总体平均数的检验
总体均数的假设检验
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目 录
• 引言 • 假设检验的基本原理 • 总体均数的假设检验方法 • 实例分析 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
确定样本数据是否与假设的总体均数 存在显著差异，从而对总体均数进行 假设检验。
在科学实验、统计学、医学研究等领 域广泛应用，用于评估样本数据是否 支持或拒绝关于总体均数的假设。
配对样本均数假设检验实例
总结词
配对样本均数假设检验用于比较同一组研究对象在不同条件下的均数是否存在统计学显 著性差异。
详细描述
例如，为了比较同一组患者在接受两种不同治疗措施前后的改善程度，研究者收集了患 者的基线数据和接受不同治疗措施后的数据，并计算出各自治疗组的平均改善程度。然 后，研究者使用配对样本均数假设检验来比较同一组患者在不同治疗措施下的平均改善
概念简介
假设检验是一种统计推断方法，通过 检验样本数据是否符合某个假设，从 而对总体参数进行推断。
它基于概率论原理，通过计算样本数 据与假设的总体参数之间的差异，评 估这种差异是否具有统计学上的显著 性。
02
假设检验的基本原理
假设检验的步骤
建立假设
根据研究目的，提出一个关于总 体参数的假设，通常包括零假设 和备择假设。
收集样本数据
从总体中随机抽取一定数量的样 本，并记录样本数据。
确定检验水准
选择合适的检验水准，如α和β， 以平衡第一类和第二类错误的概 率。
计算统计量
根据样本数据计算适当的统计量， 如t值、Z值或χ^2值。
假设检验的类型
1 2
3
单样本均数检验
比较一个样本均数与已知总体均数或正常值范围。
两样本均数比较
22二、σ未知条件下总体平均数的假设检验
1
2、计算检验的统计量
Z
X
X
34 32 . 6 2 . 70 3 . 70 52 1
n 1
3、确定检验形式 右侧检验 4、统计决断因为当df=51时， Z=2.70**>2.33，P<0.01 所以，要在0.01的显著性水平上拒绝零假设，接 受备择假设。教师用这种方法训练学生的口算能力 是极为有效。
二、σ 未知条件下总体平均数的假设 检验
• 通常要做t检验； • 同时还要看样本的大小，小样本一定要做t检验，
大样本通常还可以转换成Z检验作近似处理。
1、小样本的情况
• • 例子：教科书130页——双侧检验 参考132页表6.4
又如：
• 教科书132页——单侧检验
2、大样本的情况
• 例如：假定某小学三年级（1）班与该年级其 他各班情况基本相同。该班数学老师为了提高学 生的口算能力，特制作了一套口算卡片，要求学 生每天回家后练两页，家长检查并签字。学期结 束时全年级进行了口算验收测验，全年级平均分 为32.6，而该班52名学生的平均分为34，标准差 为3.7，问该教师用这种方法训练学生的口算能力 是否见效？
• •
又如： 教科书第133页。
• •
从本章总体平均数的推断可以看出： 总体参数区间估计和假设检验都是对总体
参数的统计推断。在条件相同的情况下，它们
用的是同一个统计量函数。 • 其不同之处在于，区间估计对总体参数事 先并不提出一个假设的值，而假设检验对总体 参数事先提出一个假设的值，最后视其被拒绝
• 解：1、提出假设
H : 32 . 6 , H : 32 . 6
0
1
2、计算检验的统计量
统计学题库及题库答案
统计学题库及题库答案题库1一、单项选择题（每题2分，共20分）1、调查时间是指（)A、调查资料所属的时间B、进行调查的时间C、调查工作的期限D、调查资料报送的时间2、对某城市工业企业未安装设备进行普查，总体单位是（).A、工业企业全部未安装设备B、企业每一台未安装设备C、每个工业企业的未安装设备D、每一个工业企业3、对比分析不同性质的变量数列之间的变异程度时,应使用（ )。
