初中奥数提高班第5讲一元一次方程
初中七年级奥数课件：一元一次方程
• 解： 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
• 要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
• 看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
• 因为 k2≥0，
• 所以，只要 k＞5 或 k＜2且k≠0时，上式大于零，
• 所以，当 k＜2且k≠0 或 k＞5 时，原方程的解是正 数，所以 k＞5 或 0＜k＜2 即为所求．
• 于是有：
• 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，
•即
-2x=-21，
x = 21 2
• 例 4、 解关于 x 的方程
•
(mx-n)(m+n)=0．
• 分析：这个方程中未知数是x，m，n是可以 取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取 不同值时，方程解的情况．
• 解 ：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
x = - 22 9
• 例 2、 已知下面两个方程3(x+2)=5x， • ①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) • ② 有相同的解，试求 a 的值 。
• 分析： 本题解题思路是从方程①中求出 x 的 值，代入方程②，求出 a 的值．
• 解：由方程①可求得 3x-5x=-6，
• 所以 x=3．由已知，x=3 也是方程②的解， 根据方程解的定义，把 x=3 代入方程②时， 应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
• 分析 ：当方程ax=b有唯一解 由不得a、b来确定：
x = b 时，此解的正负
a
• (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立．
• (2)若 ab＞0 时，则方程的解是正数；反之，若方 程 ax=b 的解是正数，则 ab＞0 成立．
初一奥数提高班第05讲-一元一次方程
第5讲一元一次方程一重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3）一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．二.典型例题分析:例1解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．例2：已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．例3：已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．例4 已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．三.拓展练习(一).填空题1.若关于x 的方程x+2=a 和2x －4=3a 有相同的解,则 a= .2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是 ．3．关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x －1 ︳+m=0无解,则m=____________.(二).选择题6.若2a 与1－a 互为相反数,则a 等于( )A. 0B. －1C. 1D. －27.当3＜a ＜8时,关于x 的方程3x －8=a(x －1)的解是( )A. 无解B.正数C. 零D.负数8.要使方程ax=a 的解为1,则( )A.a 可取任何有理数B.a ＞0C. a ＜0D.a ≠09.关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( )A. 2B. 3C.1或2D.2或310.关于x 的方程3x －4=a －bx 有无穷多个解,则a. b 的值应是( )A. a=4, b=－3B.a=－4, b=－3C. a=4 , b=3D.a .b 可取任意数(三)解答题11.解关于x 的方程(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d12.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.13.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.1314.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.15．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．四.课后作业1.解关于x的方程(1)ax=1+x2.已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:(1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.。
七年级上册奥数竞赛题动点动角一元一次方程
七年级上册奥数竞赛题动点动角一元一次方程七年级上册奥数竞赛题中的动点动角和一元一次方程问题是一个经典而有趣的数学题型。
通过分析这类题目的具体操作方法以及推理论点，我们可以得出实践导向的结论，并进一步阐释相关问题。
本文将围绕这个主题，通过举例说明具体操作方法，分析性循序推理论点，并给出实践导向的结论，同时还会添加更多细节和深入相关信息。
动点动角问题是指在一个平面上，给定一个动点和一个初始角度，根据一定的规则，求解该动点在不同时间点上的位置。
在七年级上册的奥数竞赛中，常常出现这样的问题：已知一个动点以一定的角速度和初始角度在平面上运动，求解该动点在某个特定时间点上的位置坐标。
举一个例子，假设一个小车以每秒30度的角速度顺时针旋转，并且初始角度为0度。
那么在经过2秒后，我们可以通过一元一次方程来计算小车的位置坐标。
首先，我们可以设小车的初始坐标为原点O，然后根据角速度和时间的关系，可以得出小车在经过t秒后的角度A为A=30t。
接下来，我们需要利用三角函数的知识来求解小车的位置坐标。
在平面直角坐标系中，我们可以将小车的位置坐标表示为(x, y)，其中x表示小车与y轴的距离，y表示小车与x轴的距离。
根据三角函数的定义，我们可以得出x=cosA和y=sinA。
代入A=30t，我们可以得到x=cos(30t)和y=sin(30t)。
因此，小车在经过2秒后的位置坐标可以表示为(x, y)=(cos(30*2), sin(30*2))。
通过这个例子，我们可以看出动点动角问题与一元一次方程的关联。
在解决这类问题时，我们需要将动点的运动过程转化成角度的变化，并利用三角函数的知识求解其位置坐标。
这就涉及到了一元一次方程的运用，即将时间作为未知数，通过角速度和初始角度的关系来建立方程，从而求解所需的位置坐标。
通过分析这类问题，我们可以得出以下实践导向的结论：在解决动点动角问题时，我们需要熟练掌握角速度和初始角度的概念，以及角度与位置坐标之间的关系。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲 一元一次方程
二、一元一次方程根的存在性讨论
一元一次方程最终都可化成ax=b的形式
显然，当a≠0时，方程有唯一的实数根；
当a=0且b=0时，方程有无数根；
当a=0且b≠0时，方程无根。
反之亦然。
例2（第11届“希望杯”竞赛试题）Ifa2+b2>0，then theequation ax+b=0，for x has（）
3.关于 的方程 有唯一解，则 应满足的条件是_______.
