广州一模-数学(文科)试题
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
二、填空题
13. 2
14. 1
2
15.
9
16.
1 8
，
1 2
1
1 2n
三、解答题 17. (12 分)
（1）解：由于 62.0,63.0内的频率为 0.075 0.225 0.5 0.15，…………………1 分
63.0,63.5 内的频率为 0.75 0.5 0.375， …………………………………2 分
的取值范围是
A. ,1
B. 0,1
C.
0,
1 ln 2
D.
1 ln 2
,
文科数学试题 第 2 页（共 5 页）
11.
已知
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2
1 a
0 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线
与 C 相交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为
2
A.
3
3
B.
3
22
C.
3
23
D.
3
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ，CC1 ，C1D1 的
中点，给出下列四个命题:
① EF B1C ;
② 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60 ;
③ 过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
P
（2）解法 1：因为 AC 3PB 2 ，
则 AC 2 ， PB 2
3
.
3
A
O
C
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
x
2x y 2 e 0 . （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
（二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的 第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
………………………………6 分
（2）解：从频率分布直方图中可得 80 个零件中尺寸在 63.0,64.5之外的零件共有
0.075 0.225 0.100 0.580 16 个，
…………………………………8 分
故从 80 个零件中随机抽取1个零件， 则所抽取的零件为二等品的概率为 P 16 0.2 . 80
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
23
得 ac 3 . 由于 b 2 ， 则 a2 c2 2 ac 4 ，即 a2 c2 6 .
2020年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(文科)
2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。
【数学】广东省广州市2020届高考一模试卷(文)(解析版)
广东省广州市2021年高|考数学一模试卷(文科)一、选择题：本小题共12题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数的虚部是()A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．集合{x|x2+ax=0} ={0 ,1} ,那么实数a的值为()A．﹣1 B．0 C．1 D．23．tanθ=2 ,且θ∈,那么cos2θ= ()A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．假设输入n=5 ,那么输出k的值为()A．2 B．3 C．4 D．55．函数f (x ) =,那么f (f (3 ) ) = ()A．B．C．D．﹣36．双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0 ,F1 ,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1| =2 ,那么|PF2|等于()A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．假设硬币正面朝上,那么这个人站起来；假设硬币正面朝下,那么这个人继续坐着．那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A．B．C．D．8．如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,那么该几何体的俯视图可以是()A．B．C．D．9．设函数f (x ) =x3+ax2 ,假设曲线y=f (x )在点P (x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,那么点P的坐标为()A．(0 ,0 ) B．(1 ,﹣1 ) C．(﹣1 ,1 ) D．(1 ,﹣1 )或(﹣1 ,1 )10．<九章算术>中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥P﹣ABC为鳖臑,P A⊥平面ABC,P A =AB=2 ,AC=4 ,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,那么球O的外表积为()A．8πB．12πC．20πD．24π11．函数f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,直线y=与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,那么()A．f (x )在上单调递减B．f (x )在上单调递减C．f (x )在上单调递增D．f (x )在上单调递增12．函数f (x ) =+cos (x﹣) ,那么的值为()A．2021 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题,每题5分．13．向量= (1 ,2 ) ,= (x ,﹣1 ) ,假设∥(﹣) ,那么•=．14．假设一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点,且该圆与直线y=x+3相切,那么该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点(x ,y )组成的图形的面积是5 ,那么实数a 的值为．16．在△ABC中,∠ACB=60° ,BC＞1 ,AC=AB+,当△ABC的周长最||短时,BC的长是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为S n ,且S n=2a n﹣2 (n∈N* )．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．假设该项质量指标值落在根据图1 ,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；(Ⅱ)假设将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?(Ⅲ)根据条件完成下面2×2列联表,并答复是否有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：(其中n=a+b+c+d为样本容量)P (K2≥k )k19．