江苏省扬州市2021届第一学期高三数学期中调研试卷及答案
江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题数学试题及答案
江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321132l AB k k -===--， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ， 同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即222266033k km k r r k-+=--恒成立， 所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
江苏省扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试卷
江苏省扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试卷(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {1,2,3}, B={|y=3x,x∈A}. 则A∪B= ( )A. {,2,3,9,27}B.{3}C. {1,3,6,9,27}D.{1,3}2.已知随机变量X ~N(1,σ2 ),P(X≥0)=0.8, 则P(X>2)= ( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为( )A. (0，1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3，4)4.已知a = ,b= ,c=则a,b,c的大小关系为( )A. a>b>cB.b>a> CC. c>b>aD. c>a>b5.设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )x6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1 .5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( )A.10-15B.1.5C.lg1.5D.101.57.已知函数f(x)= +k,若存在区间[a,b] [-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b] 上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为( )A. (-1,+∞).B.(-]C.( -)D. (-1,0]8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y= f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A. f()<f()<f(ln2)B. f() <f(ln2) < f()C. f(ln2)<f() < f()D. f(ln2)<f()< f()二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省扬州市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
江苏省扬州市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2．函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求xπ=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题6．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．7．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58B ．34C ．54D ．52【答案】C 【解析】 【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.8．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 9．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．10．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11 111 ax xax⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x∈恒成立，则112ax xax⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，2112axax⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x∈恒成立，，得3140aa-<<-⎧⎨-<<⎩，所以a的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 11．设集合{}220A x x x=-->，{}2log2B x x=≤，则集合()RC A B=IA．{}12x x-≤≤B．{}02x x<≤C．{}04x x<≤D．{}14x x-≤≤【答案】B【解析】【分析】先求出集合A和它的补集，然后求得集合B的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，()()210x x-+>，解得1x<-或2x>，故[]1,2RC A=-.对于集合B，22log2log4x≤=，解得04x<≤.故()(]0,2RC A B⋂=.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
扬州中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
10. 一次函数 f (x) 满足： f ( f (x)) 4x 3 ，则 f (x) 的解析式可以是（ ）
A. f (x) 2x 1
B. f (x) 1 2x
C. f (x) 2x 3
D. f (x) 2x 3
【答案】AD 【解析】
【分析】根据待定系数法，设出 f (x) kx bk 0 ，可得 f ( f (x)) k kx b b 4x 3 ，再根据对
9. 已知集合 A 2,5 ，集合 B x | x m ，使 A B 的实数 m 的值可以是（ ）
A. 0
B. -2
C. 4
D. 6
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合数轴由集合的运算可得答案.
【详解】由集合 A 2,5 ， B x | x m ，要使 A B ，
所以 m 2 ， 实数 m 的值可以是 0，4，6.
a ，即 b
2
，所以
8
b a
4
，
因为x | f (x) 0 x | f [ f (x)] 0 ，设 f t 0 ，则 f f t f 0 0，所以 b 0 ，所以
f x x2 ax x x a ， f [ f (x)] (x2 ax)2 a(x2 ax) (x2 ax)(x2 ax a) x(x a)(x2 ax a)
m2 当 m 2 时， g(x) f (x) 2 在 (4, ) 上没有零点，
综上，由函数 f (x) 是偶函数知， m 2 时，函数 g(x) f (x) 2 有 4 个零点， 当 m 2 时，函数 g(x) f (x) 2 有 6 个零点.
