应用二元一次方程组——增收节支A
5.4应用二元一次方程组—增收节支(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.4应用二元一次方程组—增收节支（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第五章第四节“应用二元一次方程组—增收节支”。主要内容为：
1.掌握二元一次方程组的定义及其解的概念。
2.学会运用代入法和消元法求解二元一次方程组。
3.通过实际问题的引入，掌握二元一次方程组在增收节支方面的应用。
具体内容包括：
-农场种植问题：小麦和玉米的种植面积及总产量问题。
-通过小组合作，促进学生沟通交流，培养团队协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义及其解的概念，掌握方程组的表示方法。
-学会运用代入法和消元法求解二元一次方程组，并能够熟练运用到实际问题中。
-识别实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型，解决增收节支问题。
举例解释：
-通过农场种植问题，让学生理解如何将种植面积和产量关系表示为方程组。
-在家庭预算问题中，难点在于如何引导学生从实际消费和储蓄情况中抽象出方程组。
-对于代入法和消元法的应用，难点在于学生需要理解何时使用代入法，何时使用消元法，以及如何处理求解过程中出现的复杂情况。
-针对计算错误和逻辑错误，教师需提供具体的例子，指出常见错误类型，并指导学生如何避免和纠正这些错误。
四、教学流程
5.4 应用二元一次方程组——增收节支(课件)北师大版数学八年级上册
价 )期数； 要看清是年利率还是
②本息和 = 本金 + 利息
月利
特别提醒 ◆对于增长(降低 )率问题，审题时一定要看清
是增长还是降低，而且要看准在哪一个量的 基础上增长或降低，不要颠倒 . ◆在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期 数是按月算的，利率就用月利率，期数是按 年算的，利率就用年利率 .
A种
B种
进价(元/ 件)
60
100
标价(元/ 件)
100
160
知1－练
(1)求这两种服装各购进的件数；
解：设 A 种服装购进 x 件，B 种服装购进 y 件，由题意，得
60x＋100y＝6 000， （100－60）x＋（160－100）y＝3
800，解得xy＝＝3500.，
答：A 种服装购进 50 件，B 种服装购进 30 件．
根据题意，得ቊ46xy－＋64xy＝＝11
200， 200.
解得ቊxy＝＝25500，.
答 ： 张 明 前 进 的 速 度 是 50 m/min ， 公 共 汽 车 的 速 度 是
250 m/min.
感悟新知
知1－练
3-1. 育才中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、 乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s 后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度.
水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在
静水中的速度和水流速度.
解题秘方：解本题的关键是找到各速度之间的关
系：顺速＝静速＋水速，逆速＝ 静速
－水速，再结合公式“路程＝ 速度×
时间”列方程组求解.
感悟新知
知1－练
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
五、解决问题
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听 作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、 人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包 单价也相同，随身听和书包单价之和是452元， 且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说 出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给 你做新年礼物”。
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组
为
。
三、解决问题
分析 关键:找出等量关系.
去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名， 今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）．
寄宿学生 题目走中读可学分生析去年学，生总数
去
x
今年；y寄宿学生， 3100
年
走读学生，学生总
今 年
（１＋６％） x
5.4 应用二元一次方程组 ——增收节支
学习目标
1. 进一步认识二元一次方程组； 2.初步养成运用二元一次方程组解决增收节支问 题的习惯.
一、情景引入
同学们，你知道你的生活 有哪些必要开支吗？
经济生活在我们生活中多么重要！你 想运用数学知识使你的生活更加合理
优化，生活的更加幸福惬意吗？
一、情景引入：开商店
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x克,y克， 根据题意可得：
0.5x+0.7y=35， x+0.4y=40． 解得：x=２８
y=３０ ． 答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
三、解决问题
学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4 ％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该 校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?
