2.3等差数列的前n项和第二课时教案
2.3等差数列前n项和公式(2)
班级：高一（ ）班 2． 等差数列的前 3 n 项和（2） 授课时间 主备人 学生姓名： 第 周星期 王少媚 课型 审核人 复备人 学号： 新课 万冠民 王少媚
课题
1、加深理解数列前 n 项和的含义，掌握数列的通项与前 n 项和的关系，掌握根 考试说明 据前 n 项和求通项公式。 要求及习 2、熟练掌握等差数列的前 n 项和的公式，理解等差数列的前 n 项和与二次函数 目标 的关系，会求二次函数的最值问题。 学法 指导 公式灵活应用 学习过程 一、问题导学 1、等差数列的前 n 项和公式： S n 2、你能将等差数列 a n 的前 n 项和公式 S n n a1 化成关于 n 的函数吗？它是
2、 已知等差数列 a n 满足 a1 a 2 a1 0 0 0 ，则有（
A. a1 a1 0 1 0
B. a1 a1 0 1 0
C. a1 a1 0 1 0
3、等差数列 a n 中，若 S n 3 n 2 2 n ，则公差 d
，
n n 1 2
课堂札 记
Sn
d
函数，具有的特点：
3、数列 a n 的前 n 项和 S n a1 a 2 a n ，前 n 1 项和 S n 1 你能从以上两式得到 a n 与 S n 、 S n 1 的关系吗？
n 1 呢？ a 1
（2）利用 S n ： 由 S n
d d 2 n a1 n 2 2
利用二次函数配方法求得最值时 n 的值。
三、当堂检测 1、 在等差数列 a n 中，a 2 6 ，a 8 6 ， 若数列 a n 的前 n 项和为 S n ， （ 则 A. S 4 S 5 B. S 4 S 5 C. S 6 S 5 D. S 6 S 5 ） D. a 5 1 5 1 . ）
高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质．(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列．(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．S n ＝n 1a ＋nn －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a 1d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．解析：方法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0a n ＋1＝25－2n<0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，，，故n ＝13时，Sn 有最大值169.方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋172＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×52×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×52×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，∴d＝192－1626＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝12，所以b 1＝2a 1.所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d22a 1＋n 2e －e 2＝2n3n ＋1，故en 2＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，4a 1－e ＝3a 1－d ，e ＝32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1，e ＝3a 1.所以a n b n ＝2n －13n －1.方法二：设S n ＝an 2＋bn ，T n ＝pn 2＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，从而⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ，b ＝0，p ＝3q ，所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2＋qn.当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －13n －1方法三：1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ． 11C ．10D 。
等差数列前n项和(第二课时)
a3 13, a10 1 求 Sn 何时取到最小值，并求出Sn 最小值.
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
例2 设等差数列{an } 满足 a1
n(n 1) 解：由Sn na1 d 得 2 17(17 1) 9(9 1差数列前n项和 Sn 最值的方法
（1）求 Sn，利用二次函数性质求最值，
注意n取正整数
（2）求 an ，利用项的特点求最值
2、已知数列 Sn 求 an 的方法
n 1 S1 , an Sn - Sn-1，n 2
25, S17 S9 求 Sn 何时取到最大值，并求出Sn 最大值.
得d 2
类型二：已知 Sn 求 an
例3 设数列{an }前n项和
Sn n 3n,
2
求数列的通项公式 an . 练：设数列{an } 前n项和
Sn n 3n 1,
2
求数列的通项公式 an .
