人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线定义在解题中的应用》
高中数学(人教B版 选修2-1)教师用书第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1
椭圆
椭圆的标准方程
．了解椭圆标准方程的推导．
．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 椭圆的定义
阅读教材前自然段，完成下列问题．
平面内与两个定点，的距离的和等于的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．
【答案】常数(大于) 两个定点 两焦点的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )
()在椭圆定义中，将“大于”改为“等于”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段．( )
()到两定点(－)和()的距离之和为的点的轨迹为椭圆．( )
【答案】()× ()√ ()×
教材整理 椭圆的标准方程
阅读教材第自然段～“思考与讨论”，完成下列问题.
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 ＋＝(＞＞)
焦点 (－)与() 与 ，，的关系 ＝
【答案】＋＝(＞＞) (，－) (，) －
椭圆＋＝的焦点在轴上，焦距为，椭圆＋＝的焦点在轴上，焦点坐标为．
【解析】由>可判断椭圆＋＝的焦点在轴上，由＝－＝，可得＝，故其焦距为.由>，可判断椭圆＋＝的焦点在轴上， ＝－＝，故焦点坐标为(，)和(，－)．
【答案】 (，)和(，－)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
()两个焦点的坐标分别为(－)和()，且椭圆经过点()；
()焦点在轴上，且经过两个点()和()；
()经过点(，－)和点(－，)．
【自主解答】()由于椭圆的焦点在轴上，
∴设它的标准方程为＋＝(＞＞)．
∴＝，＝，∴＝－＝－＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝.
()由于椭圆的焦点在轴上，
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)
一、选择题
1．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线l与椭圆C交于,AB两点，且线段AB的中点为2,1M，则直线l的斜率为（ ）
A．13 B．32 C．12
D．1
2．若圆锥曲线C：221xmy的离心率为2，则m（ ）
A．33 B．33 C．13 D．13
3．已知椭圆22221(0)xyCabab：的右焦点为(c,0)F，上顶点为(0,)Ab，直线2axc上存在一点P满足FPAPFAAP，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．1[,1)2 B．2[,1)2 C．51[,1)2 D． 20,2
4．如图，已知1F、2F双曲线222210,0xyabab的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AFBF，112ABF，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．423
5．椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别是1F、2F，斜率为1的直线l过左焦点1F且交C于A，B两点，且2ABF的内切圆的面积是，若椭圆C离心率的取值范围为22[]42，，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．[2,22] B．[1 , 2] C．[4 8]， D．[42,82]
6．已知O为坐标原点设1F，2F分别是双曲线2219xy的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，过点1F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为H，则OH（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线220ypxp的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为2y，若入射光线FP的斜率为43，则抛物线方程为 （ ）
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3
高中数学人教A版2003课标版选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用
《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计
第一课时 抛物线的光学性质及其应用
一、 教学目标
1. 理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。
2. 会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。
二、 教学重点
理解抛物线的光学性质并会推导。
三、 教学难点
数学建模思想的应用。
四、 教学过程
（一）课题引入
问题一：手电筒
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。这是为什么呢?
设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。
（二）课题提出 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
问题二：生活问题数学化
要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_5
圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计
一、教材分析
《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》2.3节的一段阅读与思考材料，主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及应用，教学需要1个课时. 所学内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中“数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.”这一学科定位在这节课中也得到相应体现.
课堂上，学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，由于三种圆锥曲线的性质可以进行适当的类比，所以在教学中重点探讨椭圆的光学性质及其应用.课后，学生完成课外作业或查阅相关资料，类比课堂上所学方法可继续对其他曲线进行研究.
二、学情分析
学生在初中物理课上已经学习了光的反射原理，高中又学习了圆锥曲线的概念和简单几何性质，因此对圆锥曲线光学性质的理解有一定的基础.但作为文科重点班的学生，他们并不满意仅仅了解圆锥曲线光学性质，还需要了解为什么具有这样的性质，对其证明也充满着求知欲.此外，本课内容出现在《阅读与理解》这一专栏，故而课堂上还要重视对学生阅读能力的培养．
考虑到文科生理性思维能力弱，多数学生思维只停留在照章循事，机械化程序化解题，在思考问题方面，偏重形象思维，故本节课借助几何画板利用垂直平分线构造椭圆的方法，为椭圆的光学性质的证明提供了直观简洁的依据，也为课外学生证明双曲线、抛物线的光学性质提供类比的依据．另外，课本是从相对简单的抛物线光学性质开始编排，但是学生首先学习的是椭圆，对椭圆更熟悉一些，因此本节课的教学设计改变了教材编排顺序，从椭圆光学性质学习开始，由易到难，由直观到推理，逐步引向思维深处．那些数学思维较弱的学生，通过配套微课的提前学习，也能较好适应课堂节奏.
高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用教材习题点拨新人教A版选修2-2资料
1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材习题点拨 新人教A版选修2-2
教材问题解答
(问题)
如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特征？
答：如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．
(思考)
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．
答：函数y＝f(x)的平均变化率fx2－fx1x2－x1的几何意义是经过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点直线的斜率．
当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率fx2－fx1x2－x1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率fx2－fx1x2－x1＜0.
(问题)
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？
答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性．
练习1
1．解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋4，所以f′(x)＝2x－2.
当f′(x)＞0，即x＞1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递增；
当f′(x)＜0，即x＜1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递减．
(2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.
当f′(x)＞0，即x＞0时，函数f(x)＝ex－x单调递增；
当f′(x)＜0，即x＜0时，函数f(x)＝ex－x单调递减．
(3)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.