故选：BC
【点睛】关键点点睛，原问题可转化为 f (x) 2 根的个数，根据 f (x) 是偶函数，先研究 x 0 时， f (x) 2
江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
男女患者各 200 名，每位患者患Ⅰ型或 II 型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病
II 型病
男
150
50
女
125
75
(1)根据列联表，判断是否有 99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排 2 个接种
周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为 p(0＜p＜1)，每人每次接种的费用为 m 元(m
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则 f(9)的值为( )．
A． －3
B． 3
C．－9
D．9
1
3．已知 a＝20222021，b＝log20222021，c＝log2022
1
，则 a，b，c 的大小关系为(
)．
2021
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
答．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
．
(1)求 A；
10
(2)若点 M 在线段 AC 上，∠ABM＝∠CBM，BM＝5 7，且cosB＝1，求 c．
3
7
【解析】
21．(本小题满分 12 分)
某种疾病可分为Ⅰ、II 两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了
A．对于一个半径为 1 的圆，其“优美函数”仅有 1 个 B．函数f(x)＝x3－3x可以是某个圆的“优美函数” C．若函数 y＝f(x)是“优美函数”，则函数 y＝f(x)的图象一定是中心对称图形 D．函数y＝2cos(3π－x)可以同时是无数个圆的“优美函数”
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。
2.复数的虚部为 。
3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。
4.不等式的解集为 。
5.已知平行直线，则与之间的距离为 。
6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。
7.已知向量，则的充要条件是= 。
8.已知，则= 。
9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。
11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。
12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。
13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。
若，则双曲线的渐近线方程为 。
14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。
二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。
（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。
16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
17.（本小题满分14分）已知圆。
（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。
18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。
在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。
现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。
2020—2021学年度2020—2021学年度扬州市第一学期中检测试题 高三数学 答案
2020—2021学年度第一学期期中检测试题高 三 数 学 参 考 答 案1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9． AB 10． AC 11． ABD 12． ACD13．230x y +-= 14．11315．1 16． (0,1)[7,)+∞17． 在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+ ………2分cos sin B A B =,因为sin 0B ≠，所以cos A = ………5分选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c = ………10分 选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c ………10分选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+=所以由sin sin c b C B =得sin 4sin b Cc B== ………10分18． (1) 1cos2()sin()sin()2266x f x x x πππ+++--12cos()sin()266x x x ππ+⨯--1sin(2)23x x π+-1111(sin 2cos2(sin 2cos22222x x x x x +⋅-=⋅+ 1sin(2)23x π=+. ………4分 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ………5分 由2,Z 3x k k ππ+=∈得,Z 26k x k ππ=-∈，所以()f x 的对称中心为(,0),Z 26k k ππ-∈. ……6分 (2) 由1()6f α=得1sin(2)33πα+=，因为(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ+∈，所以cos(2)3πα+==， ………8分所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333ππππππαααα=+-=+⋅++⋅1123=+=. ………12分19． (1) 方法1：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()010k f a =-=，解得0k = ………3分下面检验，此时()x x f x a a -=-，故()()x x f x a a f x --=-=-，所以()f x 为奇函数 ……5分 方法2：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即++x k x x x k a a a a ---=-， ………1分 即)((10)x x k a a a --=+， ………3分 所以10k a -=，解得0k = ………5分 (2)由()10f <得10a a-<，解得01a <<， ………6分 所以()x x f x a a -=-是R 上的减函数， ………7分 因为()f x 为奇函数,所以由()()23+4210f tx f x +-+≤得()()()223+42121f tx f x f x ≤--+=- 因为()f x 是R 上的减函数，所以23421tx x +≥-对任意[1,1]t ∈-成立 ………9分 令22()3421352g t tx x tx x =+-+=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-成立，等价于22(1)3520(1)3520g x x g x x =+-≥-=-+-≥⎧⎪⎨⎪⎩, ………10分 解得11x -≤≤，所以x 的取值范围是[11]-，. ………12分 20． (1) 因为平面11ABB A ⊥平面11AA C C ，1BE AA ⊥，BE ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以BE ⊥平面11AA C C ， ………4分 又因为11C A ⊂平面11AA C C ，所以11BE C A ⊥. ………5分(2)方法1：（综合法）作1EF CC ⊥于F ，因为1BE CC ⊥，,BE EF E BE =⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1CC ⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以1BF CC ⊥,所以BFE ∠即为二面角1B CC A --的平面角. ………9分（注：对于作出了平面角，但没有证明的给2分） 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得BE =在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF =分所以在Rt BEF △中，EF =BFcos BFE ∠= 所以二面角1B CC A --. ………12分 方法2：（向量法）作1EF CC ⊥于F ，则1EF AA ⊥，因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，EF ⊂平面11AA C C ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以EF ⊥平面11ABB A ，以E 为坐标原点，,,EA EB EF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得AE BE ==.F BC AC 1B 1A 1EEA 1B 1C 1AC B在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF1CF =，所以点B的坐标为()0，点1B的坐标为()2-，点C的坐标为0，.由(1)知BE ⊥平面11AA C C ，所以平面1AC C 的一个法向量()10,1,0n =， .………8分设平面1BC C 的法向量()2,,n x y z =，则21200n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取0x y z ===，，则平面1BC C的一个法向量(20,n = .………10分所以113cos ,n n <>==………11分 所以二面角1B CC A --. ………12分 21．(1) ()()ii nxx y r y --==∑………3分62467.5155>==>=⨯=， ………5分 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. ………6分 注：这里处理方案很多，例如：根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0.所以9222036(0)190C P X C ===，49112203619(1)0C C P X C ===，2112204791609(29)C C C P X C +===，114722023810(9)C C P X C ===，27220(4)21190C P X C ===. 所以X 的分布列为：1所以190190190()012341901901905E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ……12分 22． (1)方法1：分离参数得 当2x π≥时，不等式2x e m x -<恒成立，令2()x e h x x -=，则22(2)(1)2()0x x x e x e e x h x x x---+'==>， ………2分 所以()h x 在[,)2π+∞上递增，所以2min 228()()252e h x h ππππ-==≈， ………3分 因为28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………4分 方法2：()x f x e m '=-.① 当2m e π≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[,)2π+∞上递增，所以2min ()()2022f x f e m πππ==-⋅->，即222852e m πππ-<≈，又28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………2分 ② 当2m e π>时，令()0x f x e m '=-=，则ln x m =.当(,ln )2x m π∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )2m π上递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)m +∞上递增.所以min ()(ln )ln 2(1ln )20f x f m m m m m m ==--=--<，这与()0f x ≥恒成立矛盾，故不符合. 综上得：正整数m 的值为1. ………4分 (2) 当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………5分 证明如下：显然(0)0g =，所以0是()g x 的一个零点， ………6分 ①当2x π>时，()sin cos 120x x g x e x x x e x =--->-->，所以()g x 无零点； ………7分②当02x π≤≤时，()2cos sin x g x e x x x '=-+，令()()2cos sin x h x g x e x x x '==-+，则()()3sin cos 0x h x g x e x x x '''==++>，所以()g x '在[0,]2π上递增又(0)10,g '=-<2()022g e πππ'=+>，所以存在唯一1(0,)2x π∈使得1()0g x '=. ………9分所以当1(0,)x x ∈时，()0g x '<，故()g x 递减；当1(,)2x x π∈时，()0g x '>，故()g x 递增；因为(0)0g =，所以1()0g x <，又2()202g e ππ=->，所以存在唯一21(,)2x x π∈使得2()0g x =综上得：当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………12分。
江苏省扬州市宝应中学2021届高三上学期期中考试模拟数学试卷(二) Word版含答案
江苏省宝应中学高三数学期中考试模拟试卷（二）一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ={x ｜－3＜x ＜1｝，N ={x |x ≤3}，则集合｛x |x ≤－3或x ≥1｝＝ ( ▲ ） A ． M ∩NB ． M ∪NC ． C R (M ∩N ）D ． C R (M ∪N )2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ,i 是虚数单位)，且z 2＝－2i,则有 ( ▲ ）A ． a ＋b ＝－1B ． a －b ＝－1C ． a －b ＝0D ． a ＋b ＝03．已知cos （α＋错误!)＝错误!，则sin2α的值为 ( ▲ )A ． 错误!B ． 错误!C ． 错误!D ． 错误!4．如图，己知函数f (x ）的图像关于坐标原点O 对称，则函数f (x )的解析式可能是 ( ▲ ）A ． f （x )＝x 2ln|x ｜ B ． f （x ）＝x ln ｜x | C ． f (x ）＝错误!D ． f （x ）＝错误!5．设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足AM →＝错误!错误!＋错误!错误!,向量AM →与错误!夹角的余弦 值为 （ ▲ )A ． 错误!B ． 错误!C ． 错误!D ． 错误!6．若随机变量()~2,1X N ,且()10.8413P X >=，则()3P X >= ( ▲ ）A ．0。
1587B ．0。
3174C ．0.3413D ．0。
68267．若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间［－2,2］上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ▲ ）A ． [－4,0］B ． (1,28]C ． ［－4，0)∪（1，28]D ． [－4,0）∪（1,28)8．已知函数3ln , 1()1, 1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()(1)y f x a x =--恰有三个零点,则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．（34-，0）B ．(-∞,34-)C ．(﹣3,34-） D ．（0,1）二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。