如图1 ,在直角梯形ABCD中,AD∥BC ,AB⊥BC ,BD⊥DC ,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE ,得到如图2所示的几何体．(Ⅰ)求证：AB⊥平面ADC；(Ⅱ) 假设AD=1 ,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离．20．椭圆C：的离心率为,且过点A (2 ,1 )．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) 假设P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?假设是,求出该值；假设不是,说明理由．21．函数f (x ) =ln x+．(Ⅰ) 假设函数f (x )有零点,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 证明：当a≥时,f (x )＞e﹣x．选修4 -4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C：ρ=2cos (θ﹣)．(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最||大值．选修4 -5：不等式选讲23．函数f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|．(Ⅰ) 假设f (1 )＜3 ,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 假设a≥1 ,x∈R ,求证：f (x )≥2．参考答案一、选择题1．B【解析】复数==1﹣i的虚部是﹣1．应选：B．2．A【解析】由题意,0 +1 =﹣a ,∴a=﹣1 ,应选A．3．C【解析】∵tanθ=2 ,且θ∈,∴cosθ===,∴cos2θ=2cos2θ﹣1 =2×()2﹣1 =﹣．应选：C．4．B【解析】经过第|一次循环得到的结果为k=0 ,n=16 ,经过第二次循环得到的结果为k=1 ,n=49 ,经过第三次循环得到的结果为k=2 ,n=148 ,经过第四次循环得到的结果为k=3 ,n=445 ,满足判断框中的条件,执行"是〞输出的k 为3应选B5．A【解析】由题意知,f (x ) =,那么f (3 ) =1﹣,所以f (f (3 ) ) ==4•=,应选A．6．C【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程可得=,∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2 =6 ,∴|PF2| =8 ,应选C．7．B【解析】由题意得：正面不能相邻,即正反正反,反正反正,3反一正,全反,其中3反一正中有反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7中情况, 故P==,应选：B．8．C【解析】该几何体为正方体截去一局部后的四棱锥P﹣ABCD ,如下列图,该几何体的俯视图为C．应选：C．9．D【解析】∵f (x ) =x3+ax2 ,∴f′ (x ) =3x2+2ax ,∵函数在点(x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,∴3x02+2ax0=﹣1 ,∵x0+x03+ax02=0 ,解得x0=±1．当x0=1时,f (x0 ) =﹣1 ,当x0=﹣1时,f (x0 ) =1．应选：D．10．C【解析】由题意,PC为球O的直径,PC==2,∴球O的半径为,∴球O的外表积为4π•5 =20π ,应选C．11．D【解析】由题意得,f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )=[sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )]=,∵函数f (x ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,∴,那么,又0＜φ＜π ,∴φ=,∴f (x ) ==,∵y=与f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,∴T=,那么ω=4 ,即f (x ) =,由得4x∈(0 ,π ) ,那么f (x )在上不是单调函数,排除A、C；由得4x∈,那么f (x )在上是增函数,排除B , 应选：D．12．B【解析】∵函数f (x ) =+cos (x﹣) ,∴f (x ) +f (1﹣x ) =+cos (x﹣) ++=1 +0 =1 ,那么=2021 =1008．应选：B．二、填空题13．【解析】= (1﹣x ,3 ) ,∵∥(﹣) ,∴2 (1﹣x )﹣3 =0 ,解得x=﹣．那么•=﹣﹣2 =﹣．故答案为：﹣．14．x2+ (y﹣1 )2=2【解析】抛物线的标准方程为：x2=4y ,∴抛物线的焦点为F (0 ,1 )．即圆C的圆心为C (0 ,1 )．∵圆C与直线y=x+3相切,∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d ==．∴圆C的方程为x2+ (y﹣1 )2=2．故答案为：x2+ (y﹣1 )2=2．15．3【解析】根据题意,不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影局部所示：当a≤1时,其阴影局部面积S＜S△AOB=×2×1 =1 ,不合题意,必有a＞1 ,当a＞1时,阴影局部面积S=×2×1 +×(a﹣1 )×[a+1﹣(3﹣a )] =5 ,解可得a=3或﹣1 (舍)；故答案为：3．16．+1【解析】设A ,B ,C所对的边a ,b ,c ,那么根据余弦定理可得a2+b2+c2=2ab cos C ,将b=c+代入上式,可得a2+c+=ac+,化简可得c=,所以△ABC的周长l=a+b+c=++a ,化简可得l=3 (a﹣1 ) ++,因为a＞1 ,所以由均值不等式可得3 (a﹣1 ) =时,即6 (a﹣1 )2=3 ,解得a=+1时,△ABC的周长最||短,故答案为：+1．三、解答题17．解：(I )∵S n=2a n﹣2 (n∈N* ) ,∴n=1时,a1=2a1﹣2 ,解得a1=2．n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣(2a n﹣1﹣2 ) ,化为：a n=2a n﹣1 ,∴数列{a n}是等比数列,公比为2．∴a n=2n．(II )S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．解：(Ⅰ)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ,因为0.48 = ( + + )×5＜＜( + + + )×,那么( + + )×5 +×(x﹣205 ) ,解得．(Ⅱ)由甲,乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件,那么甲流水线生产的产品为不合格品的概率为,乙流水线生产的产品为不合格品的概率为,于是,假设某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．(Ⅲ)2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品35 40 75不合格品15 10 25合计50 50 100那么,因为＜,所以没有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞．