2016年学而思年测五年级数学解析
第一讲五年级学而思答案解析
第一讲 金字塔的影子
4 6 k 5 7 k 885 24 k 35k 885 59 k 885 k 15
5 2 k 4 3k 3 5k 91 10 k 12 k 15k 91 7 k 91 k 13
x 26 z 65
2 1 : 4:5 5 2 1 2 2 y， 5 14 5 ， ； （2） 10 : 7 ； （3） 4 : 5 13 9
【例 4】 （难度等级 ※※※）
解下列方程 （1） x :111 99 : 37 （2） (2 x 3) : (4 x 5) 6 : 7 （3） （本题提高班、基础班选做）
第一讲 金字塔的影子
（3） 五年级一班的男生占一半， 五年级二班的男生占五分之二． 已知两个班男生人数相等， 那么一班和二班的总人数之比是________． 【答案】 （1）18，25，15，12.5， 【解析】 （1）略； （2）略； （3）设一班总人数为 x 人，二班总人数为 y 人，则可得： x 那么 x : y
【解析】 （1）
x :111 99 : 37 37 x 111 99 x 111 99 37 x 297
x 8 101 99 99 x 808 x 808 9
（2）
(2 x 3) : (4 x 5) 6 : 7 6(4 x 5) 7(2 x 3) 24 x 30 14 x 21 10 x 51 x 5.1 x y 78
（2）求比值
72 : 24 ________ 2.015 : 4.03 ________ 135 : 60 ________
6 8 : ________ 5 7
31 32 : ________ 32 33
学而思第十届综测素质测评五年级数学考试答案版
绝密★启用前第十届学而思综合考试时间：90分钟考生须知1．请考生务必认真2．请使用蓝色或黑色3．请将答案写在答题在此特别感谢：成康王申，张侠，一、填空题（每题5分，共50分）1.计算：(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5【分析】考点：计算；原式28128=÷=2.一个三位数除以11余1，除以10【分析】考点：数论同余；根据题意，3.如图，长方形ABCD 上有三个点面积为________．【分析】考点：几何图形；割补法，面积4.十个足球队进行单循环比赛，每两个结束后，十个球队的总得分最多是【分析】考点：体育比赛；共要比赛453135⨯=分．5.如下左图，将110 这10个自然数质数．【分析】考点：数阵图；10的两侧只能是能是4和6（如下图，填出一组即可思综合素质测评—五年级数学（答案版考试科目：五年级数学总分：真填写试卷上的考生信息以方便正常通知；或黑色签字笔或者钢笔作答；在答题纸上，在试卷上作答无效；考试结束后需上交答题纸。
成康达，顾伯特，李行，秦祖梁，侍春雷，苏昊，，赵竞择，郑巍等老师为本卷所提供的试题！+6+5+4+3+2+1)128=÷________．1280.52=0也余1．这个数最小是________．，该数最小应为11110111+⨯=．,,E F G ，已知3DE AF ==,4CG =,BC EG =面积为58432232(45)52⨯-⨯÷-⨯÷-+⨯÷每两个队只比一场，规定胜者得3分，负者得0分，平局各多是________分．比赛109245⨯÷=场，若每场都决出胜负，则总得分然数填入圈中，其中1已经填好，要求使得任意相邻两只能是1和3，9的两侧只能是2和4，8的两侧只能是即可）．答案版）：100分。
，5G =,则三角形EFG 的8.5=平局各得1分．所有比赛得分就最多，最多得分两数之和都是小于16的能是3和5，7的两侧只或6.如上右图，这是一个333⨯⨯的立体的共可以构成________个三角形．【分析】考点：图形计数；我们知道，要构成一个三角形需要3个顶从图中33327⨯⨯=个点中任选3个点，但是如果三点共线的情况就不能构成三角从每个方向（上下、左右、前后）看去面对角线有23318⨯⨯=条；体对角线有4条；这样三点共线有2718449++=条．这些点“·”为顶点，一共可以构成292547.学学、思思、乐乐、康康四个大胃王要保证大家都能吃饱，大饼共有____【分析】考点：插板计数；每人先分每个人至少1张，插板法，共有36C =8.从1至30这30个自然数中取出若干个________个数．【分析】考点：抽屉原理；根据自然数被4个，余4共4个，余5共4个，余共和余6的数不能一起取；同理，余么最多可以取前3类的所有数字以及第或或立体的点阵（每条连线上相邻两个点的距离相等），以这个顶点；，有3272726252925321C ⨯⨯==⨯⨯种选法．成三角形，看去，都有9条平行的连线，共9327⨯=条；25492876-=个三角形．胃王喜欢吃大饼，现共有39张大饼，每人至少要吃________种分配方案．8张大饼，还剩39847-⨯=张大饼，问题转化为65420321⨯⨯=⨯⨯种．若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问然数被7除的余数，把130 分为7类，余1的有5个，64个，余0的有4个．为了让任意两个数的和不为2和余5的，余3和余4的不能一起取．而能被7整除的第7组的1个数字，共554115+++=个．以这些点“·”为顶点，一9张大饼才能吃饱．若为7张大饼分给四个人，请问：最多能取出，余2有5个，余3共不为7的倍数，那么余1整除的数只能取一个．