课堂小结
当n 5时，Sn取最大值，最大值为S5 25
11 解法2：令a n 0即-2n+11 0得n 2 a1 a2 a5 0 a6 a7 5(a1 +a 5 ) 当n=5时，Sn 最大，最大值为S5 =25 2
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
解： a3 5, a10 9 (1)
号n的值
a1 2d 5 a1 9 得 a1 9d 9 d 2 an 9 (n 1) 2) 2n 11 (
n(n 1) (2)由S n na1 d 得 2 n(n 1) 2 S n 9n (2) n 10n 2 由二次函数图象开口向下，对称轴为n 5得
高中数学新人教A版必修5学案2.3等差数列的前n项和(第2课时)
2.3等差数列的前n 和 ( 第 2)学目一步熟掌握等差数列的通公式和前n 和公式 , 认识等差数列的一些性, 并会用它解决一些有关, 提升意图 .合作学一、 , 情境复引入1.通公式 :2.乞降公式 :3. 两个公式中含有五个量, 分是, 把公式当作方程, 能解决几个量 ?4.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数存在最, 怎样求最 ?5.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n, 怎样求数列 {a n} 的通公式 ?二、信息沟通 , 揭露律6. 两个公式中含有五个量, 分是S n,a n,n,d,a1,两个公式两个方程, 所以已知此中的三个量 , 就能够求其余的两个量, 即“知三求二”.a n=a1+(n-1)d,S n==na1+d.7.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数能够求最, 求二次函数的最, 不要注意自量n 是正整数 ; 能够从研究数列的性及的正而研究前n 和 S n的最 , 方法更拥有一般性.S=,有最大;有最小.n8.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n怎样求数列 {a n } 的通公式 ?S n-1 =a1+a2+a3+⋯+a n-1 (n ≥2)只需两式相减就会获得a n=S n-S n-1 (n ≥2), 只不个表达式中不含有a1, 需要独考a1能否切合a n=S n-S n-1 .似于分段函数.a n=, 最后能否能够用一个式子来表示.三、运用律 , 解决9. 已知一个等差数列{a n} 的前 10 的和是 310, 前 20 的和是 1220, 由此能够确立求其前n 和的公式?10.已知等差数列 5,4,3, ⋯的前 n 和 S n , 求使得 S n最大的序号 n 的 .2n n. 个数列能否是等差数11. 已知数列 {a } 的前 n 和S =n +n, 求个数列的通公式列 ?四、式 , 深入提升12. 已知 {a n} 是一个等差数列, 且 a2=1,a 5=-5.(1)求 {a n} 的通项公式 a n;(2)求 {a n} 前 n 项和 S n的最大值 .2n n13. 已知数列 {a} 的前 n 项和为 S =n +n+1,求这个数列的通项公式, 这个数列能否是等差数列 ?五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境1.a n=a1+(n-1)d2.S n==na1+d3.S n,a n,n,d,a1二、信息沟通 , 揭露规律7.n 2+n=8.a n=三、运用规律 , 解决问题9.剖析 : 将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后 , 可获得两个对于 a1与 d 的二元一次方程 , 而后确立a1与 d, 进而获得所求前n 项和的公式 .解: 由题意知 S10 =310,S 20=1220,将它们代入公式S n=na1+d, 获得解这个对于a1与 d 的方程组 , 获得 a1=4,d=6,所以 S n=4n+×6=3n 2+n这就是说 , 已知 S10与 S20能够确立这个数列的前n 项和的公式 ,这个公式是S n=3n2+n.10.解: 方法一 : 令公差为 d, 则d=a2-a 1=a3-a 2=3-4=-,所以 S n==-.*又 n∈ N , 所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .方法二 :d=a 2-a 1 =a3-a 2=3-4=-,其通项公式为a n=5+(n- 1) ×=-n+.由于 a1=5>0,d=-<0,所以数列{a n}的前n项和有最大值.即有解得即7≤n≤8, 又 n∈ N* ,所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .211n11. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a=S =, 当 n≥2时,S =n +n,①S n-1 =(n-1) 2+(n-1),②由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 时,2 ×1-=a 1, 所以当 n=1 时 ,a 1也知足 a n=2n-,则数列 {a n} 的通项公式为a n=2n- (n ≥1,n ∈ N).这个数列是等差数列,a n-a n-1 ==2( 这是一个与n 没关的常数 ).四、变式训练 , 深入提升12. 解:(1)设{a n}的公差为d, 由已知条件 , 解出 a1=3,d=-2,所以 a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)S n=na1+d=-n 2+4n=4-(n-2)2,所以当 n=2 时 ,S n取到最大值 4.13. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a 1=S1=,当 n≥2时 ,S2①S2②=n +n+1,=(n-1) +(n-1)+1,n n-1由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 ,2 ×1- ≠a1, 所以当 n=1 ,a 1不足 a n=2n-,数列 {a n} 的通公式a n=个数列不是等差数列,a 2-a 1≠a3-a 2=a4-a 3=⋯=2.五、反省小 , 点提略。
等差数列前n项和导学案2
2.3等差数列前n 项和（二）学习目标：①等差数列的前n 项和的性质及应用 ②数列前n 项和n s 与通项n a 的关系学习重点：等差数列的前n 项和的性质及应用；数列前n 项和n s 与通项n a 的关系一、复习回顾1. 数列前n 项和n s 与通项n a 的关系：2. 等差数列的前n 项和的性质：3.等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .4.等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课导学问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？题型一： 数列前n 项和n s 与通项n a 的关系：例1. 已知数列{}n a 的前n 项和21,2n s n n =+求这个数列的通项公式，并判断此数列是否为等差数列？小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .练习：数列{}n a 的前n 项和n s 求{}n a 的通项公式()2123n s n n =- ()()121n n s n +=- ()321n n s =- (4)212343n S n n =++题型二：等差数列前n 项和公式的几何意义及最值问题：例2：等差数列{}n a 中，19120,a s s <=求该数列前多少项的和最小？变式1、 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式2、等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.练习：①等差数列{}n a 的通项公式249n a n =-，当n 为何值时，n s 最小？②等差数列{}n a 中，1583,115,.n a a a s =-=求的最小值题型三：等差数列前n 项和的性质的应用：例3. 等差数列{}n a ， 从第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和练习：①等差数列{}n a ，81624100,392,s s s ==求 ②等差数列{}n a ，48162,6,s s s ==求 ③在等差数列{}n a ，10100110100,10,s s s ==求例3.①等差数列{}n a ，12354,s =前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求这个数列的通项公式.②项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个等差数列的中间项及项数。
