2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
2019年高考数学一轮复习理科：立体几何简单几何体的表面积与体积学案
第五节 简单几何体的表面积与体积
[考纲传真] (教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
(对应学生用书第117页)
[基础知识填充]
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
[知识拓展] 几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
(3)棱长为a的正四面体，其高H＝63a，则其外接球半径R＝34H，内切球半径R＝14H.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )
2017年全国卷高考数学复习专题——空间几何体的三视图、表面积和体积
2017年全国卷高考数学复习专题——
空间几何体的三视图、表面积和体积
考点一 三视图与直观图
1.(2014课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.6 2 B.6 C.4 2 D.4
答案 B
2.(2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
答案 A
3.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
答案 B
4.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
答案 D
5.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8-2π B.8-π C.8-π2 D.8-π4
答案 B
6.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, 2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2 D.S3=S2且S3≠S1
答案 D
7.(2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
2019年高考数学一轮复习：空间几何体的表面积与体积
2019年高考数学一轮复习：空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝____________，S正棱锥侧＝____________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．
(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．
2．柱体、锥体、台体的体积
(1)棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________
(其中S，S′为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________
(其中r，r′为底面圆的半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S球＝________．
(2)半径为R的球的体积V球＝__________.
自查自纠
1．(1)Ch 12Ch′ 12()C＋C′h′
(2)2πrl πrl π(r＋r′)l
(3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积
2．(1)Sh 13Sh 13h()S＋SS′＋S′
(2)πr2h 13πr2h 13πh()r2＋rr′＋r′2
3．(1)4πR2 (2)43πR3
已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )
A.2π2 B.2π C.3π3 D.3π
解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C.
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 空间几何体的表面积与体积练习 理-课件
1 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积练习 理
[A组·基础达标练]
1．[2016·黄冈中学月考]某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为(
)
A．48 B．56
C．64 D．72
答案 C
解析 该组合体由两个棱柱构成，上面的棱柱体积为2×4×5＝40，下面的棱柱体积为4×6×1＝24，故组合体的体积为64，故选C.
2．[2016·银川模拟]如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为(
)
A．2＋3π＋42 B．2＋2π＋42 2 C．8＋5π＋23 D．6＋3π＋23
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的几何体，该几何体的表面积S＝π×2×1＋42＋212π＋1＝3π＋42＋2，故选A.
3．[2015·陕西高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
答案 D
解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.
4．[2015·重庆高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A.13＋π B.23＋π
C.13＋2π D.23＋2π
答案 A
解析 由三视图知，该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱锥的底面为一个斜边长为2的等腰直角三角形，高为1，所以该几何 3 体的体积V＝13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A.
5．已知三棱锥O－ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，三棱锥O－ABC的体积为54，则球O的表面积是( )
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
20212A版
- 1 - 第2节 空间几何体的表面积和体积
考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知 识 梳 理
1。多面体的表(侧）面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r1＋r2）l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体 表面积 体积
柱 体 S表面积＝S侧＋V＝S底h 20212A版
- 2 - (棱柱和圆柱) 2S底
锥 体
（棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝错误!S底h
台 体
（棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h
球 S＝4πR2 V＝错误!πR3
［常用结论与微点提醒］
1。正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a,球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；
（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊 断 自 测
1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。（ ) 20212A版
- 3 - （2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。（ )
(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ )
(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。( ）
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案 （1）× （2）× （3)√ (4)√
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
空间几何的体积与表面积 高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)
1 / 16
7.2 空间几何的体积与表面积（提升版）
思维导图 2 / 16
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A．32 B．16 C．32 D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径4r，高4h，故其侧面积224432Srh．故选：A
【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥PO的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．3π2 B．3π C．633π D．3
【答案】A
【解析】如图，
1AB，2BE，3AE，则30AEB，
设DCr，01r，则2ECr，3DEr，则33ADAEDEr， 考点呈现
例题剖析 3 / 16
∴圆柱侧面积为：221132π2π3323π23ππ222SrADrrrr，当12r时取等号．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．24 B．22 C．2 D．24
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为r，则其侧棱为2r，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：222rrr，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为r，
所以22222444SrlrSrr圆锥侧球.故选：A.
新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第1节空间几何体教师用书
第一节 空间几何体
考试要求：1．认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实
生活中简单物体的结构．2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图．
3．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
一、教材概念·结论·性质重现1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台
图形
底面互相平行且全等多边形互相平行
侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点
侧面形状平行四边形三角形梯形2．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球
图形
母线相互平行且相
等并垂直于底
面相交于一点
延长线交于一
点
轴截面全等的矩形全等的等腰三
角形全等的等腰梯
形圆
侧面
展开图矩形扇形扇环
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)“斜”：在直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45° 或 135° ．
1(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半．
画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台侧面展开图
侧面积公式S圆柱侧＝2π rl S圆锥侧＝π rl S圆台侧＝π( r 1＋ r 2) l 5．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体表面积体积
柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S 底· h
锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底·h
台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4π R 2 V＝πR3
(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解
决．(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题．
(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法．
6．常用结论
几个与球有关的切、接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R．
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
2023届高三数学一轮复习专题 空间几何体的外接球与内切球问题 讲义 (解析版)
第 1 页 共 4 页 空间几何体的外接球与内切球问题
高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主.
一、几种常见几何体的外接与内切球
1.长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
(2)半径：R＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体的中心；半径R＝32a(a为正方体的棱长)；
(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝2a (a为正方体的棱长)；
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径2=2ra (a为正方体的棱长)．
3.正四面体的外接球与内切球
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a (a为正四面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径6=12ra (a为正四面体的棱长)．
求外接球问题常用方法：
1.补体法。将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解
2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）
3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径
4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆
求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。
第 2 页 共 4 页 题型一：柱体的外接球
1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．
2.已知三棱柱111ABCABC－的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为_________．
3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)7-2 空间几何的体积与表面积(精练)(解析版)
7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）
1．（2022·陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和23，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（
）
A．623 B．623 C．23 D．6
【答案】A
【解析】如图所示，在直角ABC中，23,2ACBC，可得224ABACBC，
可得3ACBCOCAB，即旋转体的底面圆的半径为3r，所以该旋转体的表面积为：
32332(623)SrACrBC.故选：A.
2．（2022·山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A．32 B．22 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，PO是正四棱锥PABCD的高，
设底面边长为a，则底面积为21Sa，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45， 题组一 柱锥台的表面积 所以45PAO，又22AOa，所以222PAaa，
所以PAB△是正三角形，面积为2234Sa，
所以2221433SaSa，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为3故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知RtABC△中，3AC，4BC，CD是斜边AB上的高，ACD△与ABC绕AC旋转一周得到的几何体的表面积分别为1S和2S，则12SS的值为（ ）
A．21125 B．181400 C．35 D．57
【答案】A
【解析】由题意得5AB，125BCACCDAB，2295ADACCD，过点D作DEAC，垂足为E，则3625ADCDDEAC，所以
1756125SDEADDECD，2236SBCABBC，所以127562112536125SS．
故选：A.