一、情景引入：购物
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听 作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、 人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包 单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且 随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出 随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你 做新年礼物”。
应用二元一次方程组——增收节支
1.增长（亏损）率问题的公式你还记得吗？ 原量 × （1+增长量）=新量 原量 × （1-增长量）=新量
2.银行利率问题中的公式你还记得吗？ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
新知探究
某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元. 今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出 各是多少万元？
每餐乙原料中含蛋 白质质量=0.7×每 餐乙原料的质量
每餐甲原料含蛋白质量+每餐乙原料含蛋白质量=35 每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40
每餐甲原料中含 铁 质 量 =1× 每 餐 甲原料的质量
新知探究
相等关系中的数量关系真复 杂，再画个表格来表示它们 吧！（题目中可分析蛋白质 含量，铁质含量；甲、乙两 种原料和病人配制的营养品， 画个2 ×3的表格来分析）
甲行走的路程 乙行走的路程
第一种情况 （甲先走2h）
第二种情况 （乙先走2h）
4.5x 3x
2.5y 5y
甲、乙行走的路程
36 36
练一练
解：设甲、乙两人的速度分别是x km／h ，
y km／h ，根据题意，得
2x+2.5x+2.5y=36， 即
3x+3y+2y=36. x=6，
解得 y=3.6.
设去年的总收入为x万元，总支出为y元，则有
总收入／万元 总支出／万元 利润／万元
去年
x
y
200
今年 （1+20%） x （1-10%）y 780
新知探究
根据题意，得
x-y=200，
120%x-90%y＝780.
应用二元一次方程组——增收节支(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.16应用二元一次方程组——增收节支（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】列二元一次方程组解决增收节支问题（1）增长（降低）率问题：增长（降低）率=增（减）量/基数×100%，增长（减少）后的数量=基数×【1±增长（降低）率】.（2）销售问题：销售额=售价×销量，总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=（售价-进价）×销量，利润率=利润/进价×100%，打折后的价格=原价×折数÷10（3）储蓄问题：利息=本金×利率×期数.本息和=本金+利息.注意：在计算过程中要保持单位的统一.【特别提醒】1.对于增长（降低）率问题，审题时一定要看清是增长还是降低，而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低，不要颠倒.2.在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期数是按月算的，利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率.【考点目录】【考点1】方案问题；【考点2】行程问题；【考点3】工程问题；【考点4】销售与利润问题.【考点一】方案问题【例1】（2022上·广东深圳·八年级校考期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】（1）1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨；（2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车；方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．【分析】（1）设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，由“用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a 、b 均为非负整数，即可得出各租车方案．（1）解：设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，由题意得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，答：1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨；（2）由题意得：3431a b +=，∴3143b a -=，又∵a 、b 均为非负整数，∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车；方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【举一反三】【变式1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x 本甲种碳素笔，y 本乙种碳素笔，利用总价=单价⨯数量，可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种．解：设刘老师购买x 本甲种碳素笔，y 本乙种碳素笔，根据题意得：6448x y +=，∴3122y x =- ,x y 是正整数，∴29x y =⎧⎨=⎩或46x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种．故选：B ．【变式2】（2023下·山东烟台·七年级统考期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为．【答案】26【分析】设1艘大船可载x 人，1艘小船可载y 人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x y +的值即可．解：设1艘大船可载x 人，1艘小船可载y 人，依题意得：232246x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：3378x y +=，26x y ∴+=，即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，故答案为：26．