那9.若“6433学而思”所代表的七位数是【分析】考点：数的整除；201331161=⨯⨯；如果一个数是2013的倍数，那么这个数一∵2013|6433学而思；∴33|6433学而思；33|6433106+++=+++学而思学而∵1063337÷= ，“学+而+思”最小∴33726=998++=-=+学而思经过试算，64839392013÷=649383920133227÷= 所以只有998=⎧⎪=⎨⎪=⎩学而思符合，即学而思10.一个101010⨯⨯的正方体由1000个小称一个1110⨯⨯的长方体为一个“101010⨯⨯的正方体中每个“条子写的正整数是3，现在我们把小正方体的总和是________．【分析】考点：容斥原理；20110⨯二、解答题（每题10分，共50分）11.以下小数按照一定规律排列：0.10.100，…，0.299，0.300，⑴这串数列的前9个数的和是多少⑵这串数列的前9个数的乘积化成最点后有多少位？【分析】考点：小数与数论；⑴这串数列的前9个数的和0.10.2+()0.100.110.990.100.99+++=+ 前100个数的和是()0.10.20.90++++ ⑵9514÷= ；129⨯⨯⨯ 的乘积中有1个因数5；129⨯⨯⨯ 的乘积的末尾有1个0；这串数列的前9个数的乘积化成最简小数300560÷=，60512÷=，125÷= 12300⨯⨯⨯ 的乘积中有60122++12300⨯⨯⨯ 的乘积的末尾有74个1~300一共有919022013792⨯+⨯+⨯前300个数的乘积化成最简小数，小数点数是2013的倍数，那么“学而思”所代表的三位数是_____个数一定是31133⨯=的倍数；思；最小是0000++=，最大是99927++=；+；322166 ，888，649393820133226÷=；998=．00个小正方体拼接而成，在每一个小正方体内部都填有条子”，我们称一个11010⨯⨯的长方体为一个“面子”中的数之和都是201．对于该正方体中的某个小正方正方体A 所在的“面子”全部去掉．那么余下的所有小正0102011032013314670⨯-⨯⨯+⨯-=．1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，0.301，…．请问：多少？前100个数的和是多少？化成最简小数，小数点后有多少位？前300个数的乘积化()0.90.10.992 4.5++=+⨯÷= ．90249.05⨯÷=；()0.100.110.990.100 4.549.050.1++++=++ 简小数，小数点后918-=位．22；74=个因数5；0；=个数字；小数点后有79274718-=位．________．填有一个正整数．我们子”．现在已知这个小正方体A ，已知A 中填有小正方体里面的正整数0.10，0.11，…，0.99，乘积化成最简小数，小数53.65=．12.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一钟．如果第一次相遇时甲骑了1440【分析】考点：行程问题；因为()24006400/min V V m +=÷=甲乙，13.一个露天水池底部有若干同样大小的果打开24根进水管，5分钟能注满水多少分钟能将水池注满？【分析】考点：牛吃草问题；设1根进水管池容量为24585160⨯+⨯=，如果打开14.如图，长方形ABCD 的边AD 上有一于点N ，在AE 上取点G ，连接F 求阴影部分的面积．【分析】考点：等积变形；由割补法等积15.现有红、白、黑3种颜色的珠子足够多转或翻转后若相同，则看作同一种项【分析】考点：分类计数；进行分类讨论：1)1种颜色：3种；2)2种颜色：3618⨯=种；3)3种颜色（共18种）：1红1白3黑（2红1白2黑（4种）；综上：共有3181839++=种．上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米440米．问：乙骑一圈需要多少分钟？()240010240/min V m =÷=甲，所以1440t =相遇所以()400-240160/min V m ==乙，则乙骑行一圈需要大小的进水管．这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果进水管1分钟进水1份，则雨水的注水速度为(24512⨯打开8根进水管160(88)10÷+=分钟能将水池注满．上有一点E ，BC 上有一点F ，连接,BE AF 交于点,BG FG ，在DE 上取点H 连接,CH FH ，若ABM S c ∆法等积变形得2235S cm =+=阴．足够多，以这些为原料做成有5颗珠子的项链，可做几种一种项链）（2种）；1红2白2黑（4种）；1红3白1黑（种2红2白1黑（4种）；3红1白1黑（2种）0米，甲骑一圈需要10分()2406min ÷=，又因为需要()240016015min ÷=。
2016年10月学而思杯五年级数学样卷解析
数学样卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷（填空题
一、 填空题 A（每题 5 分，共 50 分）
共 90 分）
1、 如下图所示，有 3 条对称轴的图形有__________个．
【考点】轴对称图形，几何 【难度】☆ 【答案】2 【分析】第一个图和第三个图都有 3 条对称轴，第二个图有 4 条对称轴.
