勾股定理复习课
根据勾股定理，得 D AD2+AE2=DE2 15 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE A 2+AE2= BC2+BE2 x E ∴ AD 即：152+x2=102+（25-x）2 ∴ x=10 答：E站应建在离A站10km处。
C 10
25-x
B
已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
2 Ｂ
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木 箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫， 它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多 远？ B
.
40
.A
C
50 30
D
.
.A
30 50
B
40
C D
A
B
40
C
30
D
50
80 40 8000
2 2
图①
C
.B
40 50
C
X A
5
B X+1
例 .在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走 向离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如 果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，D为树顶，B处有两只猴子，则 AB=10m，C为池塘，则AC=20m
D 设BD的长为x(m),则树高为(x+10)m 因为AC+AB=BD+DC,所以DC=20+10-x=30-x B 在⊿ACD中，∠A=90°,所以AC2+AD2=DC2 C A 故202+(10+x)2=(30-x)2 ，解得x=5 所以x+10=15，即树高15m
8-X X
E
应采用间接求法， 找题中的等量关系.
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，求CD的长．
A
6
6
第8题图
E
4
B
C x Ｄ 8-x 8
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
第一课时
13章:勾股定理及其应用
知识梳理: 勾股定理 内容 证明 应用 内容
勾股定理的逆定理
应用
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a,b,斜边为c,则有
B
c
a
C
a b c
2 2
A
2
b
c c a a b c b b a c
a
b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
a
（该题是2006年广东省中考题）
补充题：
如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃东西,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 周长的一半B C 蛋糕 B ６ O 2
8
８
A
A
勾股定理复习
第二课时
勾股定理及其应用
知识梳理: 勾股定理 内容 证明 应用 内容
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
补充题：
如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃东西,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 周长的一半B C 蛋糕 B ６ O 2
糟糕， 太长了， 放不进 去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
D C
A
E
B
设AE= 解： x km，则 BE=（25-x）km
1: 3 : 2 (1). ∠ A=30 °，那么a:b:c=__________. 1: 1 : 2 (2).∠ A=45°，那么a:b:c=__________.
!
2.填空: 在△ABC中,∠C=90 °
4 3 (1). ∠ A=30 °、a=4，那么c=______,b=______.
8
5 5 3 (2).∠ A=30 °、c=10，那么a=______,b=______. 6 8 (3).如果c=10、a：b=3：4，那么a=____，b=____. 4 4 2 (4). ∠ A=45 °、a=4，那么b=______,c=______.
AB≈3米
补充题：
机场入口的铭牌上说明，飞机的 行李架是一个56cm×36cm×23cm 的长方体空间.一位旅客携带一件 长 65cm 的画卷，这件画卷能平放入行 李架吗？
H E 23 D A 56 C A 36 B 56
2 2
G D F
C 36
B
关键是找出问题中隐 藏的直角三角形或自 己构造合适的直角三 角形，尝试把立体图 形转换为平面图形.
B
50
. A
C
30
D
2
C
40
30 90 9000
2
A 30 D 图②
C D
C
30
.B
40 50
B
30
.A
C
40
50 70
2 2
D 7400
50
A
图③
考考你
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高 为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
E
折叠问题
如图，把长方形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠， B，C两点恰落在AD边的P点处，若∠FPH=90°， PF=8，PH=6，则长方形ABCD的边BC长为____. 分析：根据勾股定理， 可求得FH=10
8
6
又由折叠知，PF=BF,PH=HC 所以，BC=BF+FH+HC =PF+FH+PH=8+6+10=24
C 提示：作辅助线DE⊥AB，利用平 分线的性质和勾股定理。 1 2 D B
A
解：
过D点做DE⊥AB ∵ ∠1=∠2, ∠C=90° ∴ DE=CD=1.5 在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得 x BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 ∴ BE=2 在Rt△ACD和 Rt△AED中, 1 ∵CD=DE , AD=AD 2 A ∴ Rt△ACD Rt△AED ∴ AC=AE 令AC=x,则AB=x+2 在 Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2 即:x2+42=(x+2)2 ∴ x=3 C D B
分类思想
方程思想
展开思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
A
8 10
10
D
8-X
因为是折叠问题，我们 可知，AD=AF,DE=EF B 6 F 4 C 由勾股定理， 分析：EC在直角三 可知BF=6cm,则FC=4cm, 角形EFC中，要利用 设EC=x,则DE=8-x, 勾股定理求EC，我 即EF=8-x,根据勾股定理， 们发现EF,FC未知， 2 2 2 4 x (8 x) 不能直接求出. 解得，x=3，即EC=3
3、在Rt△ABC中，∠C=90°， 13 ①若a=5，b=12，则c=___________； 20 ②若a=15，c=25，则b=___________； 11 ③若c=61，b=60，则a=__________； 24 ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。 4、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它 60/13 斜边上的高为__________。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。 买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕， 太长了， 放不进 去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
5
C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
B 5 C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
展开思想
C 10
25-x
B
已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
2 Ｂ
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木 箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫， 它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多 远？ B
.
