安徽省合肥市第一中学2019冲刺高考最后1卷理科数学试题(PDF版)
【word理综】安徽合肥一中2019年冲刺高考模拟最后一卷(理综)及参考答案共9页
安徽合肥一中2019年冲刺高考模拟最后一卷（理综）（考试时间：150分钟满分：300分）可能用到的相对原子质量：H一1 C一1 2 O一1 6 Na一2 3 Mg一24 Cl一3 5．5 Ag一108第Ⅰ卷（选择题共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将答案填入本卷后的答题卡中。
1．下列有关物质和结构的叙述中正确的是（）A．原癌基因突变则能促使细胞癌变，抑癌基因突变则能抑制细胞癌变B．线粒体可独立完成有氧呼吸过程，叶绿体可独立完成光合作用过程C．动物细胞的主要能源物质是糖类，植物细胞的主要能源物质是脂肪D．细胞膜上的载体的本质是蛋白质，基因工程中载体的本质是DNA2．以下关于酶的叙述中正确的是（）A．胃蛋白酶催化蛋白质水解时需要适宜的温度、pH和ATP供能B．在细胞质内合成的酶也可在细胞核内发挥作用C．利用过氧化氢酶能分解H2O2的原理来探究温度对酶活性的影响D．细胞内的酶都是在核糖体上合成的3．下图为真核细胞DNA复制过程的示意图，据图分析，下列叙述中错误的是（）A．DNA分子复制的方式是半保留复制B．DNA解旋酶能使双链DNA解开，但需要消耗ATPC．子链延伸时，氢键和磷酸二酯键的形成都需要DNA聚合酶的催化D．合成两条子链的方向是相反的4．果蝇为XY型性别决定的生物，现选用果蝇的某些相对性状做杂交实验，以确定相关基因是位于常染色体上还是X染色体上。
下列说法中正确的是（）A．红眼雌蝇与白眼雄蝇杂交，若F1代无论雌雄都是红眼，说明相关基因在常染色体上B．灰身雌蝇和黑身雄蝇杂交，若F1代无论雌雄都是灰身，说明相关基因在X染色体上C．圆眼雌蝇与棒眼雄蝇杂交，若F1代无论雌雄都是圆眼，说明相关基因在X染色体上D．残翅雌蝇与长翅雄蝇杂交，若F1代无论雌雄都是长翅，说明相关基因在常染色体上5．氨基丁酸（GABA）作为哺乳动物中枢神经系统中广泛分布的神经递质，在控制疼痛方面的作用不容忽视，其作用机理如下图所示。
【水印已去除】2019年安徽省a10联盟高考数学最后一卷(理科)(5月份)
2019年安徽省A10联盟高考数学最后一卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知函数的定义域为A，则∁R A＝（）A．{x|x≤0或x≥1}B．{x|x＜0或x＞1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）已知复数z＝（1+ai）（1﹣2i）（a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣2C．D．3．（5分）函数的图象为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||＝2||＝1，⊥（﹣），则|2+|＝（）A．3B．C．D．65．（5分）将点P（1，1）绕原点0逆时针方向旋转到点Q的位置，则Q的横坐标为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是（）A．﹣40B．﹣20C．20D．407．（5分）已知点（1，2）是双曲线（a＞b＞0）上一点，则其离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．D．8．（5分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角二角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1﹣15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，满足f（a）＞f（4﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，3）D．（2，4）11．（5分）如图，是一块木料的三视图，将它经过切削、打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过两点、，f（x）在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．14．（5分）已知直线l是抛物线y2＝2px（p＞0）的准线，半径为3的圆过抛物顶点0和焦点F与l相切，则抛物线的方程为．15．（5分）在△ABC中，∠ABC＝，已知BC边上的中线AD＝3，则△ABC面积的最大值为．16．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，D和E分别是边BC和AC上一点，DE⊥AC，将△CDE沿DE折起使点C到点P的位置，则该四棱锥P﹣ABOE 体积的最大值为．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝na n+n（n﹣1），且a5是a2和a6的等比中项．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A'B'C'中平面ABC⊥平面ACC'A'，AB＝BC＝CA＝AA'，D是棱BB'的中点．（Ⅰ）求证：DA'C平面⊥平面ACC'A'；（Ⅱ）若∠AA'C═60°，求二面角A'﹣CD﹣B'的余弦值．19．（12分）已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）．20．（12分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市毎日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以销售食品利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax﹣1（a ∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）图象过点（1，0），求证：e﹣x+xf（x）≥0．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为；为参数），以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知A，B是曲线C上任意两点，且，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设集合M满足：当且仅当x∈M时，f（x）＝|3x﹣2|，若a，b∈M，求证：．2019年安徽省A10联盟高考数学最后一卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x≥0得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，则∁R A＝{x|0＜x＜1}，故选：D．2．【解答】解：∵z＝（1+ai）（1﹣2i）＝（1+2a）+（a﹣2）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：D．3．【解答】解：由，则f（x）是奇函数，则f（x）的图象关于原点对称；排除C，D当x＞0时，f（x）＞0．排除B，故选：A．4．【解答】解：因为向量，满足||＝2||＝1，⊥（﹣），所以2﹣＝0，所以＝，所以|2|＝＝，故选：B．5．【解答】解：由三角函数的定义可知，Q的横坐标为cos（+）＝．故选：A．6．【解答】解：令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5 ＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40，故选：D．7．【解答】解：把（1，2）代入双曲线方程得：﹣＝1，∴＝b2+4，∴e＝＝＞，故选：C．8．【解答】解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n＝，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个，∴这三个数为勾股数的概率为：p＝＝．故选：D．9．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AB＝1，BC＝2，则B（﹣1，0），C（1，0），则抛物线方程为y＝x2，阴影部分的面积为：S阴＝1﹣＝1﹣，又矩形面积为2，则该点落在阴影部分的概率为：＝，故选：A．10．【解答】解：根据题意，f（x）＝|ln（x﹣1）|＝，则f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，由题意知，即1＜a＜3；再分3种情况讨论：①，当1＜a＜2时，a﹣4＞2，若f（a）＞f（4﹣a），则﹣ln（a﹣1）＞ln（3﹣a），变形可得：（a﹣1）（a﹣3）＞1，解可得：a＜2﹣或a＞2+，又由1＜a＜2，此时无解；②，当a＝2时，4﹣a＝2，f（a）＝f（4﹣a），不符合题意；③，当2＜a＜3时，0＜4﹣a＜2，若f（a）＞f（4﹣a），则ln（a﹣1）＞﹣ln（3﹣a），变形可得：（a﹣1）（a﹣3）＜1，解得2﹣＜a＜2+，∴a的取值范围是（2，3）．故选：B．11．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r，则4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1．