19．(Ⅰ)证明：∵平面ABD⊥平面BCD ,平面ABD∩平面BCD=BD ,又BD⊥DC ,∴DC⊥平面ABD ,∵AB⊂平面ABD ,∴DC⊥AB ,又∵折叠前后均有AD⊥AB ,DC∩AD=D ,∴AB⊥平面ADC．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知DC⊥平面ABD ,所以AC在平面ABD内的正投影为AD ,即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意,AD=1 ,∴．设AB=x (x＞0 ) ,那么,∵△ABD～△BDC ,∴,即,解得,故．由于AB⊥平面ADC ,AB⊥AC ,E为BC的中点,由平面几何知识得AE=,同理DE=,∴．∵DC⊥平面ABD ,∴．设点B到平面ADE的距离为d ,那么,∴,即点B到平面ADE的距离为．20．解：(Ⅰ) 因为椭圆C的离心率为,且过点A (2 ,1 ) ,所以,．因为a2=b2+c2 ,解得a2=8 ,b2=2 ,所以椭圆C的方程为．(Ⅱ)解法一：因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线P A的斜率为k ,那么直线AQ的斜率为﹣k．所以直线P A的方程为y﹣1 =k (x﹣2 ) ,直线AQ的方程为y﹣1 =﹣k (x﹣2 )．设点P (x P ,y P ) ,Q (x Q ,y Q ) ,由,消去y ,得(1 +4k2 )x2﹣(16k2﹣8k )x+16k2﹣16k﹣4 =0．①因为点A (2 ,1 )在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,那么,所以．同理．所以．又．所以直线PQ的斜率为．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．解法二：设点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即,①因为点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 )在椭圆C上,所以,②．③由②得,得,④同理由③得,⑤由①④⑤得,化简得x1y2+x2y1+ (x1+x2 ) +2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑥由①得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑦⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2 (y1+y2 )．②﹣③得,得．所以直线PQ的斜率为为定值．解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b ,点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么y1=kx1+b ,y2=kx2+b ,直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即=,化简得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0．把y1=kx1+b ,y2=kx2+b代入上式,并化简得2kx1x2+ (b﹣1﹣2k ) (x1+x2 )﹣4b+4 =0．(* )由,消去y得(4k2+1 )x2+8kbx+4b2﹣8 =0 , (** )那么,代入(* )得,整理得(2k﹣1 ) (b+2k﹣1 ) =0 ,所以或b=1﹣2k．假设b=1﹣2k ,可得方程(** )的一个根为2 ,不合题意．假设时,符合题意．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．21．解：(Ⅰ)法1：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得．因为a＞0 ,那么x∈(0 ,a )时,f' (x )＜0；x∈(a , +∞)时,f' (x )＞0．所以函数f (x )在(0 ,a )上单调递减,在(a , +∞)上单调递增．当x=a时,[f (x )]min=ln a+1．当ln a+1≤0 ,即0＜a≤时,又f (1 ) =ln1 +a=a＞0 ,那么函数f (x )有零点．所以实数a的取值范围为．法2：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得a=﹣x ln x．令g (x ) =﹣x ln x ,那么g' (x ) =﹣(ln x+1 )．当时,g' (x )＞0；当时,g' (x )＜0．所以函数g (x )在上单调递增,在上单调递减．故时,函数g (x )取得最||大值．因而函数有零点,那么．所以实数a的取值范围为．(Ⅱ) 要证明当时,f (x )＞e﹣x ,即证明当x＞0,时,,即x ln x+a＞x e﹣x．令h (x ) =x ln x+a ,那么h' (x ) =ln x+1．当时,f' (x )＜0；当时,f' (x )＞0．所以函数h (x )在上单调递减,在上单调递增．当时,．于是,当时,．①令φ (x ) =x e﹣x ,那么φ' (x ) =e﹣x﹣x e﹣x=e﹣x (1﹣x )．当0＜x＜1时,f' (x )＞0；当x＞1时,f' (x )＜0．所以函数φ (x )在(0 ,1 )上单调递增,在(1 , +∞)上单调递减．当x=1时,．于是,当x＞0时,．②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立．故当时,f (x )＞e﹣x．22．解：(Ⅰ) 由直线l的参数方程消去t参数,得x+y﹣4 =0 , ∴直线l的普通方程为x+y﹣4 =0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2 ,ρcosθ=x ,ρsinθ=y代入上式,得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y ,即(x﹣1 )2+ (y﹣1 )2=2．(Ⅱ) 法1：设曲线C上的点为,那么点P到直线l的距离为= =当时,∴曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时,得,解得b=0或b=﹣4 (舍去)．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为．23．解：(Ⅰ) 因为f (1 )＜3 ,所以|a| +|1﹣2a|＜3．①当a≤0时,得﹣a+ (1﹣2a )＜3 ,解得,所以；②当时,得a+ (1﹣2a )＜3 ,解得a＞﹣2 ,所以；③当时,得a﹣(1﹣2a )＜3 ,解得,所以；综上所述,实数a的取值范围是．(Ⅱ) 因为a≥1 ,x∈R ,所以f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|≥| (x+a﹣1 )﹣(x﹣2a )| =|3a﹣1| =3a﹣1≥2．。
【精选资料】广州一模试题及参考答案文科数学WORD版
