考研数学一(线性代数)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷140 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶矩阵，A2=A，则下列结论成立的是( )．
A．A=O
B．A=E
C．若A不可逆，则A=O
D．若A可逆，则A=E
正确答案：D
解析：因为A2=A，所以A(E－A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E－A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E－A)=0，A=E，选
D． 知识模块：线性代数
2． 设A=(α1，α2，…，αm)，其中αi是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则( )．
A．m＞n
B．m=n
C．存在m阶可逆阵P，使得AP=
D．若AB=O，则B=O
正确答案：D
解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O，则B=O，选
D． 知识模块：线性代数
3． 设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．
A．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解
B．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解
C．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解
D．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解
正确答案：A
解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A． 知识模块：线性代数
4． 设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
A．若A2=E，则－1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则－1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是－1为A的特征值；若A的每行元素之和为－1，则，根据特征值特征向量的定义，－1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2－1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得－1为A的特征值，选A． 知识模块：线性代数
填空题
5． 设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜=－4，则｜E－ABT｜=_______。
正确答案：－4
解析：｜A｜＜0｜A｜=－1．｜E－ABT｜=｜AAT－ABT｜=｜A ｜｜(A－B)T｜=－｜A－B｜=｜B－A｜=－4． 知识模块：线性代数
6． 设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_______。
正确答案：6
解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6． 知识模块：线性代数
7． 若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜=_______。
正确答案：2
解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，由AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，α3)得P－1AP=，所以｜A｜==2 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8． 计算D2n=
正确答案：D2n=a2D2n－2－b2D2n－2=(a2－b2)D2n－2=…=(a2－b2)n． 涉及知识点：线性代数
设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P=
9． 计算PQ．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
10． 证明：PQ可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b．
正确答案：｜PQ｜=｜A｜2(b－αTA－1π)，PQ可逆的充分必要条件是｜PQ｜≠0，即αTA－1α≠b． 涉及知识点：线性代数
11． 设A为n阶矩阵且r(A)=n－1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．
正确答案：因为r(A)=n－1，所以r(A*)=1，于是A*=(b1 … bn)，其中α=为非零向量，故(A*)2==kA*，其中k= 涉及知识点：线性代数
12． 设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
正确答案：因为向量组(Ⅰ)的秩为3，所以α1，α2，α3线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α4可由向量组α1，α2，α3线性表示．因为向量组(Ⅱ)的秩为4，所以α1，α2，α3，α5线性无关，即向量α5不可由向量组α1，α2，α3线性表示，故向量α5－α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α5－α4线性无关，于是向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4． 涉及知识点：线性代数
设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．
13． 证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；
正确答案：因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=－l1β1－l2β2．令γ=k1α1+k2α2=－l1β1－l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0． 涉及知识点：线性代数
14． 设α1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
正确答案：令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=则，所以γ=kα1－3kα2=－kβ1+0β2． 涉及知识点：线性代数
15． A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公
共的非零解．
正确答案：方程组=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为≤r(A)+r(B)＜n，所以方程组=0有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解． 涉及知识点：线性代数
16． 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
正确答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn－r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn－r，k0，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1=k2=…=kn－r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn－r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n－r(AB)≥n－r+1，r(AB)≤r－1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解． 涉及知识点：线性代数
17． 讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．
正确答案：D==－(a+1)(b+2)．(1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=－1，b≠－2时，当b≠－1时，方程组无解当b=－1时，方程组的通解为X=(k为任意常数)．(3)当a≠－1，b=－2时，当a=1时，方程组的通解为X=(k为任意常数)．当a≠1时，显然r(A)=2≠=3，方程组无解． 涉及知识点：线性代数
18． 设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
正确答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E－A)=1，而2E－A→，所以x=2，y=－2．由｜λE－A｜==(λ－2)2(λ－6)=0得λ1=λ2=2，λ3=6．由(2E－A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=，由(6E－A)X=0得λ=6对应的线性无关的特征向量为α3=，令P=，则有P－1AP= 涉及知识点：线性代数
19． 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．
正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2－4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36｜A｜3－1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1=3，
λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A－1的特征值为因为A－1的特征值都是单值，所以A－1可以相似对角化． 涉及知识点：线性代数
设方程组+(a+1)x3=a+3，有无穷多个解，a1=，α3=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=－2，λ3=－1的特征向量．
20． 求A．
正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2－2a+1=0，解得a=1．令P=(α1，α2，α3)=，则P－1AP=，从而A= 涉及知识点：线性代数
21． 求｜A*+3E｜．
正确答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，－1，－2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10． 涉及知识点：线性代数
