巧用等差_等比数列的基本性质解题
数学高考复习名师精品教案：第23课时：第三章 数列-等差数列、等比数列的性质及应用
数学高考复习名师精品教案第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn m Am Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项.解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶，∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}na 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n Sn a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4na n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++---- 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232n n a +=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3nn a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A BB=∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n nS n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
初中数学中常见的等差数列与等比数列题解题技巧
初中数学中常见的等差数列与等比数列题解题技巧等差数列和等比数列是初中数学中常见的数列类型，解题时掌握一些技巧可以提高解题效率。
本文将介绍一些常用的解题技巧，帮助同学们更好地理解和应用等差数列和等比数列。
一、等差数列的解题技巧1. 求公差在等差数列中，公差是一个重要的参数。
求解等差数列题目时，首先要确定公差的值。
可以通过两项之间的差值计算得出，等差数列的通项公式中的公差部分即为两项之间的差值。
2. 求首项在确定了公差后，我们要进一步求解等差数列的首项。
通常可以利用已知的某一项和对应的下标来计算首项。
应用等差数列的通项公式，代入已知值求解即可。
3. 求项数如果已知等差数列的首项、公差和某一项的值，我们可以通过相应的计算公式求解项数。
这个公式是通过将通项公式做逆运算得到的。
4. 求和等差数列求和是一个常见的问题，可以通过两种方法来求解。
一种是利用求和公式，直接代入已知值计算。
另一种是采用逐项相加法，按照等差数列的性质进行求和。
二、等比数列的解题技巧1. 求公比在等比数列中，公比也是一个重要的参数。
确定公比的值可以通过两项之间的比值得出，等比数列的通项公式中的公比部分即为两项之间的比值。
2. 求首项在确定了公比后，我们要进一步求解等比数列的首项。
通常可以利用已知的某一项和对应的下标来计算首项。
应用等比数列的通项公式，代入已知值求解即可。
3. 求项数如果已知等比数列的首项、公比和某一项的值，我们可以通过相应的计算公式求解项数。
同样，这个公式是通过将通项公式进行逆运算得到的。
4. 求和等比数列求和的方法和等差数列类似，也可以采用求和公式直接代入已知值进行计算，或者使用逐项相加法进行求和。
总结掌握等差数列和等比数列的解题技巧对于初中数学的学习至关重要。
在解题过程中，首先要确定数列类型，然后根据已知条件运用相应的解题技巧求解。
熟练掌握这些技巧可以提高解题效率，更好地应对考试和实际问题。
通过本文的介绍，希望同学们能够理解和掌握等差数列和等比数列的解题技巧，提高数学解题能力。
等差和等比数列的性质及其应用
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等差、等比数列性质的巧用
等差、等比数列性质的巧用【高考地位】从内容上看，等差、等比的性质一直是高考的热点，在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大。
类型一由等差或等比数列的性质求值例1 在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+……a n=30，则a5·a6的最大值等于（）A 、3 B、6 C、9 D、36例2 已知等比数列{a n}满足：a1+a2+a3+a4+a5=6，a3=3，则=_________.变式演练1：数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a4+b4，则（）A、a2+a6＞b3+b5B、a2+a6=b3+b5C、a2+a6＜b3+b5D、a2+a6与b3+b5大小不确定变式演练2：数列{a n}是等差数列，a1=1，且：a1，a2，a5构成公比为q的等比数列，则q=（）A、1或3B、0或2C、3 D、2变式演练3：已知等差数列{a n}中，a1+a2=22，a4=9，数列{b n}满足b n=，则b1·b2·b3·……b n=_________变式演练4：已知等比数列{a n}的各项均为正数，且8a1，a3，6a2成等差数列，则的值是________类型二有关等左或等比数列前n项和性质的问题例3 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=10，S30=130，则S40=（）A、－510B、400C、400或－510D、30或40变式演练4：S n为等差数列{a n}的前n项和，若S15=0，则a8=（）A、－1B、0C、1D、2变式演练5：设S n是等差数列{a n}的前n项和，存在n∈N*且n＞4时，有S8=20，S2n-1－S2n-9=116，则a n=（）A、8B、C、17D、16变式演练6：已知数列{a n}，{b n}为等差数列，其前n项和分别为S n，T n，，则=（）A、B、C、D、2型三数列的最值问题例4 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，a4=－12，如果n =m时，S n最小，那么m的值为（）A、10B、9C、5D、4变式演练7：已知S n为数列{a n}的前n项和，－2，a n，6S n成等差数列，若t=a1a 2+a 2a3+……+a n a n+1，则（）A、B、C、D、变式演练8：已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若公比q=－，S6=，则数列{a n}的前n项积T n的最大值为（）A、16B、64C、128D、256变式演练9:已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2=5，a4=1，则的最小值为__________.。