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为 A ． B ． C ．D ．2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A ．B ．C ．0D ．23．如果函数的最小正周期为，则的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△中，，，，在上任取一点，使△为钝角三角形的概率为A ．B ．C ．D ．5．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为Sh V 31=Sh y =(],1-∞-(),1-∞-[)1,-+∞()1,-+∞()i i 1i a b +=-,a b ∈R i a b +2-1-()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>2πωABC 60ABC ∠=2AB =3BC =BC D ABD16131223A ．B ．C ．8D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．或8．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若， ，则的值为A ．B ．C ．D ． 9．已知函数，对于任意正数，是成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知圆：，点（）是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么A ．，且与圆相离B ．，且与圆相切C ．，且与圆相交D ．，且与圆相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数是偶函数，则实数的值为 ．12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则 ，若，则 ．320,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤t ()22657m y m m x-=-+()0,+∞m 2-3-a b sin θ⨯=a b a b θa b ()3,4-a =()0,2b =⨯a b 8-6-68()21f x x =+a 12x x a -<()()12f x f x a -<O 222x y r +=()P a b ，0ab ≠O P O 1l 2l 20ax by r ++=12l l ∥2l O 12l l ⊥2l O 12l l ∥2l O 12l l ⊥2l O ()()2ln 1f x x ax =++a {}13A x x =≤≤{}3B x a x a =+≤≤A B ⊆a 11a =25a =312a =422a =5a =145n a =n =（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点， ，弦过点，且，则的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数）， 若与相交于、两点，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥中，平面，于点， ，，．（1）求三棱锥的体积；O 5cm P AB 3OP =cm CD P 13CP CD =CD cm l C l 1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩s C 22,x t y t=+⎧⎨=⎩t l C A B AB =()tan 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9f π⎛⎫⎪⎝⎭234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α[)50,40[)60,50[]100,90a [)40,50[]90,100ABC P -AB BC ==⊥PAC ABC AC PD ⊥D 1AD =3CD =2=PD ABC P -5 12 122 图2P数）图4图3（2）证明△为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：．20．（本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围．PBC {}n a 0d ≠n n S 570S =2a 7a 22a {}n a 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 1368n T <≤32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ()f x []3,4a ∈()f x R b 2214y x +=A B C A B P C AP T C P T 1x 2x 121x x ⋅=TAB ∆POB ∆O 1S 2S PA PB uu r uu rg ≤152212S S -2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．012． 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：……………………………………………………………………………1分…………………………………………………………………………3分 …………4分（2）解法1：因为…………………………………………………………5分………………………………………………………………6分[]0,19f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tantan 341tan tan34ππ+=ππ-2==--3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan α=+π．………………………………………………………………7分所以，即． ① 因为， ②由①、②解得．………………………………………………………………………………9分 所以 (11)分．………………………………………………………………………12分解法2：因为…………………………………………………………5分………………………………………………………………6分．………………………………………………………………7分所以 (9)分…………………………………………………………………………10分………………………………………………………………………………11分．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以．………………………………………………1分解得．……………………………………………………………………………………………2分tan 2α==sin 2cos αα=sin 2cos αα=22sin cos 1αα+=21cos 5α=2cos 22cos 1αα=-132155=⨯-=-3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan α=+πtan 2α==22cos 2cos sin ααα=-2222cos sin cos sin αααα-=+221tan 1tan αα-=+143145-==-+10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=0.03a =（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．…………………………………………………………………5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，．