22． A=，求a，b及可逆矩阵P，使得P－1AP=
B．
正确答案：由｜λE－B｜=0，得λ1=－1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1=－1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=－2，得b=－2，即A=由(－E－A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；由(E－A)X=0，得ξ2=(－2，1，1)T；由(2E－A)X=0，得ξ3=(－2，1，0)T，令P1=，则P1－1AP1=由(－E－B)X=0，得η1=(－1，0，1)T；由(E－B)X=0，得η2=(1，0，0)T；由(2E－B)X=0，得η3=(8，3，4)T，令P2=，则P2－1BP2=由P1－1AP1=P2－1BP2，得(P1P2－1)－1AP1P2－1=B，令P=P1P2－1=，则P－1AP=
最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)
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线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12 B.-6
C.6 D.12
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)kk倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B是由A的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)kk倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】
（2008,4）1．设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为（ ）
A．-15 B．-6
C．6 D．15
答案：C。
2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3
=( )
A.-180 B.-120 精品文档
精品文档 C.120 D.180
【答案】A
【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有：
441424344433313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 00022 3 2 3303(002)6(1) =630180. 210AAAAAAA
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (16年)设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为
A．单叶双曲面．
B．双叶双曲面．
C．椭球面．
D．柱面．
正确答案：B
解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为由得A的全部特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，因此，二次曲面方程f(x1，x2，x3)=2在适当的旋转变换下可化成方程5y12一y22一y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面． 知识模块：线性代数
2． (98年)设A、B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B | A)=，则必有
A．P(A | B)=．
B．P(A|B))≠．
C．P(AB)=P(A)P(B)．
D．P(AB)≠P(A)P(B)．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
3． (06年)设A，B为随机事件，且P(B)＞0，P(A | B)=1，则必有
A．P(A ∪ B)＞P(A)．
B．P(A ∪ B)＞P(B)．
C．P(A ∪ B)=P(A)．
D．P(A ∪ B)=P(B)．
正确答案：C
解析：由1=P(A|B)=得P(B)=P(AB)故P(A ∪ B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)，选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
4． (07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
A．3p(1-p)2．
B．6p(1一p)2．
C．3p2(1一p)2．
D．6p2(1一p)2．
正确答案：C
解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}=P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标}=P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}=C31p(1一p)2.p=3p2(1一p)2 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(解答题)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷135 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 计算n阶行列式Dn=
正确答案：当n＞3时，第2行减第1行，然后第4行减第2行，变为分块行列式。即Dn=Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D2=0，D3=-1，于是 其中k=0，1，2，…。 涉及知识点：行列式
2． 求极限。
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 确定常数a，b，c的值，使=4．
正确答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=一2，c=0． 涉及知识点：高等数学
5．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
6． 设f’(x)=arcsin(x－1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．
正确答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－1)=x(x－1)f(x)|01－∫01(x－1)f’(x)dx=f(0)－∫01(x－1)f’(x)dx=－∫01(x－1)arcsin(x－1)2dx=－1／2∫01arcin(x－1)2d(x－1)2－1／2∫10arcsintdt=1／2∫01arcsintdt 涉及知识点：高等数学
7． 设f(x)满足，求f’(x)．
正确答案：方程两边同时对x求导得原等式中x换成，得②式两边同时对x求导得③×2一①得， 涉及知识点：一元函数微分学
8． 已知向量α=(1，k，1)T是矩阵A=的逆矩阵A—1的特征向量，试求常
数k的值及α对应的特征值．
正确答案：由条件有A—1α=λα，两端左乘A，得λAα=α，即
考研数学一(线性代数)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷16 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设A是三阶实矩阵λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关
正确答案：因 涉及知识点：线性代数
2． 设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η，正交．
正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=λξT，两边右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ—μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，ξ，η相互正交． 涉及知识点：线性代数
3． 设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．
正确答案：λ=一1是二重特征值，为使A相似于对角阵，要求 涉及知识点：线性代数
4． 已知求A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于A，a为何值时，A不能相似于A．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
5． 已知α=[1，k，1]T是A-1的特征向量，其中求k及a所对应的特征值．
正确答案：由题设A一1α=λα，λ是A一1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A一1可逆， 涉及知识点：线性代数
6． 设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P使得P-1AP=A，A是对角阵．
正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E一A的秩应为1． 涉及知识点：线性代数
7． 已知考ξ=[1，1，一1]T是矩阵的一个特征向量．(1)确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；(2)A是否相似于对角阵，说明理由．
正确答案：(1)设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=一1，a=一3，b=0．(2)当a=一3，b=0时，由知λ=一1是A的三重特征值，但当λ=－1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(选择题)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷120 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)在x=a处连续，φ(x)在x=a处间断，又f(a)≠0，则
A．φ[f(x)]在x=a处间断．
B．f[φ(x)]在x=a处间断．
C．[φ(x)]2在x=a处间断．
D．φ(x)／f(x)在x=a处间断．
正确答案：D
解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对．不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)． 知识模块：高等数学
