命题逻辑的推理演算

1.5 命题逻辑的推理演算数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。

推理就是由已知的命题得到新命题的思维过程。

任何一个推理都是由前提和结论两部分组成。

前提就是推理所根据的已知命题，结论则是从前提出发应用推理规则推出的新命题。

1.5.1 推理形式定义1.16设α1,α2,…,αn,β都是命题公式。

若(α1∧α2∧…∧αn)→β是重言式，则称由前提α1,α2,…,αn推出β的推理是有效的或正确的，并称β是α1,α2,…,αn的有效结论或逻辑结果，记为α1∧α2∧…∧αn⇒β或α1，α2，…，αn⇒β，记号α1∧α2∧…∧αn⇒β也称为重言蕴含或推理形式。

关于定义1.16还需做以下说明：（1）由前提α1,α2,…,αn推结论β的推理是否正确与各前提的排列次序无关，因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限公式集合。

若推理是正确的，则记为α1∧α2∧…∧αn⇒β，否则记为α1∧α2∧…∧αn≠>β。

（2）符号⇒与→是两个完全不同的符号，它们的区别与联系类似于⇔和↔的关系。

⇒不是命题联结词而是公式间的关系符号，而→是命题联结词。

这两者之间有密切的联系，即α⇒β的充要条件是公式α→β为重言式。

例1.18 写出下述推理关系的推理形式。

下午小王或去看电影或去游泳。

他没去看电影。

所以，他去游泳了。

解设P：小王下午去看电影；Q：小王下午去游泳。

前提：P∨Q，⌝P结论：Q推理形式为:(P∨Q)∧⌝P⇒Q1.5.2 推理规则在数理逻辑中，要想进行正确的推理，就必须构造一个逻辑结构严谨的形式证明，这需要使用一些推理规则。

下面就介绍人们在推理过程中常用到的几条推理规则。

1．前提引入规则(P)在推理过程中，可以随时引入已知的前提。

2．结论引用规则(T)在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的前提引用。

3．置换规则(R)在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。

4．代入规则(S)在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公式代入，得到的仍是重言式。

1.5.3 推理定律在推理过程中，除了需要使用推理规则之外，还需要使用许多条推理定律。

定理1.10设α，β是两个命题公式，α⇔β当且仅当α⇒β且β⇒α。

证明设α⇔β，则α↔β是重言式。

根据等价等值式，α↔β⇔(α→β)∧(β→α)所以，α→β和β→α都是重言式，即α⇒β且β⇒α。

反之，设α⇒β且β⇒α，则α→β和β→α均为重言式，因此α↔β是重言式，即α⇔β。

证毕。

定理1.11设α，β，γ是命题公式，若α⇒β且β⇒γ，则α⇒γ。

证明因为α⇒β且β⇒γ，则公式α→β和β→γ均为重言式，即⌝α∨β⇔⌝β∨γ⇔1因此⌝α∨γ⇔(⌝α∨γ)∨0⇔(⌝α∨γ)∨(β∧⌝β)⇔(⌝α∨β∨γ)∧(⌝α∨⌝β∨γ)⇔(1∨γ)∧(⌝α∨1)⇔1∧1⇔1由于α→γ为重言式，因此α⇒γ。

证毕。

定理1.12 设α，β是命题公式，则α⇒β的充要条件是α∧⌝β是矛盾式。

证明（1）充分性：设α∧⌝β是矛盾式，由于α∧⌝β⇔⌝(⌝(α∧⌝β))⇔⌝(⌝α∨β) ⇔⌝(α→β)，所以⌝(α→β)是矛盾式，从而α→β是重言式，因此α⇒β。

（2）必要性：设α⇒β成立，则α→β是重言式，从而⌝(α→β)⇔α∧⌝β是矛盾式。

由（1）（2）知定理成立。

证毕。

下面列出一些常用的推理定律（在后面的推理演算中以大写字母I加以引用）。

（1）化简律α∧β⇒α，α∧β⇒β（2）附加律α⇒α∨β，α⇒α∨β（3）假言推理（又称分离规则）α∧(α→β)⇒β（4）假言三段论(α→β)∧(β→γ)⇒(α→γ)（5）等价三段论(α↔β)∧(β↔γ)⇒(α↔γ)（6）析取三段论(α∨β)∧⌝β⇒α（7）拒取式⌝β∧(α→β)⇒⌝α（8）二难推理(α→γ)∧(β→γ)∧(α∨β)⇒γ（9）α,β⇒α∧β（10）⌝α⇒α→β，β⇒α→β（11）⌝(α→β)⇒α，⌝(α→β)⇒⌝β（12）(α→β)∧(β→α)⇒(α↔β)（13）α→β⇒(α∨γ)→(β∨γ)，α→β⇒(α∧γ)→(β∧γ)（14）α↔β⇒α→β，α↔β⇒β→α以上推理定律均可以按照定义直接证明，即给定α,β两个公式，为了判断α⇒β是否成立，根据推理形式的定义，可转化为判断α→β是否为重言式。