……………………6分成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．…………………7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7种．……………………11分所以所求概率为．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．…………………………………………………………………………………2分记边上的中点为，在△中，因为，所以．因为，所以4分所以△的面积5分110(0.0050.01)-⨯+0.85=6400.85544⨯=[)40,50400.052⨯=AB[]90,100400.14⨯=C D EF[)40,50[]90,100(),A B(),A C(),A D(),A E(),A F(),B C(),B D (),B E(),B F(),C D(),C E(),C F(),D E(),D F(),E F[)40,50[]90,100[)40,50[]90,100M M (),A B(),C D(),C E(),C F(),D E(),D F(),E F()715P M=⊥PAC ABC PAC ABC AC=PD⊂PAC ACPD⊥PD⊥ABCAC E ABC AB BC=ACBE⊥AB BC==4=ACBE===ABC12ABCS AC BE∆=⨯⨯=因为，所以三棱锥的体积．……………………7分 （2）证法1：因为，所以△为直角三角形．因为，，所以9分连接，在△中，因为，，，所以10分由（1）知平面，又平面， 所以．在△中，因为，，所以12分在中，因为， 所以．………………………………………………………………………………13分所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接，在△中，因为，，， 所以8分在△中，，，所以，所以．………………10分 由（1）知平面， 因为平面，所以． 因为， 所以平面．…………………………………………………………………………………12分 因为平面，所以．所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列是等差数列，2=PD ABC P -13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=PD ⊥AC PCD 2PD =3CD =PC =BD Rt BDE 90BED ∠=oBE =BD ===PD ⊥BD ⊂ABC PD ⊥BD Rt PBD 90PDB ∠=o2PD =BD =PB ===PBC ∆BC =PB =PC =222BC PB PC +=PBC ∆BD Rt BDE 90BED ∠=oBE =1DE =BD ===BCD 3CD =BC =BD =222BC BD CD +=BC BD ⊥PD ⊥ABC BC ⊂ABC BC PD ⊥BD PD D =BC ⊥PBD PB ⊂PBD BC PB ⊥PBC ∆{}n a BPACDEB PACDE所以，．……………………………………………………1分 依题意，有即………………………………………3分 解得，．……………………………………………………………………………………5分所以数列的通项公式为（）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得．……………………………………………………………………7分所以．…………………………………………………8分所以……………9分．………………………………………………………………………10分 因为，所以．………………………………………………11分因为，所以数列是递增数列．………………………………12分所以．………………………………………………………………………………………13分()11n a a n d =+-()112n n n S na d -=+52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩16a =4d ={}n a 42n a n =+*n ∈N 224n S n n =+()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭123111111n n nT S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭38n T <11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭{}n T 116n T T ≥=所以．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为，所以．……………………1分当时，，函数没有单调递增区间；……………………………………………2分当时，令，得． 故的单调递增区间为；…………………………………………………………………3分 当时，令，得．故的单调递增区间为．…………………………………………………………………4分 综上所述，当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和． …………………………………6分所以函数在处取得极小值，……………………………………………………7分1368n T ≤<32()f x x ax b =-++22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭0a =()0f x '≤()f x 0a >()0f x '>203a x <<()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭0a <()0f x '>203ax <<()f x 2,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0a =()f x 0a >()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭0a <()f x 2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭[]3,4a ∈()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭(),0-∞2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 0x =()0f b =函数在处取得极大值．………………………………………………8分由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即……………………………………………………………………10分解得． (11)分因为对任意，恒成立，所以．………………13分所以实数的取值范围是．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，．…………………………………………………………………1分设双曲线的方程为，．所以双曲线的方程为．