2． 设f(x)=，则 ( )
A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点
B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点
C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点
D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点
正确答案：D
解析：由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)． 知识模块：函数、极限、连续
3． 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )
A．A与B独立．
B．B与C独立．
C．A与C独立．
D．B∪C与A独立．
正确答案：B
解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选
B． 知识模块：概率与数理统计
4． 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )
A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．
B．P(C)≥P(A)+P(B)一1．
C．P(C)=P(AB)．
D．P(C)=P(A∪B)．
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数
3． 设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
4．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
5． 经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．
正确答案：
解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上． ∏1： 4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0， ∏2： 7(x+1)+8(y一2)+9(z一3)=0，故所求直线方程为 知识模块：向量代数和空间解析几何
6． 已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．
正确答案：0
解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0． 由于r((A*)*)＝ 可见r((A*)*)＝0． 知识模块：线性代数
7． 若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行
四边形的面积S=________。
正确答案：
解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为 S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积 知识模块：高等数学
考研数学一(线性代数)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．
A．24
B．一24
C．48
D．一48
正确答案：D
解析：×24×6=一48，选(D)． 知识模块：线性代数
2． n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．
A．｜A｜=｜B｜
B．｜A｜≠｜B｜
C．若｜A｜=0则｜B｜=0
D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0
正确答案：C
解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)． 知识模块：线性代数
3． 设，则( )．
A．B=P1AP2
B．B=P2AP1
C．B=P2－1AP1
D．B=P1－1AP2－1
正确答案：D
解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)． 知识模块：线性代数
4． 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．
A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
正确答案：A
解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)． 知识模块：线性代数
5． 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) ．
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有
A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
正确答案：A
解析：若x满足Ax=0，两端左乘AT，得ATAx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0的解；若x满足ATAx=0，两端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，只有选项A正确． 知识模块：线性方程组
2． 4个平面aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：B
解析：记4个平面方程联立所得方程组为Ax=b，则4个平面交于一条直线→Ax=b的通解为x=(x0，y0，z0)…+c(l，m，n)’→r(A)=r(A┆b)且Ax=0的基础解系所含解向量个数为3一r(A)=1→r(A)=r(A)=2，只有选项B正确． 知识模块：线性方程组
3． 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组
A．Ax=α必有无穷多解．
B．Ax=α必有唯一解．
C．=0仅有零解．
D．=0必有非零解．
正确答案：D
解析：因为方程组=0是n+1元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：秩=秩(A)≤n＜n+1，故该齐次线性方程组必有非零解，即(D)正确．注意，在题设条件下，有秩(A)=秩[A┊α]．故方程组AX=α必有解，但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解，故(A)、(B)都不对． 知识模块：线性方程组
考研数学一(解答题)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限
正确答案：由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)－ x f’(x)=1+f(x)－f(0)=
1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex一1．所以
解析：f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt ∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du ．(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程： f’(x)一f(x)=1， f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1 由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y=
e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．
2． 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量|X—Y|的方差。
正确答案：令Z=X—Y，由于X，Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z也服从正态分布，且E(Z)=E(X)一E(y)=0，D(Z)=D(X)+D(Y)==1。于是，Z = X —
Y～ N(0，1) 。D(|X —Y|)= D(|Z|)= E(|2|2)—(E|Z|)2= D(Z)+[E(Z)]2— (E|Z|)2= 1— (E|Z|)2，而故 D(|X —Y|)=1—。 涉及知识点：概率论与数理统计
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷35.doc
答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷35
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是 ( )
（A）m=n且｜A｜≠0
（B）AX=0有唯一零解
（C）A的列向量组α1，α2，…，αn和α1，α2，…，αn，b是等价向量组
（D）r(A)=n，b可由A的列向量线性表出
2 设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )
（A）ATX=0只有零解
（B）ATAX=0必有无穷多解
（C）对任意的b，ATX=b有唯一解
（D）对任意的b，AX=b有无穷多解
3 设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组BX=0和ABX=0是同解方程组的一个充分条件是 ( )
（A）r(A)=m
（B）r(A)=s
（C）r(B)=s
（D）r(B)=n
答案见麦多课文库 4 设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是 ( )
（A）r(A)=r(A｜b)，r
（B）任意(B)AX=b有解，BY=0有非零解
（C）｜A｜≠0，b可由B的列向量线性表出
（D）｜B｜≠0，b可由A的列向量线性表出
5 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是
( )
6 设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则 ( )
（A）当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例
（B）当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例
（C）当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例
（D）当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例
7 已知α1=[-1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为 ( )