快速排序算法的平均计算量分析
实验报告算法分析
实验报告算法分析实验报告：算法分析引言在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法或步骤的描述。
通过对算法的分析，我们可以评估其效率和性能，从而选择最优的算法来解决特定的问题。
本实验报告旨在介绍算法分析的基本概念和方法，并通过实例来说明其应用。
一、算法分析的背景算法分析是计算机科学中的重要研究领域，它关注如何评估算法的效率和性能。
在实际应用中，我们经常面临着需要在有限的时间内解决大规模问题的挑战。
因此，选择一个高效的算法是至关重要的。
算法分析的目标是通过定量分析算法的时间复杂度和空间复杂度，为选择最佳算法提供依据。
二、算法分析的方法1. 时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标。
通常使用大O表示法来表示时间复杂度。
通过计算算法执行所需的基本操作次数，可以得到算法的时间复杂度。
常见的时间复杂度有O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)和O(n^2)等。
时间复杂度越低，算法执行所需的时间越短。
2. 空间复杂度分析空间复杂度是衡量算法内存使用的一种指标。
通过计算算法执行所需的额外空间大小，可以得到算法的空间复杂度。
常见的空间复杂度有O(1)、O(n)和O(n^2)等。
空间复杂度越低，算法所需的内存空间越小。
三、算法分析的应用算法分析在计算机科学的各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 排序算法排序算法是计算机科学中的经典问题之一。
通过对不同排序算法的时间复杂度进行分析，可以选择最适合特定需求的排序算法。
例如，快速排序算法的平均时间复杂度为O(n log n)，在大规模数据排序中表现出色。
2. 图算法图算法是解决图结构相关问题的一种方法。
通过对图算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以选择最适合解决特定图问题的算法。
例如，广度优先搜索算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V和E分别表示图的顶点数和边数。
3. 动态规划算法动态规划算法是解决具有重叠子问题性质的问题的一种方法。
算法实验报告结果分析
一、实验背景随着计算机科学技术的不断发展，算法作为计算机科学的核心内容之一，其重要性日益凸显。
为了验证和评估不同算法的性能，我们进行了一系列算法实验，通过对比分析实验结果，以期为后续算法研究和优化提供参考。
二、实验方法本次实验选取了三种常见的算法：快速排序、归并排序和插入排序，分别对随机生成的数据集进行排序操作。
实验数据集的大小分为10000、20000、30000、40000和50000五个级别，以验证算法在不同数据量下的性能表现。
实验过程中，我们使用Python编程语言实现三种算法，并记录每种算法的运行时间。
同时，为了确保实验结果的准确性，我们对每种算法进行了多次运行，并取平均值作为最终结果。
三、实验结果1. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，其平均时间复杂度为O(nlogn)。
从实验结果来看，快速排序在所有数据量级别下均表现出较好的性能。
在数据量较小的10000和20000级别，快速排序的运行时间分别为0.05秒和0.1秒；而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为0.8秒和1.2秒。
总体来看，快速排序在各个数据量级别下的运行时间均保持在较低水平。
2. 归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，其时间复杂度也为O(nlogn)。
实验结果显示，归并排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.15秒和0.25秒，而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为1.5秒和2.5秒。
与快速排序相比，归并排序在数据量较小的情况下性能稍逊一筹，但在数据量较大时，其运行时间仍然保持在较低水平。
3. 插入排序插入排序是一种简单易实现的排序算法，但其时间复杂度为O(n^2)。
实验结果显示，插入排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.3秒和0.6秒，而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为8秒和15秒。
可以看出，随着数据量的增加，插入排序的性能明显下降。
排序算法在数据分析中的应用
排序算法在数据分析中的应用在现代社会中，数据分析已经成为业界和科学领域中不可或缺的一部分。
为了有效地分析数据，我们需要对数据进行排序。
排序是计算机科学重要的研究领域之一。
在排序算法中，常见的排序方式包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序等等。
这些排序算法在数据分析中，发挥着非常重要的作用。
一、常见的排序算法1、冒泡排序：冒泡排序通过依次比较相邻两个元素的大小，将较大（或较小）的值向右交换（或左交换），最终得到一个有序序列。
其时间复杂度为O（n^2）。
2、选择排序：选择排序通过依次选取未排序部分的最小（或最大）值，将其与第一个未排序元素交换，最终得到一个有序序列。
其时间复杂度也为O（n^2）。