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），则直线的方程为，………………………………………………………………………4分()f x23ax=324327a af b⎛⎫=+⎪⎝⎭[]3,4a∈()f x R()00,20.3faf<⎧⎪⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩30,40.27bab<⎧⎪⎨+>⎪⎩3427ab-<<[]3,4a∈3427ab>-33max44342727ab⎛⎫⨯>-=-=-⎪⎝⎭b()4,0-(1,0)A-(1,0)BC2221yxb-=()0b>=2b=C2214yx-=11(,)P x y22(,)T x y0ix>0iy>1,2i=APk0k>AP(1)y k x=+联立方程组………………………………………………………………………………5分 整理，得，解得或．所以．…………………………………………………………6分 同理可得，．…………………………………………………………………………………7分所以． (8)分证法2：设点、（，，）， 则，．…………………………………………………………………………4分 因为，所以，即．……………………………………5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，． 即，．…………………………………………………………………6分所以，即．……………………………………………………7分 所以． (8)分()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22224240k x k x k +++-=1x =-2244k x k -=+22244k x k-=+21244k x k +=-121x x ⋅=11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =111AP y k x =+221AT y k x =+AP AT k k =121211y y x x =++()()2212221211y y x x =++P T 221114y x -=222214y x +=()221141y x =-()222241y x =-()()()()22122212414111x x x x --=++12121111x x x x --=++121x x ⋅=证法3：设点，直线的方程为，………………………………………4分 联立方程组…………………………………………………………………………5分 整理，得， 解得或．…………………………………………………………………6分 将代入，得，即． 所以． (8)分（3）解：设点、（，，），则，．因为，所以，即．…………………………9分因为点在双曲线上，则，所以，即． 因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………………………………………10分因为，，所以．……………………………11分由（2）知，，即． 设，则，． 设，则， 11(,)P x y AP 11(1)1y y x x =++()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦1x =-221122114(1)4(1)x y x x y +-=++221144y x =-221122114(1)4(1)x y x x y +-=++11x x =211x x =121x x ⋅=11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =()111,PA x y =---()111,PB x y =--15PA PB ⋅≤()()21111115x x y ---+≤221116x y +≤P 221114y x -=22114416x x +-≤214x ≤P 112x <≤1221||||||2S AB y y ==21111||||||22S OB y y ==()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--121x x ⋅=211x x =21t x =14t <≤221245S S t t-=--()45t tf t =--()()()222241t t f t t t -+'=-+=当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，， 所以当，即时，．……………………………………………12分 当，即时，．………………………………………………13分所以的取值范围为．……………………………………………………………………14分说明：由，得，给1分．12t <<()0f t '>24t <≤()0f t '<()f t ()1,2(]2,4()21f =()()140f f ==4t =12x =()()2212min40SS f -==2t=1x =()()2212max 21SS f -==2212S S -[]0,1()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=()2212max1S S -=。
2020年广东广州高三一模文科数学试卷答案
【答案】 ①④
【解析】 ①∵
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ①正确．
②∵ ， 平面 ，
∴或
，
∴ 未必成立． ②错误．
③同理 ， 均是 ， 位置关系中的一种情况，但由题目中条件 ， 可成任
意夹角，
∴②③均错．
④∵ 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，故④正确．
⑤当平面 与平面 成锐角时，交线为 ，
由
，同理求得
，
所以
，
所以 的值为
．
19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 天到第 天的日产卵数据： 第天
日产卵数 （个）
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
此时∵ 平面 ，
∴，
但 并不平行于 ，
∴⑤错误，
综上，正确答案为①④．
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
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，所以
在
中，
，
，
在
和
中，因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
（ 2 ）方法一：因为
，
所以
，
， ，
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
2020年广东一模文科数学(试题和答案)
C. (一~ , - 1)υ(1 ， ?)D( -7 ， 一 l)U (0 , 1)
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 设函数 f( 对 = mx2 ln x ， 若曲线 y = f(x) 在点 (e ，J( e) )处的切线与直线 ex + y +
2020 = 0 平行，则 m =
9. 执行右边的程序框图，右 ....知 ...比出 A 的值为 一70一 ，则输入 i 的值为
169 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.
已知
0 是坐标原点，双曲线 C: 毛一毛=
α '- b'-
1 (α
>O ， b
>0)
的右
焦点为 F ， 过点 F 的直线 l 与 z 轴垂直，且交双曲线 C 于 A ， B
14 .
若 χ ， y 满足约束条件
~r
lI
x-y .N
J
lI
~l ~~'
则
z
=
2x
+ y 的最大值为
I Ix I ~二 2 ，
15. 如图，已知 三棱锥 P -ABC 满足 PA = PB = PC = AB = 2 ,