取得直径为2，两个球的直径和为4，棱柱的高为5，所以则该木料最多加工出球的个数为2．故选：B．12．【解答】解：由已知可得：sinφ＝，0＜φ＜π，所以φ＝或φ＝，①当φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣1+4k，k∈N+，若ω＝3时，f（x）＝sin（3x+）在（0，）有一个极大值点，不符合题意，若ω＝7时，f（x）＝sin（7x+）在（0，）极大值点为小于极小值点，符合题意，②φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣3+4k，k∈N+，若ω＝5时，f（x）＝sin（5x+）在（0，）有一个极小值点，不符合题意，若ω＝9时，f（x）＝sin（9x+）在（0，）极小值点为和极大值点，不符合题意，综合①②得：故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13．【解答】解：作出x，y满足约束条件，所表示的平面区域，B（2，2）作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（1，3）时，z取得最小值，Z取得最小值：5；故答案为：5．14．【解答】解：∵圆过点O和F（，0），∴圆心横坐标为，∵圆与准线x＝﹣相切，故圆的半径r＝＝3，∴p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x．故答案为：y2＝8x．15．【解答】解：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S△ABC＝bc sin＝bc，在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2+bc，在△ABD中，c2＝a2+9﹣3a cos∠ADB，在△ACD中，b2＝a2+9﹣3a cos∠ADC，所以b2+c2＝a2+18，即：b2+c2＝36+bc，由b2+c2≥2bc，可得：bc≤36，当且仅当b＝c时成立，故△ABC面积的最大值为9．故答案为：9．16．【解答】解：在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2，BC＝，故B到AC的距离d＝＝，设DE＝x，则0＜x≤，CE＝x，∴四边形ABDE的面积S＝﹣＝（1﹣x2），显然当平面PDE⊥平面ABDE时，棱锥的体积最大，此时，PE⊥平面ABDE，∴棱锥的体积V（x）＝S•PE＝（x﹣x3），V′（x）＝（1﹣3x2），故当0＜x＜时，V′（x）＞0，当＜x＜时，V′（x）＜0，∴当x＝时，V（x）取得最大值（﹣）＝．故答案为：．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17．【解答】解：（Ⅰ）证明：S n＝na n+n（n﹣1），可得S n+1＝（n+1）a n+1+n（n+1），相减可得S n+1﹣S n＝（n+1）a n+1﹣na n+n（n+1）﹣n（n﹣1），化简a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+2n，即为na n+1﹣na n＝﹣2n，即有a n+1﹣a n＝﹣2，则数列{a n}是公差d为﹣2的等差数列，a5是a2和a6的等比中项，可得a52＝a2a6，即（a1﹣8）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝11，则a n＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n；（Ⅱ）＝＝（﹣），则数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．18．【解答】证明：（Ⅰ）取AC，A′C′的中点O，F，连结OF与A′C′交于点E，连结DE、OB、B′F，则E为OF的中点，OF∥AA’∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，∴BB′FO是平行四边形，又D是棱BB’的中点，∴DE∥OB，侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC，∴OB⊥平面ACC′A′，∴DE⊥平面ACC′A′，又DE⊂平面DA′C，∴平面DA′C⊥平面ACC′A′．解：（Ⅱ）连结A′O，∵∠A′AC＝60°，∴△A′AC是等边三角形，设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，∴AO′⊥底面ABC，由已知得A′O＝OB＝，以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（），C（0，1，0），A′（0，0，），＝（﹣），＝＝（0，1，），设平面BCC′B′的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），，＝（），则，取z＝1，得＝（0，），设二面角A'﹣CD﹣B'的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角A'﹣CD﹣B'的余弦值为．19．【解答】（Ⅰ）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3所以曲线C的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）直线MA的方程为：将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，设点D的坐标为（x D，y D），则，故，则直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0设点E的坐标为（x E，y E），则，故，则HD的斜率为HE的斜率为因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知一家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为，X取值为16，17，18，19，20，21，P（X＝16）＝，P（X＝17）＝，P（X＝18）＝×2＝，P（X＝19）＝＝，P（X＝20）＝＝，P（X＝21）＝，P（X＝22）＝，∴X的分布列为：（Ⅱ）当n＝19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为：E（Y1）＝+1900×＝1822，当n＝20时，记Y2为A，B销售该食品利润，则Y2的分布列为：E（Y2）＝×＝1804，∵E（Y1）＞E（Y2），故应选n＝19．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f'（x）＝0，得．若，f'（x）＞0，f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，f（x）单调递减综合上述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）证明：函数f（x）图象过点（1，0），∴ln1+a﹣1＝0，解得a＝1．e﹣x+xf（x）≥0．即+lnx+x﹣1≥0．（x＞0）．令g（x）＝+lnx+x﹣1≥0．（x＞0）．g′（x）＝﹣e﹣x+＝．令h（x）＝xe x﹣1，h′（x）＝（x+1）e x，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0∈（0，+∞），使得x0＝1，可得＝，x0＝﹣lnx0．∴g（x）≥g（x0）＝1﹣x0+x0﹣1＝0．∴e﹣x+xf（x）≥0成立．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C的普通方程为：（x﹣2）2+y2＝4……（2分）故曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ…………………………………………（5分）（Ⅱ）极坐标系Ox中，不妨设A（ρ1，θ0），，其中由（Ⅰ）知：ρ1＝4cosθ0，．△OAB面积………………………（8分）当时，即，有最大值1．此时故△OAB面积的最大值为……………………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】（Ⅰ）解：，当x＜﹣1时，﹣x+4≤6，得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1；当时，﹣3x+2≤6，得，故；当时，x﹣4≤6，得x≤10，故；综上，不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤10}．（Ⅱ）证明：由绝对值不等式的性质可知f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|≤|（2x﹣3）+（x+1）|＝|3x﹣2|，等价于|2x﹣3|≤|﹣（x+1）|+|3x﹣2|，当且仅当（2x﹣3）（x+1）≤0，即时等号成立，故，所以，所以0≤（a+1）2≤，≤（b﹣1）2≤4，所以（a+1）2﹣（b﹣1）2≤﹣＝．即．。
2019高考终极猜押最后一卷 理科数学试题(高清PDF)
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若PA=PB,求二面角A-PC-D 的余弦值.