3、插入排序：插入排序通过将一个元素插入到已排序序列的相应位置，最终得到一个有序序列。
其时间复杂度为O（n^2）。
4、归并排序：归并排序是应用分治思想的一种排序方式。
它将待排序数组分成若干个小段，每一段相互独立地进行排序，最终合并得到有序数组。
其时间复杂度为O（nlogn）。
5、快速排序：快速排序也是应用分治思想的一种排序方式。
它选择一个基准元素，将待排序数组分为小于基准元素和大于基准元素的两个子序列，对子序列进行递归排序，最终得到有序数组。
其时间复杂度为O（nlogn）。
二、排序算法在数据分析中具有广泛应用，以下是其应用领域的几个例子：1、数据预处理：为了提高模型训练的效率和预测的准确性，在训练模型之前需要对数据进行预处理，其中包括排序。
采用快速排序和归并排序，可以大幅提高排序时间，并更快地得到结果。
2、数据清洗：当大量数据来源于不同的平台或者渠道时，很容易产生重复数据。
为了去重，一种简单的方法是将数据排序，然后遍历数据寻找重复值。
排序算法可以帮助我们快速地找到重复值。
3、数据分析：在数据分析中，我们需要通过比较不同数据的大小，来寻找规律和关联性。
有序或部分有序的数据集可以让我们更容易地识别这种规律和关联性。
软件测试开发人员需要掌握的一些基本数据结构算法（php编写）
软件测试开发⼈员需要掌握的⼀些基本数据结构算法（php编写）⼀：冒泡排序算法 冒泡排序（Bubble Sort）算法是⼀种典型的交换排序算法，通过两两数据交换进⾏排序。
如果有n个数，则要进⾏n-1趟⽐较，在第1趟⽐较中要进⾏n-1次两两⽐较，在第j趟⽐较中要进⾏n-j次两两⽐较。
复杂度分析：冒泡排序需要次交换。
1 <?php2/**3 *冒泡排序算法4**/56//定义⼀个数组，并赋值7$arr=array(3,5,8,4,9,6,1,7,2);89//封装⼀个⽅法BubbleSort10function BubbleSort($arr){1112$length=count($arr);//count()函数是计算数组中单元数⽬或者对象中的属性个数1314if($length<=1){15return$arr;16 }1718for($i=0;$i<$length-1;$i++){19for($j=0;$j<$length-1-$i;$j++){20if($arr[$j]>$arr[$j+1])21$t=$arr[$j];22$arr[$j]=$arr[$j+1];23$arr[$j+1]=$t;24 }25 }26 }2728return$arr;29 }3031echo '冒泡排序：';32echo implode(',',BubbleSort($arr))."<br/>"; 运⾏结果如下： 上⾯是升序排序，如果是倒序的话，将代码第20⾏>改为<。
⼆：快速排序算法 快速排序（Qucik Sort）⼜称划分交换排序，快速排序的基本思想是划分、分治，递归。
在平均状况下，排序个项⽬要（⼤O符号）次⽐较。
在最坏状况下则需要次⽐较，但这种状况并不常见。
事实上，快速排序通常明显⽐其他算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在⼤部分的架构上很有效率地达成。
算法分析与设计实验报告合并排序快速排序
算法分析与设计实验报告：合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分，它涉及到解决问题的方法和步骤。
合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。
本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验，通过对比它们的性能和效率，以期得出最优算法。
二、合并排序合并排序是一种分治算法，它将原始数组不断分解为更小的数组，直到最后细分为单个元素。
然后，再将这些单个元素两两合并，形成一个有序数组。
合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。
1. 算法步骤（1）将原始数组分解为更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素；（2）两两合并相邻的子数组，同时进行排序，生成新的有序数组；（3）重复步骤（2），直到生成最终的有序数组。
2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
无论最好情况还是最坏情况，合并排序的复杂度都相同。
合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组，所以空间复杂度为O(n)。
三、快速排序快速排序也是一种分治算法，它将原始数组根据一个主元（pivot）分成两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元。
然后，递归地对这两个子数组进行排序，最后得到有序数组。
快速排序的核心操作是划分。
1. 算法步骤（1）选择一个主元（pivot），可以是随机选择或者固定选择第一个元素；（2）将原始数组根据主元划分为两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元；（3）递归地对这两个子数组进行快速排序；（4）重复步骤（2）和（3），直到每个子数组只有一个元素，即得到最终的有序数组。
2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
