等差等比的性质

等差数列
1. 定义：d a a n n =-+1或)2(1≥=--n d a a n n （用于证明数列是等差数列） 例：1.增减性：设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}
n a a 12为递减数列，则 （ ） A.0<d B.0>d C.01<d a
D.01>d a
2.已知{}n a 和{}n b 均是等差数列，q p ,是常数，则下列数列是等差数列的序号为_________.
①{}q pa n +②{}
2
n a ③{}n n qb pa +④{}n na
3.已知数列{}n a 满足41=a ，),2(441*-∈≥-=N n n a a n n ，设2
1
-=
n n a b . （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
跟踪训练：
1.已知数列{}n a 满足22
2
1=-+n n a a ，21=a ，求n a
2.已知数列{}n a 满足11=a ，3
22
1++-
=+n n n a a a . （1）求证：数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+11n a 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
2.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=（关于n 的一次函数） 例.已知等差数列满足m a n a n m ==,，则=+n m a _________.
与通项公式有关的性质： （1）d m n a a m n )(-+=
例1.已知{}n a 是等差数列，68=a ，则=-1193
1
a a __________.
例2.在等差数列{}n a 中，b a a a a a =+=+2019109,，则=+10099a a __________. （2）如果q p n m +=+，那么q p n m a a a a +=+
例.已知等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项和为25，后10项和为75，则项数n 为_________.
（3）如果k n m 2=+，那么k n m a a a 2=+，其中k a 是m a 和n a 的等差中项，也称
n k m a a a ,,成等差.（若数列满足112+-+=n n n a a a ，则也可证明此数列是等差数列） 例1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.
例2.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 3.等差数列的前n 项和公式：=n S 2)(1n a a n +=d n n na 2
)
1(1-+
（关于n 的二次函数且常数项为0，记作Bn An +2） 与n S 有关的性质
（4）n n n n n S S S S S 232,,--成等差 设n S 是n a 的前n 项和，若
3163=S S ，则12
6S S
=________。

（5）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，则
1
21
2--=
n n n n T S b a 例.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45
n ＋3，则
使得a n
b n
为整数的正整数的个数是
( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.关于n S 的最值问题
1.0,01<>d a 可求n S 的最大值；0,01><d a 可求n S 的最小值
法一.求出n S 的表达式转化二次函数最值问题，需注意n 取整的条件；法二.求出变号临界项
例1.在等差数列{}n a 中，若01>a ，且13853a a =，则n S 中的最大项是（ ） A.19S
B.20S
C.21S
D.22S
例2.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15,731-=-=S a . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求出n S 的最小值.
2.求0>n S 或0<n S 成立的n 的最值（找已知条件）
例.设{}n a 为等差数列，0,0,076761<⋅>+>a a a a a ，则使其前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是_________. 3.特殊求和.
例 1.在数列{}n a 中，82=a ，25=a ，且)(221*++∈=-N n a a a n n n ，则
1021a a a +⋅⋅⋅++的值是__________. 例2.S n 为等差数列
的前n 项和，且1a =1 ，7S =28 记
，其中
表
示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。

（I ）求1b ，11b ，101b ； （II ）求数列
的前1 000项和.
等比数列
1.定义：
q a a n n =+1或)2(1
≥=-n q a a
n n （用于证明数列是等比数列） 例1.等比数列的增减性：
已知递增的等比数列{}n a 的公比为q .其前n 项和0<n S ，则（ ） A.10,01<<<q a B.1,01><q a C.10,01<<>q a D.1,01>>q a
例2：已知数列{}n a 满足n n n a a a a a 3
2
35,1,311221-===++.
证明：{}n n a a -+1是等比数列，并求出n a 的通项公式.
跟踪训练：已知数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a . 求证：数列{}1+n a 是等比数列 并求出n a 的通项公式.
2.通项公式：11-⋅=n n q a a （关于n 的指数型） 若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )． A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
与通项公式有关的性质： ①m n m n q a a -⋅= 例1.
等比数列{}n a 的公比0>q ，已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则n a 的通项公
式是__________.
例2.
数列{}n x 满足1lg lg 1+=+n n x x ，且10010021=+⋅⋅⋅++x x x ，则)l g (200102101x x x +⋅⋅⋅++等于__________.
②如果q p n m +=+，那么q p n m a a a a ⋅=⋅
③如果k n m 2=+，那么2
k n m a a a =⋅，其中k a 是m a 和n a 的等比中项，也称
n k m a a a ,,成等比.（若数列满足112
+-⋅=n n n a a a ，则也可证明此数列是等比数列） 2.前n 项和公式：)1(1)1(1≠--=q q
q a S n n
例1.已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－1
5，则实数t 的值为( )．
A ．4
B ．5
C.4
5
D.15
例2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=+a a ，则2
5
S S =_________. 例3.已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝
1－a n
2
； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
与n S 有关的性质：
n n n n n S S S S S 232,,--成等比且公比为n q
例1.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，60,542==n n S S ，则=n S 3________. 例 2.已知各项均是正数的等比数列{}n a ，10,5987321==a a a a a a ，则
=654a a a _________.
4.等差等比的综合应用
例1.已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.
例 2.在等比数列{}n a 中，若公比1>q ，且5,66482=+=⋅a a a a ，则
=7
5
a a __________. 例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比是__________.。