AC j_ BC ， 则该三棱锥外接球的体积为
,,,,,,,,,"
/A
，、 -
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ， B 均为全集 u = 1 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7~ 的子集，集合 A = 11 ,2 ,3 ,4 ~ ，则
广州市高三“一模”数学试题及解答（文科）
秘密★启用前广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科）．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,22．已知3cos 5α=，则cos2α的值为A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为A ．33B ．2πC ．3πD ．4π正(主)视图 左(侧)视图俯视图4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、205．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =A ．1-B 2C ．1-2D ．1或2-6．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a >8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．14次 B ．13次 C ．9次 D ．8次10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．0 1 2 3 4 1 1 2 0 1 03 58 7 8 9 7 5 6 4 3 2 9 6 1 甲 乙 图212．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ．（注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率．17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值．18．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作图3开始 0k =21x x =+1k k =+结束 输入x是 否输出x ,k115?x >Q1B 1C1A 1A '1B1C1AP Q1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C A C B D C 10．由PA PB PC AB++=，得PA PB BA PC +++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，BCA P则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()313612P A ==． 答：事件“3x y +≤”的概率为112． （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件． ∴()82369P B ==． 答：事件“2x y -=”的概率为29．17．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即310,21.b a ⎧+=⎪⎪=⎩ 解得1,3.a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）由（1）得()sin 3f x x x =132sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+， 即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A ''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A ''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BCBB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=．（2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+．∴13533228λλλ+++=+． 解得，1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+．∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=． ·············· ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点， ∴216160k ∆=->，解得1k >或1k <-． 故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞．（2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴21142x PM x -=．同理，可得22242x PN x -=．∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---（12x x ≠）．故PM PN =．解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根， ∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=． ∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭． 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==．∴点P 是线段MN 的中点． 故PM PN =．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵()1xf x e '=-，令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n ke n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---，∴ 1211n nnnn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
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量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：
频率 组距
0.750
0.650
0.225 0.200 0.100 0.075
62.0 62.5 63.0 63.5 64.0 64.5 65.0 零件尺寸/mm
（1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01）；
（2）已知尺寸在 63.0, 64.5 上的零件为一等品，否则为二等品. 将这 80 个零件尺寸的样
本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1 个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.