40
.A
C
50 30
D
.
.A
30 50
B
40
C D
A
B
40
C
30
D
50
80 40 8000
2 2
图①
C
.B
40 50
C
X A
5
B X+1
例 .在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走 向离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如 果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，D为树顶，B处有两只猴子，则 AB=10m，C为池塘，则AC=20m
D 设BD的长为x(m),则树高为(x+10)m 因为AC+AB=BD+DC,所以DC=20+10-x=30-x B 在⊿ACD中，∠A=90°,所以AC2+AD2=DC2 C A 故202+(10+x)2=(30-x)2 ，解得x=5 所以x+10=15，即树高15m
8-X X
E
应采用间接求法， 找题中的等量关系.
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，求CD的长．
A
6
6
第8题图
E
4
B
C x Ｄ 8-x 8
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
第一课时
13章:勾股定理及其应用
知识梳理: 勾股定理 内容 证明 应用 内容
勾股定理的逆定理
应用
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a,b,斜边为c,则有
B
c
a
C
a b c
2 2
A
2
b
c c a a b c b b a c
a
b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
a
（该题是2006年广东省中考题）
补充题：
如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃东西,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 周长的一半B C 蛋糕 B ６ O 2
8
８
A
A
勾股定理复习
第二课时
勾股定理及其应用
知识梳理: 勾股定理 内容 证明 应用 内容
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
补充题：
如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃东西,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 周长的一半B C 蛋糕 B ６ O 2
糟糕， 太长了， 放不进 去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
D C
A
E
B
设AE= 解： x km，则 BE=（25-x）km
1: 3 : 2 (1). ∠ A=30 °，那么a:b:c=__________. 1: 1 : 2 (2).∠ A=45°，那么a:b:c=__________.
!
2.填空: 在△ABC中,∠C=90 °
4 3 (1). ∠ A=30 °、a=4，那么c=______,b=______.
8
5 5 3 (2).∠ A=30 °、c=10，那么a=______,b=______. 6 8 (3).如果c=10、a：b=3：4，那么a=____，b=____. 4 4 2 (4). ∠ A=45 °、a=4，那么b=______,c=______.
AB≈3米
补充题：
机场入口的铭牌上说明，飞机的 行李架是一个56cm×36cm×23cm 的长方体空间.一位旅客携带一件 长 65cm 的画卷，这件画卷能平放入行 李架吗？
H E 23 D A 56 C A 36 B 56
2 2
G D F
C 36
B
关键是找出问题中隐 藏的直角三角形或自 己构造合适的直角三 角形，尝试把立体图 形转换为平面图形.