等比数列的性质及应用
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新做主食和菜，待会儿要吃月饼和果子呢，中午剩的这些也凑乎够了。”耿老爹说：“是啊，喝碗粥少吃点儿就行了，一会儿 有的吃呢！”耿直调皮地说：“我真想现在就吃月饼！还有那几个苹果，又红又大，看着真馋啊！”耿正拍拍弟弟的肩膀亲切 地说：“先喝粥吧，吃那些供品还不到时候呢！”简单吃完晚饭收拾好后，天儿已经完全黑了，父子四人各搬一把椅子来到临 窗的桌子前。在这个看不见圆月的八月十五夜里，耿老爹的心情是异常复杂的。在家里时，一直都是妻子郭氏操持“供月”仪 式的，他自己只是参与仪式后半部分的许愿程序而已。然而在今儿晚上，却是只有他和三个娃儿一起过节，而他自己又不会絮 叨那些个“请月儿爷爷享用月饼瓜果”之类的话；再说了，天空中也看不到月儿爷爷！于是，耿老爹建议：“娃儿们，反正这 天上也看不到月儿爷爷，咱们不如干脆免了‘供月’仪式得了。月儿爷爷若想要享用这些东西，欢迎光临自行享用就是了！咱 们现在就坐了恭候吧；略等一等，谁想吃什么，就吃一些！”耿正兄妹三人觉得也是，到处都是黑乎乎的，“供”得哪门子 “月”啊！于是，耿正和耿老爹坐在桌子两边，耿英挨着爹坐下，耿直坐在哥哥和姐姐的中间，大家一起默默地望着黑乎乎的 夜空，好一会儿谁也没有说话。黑暗中，耿直忽然抽泣起来，并且带着哭声说：“我，我想娘，想兰兰”耿英伸出一只胳膊揽 住弟弟不断颤动着的小肩膀，柔声安慰他说：“小直子，别难过”耿老爹站起身来要去点灯，耿英赶忙拉住爹爹的胳膊，低声 说：“爹，别，别点灯”是啊，想要抛洒眼泪的人是不需要光亮的。在黑暗中，人的内心更加安静，可以想得更多、思得更远 在这个本应该明月高悬的八月十五夜，远离故土的耿家父子四人，在黑暗中守着摆在面前的月饼和瓜果，想着故乡的亲人和明 月，心潮涌动，思绪万千他们除了思念，还是思念那些南国的月饼和瓜果，谁也没有去动。此时此刻，除了默默地流泪，谁也 不再想做其他的任何事情了耿直低低的抽泣声一直持续了很久很久125第十七回 老乡送书信喜煞人|（喜鹊飞来报喜讯，老乡 送书信喜煞人；全家人述说心里话，老乡代笔写家信。）和去年一样，秋高气爽的八月十六又是一个大晴天。郭氏一早就起床 了。尽管心里老想着去年今日里此时此刻的情景，眼前老是晃动着朦胧的晨光中丈夫和三个儿女匆匆离家时的身影，耳畔好像 还能听到他们说话的声音；但今年的庄禾长得挺好，三亩水田的苞米呢，她得去掰啊！秋收的日子里家家都很忙呢，郭氏打心 眼儿里不想给大家伙儿添麻烦，希望自己带着耿兰全部收回来。娘儿俩简单地吃完早饭后，郭氏收拾了俩人的碗筷，顺便洗了 两个苹果放到耿兰的小竹篮子里，对瞪着一双好看
等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧
高考专题复习——等差与等比数列一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2ca b +=⇔ 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+=前n 项和nd n n a n a a S n )1(212)(121-+=+=等差数列当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+}{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念 推广m n q -⋅前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等1121......+--⋅===i n i n n a a a a a aq p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、典型例题例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ20)192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a∴101921=+d a 那么100)192(102)(20120120=+=+=d a a a S解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+20)(2)(2201156151296=+=+=+++a a a a a a a a Θ点评：在等差数列中，由条件不能具体求出1a 和d ，但可以求出 1a 与d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出（2）利用：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用1a 和 d 表示更简捷。
等差等比数列求解技巧
等差等比数列求解技巧等差数列和等比数列是在数学中经常遇到的一类数列，对于求解等差等比数列的问题，我们可以用到一些常见的技巧来简化计算过程。
在本文中，我将向您介绍并详细解释以下几种等差等比数列的求解技巧。
一、等差数列的求和公式等差数列是指数列中的每两个相邻项之间差值相等的数列，也就是说，每个后项与前项的差都是相等的。
1. 求等差数列的前n项和设等差数列的首项为a1，公差为d，要求前n项和Sn，我们可以应用求和公式来求解：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是前n项的最后一项。
n是项数。