4.已知方程 的解在2与10之间（不包括2和10），则 的取值为____.
5.已知 ,那么 ________
6.一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（）
A.142857 B.157428 C.124875 D.175248
例2若方程（2a+1）x2+bx+c=0表示关于字母x的一元一次方程，则有（）.
A.a= ，b≠0，c为任意数B.a≠ ，b≠0，c=0
C.a=- ，b≠0，c≠0D.a=- ，b≠0，c为任意数
解析：∵（2a+1）x2+bx+c=0是关于x的一次方程，
∵
∴a=- ，b≠0，对c无要求，故选D.
点评：考查一元一次方程的定义，只含个未知数，且未知数的次数是1.
A.only one root（根）B.no root
C.infinite（无数）rootsD.only one root or no root
解析：∵a2+b2>0，
∴a、b不全为零，即a≠0，b≠0，或a=0，b≠0，或a≠0，b=0
新北师大版七年级数学上册第5章 一元一次方程《求解一元一次方程》优质课件
方程两边同除以-11,得 x=2/11.
例4 解方程 -2（x-1）=4. 你有几种
方法呢？
方法一：先去括号
方法二：整体思想
议一议：观察上述两种解方 程的方法，说出它们的区别， 与同伴进行交流．
随堂练习 P138
习题5.4第 1、 2 3 小题
；
（4）1
3 2
x
3x
5 2
移项,得
；
【达标练习2】
2.下列变形符合移项变形的是（ C ） A． 由5 3x 2，得3x 2 5 B．由10x 5＝ 2x,得 10x 2x 5 C．由7x 9 4x 1,得7x 4x 19 D．由5x 2 9,得5x 2 9
解方程 （1） 3x 1 2x 1
4
4
分析：根据等式的性质2，方程两边都乘以4，得
解：
4 3x 1 4 2x 1
4
4
去分母,得
3x+1 = 2x-1
对应练习：
2x 1 2 x 33
(2)
3x 1 2x 1
2
4
对应练习： 2x 1 x 1
3
6
(3)
3x 1 2 2x 3
• 移项的依据是等式的性质１ • 移项的目的是使含有未知项的集中于方程的
一边（左边），含有已知项的集中于方程的 另一边（右边）
【达标练习１】
1．把下列方程进行移项变形
（1） 4x 3 5 移项,得
；
（2） 5x 2 7x 8 移项,得
；
（3） 3x 20 4x 25 移项,得
4(x+0.5)+x=10-3.