B
50
. A
C
30
D
2
C
40
30 90 9000
2
A 30 D 图②
C D
C
30
.B
40 50
B
30
.A
C
40
50 70
2 2
D 7400
50
A
图③
考考你
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高 为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
E
折叠问题
如图，把长方形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠， B，C两点恰落在AD边的P点处，若∠FPH=90°， PF=8，PH=6，则长方形ABCD的边BC长为____. 分析：根据勾股定理， 可求得FH=10
8
6
又由折叠知，PF=BF,PH=HC 所以，BC=BF+FH+HC =PF+FH+PH=8+6+10=24
C 提示：作辅助线DE⊥AB，利用平 分线的性质和勾股定理。 1 2 D B
A
解：
过D点做DE⊥AB ∵ ∠1=∠2, ∠C=90° ∴ DE=CD=1.5 在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得 x BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 ∴ BE=2 在Rt△ACD和 Rt△AED中, 1 ∵CD=DE , AD=AD 2 A ∴ Rt△ACD Rt△AED ∴ AC=AE 令AC=x,则AB=x+2 在 Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2 即:x2+42=(x+2)2 ∴ x=3 C D B
分类思想
方程思想
展开思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
A
8 10
10
D
8-X
因为是折叠问题，我们 可知，AD=AF,DE=EF B 6 F 4 C 由勾股定理， 分析：EC在直角三 可知BF=6cm,则FC=4cm, 角形EFC中，要利用 设EC=x,则DE=8-x, 勾股定理求EC，我 即EF=8-x,根据勾股定理， 们发现EF,FC未知， 2 2 2 4 x (8 x) 不能直接求出. 解得，x=3，即EC=3
3、在Rt△ABC中，∠C=90°， 13 ①若a=5，b=12，则c=___________； 20 ②若a=15，c=25，则b=___________； 11 ③若c=61，b=60，则a=__________； 24 ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。 4、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它 60/13 斜边上的高为__________。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。 买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕， 太长了， 放不进 去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
5
C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
B 5 C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
展开思想
合集下载
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)
-数据分析能力的培养：在分析勾股数的过程中，学生可能不知道如何系统地分析和归纳数据，从而找出勾股数的规律。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
勾股定理复习课(市大比武)
勾股定理总复习
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a,b,斜边为c,则有
B
c
a
C
a b c
2 2
A
2
b
• 直角三角形的判定方法之一：
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
B
c
a
C A
a b c
2 2
2
b
c c
a b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
A
10 8 17 10 8
A
17
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
二、方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ来吗？ A
A
4
5 B
∟
D C
再 见
x米
(X+1)米
C
5米
B
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题， 原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的 数学知识回答这个问题。
C
X
5
B X+1
A
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. 10 D A
a
a
b
b
c
b b a c
a
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a,b,斜边为c,则有
B
c
a
C
a b c
2 2
A
2
b
• 直角三角形的判定方法之一：
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
B
c
a
C A
a b c
2 2
2
b
c c
a b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
A
10 8 17 10 8
A
17
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
二、方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ来吗？ A
A
4
5 B
∟
D C
再 见
x米
(X+1)米
C
5米
B
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题， 原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的 数学知识回答这个问题。
C
X
5
B X+1
A
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. 10 D A
a
a
b
b
c
b b a c
a
勾股定理全章复习公开课
如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小方在B处,请求出AB的距离.
5
4
3
2
1
规律：
S2+S3+S4+S5=
S1
C
A
B
a
b
c
A
测评反馈
1、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边落在AB边上,点C落在点E处，求CD的长。
B
C
A
D
E
A
B
C
D
E
F
3
3
4
2
2
3
2
4
2
10
G
本节课你的收获？
01
解决本章的数学问题时，常用到哪些数学思想？
02
小结
拓展延伸：
如图,四边形ABCD中,∠B=∠ADC=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
符号语言：
C
A
B
直角三角形有哪些特殊的性质
角
边
直角三角形的两锐角互余。
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
在Rt△ABC中∠C=90°
a2+b2=c2
a
b
c
∴
如何判定一个三角形是直角三角形呢？
(1)
(2)
有一个内角为直角的三角形是直角三角形
两个内角互余的三角形是直角三角形
符号语言：
∴∠C=90° 或△ABC 为Rt△ABC
测评反馈
1..已知直角三角形ABC中, (1)若AC=8,AB=10,则 周长 = ____. =______ ，斜边上的高=______ 2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边 的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_____ 3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它的周长为________