(2)若数列{bn}满足
bn=bn-1 ·log3an+1 (n≥2,n∈N* ),且 b1 =1,求 数 列
{ } bn
bn+2
的前n项和Sn.
18.为了缓解城市 交 通 压 力 和 改 善 空 气 质 量,有 些 城 市 出 台
π,2π 63
( ) B. -3π,6π
( ) D.
π,5π 36
F2 分别为双曲线C1 的左、右焦点,则双曲线C1 的离心率
为
()
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每
填入的关于k的条件是
.
个实体考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要
求作答.
二、填空题(本大题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 20 分.把 答 案
则其外接球的体积为
( ) 的体积是
()
A.238π
B.332π
A.5090π
B.2530π
ห้องสมุดไป่ตู้
C.10300π D.5030π
6.下列函数中,为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是
(
C.532π
D.536π
( ) 12.若函数f(x)=sinωx-6π (ω>0)的图象相邻两个对称
)
中心之间的距离为2π,则f(x)的一个单调递减区间为
1
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21 19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面
题每小题12分,22-23题每小题10分)
安徽省合肥高考数学模拟最后一卷试题 理 新人教版【会员独享】
1 / 5开始S=1i=1输出S结束i=i+1S=S+i是否合肥高考模拟考试最后一卷 理科数学试题考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么如果事件A 与B 相互，那么 ()()()|P AB P A P B A =()()()P AB P A P B =本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分钟，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数()(34)z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．43 B ．43- C ．34- D ．342．若集合{}21,A m=，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4AB =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中 的判断框内应填写的条件是（ ）A ．i>4B 。
安徽省合肥一中2019年10月高三阶段性检测考试理科数学试题(5页)
安徽省合肥一中2019年10月高三阶段性检测考试理科数学试题数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数112iz i+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.15B. 15-C. 15i -D.15i 2.集合{}22|540,|1A x x x B x x ⎧⎫=-+>=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. (,1)(2,)-∞⋃+∞B. (,0)(4,)-∞+∞UC. (2,4)D. (4,)+∞3.下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc >B. 若0a b ⋅>r r，则向量a r 与b r 夹角为锐角C. “()1,0x f x ∀>>”的否定是“()001,0x f x ≤∃≤”D. 在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > 4.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且133,9a S ==，则4S =（ ）A. 12B. 15-C. 12或15-D. 12或155.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ）A.B. 16C. 8D. 246.在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AD 上，且,2,2DB DC EA EC FD FA ===，设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则向量EF =u u u r（ ）A. 1263a b -r rB. 1233a b -rrC. 1162a b -rrD. 1334a b -rr7.已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. c a b <<8.函数2sin ()ln2sin -=+xf x x x的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.9.根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有95座在中国城市中排名第10位，全球排名第15位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了“竹节”的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺.它与传承千年的“微文化”相得益建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由9节“竹节”组成，最上部分的4节高228米，最下部分3节高204米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（ ） A. 518米B. 558米C. 588米D. 668米10.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0,2πωφ>>）的部分图像如图所示，则关于函数()f x 下列说法不正确的是（ ）A. ()f x 的图像关于直线12x π=对称B. ()f x 图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上增函数 D. 将cos y x =的图像向左平移6π个单位长度可以得到()f x 的图像 11.在斜ABC ∆中，设角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ） A.18B.34C.23D.1612.已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()322f x f x x x =---，且当0x ≥时，()231f x x '<--，则不等式()()21332f x x x f x ++++>的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为______.的是的14.已知数列{}n a 中，114,32n n a a a +==-（n *∈N ），则数列{}n a 的通项公式n a =______. 15.已知正数x ，y 满足21x y +=2，则161x y ++最小值为______. 16.已知定义在R 上函数()f x 满足()()2f x f x +-=，若函数()3221sin 1x x x xx g x ++++=+与()y f x =有n 个公共点，分别为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则()1ni i i x y =+=∑______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()2,,,2a sinx cosx b cosx cosx ==r r.（1）设()f x a b =⋅rr ，求()f x 在[]0,π上的减区间；（2）若()2,1c =r ，向量a b -r r 与c r 共线，且x 为第二象限角，求a b +r r .18.设函数()23f x x x a =-++-.（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若()41f x a≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为正三角形，四边形ABCD 为直角梯形，CD //,AB BC AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别为AD ，CP 的中点，22AD AB CD ===.（1）证明：直线EF //平面P AB ；（2）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且当2n ≥时，1120n n n n S S S S --+-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；的（2）设21114n n b S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，证明：2311123n b b b ++⋯+<. 21.下面左图是我省某地斜拉式大桥的图片，合肥一中学数学兴趣小组对大桥有关数据进行了测量，并将其简化为右图所示.其中桥塔AB ，CD 与桥面AC 垂直，若50m,50m,75m AB AC CD ===.（1）当45BPD ∠=o 时，试确定点P 在线段AC 上的位置，并写出求解过程； （2）要使得BPD ∠达到最大，试问点P 在线段AC 上何处？请写出求解过程. 22.已知函数()(,)ax bf x e a b R +=∈的图象与直线:1l y x =+相切，()f x '是()f x 的导函数，且(1)e f ¢=. （1）求()f x ；（2）函数()g x 的图象与曲线()()y kf x k R =∈关于y 轴对称，若直线l 与函数()g x 的图象有两个不同的交点()()()()1122,,,A x g x B x g x ，求证：124x x +<-.。
