．又∵10DBC ∠=°， ∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°．（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴111005022GD BD ==⨯=． 3cos301005032GB BD ==⨯=°． A CDEFBG在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，∴50503AB AG GB =+=+（米）答：索道长50503+米． 8. （1）如图（2）5;（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552); （4）21. 9. 延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ．在Rt △AEC 中，AC ＝10，由坡比为1: 3可知：∠CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×21＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×23＝53 ．在Rt △ABE 中，BE ＝22AE AB -＝()223514-=11．∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）．答：旗杆的高度为6米． 10. 解：延长AC 交 ON 于点E ， ∵AC ⊥ON ， ∠OEC=90°，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，A D=BC ，又∵∠OCE=∠ACB ， ∴∠BAC=∠O=25°，在Rt △ABC 中，AC=3， ∴BC=AC· ∴ADABCED A25°CBMDECAD11. 如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D .在Rt CDA △中，3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°.∴•=AC CD 31560sin 30sin =︒•=∠CAD ，︒•=∠•=60cos 30cos CAD AC AD =15.又在Rt CDB△中，22270BC BD BC CD ==，-，()227015365BD ∴=-=.651550AB BD AD ∴=-=-=，答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.12. （1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，．在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，，则问题转化为求证︒=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．BD CAO 1 1yE13.14. 解：（1）在Rt ACB △中，（2）在Rt ACB △中，31cos 62AC AB α=== ∴可以安全使用.15.. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米16. 设山高BC =x ，则AB =12x ，由tan 3012002BC x BDx==+，得1)400x=，解得1)16211x ==≈米17.解：（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，根据题意，得6030DBC DAE αβ∠=∠=∠=∠=°，°，36AE BC EC AB ===，米，设DE x =，则36DC DE EC x =+=+，在Rt AED △中，tan tan 30DEDAE AE∠==°， AE BC AE ∴=∴==，，在Rt DCB △中，tan tan 60DC DBC BC ∠===°，3361854x x x DC ∴=+=∴=，，（米）．（2）BC AE ==，18x =，1818 1.73231.18BC ∴==⨯≈（米）．18. 解：如图，过B 点作BD⊥AC 于DD乙CBA 甲 E∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° 设BD ＝x,在Rt△ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt△BDC 中,BD ＝DC ＝x BC ＝2x又AD ＝5×2＝10 ∴3103x x +=得5(31)x =- ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)-海里19. 解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）．（2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）；在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 20解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．553CE BE ∴=∴=，．452103A AB BD BE ∠=∴===°，．.21. 解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303xx+30+x=3∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的22. 解：由题意可知：AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB =AB AC ∴AC = ABsin ∠ACB = = ∴CD = AC +AD23. （1）证明：在矩形ABCD 中，ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 在直角ADF △中，在直角DFE △中，10sin 210EF EDF DE ∴∠===。

苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题同步习题

7.6用锐角三角函数解决问题同步习题一．选择题1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（）m．A．40B．45C．30+D．302．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD ＝2CD，设斜坡AC的坡度为i AC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为i AB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（）A．i AC＝2i AB B．∠ACD＝2∠ABD C．2i AC＝i AB D．2∠ACD＝∠ABD 4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE 平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A．11.1米B．11.8米C．12.0米D．12.6米5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣56．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．2.7B．3.4C．2.5D．3.17．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（）A．3米B．3米C．（3﹣2）米D．（3﹣3）米8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A 处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）A．27米B．31米C．48米D．52米9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20二．填空题11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为m．12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．三．解答题16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E 的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，求大楼AB的高．17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠BDE＝30°，BD＝30m，∴BE＝BD＝15m，∵AD＝30m，∴CE＝30m，∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．故选：B．2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．3．解：斜坡AC的坡度i AC＝，斜坡AB的坡度i AB＝，∵BD＝2CD，∴i AC＝2i AB，A正确，C错误；∠ACD≠2∠ABD，B错误；2∠ACD≠∠ABD，D错误；故选：A．4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15，在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D．5．解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．6．解：根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．7．解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，则AH＝AB•sin∠ABH＝6×＝3，∵∠E＝45°，∴AE＝AH＝×3＝3，故选：A．8．解：设CE＝x米，∵斜坡BC的坡度为2：1，∴BE＝2x米，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，则＝0.7，解得，x＝21，∴DE＝39+x＝60，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE＝69，∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），故选：A．9．解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴BC＝AB＝12，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），故选：B．10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．二．填空题11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，∵cos∠A＝，∴AB＝＝＝6（m），故答案为：6．12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，故答案为：15．13．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠P AC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△P AC中，＝tan∠P AC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．三．解答题16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度，∴BG：CG＝3：4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．∵在Rt△BCF中，，∴设BF＝k，则，．又∵，∴k＝8，∴BF＝8，．∵DF＝DC+CF，∴．∵在Rt△ADF中，，∴（米）．∵AB＝AF﹣BF，∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．18．解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝16，∴BE＝x﹣16，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣16），∴2（x﹣16）＝x，解得：x＝32（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝32×＝，∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．。