【答案】 2009
4、 如下图，正方形 ABCD 的面积是 16，点 F 是 BC 上任意一点，点 E 是 DF 中点，则阴影 部分面积为__________．
A
B
F E D
【考点】几何，一半模型 【难度】☆☆ 【答案】4 【分析】三角形 ADF 的面积是正方形 ABCD 面积的一半，所以 SADF 16
1 1 是 DF 的中点，所以 S阴影 = SADF = 8=4 ． 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1 8 ，又因为 E 2
5、今天是 2016 年 10 月 7 日，如果要使八位数 2016107□ 恰好是 9 的倍数，那么 □ 内的数 应该填__________． 【考点】数论，整除特征 【难度】☆☆ 【答案】1 【分析】设 □ 填入 a，则八位数 2016107a 的数字和是 2 1 6 1 7 a=17 a
7、 图中有_________个正方形．
【考点】简单的几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】 27 【分析】5 5 的正方形 1 个；4 4 的正方形 4 个；3 3 的正方形 5 个； 2 2 的正方形 4 个； 1 1 的正方形 13 个．共 27 个．
8、一个三角形三条边的长度都是整数，如果它的周长是 16，那么，这三条边乘积的最大值 是_________． 【考点】组合，最值 【难度】☆☆ 【答案】150 【分析】设三条边分别为 a、b、c，则有 a b c 16 ，由和一定差小积大可知，当 a、b、 c 分别为 5、5、6 时， a b c 5 5 6 150 最大．
2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷02《等差数列》(解析版)
【五年级奥数举一反三—全国通用】测评卷02《等差数列》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（）A．47 B．49 C．51 D．53【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2．【解答】解：9+（20﹣1）×2＝9+19×2＝9+38＝47．答：第20个数是47．故选：A．2．（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015．A．667 B．668 C．669 D．671【分析】此题首项是5，末项是2015，公差是3，求第几个数为2015，即求项数，根据等差数列的通项公式进行求解即可．【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，（2015﹣5）÷3+1＝2010÷3+1＝671答：第671个数为2015．故选：D．3．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为（）A．50 B．51 C．120 D．131【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50，这个数就是这个数列之和的平均数．第93个数是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决．【解答】解：262÷2＝131故选：D．4．（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2，且前8项的和等于后4项的和，那么，这个数列的第二项是（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可．【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，（a1+a8）×8÷2＝（a9+a12）×4÷2，因为a8＝a1+14，a9＝a1+16，a12＝a1+22，所以代入得（a1+a1+14）×8÷2＝（a1+16+a1+22）×4÷2，解得a1＝5，所以a2＝a1+2＝7．故选：A．5．（2分）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5×5，然后进一步解答即可．【解答】解：315+5×5＝315+25＝340故选：B．6．（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球．能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？（）A．能B．不能C．不确定【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能．【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，最少的放法是：0，1，2…9．计算总和：0+1+2+…+9＝9×5＝45，因为45＞44，所以原题不能．答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等．故选：B．二．填空题（共12小题，满分31分）7．（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个．请你算一算：这几天小张共拿了18个苹果．【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果．【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：（60﹣17﹣16）÷（2+1）＝9（天），小张共偷了：9×2＝18个．故答案是：18．8．（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么m×n＝300．4 89 1512 nm25【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；从第二列确定公差，确定m；同样从第四列，确定n．【解答】解：第一行公差为（8﹣4）÷2＝2，第一行数字为：4、6、8、10；确定第二列确定公差为12﹣9＝3，确定m＝12+3＝15；同样确定n＝20．m×n＝300即：填3009．（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每一天所挣的钱都比前一天多6元．那么第1天小明挣了24元．【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180÷5＝36元，公差是6，所以第一天小明挣了36﹣6×2＝24元，据此解答即可．【解答】解：180÷5＝36（元）36﹣6×2＝24（元）故答案为：24．10．（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题目．如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了56道题目．【分析】首项是2，末项是2+（7﹣1）×2＝14，然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2求出结果．【解答】解：2+（7﹣1）×2＝14（道）（2+14）×7÷2＝56（道）故填56．11．（2分）（2017•小机灵杯）从1，2，3，4，…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，那么，可以得到不同的等差数列的个数为576．