A、全距B、平均差C、标准差D、变异系数4、在简单随机重复抽样条件下，若要求允许误差为原来的2/3,则样本容量（)A、扩大为原来的3倍B、扩大为原来的2/3倍C、扩大为原来的4/9倍D、扩大为原来的2。
25倍5、某地区组织职工家庭生活抽样调查，已知职工家庭平均每月每人生活费收入的标准差为12元,要求抽样调查的可靠程度为0。
9545,极限误差为1元，在简单重复抽样条件下,应抽选（ )。
A、576户B、144户C、100户D、288户6、当一组数据属于左偏分布时，则（）A、平均数、中位数与众数是合而为一的B、众数在左边、平均数在右边C、众数的数值较小，平均数的数值较大D、众数在右边、平均数在左边7、某连续变量数列，其末组组限为500以上，又知其邻组组中值为480，则末组的组中值为( )。
A、520B、 510C、 500D、4908、用组中值代表组内变量值的一般水平有一定的假定性，即（)A、各组的次数必须相等B、变量值在本组内的分布是均匀的C、组中值能取整数D、各组必须是封闭组9、是来自总体的样本，样本均值服从（）分布A、 B.、C。
、D、10、测定变量之间相关密切程度的指标是( ）A、估计标准误B、两个变量的协方差C、相关系数D、两个变量的标准差二、多项选择题(每题2分,共10分)1、抽样推断中，样本容量的多少取决于（).A、总体标准差的大小B、允许误差的大小C、抽样估计的把握程度D、总体参数的大小E、抽样组织形式2、抽样估计中的抽样误差（）。
总体均数的估计和t检验
它不受样本大小和样本变异性的影响，是衡量数据分布中心位
03
置的重要参数。
总体均数的点估计
点估计（Point Estimation）：使用 样本统计量来估计总体参数的方法。
样本均数（Sample Mean）：作为总 体均数的点估计量，它是从样本数据 中计算得出的平均值。
总体均数的区间估计
要点一
区间估计（Interval Estimation）
根据t统计量的显著性，得出配对观测值之 间是否存在显著差异的结论。
配对样本t检验的应用
01
比较同一受试者在不同时间点的生理指标或心理指 标是否存在显著差异。
02
比较同一受试者在不同条件下的行为表现是否存在 显著差异。
03
比较不同治疗方法的效果是否存在显著差异。
04
CHAPTER
两独立样本t检验
两独立样本t检验的概念
它适用于在实验设计时将观测值配对的情况，例如同一受试者在不同时间 点或不同条件下获得的观测值。
配对样本t检验的目的是检验两组配对观测值的均值是否存在显著差异。
配对样本t检验的步骤
1. 数据收集
收集两组配对观测值的数据，确保数据来源可靠、准确。
2. 数据整理
将数据整理成适合进行t检验的表格形式，包括配对观测值的编 号、观测值、差值等。
两独立样本t检验是用来比较 两个独立样本的总体均数是否
有显著差异的统计方法。
它适用于两个独立样本，且 每个样本的观察值相互独立，
不受其他因素的影响。
两独立样本t检验的前提假设 是：两个样本的总体均数相等， 且每个样本的观察值服从正态
分布。
两独立样本t检验的步骤
01
02
03
平均数差异的显著性检验
0
1
2
H :
1
1
2
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
2 X1
2 X
2
2r X1 X2
n 1
99 101
0.954
142 152 2 0.72 14 15
28 1
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t(27)0.05 1.703
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
个和两个总体平均数的假设检验
设第二个总体为 的 2， 平方 均差 数 22为 ，
由该总体抽取量 了为 n一 2的个 样含 本， 样本平均X2数 ，为 样本方S2差 2；为
1，X 1
2，X 2
1 2?
X1 X2 ?