浙教新版九年级下册《1.2_锐角三角函数的计算》2024年同步练习卷(4)+答案解析

浙教新版九年级下册《1.2锐角三角函数的计算》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算的值约是()A. B.C.D.2.如图，在中，，，若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是()A. B.C.D.3.如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点．已知山高千米，小路千米．用科学计算器计算坡角的度数，下列按键顺序正确的是()A.B.C.D.4.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为()A.24米B.20米C.16米D.12米二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.用“>”或“<”填空：______可用计算器计算6.如图，某营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度BC 为______米．参考数据：，，7.在中，，，，那么______精确到8.如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______参考数据：，，9.用计算器计算，，，…，的值，总结规律，并利用此规律比较当时，与的大小，即______三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图，在中，，求边AB上的高精确到11.本小题8分如图，游艇的航速为，它从灯塔S正南方向的点A处向正东方向航行至点B处需要，且在点B处测得灯塔S在北偏西方向，求BS的长精确到12.本小题8分用计算器求下列各式的值：精确到；13.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，，，，，求AB的长结果取整数，参考数据：，，答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：根据余弦的增减性以及，可以进行估算．本题考查余弦函数，解题关键是明确余弦函数的增减性以及特殊角的三角函数值．2.【答案】D【解析】解：，，故选：根据正切的定义求出AC的表达式即可得出答案．本题考查了计算器，根据正切的定义求出AC的表达式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：，度数的按键顺序为：故选：根据正弦函数的定义得出，从而知度数的按键顺序，即可得出答案．本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握正弦函数的定义和三角函数的计算器使用是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：，米，，，把米，代入得，米．故选：直接根据锐角三角函数的定义可知，，把米，代入进行计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5.【答案】>【解析】解：，故答案为：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案．本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数．6.【答案】【解析】解：由题意可得：则故答案为：直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．7.【答案】【解析】解：，，故答案为：利用正弦的定义得到，则，然后进行近似计算．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．也考查了解直角三角形．8.【答案】8【解析】解：如图：，，，木杆折断之前高度故答案为在中，由AC的长及的值可得出AB的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形选择适当的三角函数求出三角形边长是解题的关键．9.【答案】>【解析】解：用计算器计算，，，…，的值，可发现在到之间，角越大，余弦值越小；故当时，与的大小，即故答案为熟练应用计算器求值，总结三角函数的规律．借助计算器计算的结果，发现并总结应用规律解题．10.【答案】解：过C点作于D，如图，在中，，，所以边AB上的高约为【解析】过C点作于D，如图，利用正弦的定义得到，然后进行近似计算．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．11.【答案】解：由题意得：，，，在中，，，即BS的长约为【解析】由题意得，，，再由锐角三角函数定义得，即可得出BS的长．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】解：；【解析】先利用科学计算器求出正弦、余弦和正切值，再计算加减可得；先利用科学计算器求出正弦、余弦和正切值，再计算加减可得．本题考查了计算器-三角函数、近似数和有效数字，解决本题的关键是熟练运用计算器．13.【答案】解：如图，过点C作于点E，过点D作于点F，，又，四边形AEFD是矩形，，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，则【解析】过点C作于点E，过点D作于点F，利用垂直的定义得到两个角为直角，再由为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到四边形AEFD为矩形，可得出矩形的内角为直角，，由求出的度数，在中，利用余弦函数定义求出DF 的长，即为AE的长，在中，利用正弦函数定义求出EB的长，由求出AB的长即可．此题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案