【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推，发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5，…，46、47、48、49、50，共46种情况；当其公差为2时，有1、3、5、7、9，…，42、44、46、48、50，共42种情况；…当其公差为12时，有1、13、25、37、49，2、14、26、38、50，共2种情况；综上所述，共有2+6+…+46＝＝288种，考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288×2＝576种不同的等差数列，故答案为576．12．（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘了25个桃子，那么这些猴子一共摘了153个桃子．【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2，末项是25，那么首项是25﹣2×（9﹣1）＝9，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：25﹣2×（9﹣1）＝9（个）（9+25）×9÷2＝153（个）故答案为：153．13．（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词84个．【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量相加即可．【解答】解：依题意可知：设帅帅背单词的数量为：a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6共7天a+a+1+a+2+a+3＝a+4+a+5+a+6解：a＝9．共背9+10+11+12+13+14+15＝84故答案为：8414．（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12，那么梯形的面积是144．【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底＝高×2，据此求出梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出梯形的面积是多少即可．【解答】解：（12×2）×12÷2＝24×12÷2＝288÷2＝144答：梯形的面积是144．故答案为：144．15．（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数．小刚说：数列中不大于215的数有20多个．小王说：数列的公差小于5．小红说：数列前两项的平均数是102．这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是496．【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102×2＝204，根据小叶说的，可以确定第一个数最大是99，那第二个数就是105，说明公差至少是105﹣99＝6，与小王说的相矛盾，因此可以判断出小叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的．根据小刚说的，那说明公差一定不大于215÷20≈10，假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6，根据小叶和小红说的话可以确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况．如果公差是6，则第1项是99，第2项是105，那么第21项就是99+20×6＝219，大于215，所以公差不是6；如果公差是8，那么第1项就是98，第21项就是98+20×8＞215，所以公差也不是8，同样的道理公差也不是10，由此可以判断出小王说的话是对的．那只有小叶和小红两人有一个说错了．根据公差小于5，说明公差最大是4，那第一个数最大是215﹣28×4＝103，最小是215﹣28×4﹣3＝100，说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1，也能得出第一个数是三位数．根据前两项的和的平均数是102，说明这两个数可能是100和104，也可能是101和103，如果是100和104，那么第100项就是100+99×4＝496；如果前两项是101和103，那么215之前就不止20多个数，故不对．【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了．102×2＝100+104＝101+103如果公差是104﹣100＝4，则第100项是100+99×4＝496；如果公差是103﹣101＝2，则第30项是101+29×2＝159＜215，与小刚说的话矛盾．故答案为：496．16．（2016•创新杯）已知数列a1，a2，…，a n为一等差数列，平均数为71，把相邻的4个数相加，其和为新的一列数，这新一列数的总和为28400，则n＝103．【分析】由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可以得到a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，依次利用①式进行变换最后得出a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可得a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，a2+a3+…+a n﹣2+a n﹣1＝71（n﹣2）④，③﹣④可得a3+2a4+2a5+…+2a n﹣4+2a n﹣3+a n﹣2＝28400﹣71（2n﹣2）⑤，a3+a4+…+a n﹣3+a n﹣2＝71（n﹣4）④，⑤﹣④可得a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，（n﹣3﹣4+1）×71＝28400﹣71（3n﹣6），解得n＝103，故答案为：103．17．（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元．她第一天挣了9元．【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5．因此本题根据高斯求和公式“S n＝na1+n（n﹣1）÷2”进行计算即可：【解答】解：设她第一天挣了x元，5x+5×（5﹣1）×2÷2＝655x+20＝655x＝45x＝9故答案为：9．18．一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影院共有20排座位．【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15，末项是53，公差是2，求这个电影院共有几排座位，就相当于等差数列的项数，列式是（53﹣15）÷2+1＝20，然后解答即可求出一共有的排数．【解答】解：根据分析可得，（53﹣15）÷2+1，＝38÷2+1，＝20（排），答：这个电影院共有20排座位．故答案为：20．三．计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）19．92+90+88+ (2)【分析】根据等差数列通项公式：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，（首数+尾数）×项数÷2＝和解答即可．【解答】解：（2+92）×[（92﹣2）÷2+1]÷2＝94×46÷2＝2162四．解答题（共12小题，满分54分）20．（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同，则分到苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2，3…8个苹果．