最坏情况下，当每次选择的主元都是最小或最大元素时，时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率，我们设计以下实验：1. 实验目的：比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。
对快速排序的研究
CC++实现快速排序算法的思路及原理解析
CC++实现快速排序算法的思路及原理解析⽬录快速排序2. 实现原理3. 动态演⽰4. 完整代码5. 结果展⽰6. 算法分析快速排序1. 算法思想快速排序的基本思想：通过⼀趟排序将待排记录分隔成独⽴的两部分，其中⼀部分记录的关键字均⽐另⼀部分的关键字⼩，则可分别对这两部分记录继续进⾏排序，以达到整个序列有序。
2. 实现原理2.1、设置两个变量 low、high，排序开始时：low=0，high=size-1。
2.2、整个数组找基准正确位置，所有元素⽐基准值⼩的摆放在基准前⾯，所有元素⽐基准值⼤的摆在基准的后⾯默认数组的第⼀个数为基准数据，赋值给key，即key=array[low]。
因为默认数组的第⼀个数为基准，所以从后⾯开始向前搜索（high–），找到第⼀个⼩于key的array[high]，就将 array[high] 赋给 array[low]，即 array[low] = array[high]。
（循环条件是 array[high] >= key；结束时 array[high] < key）此时从前⾯开始向后搜索（low++），找到第⼀个⼤于key的array[low]，就将 array[low] 赋给 array[high]，即 array[high] = array[low]。
（循环条件是 array[low] <= key；结束时 array[low] > key）循环 2-3 步骤，直到 low=high，该位置就是基准位置。
把基准数据赋给当前位置。
2.3、第⼀趟找到的基准位置，作为下⼀趟的分界点。
2.4、递归调⽤（recursive）分界点前和分界点后的⼦数组排序，重复2.2、2.3、2.4的步骤。
2.5、最终就会得到排序好的数组。
3. 动态演⽰4. 完整代码三个函数基准插⼊函数：int getStandard(int array[],int low,int high)（返回基准位置下标）递归排序函数：void quickSort(int array[],int low,int high)主函数：int main()#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void display(int* array, int size) {for (int i = 0; i < size; i++) {printf("%d ", array[i]);}printf("\n");}int getStandard(int array[], int i, int j) {// 基准数据int key = array[i];while (i < j) {// 因为默认基准是从左边开始，所以从右边开始⽐较// 当队尾的元素⼤于等于基准数据时,就⼀直向前挪动 j 指针while (i < j && array[j] >= key) {j--;}// 当找到⽐ array[i] ⼩的时，就把后⾯的值 array[j] 赋给它if (i < j) {array[i] = array[j];}// 当队⾸元素⼩于等于基准数据时,就⼀直向后挪动 i 指针while (i < j && array[i] <= key) {i++;}// 当找到⽐ array[j] ⼤的时，就把前⾯的值 array[i] 赋给它if (i < j) {array[j] = array[i];}}// 跳出循环时 i 和 j 相等,此时的 i 或 j 就是 key 的正确索引位置// 把基准数据赋给正确位置array[i] = key;return i;}void QuickSort(int array[], int low, int high) {// 开始默认基准为 lowif (low < high) {// 分段位置下标int standard = getStandard(array, low, high);// 递归调⽤排序// 左边排序QuickSort(array, low, standard - 1);// 右边排序QuickSort(array, standard + 1, high);}}// 合并到⼀起快速排序// void QuickSort(int array[], int low, int high) {// if (low < high) {// int i = low;// int j = high;// int key = array[i];// while (i < j) {// while (i < j && array[j] >= key) {// j--;// }// if (i < j) {// array[i] = array[j];// }// while (i < j && array[i] <= key) {// i++;// }// if (i < j) {// array[j] = array[i];// }// }// array[i] = key;// QuickSort(array, low, i - 1);// QuickSort(array, i + 1, high);// }// }int main() {int array[] = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49, 10};int size = sizeof(array) / sizeof(int);// 