【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【考点二】行程问题【例2】（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，（1）求小车和摩托车的速度．（2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】（1）小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时；（2）23小时或76小时或116小时或103小时【分析】（1）小车的速度为x 千米/时，摩托车的速度为y 千米/时，利用路程=速度⨯时间，结合两车速度间的关系，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米，利用路程=速度⨯时间，结合两车相距30千米，可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）解：1小时20分43=小时．设小车的速度为x 千米/时，摩托车的速度为y 千米/时，根据题意得：4()240311(1)22x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：13545x y =⎧⎨=⎩．答：小车的速度为135千米/时，摩托车的速度为45千米/时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米，根据题意得：4530m =或45135(1)30m m --=或135(1)4530m m --=或4524030m =-，解得：23m =或7m 6=或116m =或143m =．答：相遇后，摩托车继续行驶23小时或76小时或116小时或103小时两车相距30千米．【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．【举一反三】【变式1】（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）甲、乙两地相距880km ，小轿车从甲地出发2h 后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h 两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km ，设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，则可列方程组为（）A ．20,64880x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．20,64880y x y x -=⎧⎨+=⎩C ．880,6420y x y x -=⎧⎨+=⎩D ．20,46880y x y x -=⎧⎨+=⎩【答案】B 【分析】设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，甲车行驶2小时，两车相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解．解：设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，由题意得：2064880y x y x -=⎧⎨+=⎩，故选：B ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．【变式2】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则方程组中x 表示．【答案】从甲地到乙地的上坡路程【分析】设从甲地到乙地的上坡路为km x ，平路为km y ，根据保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，据此解答即可．解：设从甲地到乙地的上坡路为km x ，平路为km y ，依题意得363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程组中x 表示从甲地到乙地的上坡路程，故答案为：从甲地到乙地的上坡路程．【点拨】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．【考点三】工程问题【例3】（2022下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）现有一段长为180米的河道整治任务由A ，B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．（1）根据题意，甲列出的方程组为20128180x y x y +=⎧⎨+=⎩，，分析甲所列的方程组，请指出未知数x ，y 表示的意义，x 表示，y 表示；（2）若设A 工程队共整治河道m 米，B 工程队共整治河道n 米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m ，n 的值．【答案】（1）A 工程队整治河道的天数；B 工程队整治河道的天数；（2）18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩；60，120【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可；（2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A ，B 两个工程队先后接力完成，得到180m n +=，根据共用时20天得到：20128m n +=，即可得出方程组，再求解即可．（1）解：由题意和所列方程组可知：x 表示A 工程队整治河道的天数，y 表示：B 工程队整治河道的天数，故答案为：A 工程队整治河道的天数；B 工程队整治河道的天数；（2）设A 工程队共整治河道m 米，B 工程队共整治河道n 米，由题意，得：18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：12060m n =⎧⎨=⎩．即m ，n 的值分别为60，120．【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021上·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m 吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n 吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（）A ．6台B ．7台C ．8台D ．9台【答案】B【分析】设同时开动x 台机组，每台机组每小时处理a 吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出m ，n 的值（用含a 的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x 的一元一次方程，解之可得出结论．