那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…+8．计算这个公差为1的等差数列的和即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8＝（1+8）×8÷2＝9×8÷2＝72÷2＝36（个）．答：这堆苹果至少应有36个．21．（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25，末项是55，公差是5，所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页．【解答】解：（55﹣25）÷5+1＝30÷5+1＝7（25+55）×7÷2＝80×7÷2＝280（页）答：这本故事书一共有280页．22．（4分）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【分析】由题可知，本题是一个公差为137﹣131＝6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解答即可：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．【解答】解：公差：137﹣131＝6第1项：131﹣（9﹣1）×6＝131﹣48＝83第19项：83+（19﹣1）×6＝83+18×6＝83+108＝191答：这个数列的第1项是83，第19项是191．23．（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共有多少个座位？【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45，所以首项是45﹣26+1＝20，本题可根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：45﹣26+1＝20（个）（20+45）×26÷2＝845（个）答：这个影院一共有845个座位．24．（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，那么共堆了多少层？【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6，公差是1，末项是98，求项数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．【解答】解：（98﹣6）÷1+1＝92+1＝93（层）答：共堆了93层．25．（4分）求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．【分析】首先求出1，5，9，13，…，这个等差数列的公差，然后根据：a n＝a1+（n﹣1）d（a1、a n、d 分别是等差数列的第1项、第n项、公差），求出这个等差数列的第30项即可．【解答】解：1+（30﹣1）×（5﹣1）＝1+29×4＝1+116＝117答：这个等差数列的第30项是117．26．（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米．三段绳子的长度各是多少？【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：（x+3）米，（x+3+3）米，根据三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答．【解答】解：设第一段绳子长x米，x+（x+3）+（x+3+3）＝90，3x+9＝90，3x+9﹣9＝90﹣9，3x＝81，3x÷3＝81÷3，x＝27，27+3＝30（米），27+3+3，＝30+3，＝33（米），答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米．27．（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完．这批零件共有几个？【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20 ）＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20）＝98×30，求得问题的答案．【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个，•，则第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20），＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20），＝98×30，＝2940，所以s＝1470．答：这批零件共有1470个．28．（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可组成一个等差数列（公差可以为0），这我们将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…．（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？（2）总共有多少个“和谐数”？（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论．【解答】解：（1）公差为0：111；公差为1：102，120，123，132；公差为2：135，153；公差为3：147，174；公差为4：159，195，所以100至199之间，有11个“和谐数”；（2）公差为0：111，222， (999)公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6＝46个；公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6＝34个；公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6＝22个；公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6＝10个；总共有9+46+34+22+10＝121个“和谐数”；（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个；200～299：公差为0：222；公差为1：201，210，213，231，234，243；公差为2：204，240，246，264；公差为3：258，285，共13个；300～399：公差为0：333；公差为1：312，321，324，342，345，354；公差为2：315，351，357，375；公差为3：306，360，369，396，共15个；400～499：公差为0：444；公差为1：423，432，435，453，456，465；公差为2：402，420，426，462，468，486；公差为3：417，471；公差为4：408，480，共17个；500～599：公差为0：555；公差为1：534，543，546，564，567，576；公差为2：513，531，537，573，579，597；公差为3：528，582；公差为4：519，591，共17个；11+13+15+17+8＝64，所以546排在第64位．29．（5分）从一列数1，5，9，13，…，93，97中，任取14个数．证明：其中必有两个数的和等于102．【分析】首先根据题意可知这列数是一组公差是4等差数列，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，求出这组等差数列一共有几项，据此分析解答即可．