九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（）A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶22．如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（） A ．27海里 B ．214海里 C ．7海里 D ．14海里3．如图，从山顶A 望地面C ．D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（） A ．100米 B ．350米 C ．250米 D ．)13(50+米 4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（） A ．a 450元 B ．a 225元 C ．a 150元 D ．a 300元5．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB =1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为（） A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ．︒80sin 8.1 mD ．︒80tan 8.1 m6．身高相同的三个小朋友甲．乙．丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高 7．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A ．B 间的距离，在距A 点15米的C 处（AC ⊥AB ）测得∠ACB =50°，则A ．B 间的距离应为（）第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题A ．15sin50°米B ．15tan50°米C ．15tan40°米D ．15cos50°米8．如图，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC 的长是（）A ．10 mB ．3310 m C ．225 m D ．53 m二、填空题9．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米. 10．小明要在坡度为53的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m ，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.11．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.12．如图，从楼顶A 点测得电视塔CD 的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m ，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC 中，AB _____CD 于B ，∠_____=α，∠_____=β，m =_____，求_____. 13．要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______. 14．如图，某建筑物BC 直立于水平地面，AC =9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732) 15．如图，小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______. （精确到0.01米）16．如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73)第9题第12题第14题ABC第15题第16题第17题17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，CD 是高．若BD ＝9，则CD ＝，S △ABC ＝．18．四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）三、解答题（共46分）19．（6分）某校在周一举行升国旗仪式，小明同学站在离旗杆20米处（如图所示），随着国旗响起，五星红旗冉冉升起，当小明同学目视国旗的仰角为37°（假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米），求此时国旗离地面的距离.20．（6分）如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/时).21．（8分）如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点处，用了10 分钟，求山高（即AC 的长度）及A ，B 两点间的水平距离（即BC 的长）（精确到0.01千米）.22．（8分）苏州的虎丘塔身倾斜，却经历千年而不例，被誉为“中国第一斜塔”，如图，BC是过塔底中心B 的铅垂线，AC 是塔顶A 偏离BC 的距离，据测量，AC 约为2.34m ，塔身AB 的长为47.9m ，求塔身倾斜的角度∠ABC 的度数.（精确到1′）.Ｂ图1图2第18题第19题 B O 东北A 第20题B 20︒D A 15︒CE第21题23．（8分）如图，在平面镜的同侧，有相隔15cm 的A ，B 两点，它们与平面镜的距离分别为5cm 和7cm ，现要使由A 点射出的光线经平面镜反射后通过点B ，求光线的入射角θ的度数.24．（10分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B点生成，测得OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B 的坐标为，台风中心转折点C 的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？θB 7515DAEF第23题BC6045第24题答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 二、填空题9．4 10．3 11．3 600 12．⊥ BAC BAD AB CD 13．4314．26 15．10.85 16．8.7 17．12、150 18．1sin 2mn θ 三、解答题19．约16.7米. 20．10.1海里/时 21．AC≈0.43（千米），BC≈1.44（千米） 22．2°48′23．θ≈51.1° 24．（1）B -，C -；（2）经过11小时．。

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A
C
1.1 锐角三角函数同步练习
◆明纲亮标: 一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。

2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。

3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。

会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。

二、知识要点：
1、在Rt △ABC 中，∠∠A 的正弦：sin a A c
， ∠A 的余弦： cosA=b c
， ∠A 的正切： tanA=a b 。

2、特殊角度的三角函数值
0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1
3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大
小。

三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。

四、典例精析：
例1 （2018 天津） 45cos 45sin +的值等于（） A. 2
B.
2
1
3+ C. 3 D. 1
例2 Rt ABC △中，∠C ＝900，AB ＝5,sinA=35
,则AC ＝。

例3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的3
2
，求sinB 的值。

五、反馈检测：一、选择题：
1、（2018 江苏宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（）
A. 5
B.552
C. 5
5
D.32
D
C
B
E
A
第1题图第2题图
2、（2018 怀化）如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为，
3
sin 5
A =
，则下列结论正确的有（） ①6cm DE = ②2cm BE =
③菱形面积为260cm
④BD =
Ａ．个
Ｂ．个
Ｃ．3个Ｄ．个
3、（2018 滨州）如图7
关于A ∠（）
A ．sin A 的值越大，梯子越陡
B ．cos A 的值越大，梯子越陡
C ．tan A 的值越小，梯子越陡
D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关
4、（2018枣庄）如图所示，CD 是一个平面镜，光线从A 点射出经
CD 上的E 点反射后照射到B 点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ．若AC =3，BD =6,CD =12,则tan ａ的值为（） A ． 3
4
B. 4
3
C. 54
D. 5
3 二、填空题：
5、（2018 黄冈）计算：2sin60°= .
6、（2018 常州）若30α=∠，则α∠的余角是 °，
cos α= ．
7、（2018 南昌）在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．
8、（2018 济宁）计算
45tan 30
cos 60sin -的值是。

9、（2018 湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。

他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道____________m 。

(结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97)
10、（2018 河池）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin ∠A = ．
11、（2018 眉山）在Rt ΔABC 中，∠C ＝900，BC ：AC ＝3：4．则cosA ＝_______．
12、（2018 牡丹江）已知Rt ABC △中，90C =∠，6AC =，8BC =，将
A
B C
3
4
11
第9题
它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则tan CDE
∠的值为．
三、解答题：
13、（2018 眉山）
计算：2sin450＋cos300·tan600—2)3
(-
14、（2018芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，
=∠，
tan cos
B DAC
(1) 求证：AC=BD；
(2)若12
sin
C=，BC=12，求AD的长．
13。