勾股定理复习课件
h
1.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 ABD中，根据勾股定理 A’
BD AB AD 4 3 5
2 2 2 2 2 2
D’ B’
C’
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
BD'2 DD '2 BD 2 12 2 52 13 2 BD' 13(cm）。
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平 方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
选择: 直角三角形的两条直角边长为a,b, 斜边上的高为h,则下列各式中总能成立 的是 ( D )
A. ab=h
2
B. a +b =2h
2
2
2
1 1 1 C. + = a b h
1 1 1 D. 2 + 2 = 2 a b h
4.互逆命题与互逆定理的概念
无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13 , 17 , 5，20
4.勾股定理及其逆定理的应用
①勾股定理可以解决直角三角形当中一些
与边有关的问题（直角边、斜边、斜边上
的高、面积等）
②勾股定理的逆定理可以判断一个三角形
是否是直角三角形(此时先找到最长边,再
看看两较短边的平方和是否等于长边的平
本章知识框图:
实际问题
(直角三角形边长计算)
互逆 定理
由形到数
勾股定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理 的逆定理
题设
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2+b2=c2
2勾股定理2(经典题型)
（6）若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为cm。
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
勾股定理复习课件
4
44
4
∴AC2+AD2=CD2, ∴∠CAD=90°．
12+（3）2=5. 44
∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AD·AC=12×1×34+12×3×54=94
第十七章 勾股定理
素养提升
专题一 方程思想——折叠问题
例 1 如图, 将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠, 点 B 落在 点 E 处, AE 交 DC 于点 F, 已知 AB=4 cm, BC=2 cm. 求折叠后重合 部分(△ACF)的面积.
如图, 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
由勾股定理, 得 AB= AC2+BC2= 92+122=15.
根据等积法 12AC·BC=
12AB·CD,
则 CD=
36. 5
第十七章 勾股定理
专题二： 勾股定理的实际应用
例 3 如图, 在公路 l 旁有一块山地正在开发, 发现需要在 C 处进 行爆破. 已知点 C 与公路上的停靠点 A 的距离为 300 m,与公路上 的另一停靠点 B 的距离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 400 m,且 AC⊥CB, 为了安全起见, 以爆 破点 C 为圆心, 250 m 为半径的圆内不得有人进入. 则在进行爆破 时, 公路 AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？
相关题 2 [广州中考]在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=9, BC=12, 则
点 C 到 AB 的距离是( A ).
A．356
B．1225
C．94
D．3 4 3
分析：
先根据题意画出图形, 再结合勾股定理求出直角三角形的斜边长, 最
勾股定理复习课课件
B点最短路程是 25 .
20
15
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
A B 21 02521 2 5
B
A
5
5 A
6
8
B
64
8
6B
46
A B 2 6 2 9 23 6 8 1 1 1 7
A、120
B、121 C、132
D、123
6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 则三角形的面积为（B ） A、56 B、48 C、40 D、32
A x2+82=(16-x)2
x=6
16-x
BC=2x=12
8
SABC
1128B48 2
x
Dx
C
选择题
7．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三 边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
C 20 A
在Rt△ADC中，(1 0x)22 02(3 0-x)2
解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学 家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三 角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面
积分别为52和4，那么一个直角三角形的两
直角边的和等于 10 。
P
30° 100
M 160
A
Q
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子
，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
20
15
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
A B 21 02521 2 5
B
A
5
5 A
6
8
B
64
8
6B
46
A B 2 6 2 9 23 6 8 1 1 1 7
A、120
B、121 C、132
D、123
6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 则三角形的面积为（B ） A、56 B、48 C、40 D、32
A x2+82=(16-x)2
x=6
16-x
BC=2x=12
8
SABC
1128B48 2
x
Dx
C
选择题
7．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三 边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
C 20 A
在Rt△ADC中，(1 0x)22 02(3 0-x)2
解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学 家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三 角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面
积分别为52和4，那么一个直角三角形的两
直角边的和等于 10 。
P
30° 100
M 160
A
Q
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子
，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
勾股定理专题复习课
勾股定理可以用于计算直角三角形的面积。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
在此添加您的文本17字
总结词：计算错误
在此添加您的文本16字
详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
在此添加您的文本16字
总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
在此添加您的文本17字
总结词：计算错误
在此添加您的文本16字
详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
在此添加您的文本16字
总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。