例如，要求等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，则a1=1，d=2，n=3，代入求和公式得：S3 = (1 + 5) * 3 / 2 = 9。
2. 求等差数列的末项根据等差数列的性质可知，等差数列的末项an可以表示为：an = a1 + (n-1) * d其中，a1是首项，n是项数，d是公差。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求其第10项的值，则代入公式得：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 21。
二、等比数列的求和公式等比数列是指数列中的每两个相邻项之间的比值相等的数列，也就是说，每个后项与前项的比都是相等的。
1. 求等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为q，要求前n项和Sn，我们可以应用求和公式来求解：Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
例如，要求等比数列2, 4, 8, 16的前3项和，则a1=2，q=2，n=3，代入求和公式得：S3 = (2 * (1 - 2^3)) / (1 - 2) = 14。
2. 求等比数列的末项根据等比数列的性质可知，等比数列的末项an可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
例如，已知等比数列的首项为3，公比为2，求其第10项的值，则代入公式得：a10 = 3 * 2^(10-1) = 1536。
等差、等比数列的运用
等比中项：在等比数列中，任意两项$a_m$和 $a_n$（$m neq n$）的等比中项是$sqrt{a_m times a_n}$。
若$m + n = p + q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。
求和公式及其推导
求和公式：对于等比数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$， 若首项为$a_1$，公比为$q$，则有求和公式
通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1为首项， d为公差，n为项数。
等差中项与性质
等差中项
在等差数列中，任意两项的算术平均 数等于它们的等差中项。
性质
等差数列中，任意两项的和是常数； 任意一项的倍数也是等差数列；若数 列是等差数列，则其前n项和也是等差 数列。
求和公式及其推导
求和公式
Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为第n项。
在实际应用中，要注意等差、 等比数列的性质和特点，以便 更好地运用它们解决问题。
04 等差、等比数列在实际问 题中的应用
在算术问题中的应用
01
02
03
求和问题
利用等差、等比数列的求 和公式，可以快速解决一 系列数的求和问题，如求 1到100的自然数和。
插值问题
在已知两个数之间的等差 或等比关系时，可以利用 数列的性质求出中间缺失 的数。
等比数列证明
假设数列为$a_n = 2^n$，要证明其为等比数列。根据定义法，计算相邻两项的比： $frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$，由于比为常数，故数列为等比 数列。
注意事项
在判定和证明过程中，要确保 所使用的数学方法和逻辑是严 谨的。
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又 2 bn+1 = b2 + b2 n , ∴bn+1
1 = ×104 = 52 . 2
= - 110 .
例 7 在等比数列{ an } 中 , an > 0 , 若 a1
+ a2 + … + ak = 1 ,
2 ) 设等差数列{ an } 的项数为 2 k + 1 , 则
1
a1
+
1
a2
+ …+
数列的前 20 项的和
8
S 20 = =
数 学 通 讯 2005 年第 24 期
20 ( a1 + a20 ) 20 ( a2 + a19 ) = 2 2 20 ・( - 8 + 26) = 180 . 2
9 ( a1 + a9 ) a5 2 a5 a1 + a9 2 = = = b5 2 b5 b1 + b9 9 ( b1 + b9 ) 2
4 = a5 + a8 , 但 :1 + 3 ≠5 + 8 .
在解决数列问题时 , 如能灵活运用性质
1) , 2) , 往往能为解题带来事半功倍的效果 .
解 假设这个数列的项数为 n , 则由题 意知 , a1 + a2 + a3 + a4 = 35 , an + an- 1 + an- 2
+ an- 3 = 125 ,
( 收稿日期 :2005 - 09 - 20)
解 在等差数列{ an } , { bn } 中 ,
∵a1 + a2 k+1 = a2 + a2 k , ∴
( k + 1) ・( a1 + a2 k+1 ) S1 = S2 k ・( a2 + a2 k ) = k +1 30 = , k 24
∴a1 ak =
1 . 4
∵an > 0 , 由性质 2) ,
a1 a2 ・…・ ak = ( a1 ak )
2
k
1 = ( ) 4
2
k
=
1 . 2k
∴k = 4 , 项数 n = 2 k + 1 = 9 . 例 5 有两个等差数列{ an } , { bn } , 满足
a1 + a2 + … + an a5 7n + Байду номын сангаас = ,求 . b1 + b2 + … + bn n+3 b5
注 例 4 , 例 5 , 例 6 , 例 7 考虑的问题相 对较为复杂 , 需要对所给条件和待求结论作 适当组合 、 变形 , 为使用性质创造条件 , 这是 问题解决的关键 .
的和与偶数项的和分别为 30 与 24 , 则项数 n
= .
解 1 ) 原等差数列共有 n + 1 项 , 在每 相邻两项之间插入一个数时 , 构成的新等差 数列{ bn } 共有 2 n + 1 项 , 依题意知 b2 = - 28 ,
b2 n = 132 , ∴b2 + b2 n = 132 - 28 = 104 .