【解答】解：（97﹣1）÷4+1＝25（个）将这25个组分成13组：{1}，{5，97}，{9，93}，{13，89}，…，{45，57}，{49，53}．在这25个数中任取14个数来，必有二数属于上述13组中的同一组，故这一组二数之和是102．30．（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300．若最后一项超过第一项105，那么，该等差数列有多少项？【分析】设给出的数列有2n项，由偶数项的和减去奇数项的和等于n倍的公差，再根据最后一项比第一项多105得到一个关于项数和公差的式子，联立后可求项数．【解答】解：假设数列有2n项，公差为d，因为奇数项之和与偶数项之和分别是240与300所以S偶﹣S奇＝300﹣240＝nd，即nd＝60①．又因为a2n﹣a1＝105即a1+（2n﹣1）d﹣a1＝105所以（2n﹣1）d＝105②．联立①②得：n＝4．则这个数列一共有2n项，即8项．答：该等差数列有8项．31．（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？【分析】根据题意，把第一层的根数看作梯形的上底，最下层的根数看作梯形的下底，层数看作梯形的高，由梯形的面积公式就可以求出结果．【解答】解：根据题意可得最下面的一层的根数是：8+5﹣1＝12（根），由梯形的面积公式可得：这垛电线杆的总数为：（12+8）×5÷2＝100÷2＝50（根）；答：这一堆电线杆共有50根．。
五年级 Printed 2016 迎春杯A 初赛解析学而思
【难度】★★★★
【答案】42 【分析】同时出发的情况中，由于两人要减速也是同时减速（当然也许两人并未减速过），故无论哪个
时段，甲乙的速度比是固定的，所以任意时段行走的距离比也是固定的．总之，相遇点左、右距 A、 B 的距离比代表了两人的初始速度比．
乙先行的情况中，乙所先行的 20 分钟是以原速运动的，之后的过程类似上一段分析．故设甲、
(19 19 12 12) 12 19 19 19 12 12
1219 228
2. 有一种细胞，每隔 1 小时死亡 2 个细胞，余下的每个细胞分裂成 2 个．如果经过 8 小时后细胞的 个数为 1284，那么，最开始的时候有__________个细胞．
【考点】计算，数列，递推 【难度】★★ 【答案】9 【分析】方法一（逆推）：1284 2 2 644 ，644 2 2 324 ，324 2 2 164 ，164 2 2 84 ，
凡是 3n 1项都是 12，除去这些项，得到的数列即为首项为 19，公差为 12 的等差数列．第 167 项19 12(167 1) 2011，第 168 项19 12(1681) 2023第一次超过 2016，这个数列的第 168 项是原数列的第168 23 252 项．
综上，本题有唯一答案 6156．
4. 有一个数列，第一项为 12，第二项为 19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等 于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减较小数）．那么，这 列数中第__________项第一次超过 2016．
【考点】计算，数列，等差数列 【难度】★★★ 【答案】252 【分析】即奇偶性不同求和，奇偶性相同求差．12、19、31、12、43、55、12、67、79、12、…可见
2016年真题详解 (1)
2016
2、数一数，下图中共有__________颗五角星.
【难度】☆
举行，本次奥运会一共举行__________天.
【难度】☆☆
4、把一张正方形的纸按照下图对折
到的是下面的__________图．（填字母选项）
【难度】☆☆
第__________页开始看.
【难度】☆☆
7、根据下图推断，
9、在下面□中填上6个不同的数字，让等式成立.
【难度】☆☆
10、观察下图，回答问题.（图形可旋转）
【难度】☆☆☆
73.
【考查知识点】枚举法
14、请沿着虚线，把下图分成形状大小相同的八份，要求每一份中恰好包含一个字母“A”.（同一份中的图形用相同数字标记，比如）
【难度】☆☆☆
答案不唯一
【分析】先计算出所有小三角形为24个，那分成8份，24÷8＝3（个），再按照这个依次去__________.
【难度】☆☆☆☆
【答案】15
【分析】通过枚举尝试，找到这四个数分别为1、2、5、7，并且数字可以互换位置【考查知识点】数阵图
【体系衔接】一年级春季《数阵图》，二年级春季《数阵图进阶》。
第九届学而思综合能力测评五年级数学试卷及答案解析
量为： (20 + 10) × 5 = 150 ；10 天吃完需要牛的头数是：150 ÷10 −10 = 5 (头)．
第二大题（解答题共 4 道，其中两题为必做题，两题为附加题选做.请同学们把解题过程写清楚）
1. （10 分）8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光 和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 答案：2400 提示：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留 给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑 只满足第一、三个条件的站法总数为：
S+ BFD
=
1 16
S, ABCD
=
1 16
×10 ×10
=
6.25
（平方厘米）．
8. 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17 分、11
分和 4 分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或
三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120 分才能
平方厘米
答案：74
提示：要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑
色小正方体尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 (4 − 2)3 = 8 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方
体有 (4 − 2)2 × 6 = 24 (个)，其中 30 − 8 = 22 个用黑色．
【解析】 log2 4+ log2 16 = log2 64 ， loga (M ⋅ N ) = loga M + loga N ，
【5年级】2014-2016学而思杯真题+解析合集_14
17
第二部分 解答题 五．解答题（每题 8 分，共 16 分） 17. 计算： （1） 6 6
6 7
1 8
（4 分）
（2） 0.16 1.3 18. （1）解方程：
2.5
3
（4 分）
x 8 3
x 1 5
（4 分）
（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是 5 : 4，后来又转来 1 名男生和 2 名女生，这时男生和女生的人数比是 7 : 6，请问：这个班原来 共有学生多少人？（4 ．． 分）
14. 某城市交通路线图如下，A、B、C、D 为绿色正方形各边中点，E、F、G、H 为黄色正 方形各边中点，学校在 CG 中点处，学而思在 DH 中点处，已知开车在绿色道路上最大 时速为 60km/h， 在黄色道路上最大时速为 40km/h， 在红色道路上最大时速为 20km/h． 已 知从家到学而思最少需要 22 分钟，从学校到学而思最少需要 20 分钟，那么，从家到学 校最少需要 分钟．
2
1
二．填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 下图中，共有 个等边三角形．
6.