5. 2 两个总体平均数的比较
1.配对实验设计：
指先将实验单位按配对的要求两两配对，然后 将每一个对子内的两个实验单位独立随机地分配到 两个处理组中。
配对的要求是，配成对子的两个实验单位的初 始条件应尽量一致，不同实验对子之间，实验单位 的初始条件可以有差异。
每一个对子就是实验的一次重复。
我们将实验单位分为两组的方式称为配对实验 设计。
3. 配对实验的检验步骤：
（1）无效假设H0 ：μd=μ1-μ2 =0 备择假设HA ：μd≠0，即μ1-μ2 ≠0
配对实验时，两组的实验单位数即两个样本的观 察值数目相等，n1=n2。但是反过来，两个样本 观察值相等的实验则不一定是配对实验。
判断配对实验的根据不是两个样本的观察值是否 相等，而是分组的方式。
在配对实验设计中，由于实验单位是两两配对的， 因此观察值也是两两配对的。
2.实验结果表示为：
处理
1 2
F
S12 S22
查F表，确定临界值，接 受或者拒绝H0
如果检验结果不显著，接受零假设σ12=σ22， 那么还按照前一种t检验进行检验。
如果检验结果显著，接受备择假设σ12 ≠ σ22，
那么按照下面的t检验方法进行检验。
tX1X2 X1X2 X1X2
s x1x2
s2 s2
x1
x2
s12/n1s22/n2
SPSS-t检验
数据输入
1）启动SPSS，进入定义变量工作表，分别命名 两变量：组别、鱼产量。其中组别1表示A料，组 别2表示B料。
2）进入数据视图工作表，输入数据
统计பைடு நூலகம்析
Analyze---compare mean----indendent samples T test
Test variable（输入）:产鱼量
2、选择检验方法和计算检验统计量 因为总体标准差σ未知，所以采用t检验。 Analyze →Compare Means→One-Sample T Test出现如下对话框：
•把x移入到Test Variable(s) 的变量列表； •在Test Value后输入需要 比较的总体均数20； •OK
3、根据检验统计量的结果做出统计推断 基本统计量信息：
T检验
（一）单个总体均数的t检验 （二）独立样本成组t检验 （三）成对样本t检验
（一）单个总体均数的t检验
计算公式
样本平均数与总体平均数差异显著性检验
例：成虾的平均体重为21克，在配合饲料中添加 0.5%的酵母培养物饲养成虾时，随机抽取16只对 虾，体重为20.1、21.6、22.2、23.1、20.7、19.9、 21.3、21.4、22.6、22.3、20.9、21.7、22.8、 21.7、21.3、20.7。试检验添加添加0.5%的酵母 培养物是否提高了成虾体重。
从结果中可以看出，统计量t=3.056，P=0.012<α=0.05，因此拒 绝H0，接收H1，即用该方法测量所得结果与标准浓度值有所不 同。认为该方法测量结果所对应总体均数μ与标准浓度μ0间的差 异有统计学意义。
（二）独立样本成组t检验
独立样本：又称非配对样本或成组样本。是指一组数据与另一 组数据没有任何关系，也就是说，两样本资料是相互独立的。 两组的样本容量尽可能相同，可以提高检验的精确度。其均 数差异显著性的t检验，又分为两总体方差相等（方差齐性）和 方差不等两种检验方法。
《统计学原理》期末考试试卷A卷
《统计学原理》期末考试试卷A卷2010—2011学年第⼆学期经管系市场营销专业09级统计学原理课程期末考试试卷（A ）1、数理统计学的奠基⼈是（） A 威廉·配第 B 阿亨⽡尔 C 凯特勒 D 恩格尔2、现要了解某机床企业的⽣产经营情况，该企业的产量和利润是（） A 连续变量 B 离散变量C 前者是连续变量，后者是离散变量D 前者是离散变量，后者是连续变量3、全国⼈⼝普查中，调查单位是（） A 全国⼈⼝ B 每⼀个⼈ C 每⼀户 D ⼯⼈⼯资4、某城市拟对占全市储蓄额4/5的⼏个⼤储蓄所进⾏调查，以了解全市储蓄的⼀半情况，则这种调查⽅式是（） A 普查 B 典型调查 C 抽样调查 D 重点调查5、在连续变量分为五组：第⼀组为40~50，第⼆组为50~60，第三组为60~70，第四组为70~80，第五组为80以上。
依习惯上规定（） A 50在第⼀组，70在第四组 B 60在第⼆组，80在第五组 C 70在第四组，80在第五组 D 80在第四组，50在第⼆组6、如果⼀组数据不是对称分布的，根据切⽐雪夫不等式，对于k=2，其意义是（）。