解：设同时开动x 台机组，每台机组每小时处理a 吨污水，依题意，得2303031515a m n a m n ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩，解得：30m a n a =⎧⎨=⎩，∵5ax =30a +5a ，∴x =7．答：要同时开动7台机组．故选：B ．【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．【变式2】（2020上·重庆万州·八年级校考期中）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要分钟恰好能把水池中的水放完．【答案】12【分析】设进水管的进水速度为x ，每一个出水管的出水速度为y ，水池中原有水量为a ，根据题意列方程组求解解：设进水管的进水速度为x ，每一个出水管的出水速度为y ，水池中原有水量为a ，由题意可得：1111233a x y a x y +⋅=⋅⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩，解得：2x a y a =⎧⎨=⎩设打开三个出水管需要b 小时能把水池中的水放完，则3a xb b y+=⋅13325a ab y x a a ===-⨯-时=12分故答案为：12【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．【考点四】销售与利润问题【例4】（2023上·全国·八年级专题练习）为促进消费，某商家对商品进行打折促销．打折前，2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元；1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元．（1）求每件A 商品和每件B 商品的售价；（2）若两种商品的折扣相同，打折后，9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元．求商家打几折出售这两种商品．【答案】（1）每件A 商品售价为9元，每件B 商品的售价为12元；（2）商家打8折出售这两种商品【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程组的应用．（1）设每件A 商品售价为x 元，每件B 商品的售价为y 元，根据2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元；1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元得解方程组求解即可；（2）设商家打m 折出售这两种商品，根据9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元列方程求解即可．解：（1）设每件A 商品售价为x 元，每件B 商品的售价为y 元，根据题意得：230233x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得912x y =⎧⎨=⎩，∴每件A 商品售价为9元，每件B 商品的售价为12元；（2）设商家打m 折出售这两种商品，根据题意得：99812141.61010m m ⨯⨯+⨯⨯=，解得8m =，答：商家打8折出售这两种商品．【举一反三】【变式1】（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）五一节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60件，A 型商品每件24元，B 型商品每件36元，设购进A 型商品x 件，B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是（）A ．3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B【分析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品，分别得出等式组成方程组即可．解：设购进A 型商品x 件，B 型商品y 件，根据题意，得6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：B【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．【变式2】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x 元，支出是y 元．依题意列方程组．【答案】12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【分析】审题，明确等量关系，建立方程组．解：由题意知，今年收入为(120%)x +，今年支出(110%)y -，故12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩故答案为：12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键．。
5.4应用二元一次方程组——增收节支知识点及练习
5.4 应用二元一次方程组——增收节支知识点 列方程组解应用题常用的公式（1）有关销售问题的公式①利润=总产值-总支出②利润率=总产值总支出总产值-×100% ③商品利润=销售价格-进货价格④商品利润率=商品进价商品利润×100% （2）列方程组解应用题常用的关系式还有①工程问题：工作量=工作效率×工作时间②行程问题：路程=速度×时间顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度③浓度问题：溶质=溶液×浓度④储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息自测：夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各1瓶共花费7元，调价后上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？重难点：列方程组解决有关行程问题例1：从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡。
如果上坡评教每分钟走50m,下坡平均每分钟走100m,那么从甲地走到乙地需要25min,从乙地走到甲地需要20min，甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？变式：某人沿公路匀速前进，每隔4min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他。
假定公共汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m,求此人前进的速度和公共汽车的速度以及公共汽车每隔几分钟发一班车。