2019届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺高考最后一次模拟数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺高考最后一次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{|lg(3)}A x y x ==-，{}|2,xB y y x ==∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．RC ．{|3}x x >D ．{|0}x x >【答案】C【解析】分别解得集合,A B 根据交集定义即可得出结果. 【详解】{|lg(3)}{|30}{|3}A x y x x x x x ==-=->=>，{}|2,{|0}x B y y x y y ==∈=>R . ={|3}A B x x ∴>故选:C ． 【点睛】本题考查集合的交集运算,难度容易.2．已知命题2:(2)2(2)20()p a x a x a R -+--<∈的解集为R ，命题:02q a <<，则p 是q 的（ ） A ．充分条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件【答案】B【解析】由命题p 的解集为R ,求得参数的取值范围,根据充分必要条件的判断方法即可得出结果. 【详解】2a =，x ∈R ;20a -<时,()()()=4222a a ∆2--4-⨯-<0,解得02a <<时,x ∈R ,综上命题2:0p a <≤. 因为命题:02q a <<所以命题p 是命题q 必要不充分条件.故选:B ． 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定同时也考查了不等式恒成立时求解参数问题.属于基础题3．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是；设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和()*,,,da b c d c∈N ，则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<．若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．4715B ．6320C ．227D ．7825【答案】B【解析】按照“调日法”计算,每次计算出结果后要比较大小,得更加小的范围. 【详解】第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<， 第二次用“调日法”后得到4715是π的更为精确的不足近似值，即4716155π<<， 第三次用“调日法”后得到6320是π的更为精确的过剩近似值，即47631520π<<. 故选:B ． 【点睛】本题考查合情推理和类比推理.解题时按照给定的程序计算即可.4．()722121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】求出7211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项和2x -的系数,再由多项式乘法可得结论. 【详解】7214127711rr r r r r T C C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,由2140r -=得=7r ,常数项为1, 由2142r -=-得=6r ,2x -的系数为67=7C ,所以展开式中常数项为：21175-⨯+⨯=.故选:A ． 【点睛】本题考查二项式定理,考查求二项展开式中某一项系数,掌握二项展开式通项公式是解题关键.5．已知函数()f x 的图像为[-1,1]上连续不断的曲线，且()()120192019f x f x -=，()f x 在[0,1]上单调递减．若1124log log (2)f m f m ⎛⎫⎡⎤<+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(-1,2) B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(0,2)【答案】C 【解析】由()()120192019f x f x -=得出函数()f x 为奇函数,进而得出函数()f x 在R 上为增函数,于是要解的不等式化为关于m 的不等式组. 【详解】 由()()120192019f x f x -=得,()()201929101f x f x -=⋅,即()()20191f x f x -+=,即()()=0f x f x +-故函数()f x 为奇函数,则可知()f x 在[1,1]-上为单调递减的奇函数.所以11241214log log (2)1log 11log (2)1020m m m m m m >+⎧⎪⎪-≤≤⎪⎪⎨-≤+≤⎪⎪>⎪⎪+>⎩，解得122m ≤<．故选:C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性,利用性质把不等式转化为关于m 的不等式组是解决问题的关键,难度较易.6．如图所示，秒针尖的位置为(,)M x y ，若初始位置为01,2M ⎛- ⎝⎭，当秒针从0M（此时0t =）正常开始走时，那么点M 的横坐标与时间t 的函数关系为（ ）A ．sin 306x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 303x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 303x t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2cos 303x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据条件先确定周期从而求解出ω的值,设出x 与时间t 的函数关系式cos()x t ωϕ=+（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置0M ,计算出ϕ的值从而求解出关系式. 【详解】 初始角为23π-，周期260T πω==，所以，30πω=, 设x 与时间t 的函数关系式cos )0(3x t πϕ=-+(因为秒针是顺时针走动)所以,当秒针运动到M 点时,221cos cos 330303x t t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选:C ． 【点睛】本题考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式,难度一般.钟表问题的三角函数实际模型中,由于分针、时针、秒针都是顺时针转动,因此在确定ω的时候要注意取负值,这里依据的是角的正负的定义.7．设数列{}n a ，11a =，且,n a 1n a +为方程()2*0n x nx c n -+=∈N 的两个实数根.数列{}n b 的通项211n n b c +=，前n 项和为n T ，则2019T =（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20202021D ．20182020【答案】B【解析】由韦达定理可求1n n a a n ++=,则11n n a a n -+=-,即111n n a a +--=,因为11a =可求得n a ,进而求和111(1)1n b n n nn ,由裂项求和即可求得结果.【详解】由题意可得1n n a a n ++=,1n n n a a c +⋅=由111n n n n a a n a a n +-+=⎧⎨+=-⎩可得: 111n n a a +--=,因为11a =,易解得1(=21,*)22(=2,*)2n n n k k N a n n k k N +⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，所以212122(1)n n n c a a n n +++==+，故111(1)1nb n n nn ，11111122311n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 201920192020T ∴=故选:B ． 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,考查裂项求数列的和,考查学生分析问题的能力,难度一般.8．已知圆22(6)(8)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠>︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(9,11) B ．