下面以（4）式为例给出其证明。

例1.19 证明(α→β)∧(β→γ)⇒(α→γ)证明 (α→β)∧(β→γ)→(α→γ)⇔(⌝α∨β)∧(⌝β∨γ)→(⌝α∨γ)⇔⌝((⌝α∨β)∧(⌝β∨γ))∨(⌝α∨γ)⇔((α∧⌝β)∨(β∧⌝γ))∨(⌝α∨γ)⇔(α∧⌝β)∨((β∧⌝γ)∨⌝α∨γ)⇔(α∧⌝β)∨((β∨⌝α∨γ)∧(⌝γ∨⌝α∨γ))⇔(α∧⌝β)∨((β∨⌝α∨γ)∧1)⇔(α∧⌝β)∨(β∨⌝α∨γ)⇔(α∨β∨⌝α∨γ)∧(⌝β∨β∨⌝α∨γ)⇔1∧1⇔1因此 (α→β)∧(β→γ)⇒(α→γ)。

证毕。

对于以上推理定律还有几点需要说明：（1）推理定律中出现的α，β，γ均代表任意的命题公式；（2）若一个推理形式与某条推理定律对应一致，则不用证明就可判定这个推理是这个推理是正确的，但需说明依据；（3）根据定理1.10，在1.3节中给出的16组等值式中的每一条公式都可以派生出两条推理定律。

例如，双重否定律α⇔⌝(⌝α)产生两条推理定律α⇒⌝(⌝α)和⌝(⌝α)⇒α。

1.5.4 推理方法在命题逻辑中，常用的推理方法有三种：真值表法、直接证法和间接证法，下面分别介绍。

1．真值表法设P1,P2,…,Pn是出现于前提α1,α2,…,αm和结论β中的全部命题变元，对P1,P2,…,Pn的所有情况作完全指派，这样能对应地确定α1,α2,…,αm和β的所有真值，列出这个真值表，即可判断如下推理形式是否成立：α1∧α2∧…∧αm⇒β或α1,α2,…,αm⇒β若从真值表上找出α1,α2,…,αm均为1的行，β对应的行也为1，则上式成立。

或者，若β为0的行，对应的行中α1,α2,…,αm至少有一个0，则上式也成立。

例1.20用真值表法证明(P→Q)∧⌝(P∧Q)⇒⌝P。

解列出(P→Q)∧⌝(P∧Q)⇒⌝P的真值表，如表1.14所示。

从表中可以看出P→Q与⌝(P∧Q)均为1的行是第一、二行，此两行⌝P也为1，所以该推理形式正确。

当然也可以从另外一个方面来判断，表中⌝P为0的行是第三、四行，此两行中P→Q与⌝(P∧Q)至少有一个为0，从而也可以判断出该推理形式正确。

表1.14 公式(P→Q)∧⌝(P∧Q)⇒⌝P的真值表P Q P→Q⌝(P∧Q)⌝P0 00 11 01 1111111112．直接证法直接证法就是由一组前提，利用前面的四条推理规则，根据已知的命题等值公式（1.3节中的16组公式）和推理定律，推演而得到有效的结论。

例1.21证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒S∨R证明（1）P∨Q P（2）⌝P→Q R,E,(1)（3）Q→S P（4）⌝P→S T,I,(2),(3)（5）⌝S→P R,E,(4)（6）P→R P（7）⌝S→R T,I,(5),(6)（8）S∨R R,E,(7)证毕。

说明：上述推理过程中，最左边的一列（1），（2）等代表推理的步骤，也是推导出来的命题公式的编号，最右边的一列是说明每一步的依据。

如P表示前提引入规则；R,E,(1)表示依据置换规则和命题定律中的命题等价公式，由（1）得到（2）；T,I,(2),(3)表示依据结论引用规则和推理定律，由（2），（3）两式推得（4）。

3. 间接证法间接证法主要有两种，一种就是我们经常用的反证法，另外一种称之为CP规则。

1）反证法要证明推理形式α1∧α2∧…∧αm⇒β成立（记作α⇒β），根据定理1.12可知，只须证明α∧⌝β是矛盾式。

因此，只须把⌝β作为附加前提加入推理过程中，推出矛盾即可。

例1.22 证明P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明用反证法，把⌝(⌝P)作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。

(1) ⌝(⌝P) P(附加)(2) P R,E,(1)(3) P→⌝Q P(4) ⌝Q T,I,(2),(3)(5) Q∨⌝R P(6) ⌝R T,I,(4),(5)(7) R∧⌝S P(8) R T,I,(7)(9) R∧⌝R T,I,(6),(8),矛盾因此，假设不成立，原推理形式正确。

2）CP规则欲证α⇒(β→γ)，即证α⇒(⌝β∨γ)，亦即α→(⌝β∨γ)永真。

因为α→(⌝β∨γ) ⇔⌝α∨(⌝β∨γ)⇔⌝(α∧β)∨γ⇔(α∧β)→γ，所以若将β作为附加前提，证明α∧β⇒γ成立，即得证α⇒(β→γ)成立。

这一证明方法称为CP规则。

例1.23 验证下述推理是否正确。

或者逻辑学难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑学并不难学。

因此如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学。

解求解上述类型的推理问题，应先将命题符号化，然后写出前提、结论和推理形式，最后进行判断。

令 P：逻辑学难学； Q：有少数学生不喜欢逻辑学； R：数学容易学。

则前提：P∨Q，R→⌝P结论：⌝Q→⌝R推理形式：P∨Q，R→⌝P⇒⌝Q→⌝R(1) ⌝Q P(附加)(2) P∨Q P(3) P T,I,(1),(2)(4) R→⌝P P(5) ⌝R T,I,(3),(4)(6) ⌝Q→⌝R CP因此整个推理正确。