1
O
πx
C.
O
πx
B.
y
1
O
πx
D.
8. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形
的边长为 1 ，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为
A. 7 2 2
B. 10 2 2
C. 10 4 2
D. 11 4 2
9. 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e ，设地球
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。
3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题 卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
A. 2 个
B. 4 个
C. 6 个
3. 设向量 a m,1 ， b 2, 1 ，且 a b ，则 m
D. 8 个
A. 2
B. 1 2
1
C.
2
D. 2
4. 已知an 是等差数列， a3 5 ， a2 a4 a6 7 ，则数列an 的公差为
A. 2
B. 1
C. 1
D. 2
5. 已知命题 p ： x R， x2 x 1 0 ；命题 q ： x R， x2 x3 ，则下列命题中为真
3, y
2,
则 z x 2y 的最小值为
.
15. 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从 3 名男生 A1 ，A2 ，A3 和
3 名女生 B1 ， B2 ， B3 中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合
双打比赛，则 A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为
.
16.
记 Sn 为数列an 的前 n 项和，若 2Sn
an
1 2n1
，则 a3 a4
，
数列 an2 an 的前 n 项和Tn
. (第 1 空 2 分，第 2 空 3 分)
文科数学试题 第 3 页（共 5 页）
三、解答题: 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须做答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分． 17.（12 分）
的取值范围是
A. ,1
B. 0,1
C.
0,
1 ln 2
D.
1 ln 2
,
文科数学试题 第 2 页（共 5 页）
11.
已知
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2
1 a
0 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线
与 C 相交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为
秘密★启用前
广州市 2020 届高三年级阶段训练题
文科数学
试卷类型：B
本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知复数 z i 1 i ，则 z
1
A.
2
B.
C. 1
D. 2
2
2
2. 已知集合 A 0,1, 2,3 ， B 1, 0,1 ， P A B ，则 P 的子集共有
命题的是
A. p q
B. p q
C. p q
D. p q
6. 已知偶函数 f x 满足 f x x 2 x 0 ，则 x f x 2 1 x
A. x x 4 或 x 0
B. x x 0 或 x 4
C. x x 2 或 x 2
D. x x 2 或 x 4
文科数学试题 第 1 页（共 5 页）
2
A.
3
3
B.
3
22
C.
3
23
D.
3
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ，CC1 ，C1D1 的
中点，给出下列四个命题:
① EF B1C ;
② 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60 ;
③ 过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
7. 如图，圆 O 的半径为1， A ， B 是圆上的定点， OB OA， P 是圆上的动点， B
点
P 关于直线
OB
的对称点为
P
，角
x
的始边为射线
OA
，终边为射线
OP
，P'
P
将 OP OP 表示为 x 的函数 f x ，则 y f x 在0, 上的图像大致为
y
y
O
A
2
2
O
πx
A.
y
④ 三棱锥 B EFG 的体积为 5 . 6
其中，正确命
D. 4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知函数 y f x 的图像与 y 2x 的图像关于直线 y x 对称，则 f 4
.
14.
设
x
，
y
满足约束条件
1 0
x x
半径为 R ，该卫星近地点离地面的距离为 r ，则该卫星远地点离地面的距离为
A. 1 e r 2e R 1e 1e
B. 1 e r e R 1e 1e
C. 1 e r 2e R 1e 1e
D. 1 e r e R 1e 1e
10. 已知函数 f x x a ln x 1存在极值点，且 f x 0 恰好有唯一整数解，则实数 a