(9,)+∞ C ．[9,)+∞ D ．(11,)+∞【答案】B【解析】22:(6)(8)1C x y -+-=与222:(1)O x y m m +=>位置关系为相交,内切或内含,即可满足题意,进而求得参数m 值. 【详解】22:(6)(8)1C x y -+-=的圆心()6,8C ，半径1r =,圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠>︒,∴22:(6)(8)1C x y -+-=与222:(1)O x y m m +=>位置关系为相交,内切或内含,如图所示,则OC r R<+,∴110m+>∴9m>．故选:B．【点睛】本题考查参数取值范围问题,通过数形结合转化为圆与圆的位置关系,考查学生分析问题的能力,属于中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1653B．253C．323D．163【答案】C【解析】借助正方体通过三视图还原几何体为三棱锥P ABC-,根据已知即可求得体积. 【详解】利用“三线交汇得顶点”的方法,可知该几何体是三棱锥P ABC-,如图所示,其中正方体的边长为4,点P是正方体其中一条棱的中点,所以1132444323 P ABCV-=⨯⨯⨯⨯=.故选:C ． 【点睛】本题考查三棱锥的体积,通过三视图还原几何体是本题的难点,考查学生的空间想象能力,难度一般.10．如图，矩形LMNK ，6LM =，2sin 3MLN ∠=，E 半径为1，且E 为线段NK 的中点，P 为圆E 上动点，设MP ML MN λμ→→→=+，则λμ+的最小值是（ ）A ．1B ．54C ．74D ．5【答案】B【解析】以点E 为坐标原点建系, 设(cos ,sin )P θθ,由已知求得1255MN =,将MP ML MNλμ→→→=+用坐标表示,解得3cos =65+1θλμθ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,利用三角函数的最值解得λμ+的最小值.【详解】由已知建系如图,由6LM =，2sin 3MLN ∠=,解得55MN =,则()1251253,,3,0,3,55M N L ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(cos ,sin )P θθ, 因为MP ML MN λμ→→→=+,125(cos 3,sin )5MP θθ→=-+,()=-6,0ML →,55=0MN →⎛ ⎝⎭，. 所以()125125(cos 3,sin -6,0+0MP θθλμ→⎛= -⎝+ ⎭，,即cos 3=-6125125sin =55θλθμ-⎧⎪⎨+⎪⎩,解得:3cos =65=sin +112θλμθ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 所以()511sin cos =sin +12633=++242θϕλθμθ-+,当()sin +=-1θϕ时, λμ+的最小值是54. 故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理,向量的坐标运算,考查利用三角函数求最值问题,建立适当的坐标系是解题的关键,属于中档题.11．已知椭圆22:13x C y +=，过x 轴上一定点N 作直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，当直线l 绕点N 任意旋转时，有2211||||t AN BN +=（其中t 为定值），则（ ）A ．9t =B ．4t =C ．3t =D ．2t =【答案】B【解析】设点()()1122(,0),(0),,,,N m m A x y B x y >,当直线l 与x 轴不重合时,设l 的方程为x ty m =+,代入椭圆方程,化简得 ()2223230t y tmy m +++-=,利用韦达定理化简得()2222222231112||133t mt BM t m m AM⎡⎤+⎛⎫⎢⎥+=⋅- ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,因为t 为定值,特殊值代入即可求得m ,进而求得定值t . 【详解】设点()()1122(,0),(0),,,,N m m A x y B x y >当直线l 与x 轴不重合时,设l 的方程为x ty m =+,代入椭圆方程,得:22()33ty m y ++=,即()2222121222233230,33mtm t y tmy m y y y y t t -+++-=∴+=-=++. ()()2222221121111||BM AM x m y x m y ∴+=+-+-+()()2222222121211111111t y y t y t y ⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭()()22212121222222121221111y y y y y y t y y t y y +-+=⋅=⋅++ 21221212121y y t y y y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=⋅- ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222222312133t mt t m m ⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 当直线l 绕点N 任意旋转时，有2211||||t AN BN +=（其中t 为定值）, 当0t =时,222116||||3AN BN m +=--当1t =时, 2222211128||||233m AN BN m m ⎡⎤⎛⎫+=⋅-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴222261283233m m m m ⎡⎤⎛⎫-=⋅-⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 解得: 23=2m 代入当0t =时, 222116=4||||3AN BN m +=--. 故选:B. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,考查恒过定点的定值问题,考查韦达定理在直线和椭圆联立中的应用,难度较难.12．已知关于x 的不等式21e ln 10x ax x x ---≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．(,0]-∞C ．(,1]-∞D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】原不等式11eln (0)xax x x x-⇔≤+>,可求得1ln 1x x +≥,则0a ≤成立, 当0a >时,构造函数11()e ln xf x ax x x-=--,通过导数判断函数单调性,求得max ()(1)0f x f =≤,代入即可解得实数a 的取值范围.【详解】 原不等式11eln (0)xax x x x-⇔≤+>，当0a ≤时，令()()221111ln ,,g x g x x x x x x x'==-+-= ()g x 在(0,1)上单调递减；(1,)+∞上单调递增,()1=1g ,所以1ln 1x x +≥,显然有11ln x axe x x-≤+； 当0a >时，令11()eln xf x ax x x-=--，则1121e ()e x x x f x a x --⎛⎫-'=+ ⎪⎝⎭，()f x 在(0,1)上单调递增；(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)0f x f =≤即可，因为(1)1f a =-,所以01a <≤； 综上：1a ≤． 故选:C ． 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值问题,考查不等式恒成立求解参数取值范围问题,难度较难.二、填空题13．复数2(2)1i z i-=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第________象限．【答案】三【解析】利用复数的四则运算化简复数z a bi =+形式由复数的几何意义z a bi =+与复平面内点(),a b 一一对应即可求解. 【详解】()()2341(2)341717=112222i i i i i z i i i ------====--++,对应的点为1722⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故答案为:三. 【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义,属于基础题. 14．已知矩形ABCD ，2AB =，2AD =，E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将ABE △，DCE 翻折，使点A ，D 重合，记为点P ，则几何体P-BCE 的外接球的表面积为________．【答案】5π【解析】首先利用数量关系得到三线垂直,而后联想到长方体,外接球直径为长方体体对角线长,即可得解. 【详解】已知矩形ABCD ，2AB =，2AD =,E 为AD 的中点,可得1PE =,2PB PC ==,得9090EPB EPC CPB ∠=∠=︒∠=︒，，所以P BCE -为长方体的一角,如下图： 其外接球直径为其体对角线长，所以22225R PE PC PB =++=得52R =所以外接球表面积为:245S R ππ==. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的位置关系,球的表面积计算,考查空间想象能力和运算求解能力,难度较易.15．已知直线30l y t ++=与双曲线22:1L mx ny -=（0,m >0n >）右支交于A ，B 两点，点B 在第四象限，若原点O 是线段1A A 的中点，且115A BA ∠=︒，则双曲线L 的离心率e =________．【解析】由题意可得1A A ,关于原点对称,由作差法可得122AB A Bm b k k n a⋅==,结合已知条件可得1tan15A B k =-︒,代入即可解得22b a 的值,根据离心率公式计算即可得出结果. 【详解】由题意作图可知：设,A B 中点为P ,由已知可得1//OP A B ，所以15APO ∠=因为AB k =，所以30AQO ∠=,所以15QOP ∠=()1tan15tan 60152A B PO k k ︒=-︒=-=-=，又设()11,,A x y ()22,B x y ， 则()111,A x y --，12221212122212121AB A By y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 而2211222211mx ny mx ny ⎧-=⎨-=⎩，则22122212y y mx x n -=-，222212)1m b a na b -===（其中，,a b 为双曲线实半轴长、虚半轴长），2233b a ∴=，223ca ==，e ∴=故答案为:【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,考查方程思想和直线的斜率公式，运算化简能力,属于中档题.16．角A 为60︒的锐角ABC 32b c +的取值范围为________．【答案】(43,221]【解析】由正弦定理及辅助角公式化简可得()022sin 4sin 221sin b c R B R C B θ+=+=+,其中03tan θ=由角,B θ的范围确定()0sin B θ+的范围即可得解. 【详解】sin 2aA R=，23603a ∴=︒=． 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3)R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ= 又ABC 为锐角三角形，62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+，由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 2πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭． ()0sin 1B θ<+≤，2b c ∴<+≤．故答案为: . 【点睛】本题考查正弦定理,辅助角公式在求解范围中的应用,对角范围的确定是本题的难点,考查学生分析问题的能力,难度较难.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123(21)314n n a a a na n ⎡⎤+++⋯+=-⋅+⎣⎦． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n n b a =-，证明：1232n b b b +++<…． 【答案】（I ）()1*3n n a n -=∈N ．（Ⅱ）见解析 【解析】(Ⅰ)由已知递推公式可得11231123(1)(23)314n n a a a n a n --⎡⎤+++⋯+-=-⋅+⎣⎦,作差化简即可解得; (Ⅱ)由（Ⅰ）可知，11231n n b -=⨯-,通过放缩法可得()*11112313n n n b n --=≤∈⨯-N ,利用等比数列的求和公式即可证得结论. 【详解】（I ）当1n =时，11a =；当2n ≥时，123123(21)314nn a a a na n ⎡⎤+++⋯+=-⋅+⎣⎦11231123(1)(23)314n n a a a n a n --⎡⎤+++⋯+-=-⋅+⎣⎦． 两式相减，得13-=n n a ， 综上可得：()1*3n n a n -=∈N ．（Ⅱ）由（1）可知，()*11112313n n n b n --=≤∈⨯-N ， 故120121111131313333232n n nb b b -⎛⎫++⋯+<+++⋯+=-< ⎪⎝⎭， 即1232n b b b +++<…． 【点睛】本题考查递推公式在求数列通项公式中的应用,考查放缩法在证明数列不等式中的运用,难度一般.18．四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2SB SD ==，二面角S-BD-C 的余弦值为33-．（I ）证明：平面SAB ⊥平面SBD ； （Ⅱ）求二面角A-SD-C 的余弦值． 【答案】（I ）见解析（Ⅱ）22-【解析】(I) 连接AC ，交BD 于点O ．连接SO 易证得BD SO ⊥,BD AO ⊥即BD ⊥平面SAO,得到SA BD ⊥,利用余弦定理解得2SA =由222OS SA OA +=可证得SA SO ⊥,即可得到SA ⊥平面SBD,即可证得结论;(Ⅱ)建系,设()1111,,n x y z =和()2222,,n x y z =分别为平面SAD 、平面SCD 的法向量，求出法向量,利用公式计算即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）连接AC ，交BD 于点O ．连接SO 菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且O 是AC 和BD 的中点． 因为2SB SD ==，所以BD SO ⊥，SOC ∠是二面角S-BD-C 的平面角，即3cos 3SOC ∠=-，3cos 3SOA ∠=． 又SO OA O ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，SA BD ⊥．SOA 中，由余弦定理知：2222232cos 1(3)21323SA OA OS OA OS SOA =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=． 所以2SA =，即222OS SA OA +=，SA SO ⊥，又SO BD O ⋂=，所以SA ⊥平面SBD ， 又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SBD ．（Ⅱ）如图，分别以OA →，OB →为x ，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．则点(0,0,0)O ，3,0,0),A (0,1,0),D -(3,0,0),C 36S ⎝⎭， (3,1,0)AD →=--，236AS →⎛= ⎝⎭，(3,1,0)CD →=-，43633CS →⎛= ⎝⎭． 设()1111,,n x y z =和()2222,,n x y z =分别为平面SAD 、平面SCD 的法向量，则由1100AD n AS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11113036033x y x z +=⎨-=⎪⎩， 取1(1,3,2)n =-，由2200CD n CS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222230436033x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩． 取2(1,3,22)n =-．12121211(3)32(22)2cos ,2612n n n n n n ⋅⨯+-⨯+⨯-===-⋅⨯．故二面角A-SD-C 的余弦值为22-． 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,考查空间向量法求二面角的余弦值,考查学生的逻辑推理能力,难度一般.19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整； 优分 非优分 总计 男生 女生 总计50（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828．【答案】（I）（i）列联表见解析；（ii）在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（II）0.352．【解析】试题分析：（I）列出列联表，根据公式计算卡方的值，比较可得到结论；（II）根据题意，得到随机变量X服从二项分布(3,0.4)B，即可求解其概率．试题解析：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男生9 21 30女生11 9 20总计20 30 50假设0H：该学科成绩与性别无关，2K的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030n ad bcka b c d a c b d-⨯-⨯=== ++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ， 则X 服从二项分布(3,0.4)B ，所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=．【考点】频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验．