当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；
当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．
全国青年教师素养大赛一等奖圆锥曲线统一定义的教学设计
圆锥曲线统一定义的教学设计
周口市扶沟县高中 许亚丹
一 教材分析
1． 教学内容
圆锥曲线的统一定义》是普通高中新课程标准实验书北师大版《数学》
选修2—1第三章第4节的内容.本节主要研究圆锥曲线的共同特征，
2． 教材的地位与作用
学生已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初
步知识。本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，进一步熟悉和掌
握坐标法。由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以
难度不易把握。考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
3． 教学重点和难点
圆锥曲线统一定义的推导及其应用。
突破方法：
（1） 引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2） 引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的共同特征;熟练利用坐标法求解曲线方程.
过程与方法：利用坐标法来探究圆锥曲线统一定义，使学生经历知识
产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能
力。
情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会圆锥曲线和谐
美和对称美，培养学生良好的审美习惯和思维品质。
二 教法分析
高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。所以设计问题时
应考虑灵活性。采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充
分发挥学生主体能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用“自主探究、合作学习、互动交流”的学习方式，
向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。通过
讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面
的能力。
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通
过演示，激发学生学习数学的兴趣。 三 学法分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的
能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根
(选修1-1教案)2.1圆锥曲线
选修1-1第2章 让每节的时间都成为黄金时间 让每节的目标都得到完美实现黄金时间
赢得未来，从赢在课堂开始！ 第 1 页 共 3 页 第二章 圆锥曲线与方程
本章内容
在日常生活中，我们接触过许许多多的曲线，有的可能有印象，有的可能没有印象了.例如，油罐汽车上装油罐的截面，其周界就是椭圆；喷泉喷出的水形成的曲线就是抛物线；拉开休闲服的拉链，动点的轨迹就是双曲线.
对椭圆、抛物线、双曲线以及我们过去学过的圆，还可以从平面截圆锥的操作过程来认识.用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
实践证明，圆锥曲线对人类社会的进步和发展是有用的.例如，神州宇宙飞船的运行轨道就是椭圆，发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线.既然圆锥曲线有用，人类就要研究它们.本章我们将用坐标方法探究椭圆、抛物线和双曲线.
高考目标
考情考法
在这些年的高考中，在全国卷、各省（市、自治区）卷中，每张卷上都能见到围绕圆锥曲线命题的试题，小题、大题都有，小题的难度处在中等水平，大题一般都是把直线与圆锥曲线结合在一起，对往往是压轴题，一题多问，难度都比较大.
一个目标：渗透解析几何的基本思想.
一条主线：展示背景，形成曲线概念；建立方程，研究曲线性质.
主
题 考试
内容 考试要求
知识与技能 过程与方法 情感、态度与价值观
了解 理解 掌握 经历 模仿 探索 认同 反应 领悟
圆锥曲线与方程 椭圆 √ √ √
双曲线 √ √ √
抛物线 √ √ √ 选修1-1第2章 让每节的时间都成为黄金时间 让每节的目标都得到完美实现黄金时间
赢得未来，从赢在课堂开始！ 第 2 页 共 3 页
2.1 圆锥曲线
在广袤无垠的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如太阳、月亮、星星„„随着人类逐渐步入璀璨夺目的宇宙，我们已有幸欣赏到有条不紊、翩翩起舞的星球的“舞步”.目前的研究表明，天体数量越多，轨迹的种类也就越多，其中5个天体可能组成的轨迹至少有18种，而其它一些复杂的“太空舞步”竟有799种之多.其中有些天体运行的“舞步”就是我们这一节所要研究的椭圆、双曲线和抛物线.
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)(4)
一、选择题
1．已知离心率为223的椭圆2211xymm的左､右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线4x交于点C，直线BP与直线4x交于点D，若83CD，则直线AP的斜率为（ ）
A．16或120 B．121 C．16或121 D．13或120
2．设F为双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左.右支交于点PQ、，若2,60PQQFPQF，则该双曲线的离心率为（ ）
A．13 B．3 C．23 D．423
3．已知F是双曲线22:13yCx的右焦点，Q是双曲线C左支上的一点，0,23M是y轴上的一点.当MQF的周长最小时，过点Q的椭圆与双曲线C共焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A．25 B．45 C．15 D．23
4．已知双曲线222210,0xyabab，过其右焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的左焦点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．1,2 B．1,12 C．2, D．12,
5．P是椭圆221169xy上的点，1F、2F是椭圆的左、右焦点，设12PFPFk，则k的最大值与最小值之和是（ ）
A．16 B．9 C．7 D．25
6．设1F、2F分别是双曲线C：22221xyab(0a，0b)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得22()0OPOFFP，O为坐标原点，且12||3||PFPF，则双曲线C的离心率为（ ）．
A．312
B．622 C．31
D．62
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点(3,1)M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为（ ）
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.3.1 双曲线及其标准方程(讲义)
2.3.1 双曲线及其标准方程
课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线定义的集合表示
设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.
注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:
①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.
②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.
(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”. ①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.
②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.
3.双曲线的标准方程
标准方程 22xa-22yb=1
(a>0,b>0) 22ya-22xb=1
(a>0,b>0)
双曲线在
坐标系中
的位置
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2+b2
注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.
高中数学 圆锥曲线的统一定义
高中数学 圆锥曲线的统一定义
教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52）
江苏省泰州中学 宋健
一． 教材分析：
《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
二．目标分析：
鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标：
（一）知识和技能：
通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。
（二）过程与方法
通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用；
（三）情感与价值观
通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：
教学重点：圆锥曲线统一定义的推导
教学难点：如何设出定直线方程（准线方程）
教学手段：多媒体辅助教学
教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导
四．过程实录：
温故而知新
师：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(lF不在l上)的距离的比等于常数1的动点P的轨迹是抛物线．
边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）.