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
高一数学 必修5系列教案：2.3等差数列前N项和2
等差数列的前n项和(人教A版必修5第二章第三节)（一）以境激情,提出问题有一种新型的放置粉笔的装置，它具有取放粉笔方便、快捷的优点——V型粉笔架（教师把事先制作好的道具给学生演示）最底层装1支，倒数第二层装2支，以此类推每往上一层粉笔增加一支，一共装了14层；另一种是普通的盒装粉笔装置，一盒50支，共有2盒；请问：哪一种装置的粉笔数多？【设计意图】创设生活化问题情境，一方面激发学生学习新知的兴趣与积极性，另一方面充分体现数学在实际生活中的广泛应用。
大部分学生采用直接相加或者借助计算器来完成，少数学生可能会想到用高斯的算法来处理，教师趁机引导：直接计算是一种方法，但是数字大的时候计算量很大，运算效率低下，为了提高运算效率，我们经常会借助巧算，借此引出高斯求和的故事[知识链接] （教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题教师借此渗透人文价值教育：高斯与阿基米德、牛顿并列为数学史上最伟大的三大数学家，他的数学业绩几乎遍布整个数学王国，被誉为“数学王子”。
此外，高斯还是优秀的天文学家，物理家，高斯埋头苦干，精益求精，探索专研的品质堪为世人之楷模。
他对数论，代数，复变函数，超几何级数，统计学，微分学，概率论都有不同程度的贡献。
因此，数学领域内有许多的术语都冠以高斯的名字，如“高斯曲线”，“高斯质数”等。
近代数学史学家贝尔对高斯的成就评价道：“在数学的世界里，高斯处处留方。
”[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下由浅入深、由具体到抽象的几个问题．（二）启发引导,探索发现问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。
高中数学必修5高中数学必修5《2.3等差数列的前n项和(二)》教案
2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。
2.3等差数列前n项和公式(2课时)
等差数列的前 n 项和 Sn 的主要性质
①Sn=
n a1 an 2
=
n am an m 1 2
.
②项的个数的“奇偶”性质:等差数列{an}中,公差为d. （1）若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; S偶∶S奇=an+1∶an. （2）若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; S偶∶S奇=n∶(n+1). ③和的比值与项的比值间的性质:设Sn,Tn分别为等差数列{an}, {bn}的前n项和,则an∶bn=S2n-1∶T2n-1. ④“片断和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
两个等差数列的求和公式及通项公 式，一共涉及到4个量，知三求一。
练习:等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4, S3=9,则S4等于( A ) (A)14 (B)19 (C)28 (D)60
二、等差数列前n项和的最值问题
【思考】 1.等差数列{an}的前n项和公式一定是关于n的二次函 数吗?
2.3等差数列前n项和 (第一课时）
北师大平果附属学校
复习回顾
a 1.等差数列的定义：
* a d ( n N ) n 1 n
或 a n a n 1 d ( n N * 且 n 2 )
2.等差数列通项公式: an a1 (n 1)d 3.等差数列性质： （1） {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
等差数列的前n项和教学设计(金陵中学王友伟)
课题：2.2.3等差数列的前n项和授课教师：南京市金陵中学王友伟教材：苏教版必修5一．教学目标1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；二．教学重难点重点：等差数列前n项和公式的推导难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．三．教学方法与教学手段启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．四．教学过程1．创设情境，引入课题前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．－a n＝d(n∈N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的定义：a n＋1等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*，n≥2)[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．2．探索质询，追根溯源(1)构建研究方法问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法)(学生分组讨论，5分钟后小组汇报)S21＝3＋4＋…＋22＋23(预设方案1)从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋143＋232×10＋13＝273(预设方案2)从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋133＋222×10＋23＝273(预设方案3)从数的角度：S 21＝3＋4＋…＋22＋23S 21＝23＋22＋…＋4＋32 S 21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)S 21＝3＋232×21 [设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n 项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．(预设方案4)几何角度：切掉左边的两列S 21＝2×21+1+2+…+21=2×21+1+212×21(预设方案5)几何角度：切掉左边的三列S 21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n 项和的第二种形式的推导做铺垫．[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{a n }的前n 项和奠定基础．(2)自主探究 汇报交流问题3：如何推导出等差数列{a n }的前n 项之和S n 的公式?追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？①已知a 1，a n ，n ；②已知a 1，d ，n ．追问2：已知a 1，a n ，n ，如何推出？(小组讨论，5分钟后小组汇报)(预设方案1)S n ＝a 1＋a 2 ＋…＋a n －1＋a n ，①S n ＝a n ＋a n －1＋…＋ a 2 ＋a 1，②①＋②相加得： 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝n (a 1＋a n )2．