打印数据printf("%d \n", size);QuickSort(array, 0, size - 1);display(array, size);// int size = 20;// int array[20] = {0}; // 数组初始化// for (int i = 0; i < 10; i++) { // 数组个数// for (int j = 0; j < size; j++) { // 数组⼤⼩// array[j] = rand() % 1000; // 随机⽣成数⼤⼩ 0~999// }// printf("原来的数组：");// display(array, size);// QuickSort(array, 0, size - 1);// printf("排序后数组：");// display(array, size);// printf("\n");// }return 0;}5. 结果展⽰（递归调⽤，不好展⽰每次排序结果）6. 算法分析时间复杂度：最好： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)最坏： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)平均： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)空间复杂度： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)稳定性：不稳定到此这篇关于C/C++实现快速排序算法的思路及原理解析的⽂章就介绍到这了,更多相关C++实现快速排序算法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
《算法设计与分析基础(第3版)》部分习题答案
作业一学号：______ 姓名：________P1352.a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元素数组的最大元素和最小元素的值。
解：算法：EXTREMUM(A[m..n],EXTREMUM_MAX, EXTREMUM_MIN)//递归调用EXTREMUM函数来找出数组A[m..n]的最大元素和最小元素。
//输入：数值数组A[m..n]//输出：最大值EXTREMUM_MAX和最小值EXTREMUM_MINif(m=n) //只有一个元素EXTREMUM_MAX←A[m];EXTREMUM_MIN←A[n];elseif n−m=1 //有两个元素if A[m]≤A[n]EXTREMUM_MAX←A[n]; EXTREMUM_MIN←A[m]; elseEXTREMUM_MAX←A[m]; EXTREMUM_MIN←A[n]; elseEXTREMUM(A[m..(m+n)/2],EXTREMUM_MAX_01,EXTREMUM_MIN_01);EXTREMUM(A[(m+n)/2..n],EXTREMUM_MAX_02,EXTREMUM_MIN_02);if EXTREMUM_MAX_01< EXTREMUM_MAX_02EXTREMUM_MAX = EXTREMUM_MAX_02;If EXTREMUM_MIN_02< EXTREMUM_MIN_01EXTREMUM_MIN = EXTREMUM_MIN_02;b. 假设n=2k,为该算法的键值比较次数建立递推关系式并求解。
解：C(n)=C(2k)=2C(2k−1)+2=2[2C(2k−2)+2]+2=22[2C(2k−3)+2]+22+2=2k−1C(2)+2k−1+2k−2+...+2=3n2−2c.将该算法与解决同样问题的蛮力法做一个比较蛮力法时间时间复杂度为2n-2，分治算法的为3n/2-2,虽然都属于Θ(n)级别，但是分治算法速度要比蛮力算法快。
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用冒泡法对 100 亿个网页的得分进行排名，每秒万亿次功能的计算机至少需要 运行 1 年多的时间! ********************************************************** 快速排序（quicksort）算法，英国学者霍尔 (C.A.R.Hoare)1962 年提出 问题：将 n 个互不相同的数按升序排列。
2
算法思想描述： 首先在 n 个数中，任选一个数，作为基准元素。将剩下的 n 1 个数与基准元素进 行比较，大于基准元素的数放在右边，小于基准元素的数放在左边； 对左右两个子集再各选一个基准元素，比基准元素小的放左边，比其大的放右 边，重复同样的操作； 继续在基准元素划分出的各部分选定新的基准元素，重复同样的操作； 直至所有元素排定位置 ********************************************************** 快速排序算法实现过程示例 3 7 8 4 5 2 1 9 6 3 7 8 4 5 2 1 9 6 3 2 1 4 7 8 5 9 6 1 3 2 4 7 5 6 8 9 → → → 3 2 1 4 7 8 5 9 6 1 3 2 4 7 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 n 2
21
n n 1 2
计算机速度： 1012 次基本运算/秒
Google 搜索引擎的运行需要对至少 10
1020
10
10 个数字进行排序：
10
2
2
1020 2
2 10 秒， 12 10 2
8
1 年 365 24 3600 31536000 3.15 107 秒
第3步 …….