将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是
．
0 4 1 2
7. 下图是国际象棋棋盘， 将每一行的棋子数写在了棋盘左边， 将每一列的棋子数写在了棋 盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格 中共有 5 5 6 8 6 4 2 1 枚棋子． 1 2 3 6 6 8 7 4
11. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 10，以 A 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 E，以 B 为囿 心 10 为半径作弧交 BD 于 F，以 C 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 G，以 D 为囿心 10 为半径作弧交 BD 于 H，那么，图中阴影部分的面积是
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7
【分析】分类讨论，如果没有 0，则有 6 5 4 3 360 个；
如果有 0，则有 3 6 5 4 360 个； 所以一共有 360 360 720 个．
10. 正六边形面积是 100，则阴影部分面积是__________．
【考点】图形的分割与剪拼
【难度】☆☆
【答案】25
×5)÷(10-5)=1 份/分，原有水 3×10-1×10=20 份，4 分钟要完成，则需要 20÷4+1=6 人
8. 在一个风雨交加的大晴天里，50 个小伙伴去郊外喝下午茶，他们带了不同的饮料．其中 有 14 个人既带了王老吉又带了和其正，有 8 个人只带了王老吉，带了加多宝的人中有 12 人没有带和其正，那么带了和其正的人中有__________人没有带王老吉．
5 把 0 留给前面。首位最小为 1，数字互不相同，五位数最小为 10235.
5. 一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒，在同样的风速下逆风跑 70 米，也用了 10 秒，则在无风时他跑 200 米要用__________秒．
【考点】流水行船 【难度】☆ 【答案】25 【分析】本题类似于流水行船问题.根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为：90÷10=9（米
或 23 a3b5 ；根据最值原理，和一定差大积小，则第一种情况 8Y= 23 a1b11 中当 b=2 时， 乘积最小为 215 30 .
13. 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么方 框中两位数是__________．
【考点】整除问题之试除法 【难度】☆☆☆ 【答案】53 【分析】采用试除法。
【考点】容斥原理 【难度】☆☆ 【答案】16
【分析】画出韦恩图，容易得到带了和其正的人中有 50 14 8 12 16 人没有带王老吉．
王老吉 8
12
14
加多宝
？
和其正，6 中选出 4 个数组成四位数，每个数只能选一次，那么一共可以
组成__________个不同的四位数． 【考点】加乘原理 【难度】☆☆ 【答案】720
3
12. 甲已知 Y 分解质因数后，只有两个质因数 a 和 b，且因数个数为 24，则 8Y 分解质因数 后，因数个数最少有__________个．
【考点】因倍质合 【难度】☆☆☆ 【答案】30 【分析】Y= ambn ，且 (m 1)(n 1) 24 ，则 Y = a1b11 、 a2b7 或 a3b5 .则 8Y= 23 a1b11 、 23 a2b7
【考点】格点型面积
【难度】☆☆☆
【答案】0.675
【分析】方法一：如右图，我们将原图分成 120 个大小、形状完全相同的小正三角形，所以
每块为 1 ，那么原来的正三角形由 81 块小正三角形组成，其面积显然为 81 = 27 =0.675 ．
120
120 40
方法二：如下图，我们把图中的三角形分成 A、B、C 三种，设 A 形正三 积为“1”，则 B、C 两种正三角形的面积依次为“ 1 ”、“ 1 ”．在图
2016 年第六届学而思年度质量监测五年级解析
一、填空题（共 5 道小题，每题 6 分，共 30 分） 1. 今天是 2016 年 8 月 23 日，以上出现的所有数字和能被两位质数__________整除．（例
如：2015 年 7 月 29 日，数字和 26 能被两位质数 13 整除） 【考点】质数合数 【难度】☆ 【答案】11
【分析】 2+0+1+6+8+2+3=22 ， 22=211，所以 22 能被两位质数 11 整除．
2. 如图，国际象棋盘剪掉两个方格后，能否用 31 个 2×1 的“骨牌”（形如，可
以
旋转）恰好覆盖？__________（能填 1 否填 0） 【考点】棋盘中的数学
【难度】☆
【答案】0 【分析】不能，图中黑白数目不同，无法恰好覆盖．
原式=(11+9) (11-9)+(7+5) (7-5)+(3+1) (3-1) =20 2+12 2 4 2 40 24 8 72
17. （1）解方程： 2 x 12 20 5
【考点】一元一次分数方程
【难度】☆
【答案】20
【分析】 2 x 20 12, 2 x 8, x 8 5 , x 20