(预设方案2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n(1)n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋…＝( a 1＋a n )n 2＝n (a 1＋a n )2 (2)n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋ …＋an ＋12＝( a 1＋a n )n －12＋(a 1＋a n )2 ＝n (a 1＋a n )2[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n 项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{a n }中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)． 追问4：已知a 1，d ，n ，如何推出？(预设方案3)S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋ …＋[a 1＋(n －1)d ]＝na 1＋[1＋2＋…＋(n －1)]d＝na 1＋n (n －1)2d追问：能否找到几何解释所对应的图形[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n 项和的公式的另外一种形式，其中d ＋2d ＋3d ＋……＋(n －1)d 还是化归成了1＋2＋……＋(n －1)的问题．[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n ”的问题，体现出了化归的思想．追问：两个公式等价吗？[设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现a n ，而公式②中出现d ，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的a n 是由a 1和d 决定的，体会a 1和d 两个基本量的地位与作用．追问：对比几种推导S n 的方法，你觉得哪种方法简洁？[设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a 1，d ，n 推导S n 的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n 的问题，而1＋2＋…＋n 问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.3．新知运用，巩固深化例1 在等差数列{a n }中，前n 项之和为S n .(1)已知a 1＝2，a 30＝90，求S 30；(2)已知a1＝5，d＝13，求S12.[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，a n，S n这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.例2 求出下列各区域的总人数.重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．4．概括知识，总结方法回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？5．分层作业，因材施教(1)巩固运用：P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．(2)拓展思考：等差数列的通项公式a n可以看成关于n的函数，你能从函数的角度研究S n吗?[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究S n的机会．五．教学设计说明等差数列的前n项和的研究是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式等知识的基础之上，对等差数列这一特殊数列更深层次的探索和研究．任何一章知识的学习都应符合学生的认知规律，尊重学生已有的知识储备，尤其对于等差数列的前n项和的公式而言，很多学生在小学就已经从课外得知了这一公式，所以在进行知识呈现时，教师不可完全照本宣科，而需要从全新的角度切入，引导学生重新审视原有知识架构中“冰冷”的公式，带领学生揭开公式的“神秘面纱”，剖析公式推导过程中每一步所暗含的数学思想，这样才能抓住学生，让学生参与到课堂中来．本节课从时事——今年是中华人民共和国成立70周年出发，从学生们喜爱的阅兵式入手，让学生探索队列人数与数列间的关系，感受到数学来源于生活，引导学生学会用数学的眼光看世界．整节课的设计将几何中的“割补”法作为背景，结合多媒体的使用，分别从对数的角度“配对”和从形的角度“割补”进行交叉对比，让学生学会将已有的知识和研究手段迁移到新知识的学习中，让学生经历了从数到形，再从形到数的渐进过程，找到前n项和公式的两种形式的几何支撑，加深对于抽象公式的形象化理解，在获得新知的过程中体会了数形结合、化归、分类讨论等基本思想方法．例题的设置呼应了公式的两种形式，让学生在解题时体会如何选择合适的公式，也让学生在选择中体会两种公式间的联系，而公式的选用也是为了追求简约。
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§2.3等差数列的前n 项和
授课类型：新授课
（第２课时）
一、教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究n S 的最值
过程与方法：通过等差数列前n 项和的公式应用，体会数学的逻辑性
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学解决问题。
二、教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
三、教学难点
灵活应用求和公式解决问题
四、教学过程
1、课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
①等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += ②等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d n n na S n -+
= 2、讲授新课
探究：——课本P51的探究活动 结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那
么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++
当2n ≥时1n n n a S S -=-=22
()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+ 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p
对等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d n n na S n -+=可化成式子： n )2
d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用n a :
当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值
（2） 利用n S ： 由n )2
d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 3、课堂练习
①一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
解：5234527S S a a a -=++=
()1434524273a S a a a ∴=-++=-=-
()44(41)43242
S d -=⨯-+= 6d ∴=
②差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
解：143153324a a d =-=--⨯=-
易知9180a a d =+=
所以，n S 的最小值为89108S S ==-
4、课时小结
①前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的
首项是1a p q r =++
公差是d=2p
通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时
当时
②差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）由n )2
d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 5、课后作业
课本P46习题[A 组]的5、6题，[B 组]的2题。