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
第m步
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3
1 2 22
2m1 2m 1 ，
2m 1 n m log 2 n
, xn ，按照从小到大的顺序将其排列。
( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 )， 4 < 5，不作交换
1
( 1 2 4 5 8 ) ********************************************************** 第 3 轮比较 ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) 第 4 轮比较 ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) ********************************************************** 冒泡法需要的比较运算的次数
********************************************************** 第1步 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
第2步
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k 2
n n k 1
i 1
n n 2 2 2 n k 1 n 1 2 n 1 k k 2 k k2 k
1 1 2n 2n 2 n 1 2 k 1 k k 2 k Nhomakorabean
n
k ln nO1 k 1 ~
总比较次数：最理想的情况，不超过 n log 2 n ；而最坏情况，
n n 1 2
********************************************************** 平均计算量分析结果 假设随机化快速排序算法对 n 个不同的数， x 1 , x 2 , , x n ，进行排序，每一次都 是从所有可能的元素中独立且均匀地选取基准元素，那么所做比较次数的期望 为 2n ln n O n 。 证明：设 y1 , y 2 ,, y n 是 x 1 , x 2 , , x n 按照升序排列后的结果， y1 y2 对 1 i j n ，定义随机变量 X ij 。 如果在算法过程中 y i 与 y j 进行了比较 X ij 1 ，否则 X ij 0 。 那么总的比较次数 X
快速排序算法的平均计算量分析
排序问题 给定 n 个数字， x1 , x2 , 冒泡法： 冒泡法的基本想法是从数列的开始，对元素进行两两比较，如果前面的数字大 于后面的数字，就交换它们的顺序，否则的话，保持原来的顺序不变。这样将 全体数字扫描一遍，最右端就得到了整个数列的最大值元素，再对前 n-1 个元 素做同样的操作，得到第二大的元素。依次进行 n-1 次扫描，就得到了原数列 按升序排列的结果。 ********************************************************** 冒泡法实现过程示例 第 1 轮比较： ( 5 1 4 2 8 ) → ( 1 5 4 2 8 ), ( 1 5 4 2 8 ) → ( 1 4 5 2 8 ), ( 1 4 5 2 8 ) →( 1 4 2 5 8 ), ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 4 2 5 8 ), ( 1 4 2 5 8 ) ********************************************************** 第 2 轮比较 ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 4 2 5 8 )， 1 < 4，不作交换 ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ), 4 > 2，交换位置 5 > 1，交换位置； 5 > 4，交换位置 5 > 2，交换位置 5 < 8，不作交换
n 1
yn
i 1 j i 1
X
n
ij
，
**********************************************************
n 1 n n 1 n EX E X ij E X ij 。 i 1 j i 1 i 1 j i 1
n
1
2n ln n O n 。
5
考虑 y i , y i 1 , , y j ，当且仅当 y i 或 y j 是集合 y i , y i 1 , , y j 中第一个被选作基 准的元素时， y i 与 y j 进行比较。
所以 P X ij 1
2 2 ， E X ij 。 ji 1 j i 1
EX
n1
i 1 j i 1
EX
ij
n
n1
n
i 1 j i 1
2 j i 1
4
j i 1
n
2 j i 1
n i 1 k2
2 k
k
i 1 k 2
n 1 n i 1
2
交换 ������ 和 ������ 求和顺序