初一奥数知识点：一元一次方程
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命 题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入 学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比 普通数学要深奥一些。
下面是 1．等式与等量用"="号连接而成的式子叫等式注意"等量就能代 入"！ 2．等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得 结果仍是等式； 等式性质 2 等式两边都乘以或除以同一个不为零的数，所得结果 仍是等式 3．方程含未知数的等式，叫方程 4．方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注 意"方程的解就能代入"！ 5．移项改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项移项 的依据是等式性质 1 6．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7．一元一次方程的标准形式+=0 是未知数，、是已知数，且≠0 8．一元一次方程的最简形式=是未知数，、是已知数，且≠0 9．一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为 1……检验方程的解 10．列一元一次方程解应用题 1 读题分析法…………多用于"和，差，倍，分问题" 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如"大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----"，利用这些关键字 列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程2 画图分析法…………多用于"行程问题" 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图 形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系可把未知数看做已知量，填入有关的代数式是获 得方程的基础 11．列方程解应用题的常用公式 1 行程问题距离=速度·时间； 2 工程问题工作量=工效·工时； 3 比率问题部分=全体·比率； 4 顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5 商品价格问题售价=定价·折·，利润=售价-成本，； 6 周长、面积、体积问题圆=2π，圆=π2，长方形=2+，长方形=，正方形=4， 正方形=2，环形=π2-2,长方体=，正方体=3，圆柱=π2，圆锥=π2【初一奥数知识点一元一次方程】。
人教版初一数学上册一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = ． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，方程就像是一座神秘的桥梁，连接着已知和未知。
而一元一次方程，则是这座桥梁中较为基础和常见的一种。
一元一次方程，简单来说，就是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
我们可以用一个通用的形式来表示一元一次方程：ax ＋ b ＝ 0 （其中a ≠ 0 ）。
这里的“x”就是我们要寻找的未知数，“a”是未知数的系数，“b”则是常数项。
比如说，3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。
在这个方程中，未知数是 x ，系数是 3 ，常数项是 5 和 14 。
二、一元一次方程的求解接下来，让我们一起来探索如何求解一元一次方程。
求解一元一次方程的基本思路就是通过一系列的运算，将方程变形，最终求出未知数的值。
以方程 2x ＋ 7 ＝ 15 为例，我们的目标是让 x 单独在等号的一边。
首先，我们要把常数项 7 移到等号的右边，这时候要注意，移项时要变号，所以得到 2x ＝ 15 7 ，即 2x ＝ 8 。
然后，将方程两边同时除以系数 2 ，得到 x ＝ 4 。
再来看一个稍微复杂一点的方程，比如 5(x 3) ＋ 2 ＝ 17 。
第一步，先把括号展开，得到 5x 15 ＋ 2 ＝ 17 。
接着，合并同类项，5x 13 ＝ 17 。
然后，把－13 移到等号右边，5x ＝ 17 ＋ 13 ，即 5x ＝ 30 。
最后，两边同时除以 5 ，解得 x ＝ 6 。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，购物时计算折扣和价格。
假设一件商品原价为 x 元，打 8 折后的价格是 160 元，那么可以列出方程 08x ＝ 160 ，解得 x ＝ 200 ，就知道这件商品的原价是 200 元。
再比如，行程问题。
如果一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶，行驶了 x 小时后，总共行驶了 300 千米，那么可以列出方程 60x ＝300 ，解得 x ＝ 5 ，也就是这辆汽车行驶了 5 小时。
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第5讲一元一次方程
一、重要知识点回顾
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．
1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3）一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
二、典型例题分析:
例1解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
例2：已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值．
例3：已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
例4已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
三、拓展练习
(一)填空题
1.若关于x的方程x+2=a和2x－4=3a有相同的解,则 a= .
2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是．
3．关于ｘ的方程19x－a=0的解为19－a,则a=__________.
4.若关于x的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________
5.若关于x的方程︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________.
(二)选择题
6.若2a与1－a互为相反数,则a等于( )
A. 0
B. －1
C. 1
D. －2
7.当3＜a ＜8时,关于x 的方程3x －8=a(x －1)的解是( )
A. 无解
B.正数
C. 零
D.负数
8.要使方程ax=a 的解为1,则( )
A.a 可取任何有理数
B.a ＞0
C. a ＜0
D.a ≠0
9.关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( )
A. 2
B. 3
C.1或2
D.2或3
10.关于x 的方程3x －4=a －bx 有无穷多个解,则a. b 的值应是( )
A. a=4, b=－3
B.a=－4, b=－3
C. a=4 , b=3
D.a .b 可取任意数
(三)解答题
11.解关于x 的方程
(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d
12.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.
13.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.
13
14.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
15．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：
(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
四、课后作业
1.解关于x的方程:ax=1+x
2.已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?
3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;
(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.。