20．已知直线1 : =-1l x 与直线2l 互相垂直，且交点为Q ，点(1,0)F ，线段QF 的垂直平分线与直线2l 交于点P ．（I ）若动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点(2,0),M (4,0)N ，经过点M 的两条直线分别与曲线E 交于A ，B 和C ，D ，且(0)AN NC λλ→→=>，设直线AC ，BD 的斜率分别为1,k 2k ，是否存在常数μ，使得当λ变动时，12k k μ=？说明理由．【答案】（I ）24y x =（Ⅱ）存在，12μ=【解析】（I ）结合题意可知||||PQ PF =,根据抛物线定义,可知点P 轨迹是以1l 为准线,F 为焦点的抛物线,由焦点坐标即可得出结果.（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+,由(0)AN NC λλ→→=>可知A ，N ，C 共线,设直线AC 的方程为4x ny =+,设点()11,,A x y ()22,B x y ,()33,,C x y ()44,D x y ,由直线AB 和曲线E 联立,借助韦达定理可得128y y =-,348y y =-,代入计算求得的关系式,1134k y y =+,422131344888k y y y y y y ===--+++,即可得出结论 【详解】（Ⅰ）由题意，||||PQ PF =，结合抛物线定义， 可知点P 轨迹是以1l 为准线，F 为焦点的抛物线， 故曲线E 的方程为24y x =．（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，由224x my y x=+⎧⎨=⎩，得2480y my --=． 设点()11,,A x y ()22,B x y ，则128y y =-． 同理，设点()33,,C x y ()44,D x y ．则348y y =-． 由(0)AN NC λλ→→=>可知A ，N ，C 共线， 设直线AC 的方程为4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩，得24160y ny --=，1316y y =-． 又1313122311313444y y y y k y y x x y y --===-+-，242422224424213134488844y y y y k y y x x y y y y y y --=====---+++-，故1212k k =，所以存在常数12μ=，使1212k k =．【点睛】本题考查定义法求抛物线方程,考查直线和抛物线的关系中的定值问题,考查韦达定理在解决直线和抛物线问题中的应用,难度较难. 21．已知函数()e ax f x x =-，其中a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x R 上有两个不同的零点1,x 2x ，且12x x <，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）见解析（Ⅱ）10ea <<． 【解析】（I ）求导得()e 1ax f x a '=-,讨论0a ≤和0a >即可解得单调区间;（Ⅱ）要使得()f x R 上有两个不同的零点1,x 2x ，且12x x <，由（I ）可知0a >取得极小值，极小值小于0,可解得10e a <<.借助引理1：0,x 2e 2xx x >+;引理2：10,,e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭22211ln 0x x x x -->证明10e a <<存在1110,ln x a a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =．2011ln ,x x a a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()20f x =．即证得10e a <<符合题意. 【详解】（I ）()e 1ax f x a '=-．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0f x '=解得11ln x a a=， 当11,ln x a a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当11ln ,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上，0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；0a >时()f x 在11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （Ⅱ）引理1：0,x 2e 2xx x >+． 证明：令2()e (0)2x x g x x x =-->， 则()e 1x g x x '=--，()e 10(0)xg x x ''=->>，()g x '∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0g '=，()0(0)g x x '∴>>．()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g =，()()00g x x ∴>>．引理2：10,,e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭22211ln 0x x x x -->． 证明：2221112212ln ln ln 2x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令2()ln 2,h x x x =+-10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ， 则22122()0x h x x x x -'=-=<，()h x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 1()12e 22e 30e h x h ⎛⎫∴>=-+-=-> ⎪⎝⎭，故得证． 下求实数a 的取值范围．由（1）知要使()f x 有两个零点，0a >， 此时，min 1111()ln 1ln f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令min ()0f x <，解得10e a <<． 又(0)1f =，1110,ln x a a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =． 由引理1和引理2知： 10,e a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，022(1)11ln a x a a a -⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭． 使()()0200000e 2ax ax f x x ax x =->+-2200(1)2a x a x =-- 2000(1)[(1)(1)]02a x x a x a a ⎡⎤=-->---=⎢⎥⎣⎦． 2011ln ,x x a a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()20f x =． 综上：10ea <<． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值,考查零点存在性定理在证明零点中的应用,借助引入定理是解答本题的关键,着重考查了函数的构造思想、等价转化思想,难度困难.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），直线l的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ（0,ρ>002π≤<）是曲线C 上任意一点． （I ）求证：cos 4ρθ=；（Ⅱ）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求11||||AM AN +的值． 【答案】（I ）见解析（Ⅱ）11||||AM AN +=【解析】（I ）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程,再转化问极坐标方程,即可得出结果.（Ⅱ）联立直线参数方程与曲线C 的直角坐标方程,根据直线参数方程中的几何意义可知121211||||t t AM AN t t ++=由韦达定理即可得出结果. 【详解】（I ）依题意，曲线22:(2)4C x y -+=，故2240x y x +-=， 即24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=，cos 4ρθ=．（Ⅱ）将直线l的参数方程212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2240x y x +-=中，化简可得210t ++=，设M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，121t t =，故121211||||||||||||t t AM AN AM AN AM AN t t +++===⋅ 【点睛】本题考查直线的参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的转化,考查了根据直线参数方程中t 的几何意义求值,难度一般.23．