等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列

一．课程目标

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数的关系.

二．知识梳理

1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.

数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数).

2.通项公式

若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .

3.前n 项和公式

等差数列的前n 项和公式：2

2111)()

(n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).

3.等差数列的常用性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+=

(2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+

(3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.

(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.

(5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n

S n

也是等差数列，

其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的

2

1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。

a .若项数为n 2，则1

+==-n n a a

S S nd S S 偶奇奇偶,

。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1

+=

=-n n

S S a S S n 偶奇奇偶,

。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则

1

21

2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d

a n d S )(2

212-+=

，数列{a n }是等差数列?

S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

三．考点梳理

1.等差数列的概念及运算

例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99

C.98

D.97

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.

练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.19

2

C.10

D.12

2.等差数列的性质

例1.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5 B.7

C.9

D.11

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45

C.36

D.27

例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A.13 B.12

C.11

D.10

例4.(2015·广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.

例5.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )

A.－1

B.－2

C.－3

D.－4

例6.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则

a 9

b 5＋b 7＋a 3

b 8＋b 4的值为________.

3.等差数列与函数

例1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6

C.7

D.8

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝9

11，则当S n 取最大值时，n 的值为( )

A.9

B.10

C.11

D.12

例3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )

A.a 1＋a 101＞0

B.a 2＋a 100＜0

C.a 3＋a 99＝0

D.a 51＝51

例4.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( ) A.36 B.6

C.4

D.2

例5.设{n S }是公差为d （0≠d ）的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）

A.若d<0，则数列{n S }有最大项

B.若数列{n S }有最大项，则d<0

C.若数列{n S }为递增数列，则对任意*N n ∈，均有n S >0

D.若对任意*N n ∈，均有n S >0，则数列{n S }为递增数列

例6.设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大

的自然数n是()

A．9 B．10 C．11 D．12

方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.

§6.3 等比数列

一．课程目标

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；

2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；

3.了解等比数列与指数函数的关系.

二．知识梳理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示. 数学语言表达式：a n

a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).

(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .

2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式

(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －

1；

通项公式的推广：a n ＝a m q n －

m .

(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q

1－q .

3.等比数列的性质

已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .

(2)数列}{},{),}({n n n n b a a c a c ?≠?0（}{n b 是等比数列），}{2

n a ，}{

n

a 1

等也是等比数列。(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .

(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (5)等比数列{a n }的单调性：

当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；

当q ＝1时，数列{a n }是常数列. (6)当n 是偶数时，q S S ?=奇偶;

当n 为奇数时，q S a S ?+=偶奇1

三．考点梳理

1.等比数列的概念及运算

例1.在单调递减的等比数列}{n a 中，若13=a ，2

5

42=

+a a ，则1a ＝( ) A.2 B.4 C. 2

D.2 2

例2.公比不为1的等比数列}{n a 满足187465=+a a a a ，若91=m a a ，则m 的值为( ) A.8 B.9

C.10

D.11

例3.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.

2.等比数列的性质

例 1.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.

例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9

S 6＝( )

A.2

B.7

3 C.83

D.3

例3.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42 C.63 D.84

例4.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200

D.400或－50

例5.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12 B.13 C.14 D.15

例6.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2

n 等

于( )

A.(3n －1)2

B.1

2(9n －1) C.9n －1

D.1

4

(3n －1)

例7.在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________.

例8.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则)

(l

o g 9753

1

a a a ++的值是( )

A ．－5

B ．－15

C ．5

D ．1

5

例9.在各项均为正数的等比数列{a n }中，121253+=-=a a ,，则73622

32a a a a a ++=

（ ）

A.8 B ．6 C ．4 D ．248-

例10.若等比数列}{n a 的前n 项均为正数，且5

12911102e a a a a =+，则

=+???++2021a a a ln ln ln _________.

§6.3数列求和

一．课程目标：

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

二．知识梳理

1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）

2d .

②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；

(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q

1－q .

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. 2.常见的裂项公式

(1)

1

1

111+-=+n n n n )(

(2)

))((12121+-n n ＝)(1

21

12121+--n n

(3)

n n n n -+=++11

1

三．考点梳理 1.求数列的通项公式。

例1.已知数列{a n }满足n n a a a 411111-

==+,，其中n ∈N *．设1

22-=n n a b ，求证：数列}{n b 是等差数列，并求出}{n a 的通项公式；

例2.已知数列{a n }满足a 1=

7

3

，a n+1= 1a 4a 3n n +，n ∈N +．求证：数列{n a 1﹣2}是等比数列，

并且求出数列{a n }的通项公式；

例3.已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，431=

a ，2

1

11++=--n n n a S S （n ∈N *且n≥2），数列}{n b 满足：4

37

1-

=b ，且131+=--n b b n n （n ∈N *且n≥2）． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列}{n n a b -为等比数列；

例4.在数列}{n a 中，已知n n n a a a a a 22311221-===++,,．证明数列}{n n a a -+1是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；

例5.数列}{n a 满足21=a ，n n n n n a n a a 22

1211++=++)(（*N n ∈）。设n n

n a b 2=，求数列}{n b 的

通项公式。

例6.数列{a n }满足1223211=++=a a a a ,，且0221=+-++n n n a a a (n ? N*)。 (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)令n b = 1

4+n n a a + 1

2-n n a ， 求数列{b n }的前n 项和.