易错点：列方程组解应用题时，没有审清题意而导致的错误例2：某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍然可获利润22500元，试求a,b的值。
（每件服装的利润=每件服装的卖出价-每件服装的进价）。
数学应用二元一次方程组增收节支
数学应用二元一次方程组增收节支在当今社会，增收节支成为了各个企业和个人的共同目标。
而数学应用二元一次方程组在解决这个问题上扮演了重要角色。
通过使用这种数学工具，我们可以更好地理解并解决增收节支的问题。
让我们理解一下什么是二元一次方程组。
二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，例如：1、x + y = 102、x - y = 5在这个例子中，x和y是未知数，我们可以通过解这个方程组来找到x和y的值。
在增收节支的问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示问题。
例如，假设我们要找的是两个变量：增加的收入（x）和节省的支出（y）。
我们可以建立如下的方程组：1、x + y = （代表我们的总收入）2、x - y = （代表我们的总支出）通过解这个方程组，我们可以找到增加的收入和节省的支出。
现在我们来看看如何解决这个方程组。
我们可以通过代入法或者消元法来解决这个问题。
例如，如果我们知道x的值，我们可以将其代入到第二个方程中，从而得到y的值。
或者，我们可以将两个方程相加，从而消去x，得到y的值。
在解决实际问题时，我们需要根据具体的情况来选择合适的解决方法。
我们还需要考虑到实际情况中的各种限制条件，例如增加的收入和节省的支出的可行性等。
数学应用二元一次方程组可以帮助我们更好地理解并解决增收节支的问题。
通过使用这种数学工具，我们可以更好地管理我们的财务，从而实现更好的经济效益。
初中数学解二元一次方程组在数学的世界里，我们常常会遇到各种问题，其中最具有挑战性的之一就是解二元一次方程组。
二元一次方程组是一种线性方程组，它包含两个未知数和两个等式。
这种方程组在各种科学和工程领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、经济学等。
在初中的数学课程中，解二元一次方程组是一个重要的知识点，也是对数学理解和应用能力的考验。
我们来了解一下什么是二元一次方程组。
二元一次方程组是由两个等式组成，其中每个等式都包含两个未知数，未知数的最高次数为1。
八年级数学上册《第五章4 应用二元一次方程组——增收节支》讲解与例题
《第五章4 应用二元一次方程组——增收节支》讲解与例题1．列方程组解答生活中的增收节支问题在生活中，咱们时刻都在与经济打交道，常常面临利润问题、利息问题等．解决这种问题，应熟记一些大体公式：(1)增加率问题： 增加率＝增长量计划量×100%. 打算量×(1＋增加率)＝增加后的量； 打算量×(1－减少率)＝减少后的量．(2)经济类问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品的利润商品的进价×100%. 【例1】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？分析：可列下表(去年总产值x 万元，总支出y 万元)：总产值 总支出 差 去年x y 500 今年 (1＋15%)x (1－10%)y950 题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．解：设去年的总产值是x 万元，去年的总支出是y 万元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝500，1＋15%x －1－10%y ＝950. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝1 500.因此(1＋15%)x ＝2 300，(1－10%)y ＝1 350.因此今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．谈重点 分析表格中数字含义找等量关系先认真审题，找出问题中的已知量和未知量．再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，问题中的相等关系就会清楚地浮现出来．2．列方程组解答行程问题、水路问题、工程问题在咱们的生活中，常常面临行程问题、水路问题、工程问题．解决这种问题，应熟记一些大体公式：(1)行程问题的大体数量关系：路程＝速度×时刻．(2)水路问题的大体数量关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．(3)工程问题的大体数量关系：工作量＝工作效率×工作时刻．【例2－1】 A 市至B 市航线长1 200 km ，一架飞机从A 市顺风向飞往B 市需2小时30分，从B 市逆风向飞往A 市需3小时20分．求飞机的速度与风速．分析：此题中明显的未知数有两个，即：飞机的速度与风速．除此之外，还有两个隐藏的未知数，即：顺风速度与逆风速度．因此咱们能够通过设直接未知数和间接未知数，列出二元一次方程组求解．解：设飞机速度为x km/h ，风速为y km/h ，依照路程＝速度×时刻列出方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 212x ＋y ＝1 200，313x －y ＝1 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝420，y ＝60. 因此飞机的速度为420 km/h ，风速为60 km/h.【例2－2】 某地为了尽快排除堰塞湖险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加速施工进度，又增调了大量的人员和设备，天天挖的土石方比原先的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比打算时刻大大提早．依照以上信息，求原打算天天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后天天挖土石方多少万立方米？ 分析：抓住关键语句：开挖2天和增调人员后所干的3天里，一共挖出土石方13.4万立方米；天天挖的土石方比原先的2倍还多1万立方米来构建数学模型．解：设原打算天天挖土石方x 万立方米，增调人员和设备后天天挖y 万立方米，依据题意，可列出方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，2x ＋5－2y ＝13.4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.3，y ＝3.6.因此原打算天天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后天天挖3.6万立方米．3．配套问题中的相等关系 在实际问题中，大伙儿常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套等．解决这种问题的方式是抓住配套关系，设出未知数，依照配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．