3 ) log2 a2 + log2 a3 + log2 a5 + lo g2 a6
2 = log2 ( a2 ・a3 ・a5 ・a6 ) = log2 ( a3 ・a5 )
= 2log2 8 = 6 .
注 例 1 是性质 1) , 2) 的直接应用 , 关 键在于如何利用基本性质沟通已知和所求 . 例 2 已知等差数列 { an } 的前四项和 为 35 , 后四项和为 125 , 所有项的和为 280 , 则 这个数列的项数是
可求得 a3 + a8 = - 3 , ∴S 10
10 ( a1 + a10 ) 10 ×( a3 + a8 ) = = 2 2 10 ×( - 3 ) = = - 15 . 2
项的和 . 解 由性质 1) 及已知条件得 3 a2 =
- 24 , 3 a19 = 78 , ∴a2 = - 8 , a19 = 26 , 所以此
a1 + … + a9 7 ×9 + 2 65 = = . b1 + … + b9 9 +3 12
例 4 1) 一个等差数列共 n + 1 项 , 在每 相邻两项之间插入一个数 , 使新数列仍是等 差数列 , 且插入的数中最大的为 132 , 最小的 为 - 28 , 则新数列的第 n + 1 项为 ;
90 ( a11 + a100 ) = 45 ( a1 + a110 ) , 2
又 S 10 = 100 , S 100 = 10 , ∴ 45 ( a1 + a110 )
= - 90 , 即 a1 + a110 = - 2 .
∴S 110 =
110 ( a1 + a110 ) 110 ×( - 2 ) = 2 2
2005 年第 24 期 数 学 通 讯
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巧用等差 、 等比数列的基本性质解题
马文杰 徐宇红
( 黄岩第二高级中学 , 浙江 318020)
等差数列和等比数列具有以下基本性 质:
1 ) 在等差数列 { an } 中 , 若 m + n = s +
3 t ( m , n , s , t ∈ N ) , 则 am + an = as + at ;
∴( a1 + an ) + ( a2 + an- 1 ) + ( a3 + an- 2 )
+ ( a4 + an- 3 ) = 160 ,
∴ 4 ( a1 + an ) = 160 , ∴a1 + an = 40 , ∴这个数列的项数 n =
2 ×280 = 14 . 故选 ( A ) . 40 2Sn = a 1 + an
1
ak
= 4,
所有奇数项的和
S1 = ( k + 1 ) ・( a1 + a2 k+1 )
且公比 q ≠1 , 则 a1 a2 ・…・ak = .
2
= 30 ,
解 由条件得
1
-
a1 - ak q = 1, 1 - q
所有偶数项的和
S2 = k ( a2 + a2 k )
2
= 24 ,
ak
q a1 a1 - ak q = = 4, 1 - q a1 ak ( 1 - q)
例 1 1) 在等差数列{ an } 中 , 若 a3 + a4
+ a5 + a6 + a7 = 450 , 则 a2 + a8 = ;
2 ) 若等差数列{ an } 的各项都是负数 , 且
a3 + a8 + 2 a3 ・ a8 = 9 , 则其前 10 项的和 S 10 = ;
2 2
3 ) 若{ an } 是各项均为正数的等比数列 ,
且 a3 ・a5 = 8 , 则 log2 a2 + log2 a3 + log2 a5 +
log2 a6 = .
解 1) 由于 a3 + a7 = a4 + a6 = 2 a5 , 所 以由已知条件得 5 a5 = 450 , 即 a5 = 90 , 所以
a2 + a8 = 2 a5 = 180 .
注 例 2 的关键在于通过整体处理的 方法 , 使已知条件和性质 1) , 2) 发生联系 . 例 3 等差数列 { an } 中 , a1 + a2 + a3
2 ) 由 an < 0 , 及 a3 + a8 + 2 a3 ・a8 = 9
2
2
= - 24 , a18 + a19 + a20 = 78 , 求此数列的前 20
2 ) 一个项数为奇数的等差数列 , 奇数项
=
例 6 已知{ an } 为等差数列 , 前 10 项的 和为 S 10 = 100 , 前 100 项的和为 S 100 = 10 , 求 前 110 项的和 S 110 . 解 利用性质 1) , 可得
S 100 - S 10 = a11 + a12 + … + a100 =
( A ) 14. (B ) 15. ( C) 16. ( D) 17.
( )
2 ) 在等比数列 { an } 中 , 若 m + n = s +
3 t ( m , n , s , t ∈ N ) , 则 am ・an = as ・at .
注 这两个命题的逆命题都不正确 . 例 如 , 通项为 an = 2 的等差数列满足 a1 + a3 =