概率论与数理统计 中山大学 第三版

甲乙相邻的概率为：
另解１：先固定甲，有n种，再放置乙，有n-1,基本事件数有 ,有利事件数为2(n-r-1).故有
另解2:先在甲乙之间选出r个人，然后将甲乙与这r个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.
(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r个人的基本事件数是n个位置取2个人的排列，共有 种，而甲的位置选取有n种选法，故由古典概型的计算有
甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有 种排列，故 .
另解：一圈有n个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故 (只考虑乙)
15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。
解： ，
16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率：
(1)某一层有两位乘客离开。
(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。
(3)恰有两位乘客在同一层离开。
(4)至少有两位乘客在同一层离开。
解：
(1)某有2位乘客离开，6个乘客选2名有 种选法，其余4人在其余9层下有 种，故共有：
（a）当
（b）当
（c）
（d）当
(5)
(6)
(7)
另解：
37.解：
（1）
（2）
(1)
,
另解：
（3）
38．解：
另解：
同理
39.解：
40.解：
（1）
(2)
41. 41.设某电视公司生产的某种型号的电视机，出厂半年后要求返修的约占0.5%，现出货２０００台至各地区，试求半年后返修的有1-10（大于或等于１小于或等于１０台）台的概率是多少？
解:基本事件数为 ,有利事件数为
1)2个伍分,其他任意,有
2)1个伍分,2个贰分:
3)1个伍分,3个贰分:
故
17:箱中有 个白球和 个黑球,从其中任意地接连取出k+1( )球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率.
解:令 ,则
另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为 ,有利于A的基本事件数为 ,故
解：设 是相互独立且服从两点分布的随机变量序列，且 ,
设半年后要求返修的电视数为 ,则 ,由棣模弗－拉普拉斯中心极限定理， 服从中心极限定理，从而
,(或由二项分布的正态近似)，有
42.解：
43.解：
44解：
45.解：
46.解：
47.解：（1）可用线性变换的密度公式求解，另解：
（2）
48解：
49解：
的联合密度函数为
60.解：
61.解：
62:解：
可知，负值误差次数为1时概率取到最大值
63．解：
(1)由k1或者k2发生故障而断电的概率为P(A)
(2) 同时发生故障而断电的概率为
(3)
64解：4，5，6中有两个是备用件，当正在工作的一个失效时，其中一个立即补上去。设
并联下部系统B正常工作的概率
并联上部系统C正常正常工作的概率：
(2)没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而
(3)恰好有2位乘客在同一层离开
基本事件数为 .考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为 ，其余4人有以下几种情况
a)其余9层，4个人单独在某层下，有 种。
b)4人一起在其余9层中的某层下，有 种。
c)9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有
由全概率公式得
53.解：A1＝{发出点}，B1＝{接收点}
A2＝{发出划}，B2＝{接收划}
,以下求
54.解：记D＝{取出的是废品}，A＝{机器A生产}，B＝{机器B生产}，C＝{机器C生产}，则
由Bayes公式得
55.某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、三个灯泡的概率分别为0.1,0.2及0.3，并且相互独立.当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为0.25，当烧坏2个灯泡时为0.6，而当烧坏3个灯泡时为0.9，求仪器发生故障的概率。
45.全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级品的概率。
解：记A={任选一个产品为合格品}B＝｛任选一个产品为一级品｝，则
46.证明：当 时，
证：
47.进行摩托车竞赛，在地段甲乙间布设了三个故障，在第一故障前停车的概率为0.1,从乙地到丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲丙间竞赛者不停车的概率。
(1)放回时的样本空间
(2)不放回时的样本空间
解：
(1) ，(2)
2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间：
(1)不放回时的样本空间
(2)放回时的样本空间
解：(1)
(2)
3.解：
5.设样本空间 ，求：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。
6.解:
设 为试开次数，则（1）
（2） 以 为试开次数，则
7.解：多项分布概率函数
令：
8.解：当N＝n时， ，由全期望公式，有
9.解:
得二维联合分布表
0
1
2
3
0
0
0
1
0
0
2
0
0
1
10.解：P333.
11.解：
12.解：
13解：
14解（负二项分布）
15.解:
16.
解:由第一章习题65知,
17.解：
18.解：（Polya概型,参考第一章习题48P75）
6解：
（1）证明：
（2）求 的分布
（3）求 与 的联合分布
7.解：
8．解：
9.解：
10.解：
11.解：
12.解：（1）
（2）
（3）
13.解： ,
（1）
（2）令
(3)
.
14.解：(1)
（2）
（3）
15.解：
16.解：
17.解：
（1）
（2）
，故 不独立。
18.解：
19.解：
20.解：
(1)
(2)
（3）
21．解：
0
1
0
1
1
19.解：
20．解：
21．解：（ 分布） 的密度函数为
22.解(Rayleigh分布):
31设 ，用x,y,z表示下列事件的概率:
(1) (2) (3) (4)
解：
(2)
(3)
(4)
33设事件A,B,C满足:
试求事件A,B,C中至少有一个发生的概率及A,B,C均不发生的概率。
解：记事件E为“A,B,C至少一个发生”，事件F为“A,B,C均不发生”
则有
34．袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地随机选取m个，求取出的m个球的最大号码为k有概率。并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。
解：设鱼池中共有n条鱼，则，由古典概率的定义有：
21．将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率
解：设 ,如图
能够三角形，必须有 ,即 .如图
22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。
解：设x,y分别表示甲乙船到达码头的时刻， 不需等待码头空出，若甲先到，则 ，若乙先到，则 ，如图
23.在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，将两点连成一条弦L,求圆心到弦L的距离不大于 这一事件A的概率。
解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，
n个球从中有放回地随机选取m个求取出的取到这最大号码为k取到的最大号码不超过k这一事件则有36n个人参加同学聚会每个人都带了一件礼物并附上祝福词和签上自己的名字聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品至少有一人取到自己礼物的概率并计算出当n2n1000时的概率
第一章随机事件与概率
1．从 十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：
解：基本事件的可能数为 ,记 ＝｛取到这最大号码为k｝, ={取到的最大号码不超过k这一事件}，则有 又 ,故有
,
36.n个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。
解：记 ，因为袋中只有一只白球，故在第k次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故
， .
30.某彩票公司共发行了n张彩票，其中有m张彩票。某人买了m张彩票，求至少有一张中彩的概率。
解：记A={至少有一张中彩},先求对立事件 ={没有彩票中奖}的概率;基本事件数 , 的有利事件数
则 ..
解：
14.设n个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r个人的概率。如果n个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r个人的概率与r无关，都是 （在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。
解：(1)基本事件数为 ，设甲排在第i位，则乙排在第i+r+1位， ，共 中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位置可调换，有 种，故有利事件数由乘法原理有 ，由古典概型的计算公式，得
65解：记 则有