产品配套是工厂生产中大体原那么之一，如何分派生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系．常见的题型有：(1)配套与人员分派问题．(2)配套与物质分派问题．析规律 配套问题配套问题的背景尽管不同，但解决问题的方式是一样的，需要抓住配套问题的关键语句进行配套．【例3】 某车间22名工人一辈子产螺钉和螺母，每人天天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使天天生产的产品恰好配套，应该分派多少名工人一辈子产螺钉，多少名工人一辈子产螺母？分析：此题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数∶螺母数＝1∶2.解：设分派x 名工人一辈子产螺钉，y 名工人一辈子产螺母，那么一天生产的螺钉数为1 200x 个，生产的螺母数为2 000y 个． 依照题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22，2×1 200x ＝2 000y . 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22，6x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝12. 因此为了使天天生产的产品恰好配套，应安排10名工人一辈子产螺钉，12名工人一辈子产螺母．4．注意及时幸免一些常见的错误 二元一次方程组是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，其应用即能够将实际问题转化为数学模型，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解．而在具体求解时，很多同窗由于审题不清等问题，总会显现如此那样的错误，这就要求咱们认真地审题，及时地找出题目中的等量关系．若是两车相向而行，那么其相对速度为速度之和，若是两车同向而行，那么其相对速度为速度之差，这一点很多同窗是可不能明白得错的，问题是在相对移动的进程中，移动的距离应为两车的长度之和，很多同窗往往忽略这一点而造成错解．【例4】 一列快车长168 m ，一列慢车长184 m ，若是两车相向而行，从相碰到离开需4 s ，若是同向而行，从快车追及慢车到离开需16 s ，求两车的速度．分析：两车相向而行，其相对速度为两车的速度之和，两车同向而行，其相对速度为两车的速度之差，如此设快车速度为x m/s ，慢车速度为y m/s ，即可利用方程组求解．解：设快车速度为x m/s ，慢车速度为y m/s. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝168＋184，16x －y ＝168＋184， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝352，16x －16y ＝352， 也即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝88，x －y ＝22. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝55，y ＝33.因此快车的速度为55 m/s ，慢车的速度为33 m/s.。
应用二元一次方程组——增收节支课件
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
= 300,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 400.
这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000(元)；
原料费：1 000×400=400 000 (元) ；
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：根据等量关系列出方程组
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二
元一次方程组解决实际问题．
ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
1.5 × 20 + 10 = 15000，
解：根据题意，得 ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
2 + = 1 000, ①
化简方程组，得 ൝
11 + 12 = 8 100. ②
由①，得 y=1000-2x，③
仓库运出40%,结果乙仓库所余的食粮比甲仓库所
余的食粮多30吨,共设甲仓库原有食粮 x 吨,乙仓
+ = 450,
库原有食粮 y 吨,则可列方程组为 ቊ
.
0.6 − 0.4 = 30
2.武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐其赠3500册
图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计
划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和
数学应用二元一次方程组——增收节支
弄清题目中的数量关系, 设出两个未知数
分析题意，找出两个等量关系
列出方程组 用含未知数的一次式表示有关的量 根据等量关系列出方程组 解出方程组，求出未知数的值
检验求得的值是否正确和符合实际情形
写出答案
【触摸中考】
某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技
实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分
答案：选D
课堂练习
（银行利率问题）1、某公司向银行申请了甲、乙两种
贷款，共计68万元，每年需付出利息4.02万元，甲种贷款 每年的利率为4%，乙种贷款每年的利率是6.5%，求这两 种贷款的数额是多少？
（利润问题）甲、乙两件服装的成本共500元，商店
老板为了获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙 服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两 件服装按9折出售，这样子商店共获利157元，求甲、乙两 件服装的成本各是多少元？
X
- y = 200
(1+20%) x- (1-10%)y=780 解得 x = 2000 y = 1800
答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元
三、解决问题
学校去年有学生３１００名，今年比去年增加 4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了 2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?