若满足（1）和（3）：有 237，273，327，372，723，732，255，525，552 共 9 个； 若满足（2）和（3）：有 165，264，363，462，561，660 共 6 个；
所以共有 4+9+6=19 个．
4
15. 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再 将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小 的正三角形，这样就得到图所示的图形．如果这个图形面积是 1，那么原来的正三角形 面积是__________．
分钟，做 1 个底座需要 3 分钟；薇儿做 1 个主体需要 14 分钟，做 1 个底座需要 4 分钟， 问一小时内，他们能做__________个奖杯． 【考点】统筹与最优化 【难度】☆☆ 【答案】8 【分析】让艾迪做主体，薇儿做底座，艾迪一小时能做 6 个主体，薇儿做 6 个底座的时间为 24 分，剩下 36 分，薇儿可以再做两个主体和两个底座。则一共能做 6+2=8 个奖杯。
5
5
2
2x 5y 11 （2）解方程组： 3x y 25
【考点】二元一次方程组 【难度】☆☆
【答案】
x y
8 1
【分析】
6
A
B
2x 5y 11①
3x
y
25
②
②5=15x+5y 125③；③ +①得17x 136, x 8;代入②得y 25 38 1
7. 一条船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 3 人淘水，10 分钟淘完；
如 5 人淘水，5 分钟淘完.如果要求 4 分钟淘完，要安排做__________人淘水． 【考点】生活中的牛吃草 【难度】☆☆ 【答案】6 人 【分析】相当于 3 头牛 10 天，5 头牛 5 天，问 4 天吃完要几头牛.水的进入速度为(3×10-5
c 补全下面的式子
=
【考点】数字迷 【难度】☆☆☆ 【答案】111 【分析】首先 a，b，c 三个分别 0~9 代表 3 个数字，两两随意组合都是质数说明 0,2,4,5,6,8
都是可以排除，随便以他们作为个位数都不肯能是质数。能组合的只有 1,3,7,9 然后就 可以看出 3，9 不可能同时出现显然推敲过后只能为 1，7，9 或者 1,3,7 而 91 不是质数， 故仅有 1,7,3 然后根据题中给出的式子，我相信对数字有感觉的人能看出答案就是 3×37=111
9 81
角形面
C
中：
B A
A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为 1，3，12，所以图形的总面积为1+3 1 +12 1 = 40 ．所 9 81 27
以“1”占到总面积的 27 ，而原来的正三角形即为三角形 A，所以原来的正三角形的面积为 40
27 =0.675 . 40
四、 解答题：（共 3 道小题，每题 10 分，共 30 分，需写出解题过程，请在答题纸上作答）
3. 在任意的 32 人中，至少有__________人的属相相同． 【考点】抽屉原理 【难度】☆ 【答案】3
【分析】12 个属相相当于 12 个抽屉，32 个人放入 12 个抽屉中；32 12=2……8 ，每个抽
屉中至少有 2+1=3 个人．
4. 一个五位数各位数字互不相同，且能被 5 整除，那么这个五位数最小是___________． 【考点】最值 【难度】☆ 【答案】10235 【分析】能被 5 整除末尾为 0 或 5，要使整个五位数最小，则高位的数字越小越好，末位取
5
16. （1）计算：1.25 7 1 +2.8 5
5
4
【考点】分数四则
【难度】☆
【答案】12 1 或 12.5 2
【分析】 原式= 5 36 +14 5 =9+ 7 =12 1 45 54 2 2
（2）计算：112 92 72 52 32 12
【考点】平方差公式 【难度】☆☆ 【答案】72 【分析】
18. 如图，有一个 300 米的环形跑道，小雷和小宇分别从 A、B 两地同时出发，小雷以 3 米
每秒的速度顺时针行走，小宇以 2 米每秒的速度逆时针行走．请回答下列问题：
（1）小雷和小宇多久后第一次相遇？（3 分）
（2）小雷和小宇多久后第十次相遇？（3 分） （3）第 987 次相遇后小雷要再走多少米才能回到 A 地？（4 分） 【考点】环形跑道 【难度】☆☆☆ 【答案】（1）30 秒；（2）570 秒；（3）30 米 【分析】（1）第一次相遇合走半圈 300÷2=150（米），需要 150÷（3+2）=30（秒）
/秒），逆风速度为 70÷10=7（米/秒），那么他在无风时的速度为：(9+7)÷2=8（米/秒）. 在无风时跑 200 米，所需时间为：200÷8=25（秒）.
1
二、 填空题（共 5 道小题，每题 8 分，共 40 分） 6. 艾迪和薇儿一起做奖杯，已知奖杯分为主体和底座两部分，艾迪做 1 个主体部分需要 10
（2）从第二次相遇开始，每次相遇都要合走一圈，需要 30×2=60（秒）；一共需要 30+60 ×（10-1）=570（秒） （3）小雷从 A 点出发回到 A 点需要 300÷3=100（秒）；第 987 次相遇时，一共过去了 30+986×60=59190（秒），59190÷100=591……90，此时小雷再过 100-90=10 秒才能回 到 A 点，走 10×3=30（米）。