A ⾄少有75%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内B ⾄少有89%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内C ⾄少有94%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内D ⾄少有99%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 7、已知4个⽔果商店苹果的单价和销售额，要求计算4个商店苹果的平均单价，应该采⽤（） A 简单算术平均数⼀、单项选择题（本⼤题共20道⼩题，每⼩题1分，共20分）。
在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合要求的，请将其代码填写在下⾯的⽅格内。
B 加权算术平均数C加权调和平均数D ⼏何平均数8、第⼀批产品的废品率为1%，第⼆批废品率为1.5%，第三批废品率为2%。
第⼀批产品数量占总数的35%，第⼆批占40%，则平均废品率为（）A1.5%B 1.45%C 4.5%D 0.94%9、在某公司进⾏计算机⽔平测试，新员⼯的平均得分是80分，标准差是5分，中位数是86分，则新员⼯得分的分布形状是（）A 对称B右偏10、某地2003—2008年各年6⽉30⽇统计的⼈⼝资料如下：A 2326232425252224.3(5+++++=万⼈）B 232425252624.6(5++++=万⼈）C23262425252219.7(5++++=万⼈）D2326232425252220.25(6+++++=万⼈）11、某农贸市场⼟⾖价格2⽉份⽐1⽉份上升5%，3⽉份⽐2⽉份下降2%，则3⽉份⼟⾖价格与1⽉份相⽐（）A 提⾼2.9%D 下降2%12、2009年某地区新批准73个利⽤外资项⽬，这个指标属于（）A 时点指标B时期指标C 动态相对指标D ⽐较相对指标某企业报告期产量13、某商品价格发⽣变化，现在的100元只值原来的90元，则价格指数为（）A 10%B 90%C 110%D 111%14、抽样调查的主要⽬的是（） A 计算和控制抽样误差 B 为了应⽤概率论C 根据样本指标的数值来推断总体指标的数值D 为了深⼊开展调查研究15、样本平均数和全及总体平均数（） A 前者是⼀个确定值，后者是随机变量 B 前者是随机变量，后者是⼀个确定值 C 两者都是随机变量 D 两者都是确定值16、抽样平均误差公式中1N nN --这个因⼦总是（）A ⼤于1B ⼩于1C 等于1D 唯⼀确定值17、根据城市电话⽹100次通话情况调查，得知每次通话平均持续时间为4分钟，标准差为2分钟，在概率保证为95.45%的要求下，估计该市每次通话的时间为（）。
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总体平均数的检验
第一节均数的抽样误差与标准误
1.抽样试验
若某市1999年18岁男生身高服从均数μ=167.7cm，标准差σ =5.3cm的正态分布。
从该正态分布N（167.7，5.32）总体中随机抽样100次，每次样本含量nj =10人，得到每个样本的均数及标准差
样本均数的抽样分布具有如下特点：
①各样本均数未必等于总体均数；
②各样本均数间存在差异；
③样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本对称，服从正态分布。
④样本均数间相差较小，其变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。
若服从正态分布，则服从正态分布，且它的总体均数就是原总体均数。
而样本均数的标准差则比原个体值的标准差要小。
若不服从正态分布
大（>60) 则近似服从正态分布
n小（≤ 60）则不服从正态分布
2．标准误(standard error, SE)
统计量的标准差称为标准误，是衡量样本统计量抽样误差大小的统计指标。
均数标准误：样本均数的标准差称为均数的标准误，它用来说明均数抽样误差的大小。
第二节t 分布
一、t 分布的概念和由来
1．若某一随机变量X 服从总体均数为，总体标准差为的正态分布，则可通过u变换将一般正态分布转化为标准正态分布N(0,1)，即u分布；
2．若样本均数服从总体均数为、总体标准差为的正态分布 ,则通过同样方式的u变换也可将其转换为标准正态分布N(0, 1)，即u分布。
3．实际工作中，由于未知，而用代替，则不再服从标准正态分布，而服从t分布。
二、t 分布的图形与特征
1.t分布的概率密度函数
为自由度，是t分布的唯一参数；
以t为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布曲线。
t分布图是一簇曲线。
2.t分布曲线下面积
一侧尾部面积称单侧（尾）概率，对应的t界值用t ,υ表示
两侧尾部面积之和称双侧（尾）概率，对应的t界值用t /2,υ表示。