去年的总产量 去年的总支出 200万元 今年的总产量 今年的总支出 780万元
去年总产量 X（1+20%） 去年总支出 X（1-10%）
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 今年
x
(1+20%) x
y
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应用二元一次方程组——增收节支（A）
一、选择题
1.刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元.设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张，则下面的方程组正确的是（）
A. B. C. D.
2.甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就能追上乙，则两人每秒各跑的米数是（）
A.甲跑6米，乙跑4米
B.甲跑8米，乙跑5米
C.甲跑9米，乙跑6米
D.甲跑10米，乙跑8米
3.某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应该安排几天精加工？几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工，为解决这个问题，所列方程组正确的是（）．
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁四人一起到冰店买红豆和桂圆两种棒冰，四人购买的数量及总价分别如下表所示．若其中一人的总价算错了，则此人是（）．
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
5.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种纯净水每桶8元，乙种纯净水每桶6元，乙种纯净水的桶数是甲种纯净水的桶数的75％，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程正确的是（）
A. B. C. D.
6.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（）
A.3
B.6
C.5
D.4
二、填空题
7.根据下图中提供的信息，求出每只网球拍的单价是__________元，每只乒乓球拍的单价是__________元．
8.某自然村参加挖渠劳动共135人，其中挖土人数是运土人数的3倍少1人，问挖土和运土各多少人?
根据题意列出方程组:其中x表示_________，y表示_________.
9.已知甲处干活的有31人，乙处干活的有20人，现调来18人支援，使甲处干活的人数是乙处干活的人数的2倍，若向甲处分配x人，向乙处分配y人，则根据题意列出的方程组为______．
10.两地相距280千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了14小时，逆流用了20小时，那么这艘轮船在静水中的速度和水流的速度分别是_________和_________.
三、解答题
11.某中学初二学生去烈士陵园扫墓，若每辆汽车坐35个学生，则16个学生没有座
位；若每辆汽车坐52人，则空出一辆汽车.问共有几辆汽车，有多少学生？
12.某中学三、四两班共有100名学生，期末考试数学科他们的及格率为84%，如果三班学生的及格率为80%，四班及格率为90%，那么三、四班的学生数各是多少？
13.小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，求去年的收入与支出各是多少？
参考答案
一、选择题
1.D 解析：本题存在的等量关系是①第一种贺卡的数量＋第二种贺卡的数量=8；
②第一种贺卡的钱数＋第二种贺卡的钱数=10.
2.A 解析：用线路图表示相等关系：
（1）
（2）
设甲、乙的速度各为x米/秒，y米/秒．
由题意，得
解得
3.D 解析：设该公司应安排x天粗加工，y天精加工，
根据题意得，
解得．
4.D 解析：设红豆和桂圆的单价分别为x、y，假设甲是对的，那么有18x+30y=396即3x+5y=66，
将此式代入乙，丙，丁中，我们发现乙，丙都和甲相同，因此，甲是正确的，丁是错误的．
5.C 解析：依据下列等量关系列方程：①买甲种纯净水的钱+买乙种纯净水的钱=250；②乙种纯净水的桶数=甲种纯净水的桶数×75%.
6.C 解析：注意两点:一是十位数字为正整数，二是不定方程.
二、填空题
7.80 40 解析：设网球拍每只x元，乒乓球拍每只y元，则2x+y=200，x+2y=160，解得：x=80，y=40.
8.34 101
9. x+y=8
31+x=2（20+y）
10.17千米/小时 3千米/小时
解析：设船速为x千米/小时，水速为y千米/小时，
有
三、解答题
11.本题有两个等量关系：（1）35×汽车数=学生数-16；（2）52×（汽车数-1）=学生数.由上面的等量关系，可以列出方程组.
12.列表分析题目中存在的数量关系，相等关系依据表格一目了然.
13.设去年收入x元，支出y元，则x-y=5000，今年的收入为x（1+15%），支出为y （1-10%），则x（1+15%）-y（1-10%）=9500.
11.解：设有汽车x辆，学生y人，依题意，有解这个方程组，得
答：共有汽车4辆，学生156人.
12.解：设三、四两班学生数分别为x名、y名.填写下表:
根据题意，可得方程组
化简得
解
答：三班学生数为60人，四班学生数为40人.
13.解：设去年收入x元，支出y元，根据题意，得
解得所以去年小明家收入20000元，支出15000元.。