设函数()|24||21|f x x a x =++-．（I ）当12a =时，解不等式()4f x <； （Ⅱ）若41a -<<-，()f x 的图像与坐标轴的三个交点构成的三角形的面积为103，求实数a 的值．【答案】（I ）51|22x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）2a =-． 【解析】（I ）分类讨论去绝对值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.（Ⅱ）根据题意求出与坐标轴交点的坐标,因为三角形的面积为103,列出方程,根据41a -<<-,化简即可求得结果.【详解】（I ）当12a =时，73,22191()24,2222713,22x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩， 当2x <-时，原不等式可化为7342x --<， 解得52x >-，故522x -<<-； 当122x -≤≤时，原不等式可化为942x +<， 解得21x <-，故122x -≤<-； 当12x >时，原不等式可化为7342x +<，解得16x <，此时不等式无解． 综上所述，不等式()4f x <的解集为51|22x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）()|24||21|f x x a x =++-，令0x =，得(0)4f a =+．令()0f x =，得422a x a +=-或422a x a -=+， 所以()f x 的图像与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为21445(4)10(4)22222213a a a a S a a a a -++⎛⎫=-+== ⎪+--⎝⎭． 41a -<<-，()25(4)10321a a S a +==-∴， 化简得271240a a +-=，解得2a =-或27a =（舍去），故2a =-． 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,考查了已知三角形面积求解参数问题,根据绝对值的定义正确去掉绝对值符号是解答本题的关键,难度一般.。
2019届安徽省高三最后一卷理科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省高三最后一卷理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数满足，则的共轭复数的虚部是（________ ）A．___________ B．______________ C．___________ D．2. 命题“ 或”的否定形式是（________ ）A．或________ B．或C．且________ D．且3. 已知，则（________ ）A．________ B．________ C．_________ D．4. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（________ ）A．_________ B．________ C． D．5. 已知随机变量，随机变量，则（）A．________ B．C． D．6. 若在双曲线上，为左焦点，，则（________ ）A．1 B．1或17________ C．41________ D．177. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（________ ）A．________ B．________ C．________ D．8. 淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为（________ ）A．150_________ B．180________ C．200_________ D．2809. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（________ ）A． B．_________ C．________ D．110. 现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于（________ ） A．_________ B．C．_________ D．11. 如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（________ ）A．_________ B．_________ C．________ D．12. 已知实数，设方程的两个实根分别为，则下列关系中恒成立的是（________ ）A． B．C． D．二、填空题13. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则_______________．14. 如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________ ．15. 数列中，，则此数列的通项公式___________．16. 为椭圆上的任意一点，为圆的任一条直径，则的取值范围是____________．三、解答题17. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点；（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；（2）求的面积的最大值；18. 如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，．（1）求证：；（2）若，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 由于全力备战高考，造成高三学生视力普遍下降，现从我市所有高三学生中随机抽取16名学生，经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求医生从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计全市的总体数据，若从我市考生中（人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．20. 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18．（1）求抛物线的标准方程；（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21. 已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求证：．22. 选修4-1：几何证明选讲如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．（1）求证：；（2）若，且，求．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．24. 选修4-5：不等式选讲已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3．（1）求整数的值；（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
安徽省合肥市2019届高三一模数学(理)试卷(解析版)
合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可。
【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。
【点睛】本道题看考查了复数的化简，考查了复数的意义，关键在于化简z，属于较容易的题。
2.集合，，则= ( ).A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。
【详解】解得集合，所以，故选C。
【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小。
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).A. 63B. 47C. 23D. 7【答案】C【解析】【分析】本道题不断的代入i,n，直到，退出循环，即可。
【详解】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。
故选C。
【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n，输出，即可，难度较容易。
4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
5.已知偶函数在单调递增，则对实数是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果.【详解】因为为偶函数，且在单调递增，所以函数在单调递减，且函数关于y轴对称.若时,根据函数单调性可得,即,所以由不能推出；若，根据函数的单调性可得：,也不能推出，综上，是的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本体主要考查充分条件和必要条件的判定，结合函数的单调性即可作答，属于基础题型.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ). 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。