2.2.2对数函数及其性质(一)
人教版·数学Ⅰ§2.2.2对数函数(1)
数学1第2章第2.2节〔对数函数及其性质〕第1课时教学设计教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。
2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。
3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。
4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。
5、学生容易忽视函数的定义域，在进行对数函数定义教学时要结合指数式强调对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为〔0， 〕的理解。
在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结合，帮助学生理解。
教学设计：教学目标：知识与技能:理解对数函数的概念, 并通过对数函数的图象分析得出函数性质，会求解对数函数定义域及比较对数值大小;过程与方法: 通过对对数函数内容的学习, 渗透数形结合的数学思想和经历从特殊到一般的过程;情感、态度与价值观:在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力。
教学重点：对数函数的定义、图象和性质。
教学难点：底数a大小对对数函数图象与性质的影响。
教学过程：一、引入课题1．〔知识方法准备〕○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质.○2 对数的定义及其对底数的限制. 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2．〔引例〕教材P 70：处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数〞.〔进而引入对数函数的概念〕 二、新课教学〔一〕对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数〔logarithmic function 〕其中x 是自变量，函数的定义域是〔0，+∞〕．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 〔二〕对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大〔小〕值、奇偶性． 探索研究：○1操作：在同一坐标系中画出以下对数函数的图象；〔可用描点法，也可借助科学计算器或计算机〕〔1〕 x y 2log = 〔2〕 x y 21log =〔3〕 x y 3log = 〔4〕 x y 31log =〔5〕5log y x =引申：只画第一个函数图象, 能否马上得到第二个函数图象? 利用换底公式,可以得到 122y=log log x x =-自变量相同, 函数值相反,故函数图象关于x 轴对称.〔从特殊到一般，总结规律〕○2探讨：类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为〔0，＋∞〕图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R函数图象都过定点〔1，1〕 11=α自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><<x x a 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<x x a0log ,1<>x x a图象特征部分：由学生讨论、交流，教师引导总结出函数图象的特征，完成表单. 图象性质部分：由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导，完成表单.○3 思考底数a 是如何影响函数x y a log =的．〔学生独立思考或小X 围内讨论，师生共同总结〕规律总结：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．〔设计意图〕⑴通过图象的对比，使图象直观、准确，便于学生理解图象之间的共同点和不同点。
2.2.2对数函数及其性质1
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
例1：求下列函数的定义域： （1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x).
分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解.
解 （1）由x2>0 得x≠0， ∴函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0}. （2）由4-x>0 得x<4，
(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1，x>0；
(3)logax的系数是1.
常用对数函数与自然对数函数
(1).常用对数函数：以10为底的对数函数
常用对数函数；
y lg x 为
(2).自然对数函数：以无理数
e 为底的对数函数
y ln x
为自然对数函数.
探索研究：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1,loga m loga n m n 0
(2)若0 a 1,loga m loga n 0 m n
[典例3]
(1)解方程：log2(x2－2x－3)＝log2(x＋1)；
[思路点拨] 首先注意定义域的问题，然后解方程．
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
探索发现:认真观察 函数 y log 1 x
2
y 2 1 11
42
的图象填写下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3 4
2.2.2对数函数及其性质1
学习目标：
1.理解对数函数的含义，认识对数函数与指数函数的 关系；
2.类比指数函数的性质探究过程，用同样的方法探究对 数函数图像及其性质，并能再具体实例中指出其性质；
3.提高归纳演绎能力.
【导入】
一、创设情景，引入概念
某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后 变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，…，问：经过多少次分裂以后，变
成 y 个细胞？ 解：设通过 x 次分裂以后，变成 y 个细胞，则
y 2x
解得
x log2 y
所以，通过log2 y 次分裂以后，变成 y 个细胞。
【导入】
一、创设情景，引入概念
已知函数 y 2x ：
x R, y (0, )
1. 反解 x ： x log2 y x R, y (0, )
2. x, y 互换： y log2 x x (0, ), y R
3. 定义域： (0, )
二、对数函数的定义
一般地，我们把函数 y = loga x a 0且a 1 叫做对数函数，其中
x 是自变量，函数的定义域是 0， .
三、对数函数的图象与性质
【学习新知】
对数函数的图像和性质 y = loga x a 0且a 1
五、课堂小结
谈谈这节课你的收获？
【小结】
【学习新知】
a 的范围
0 a 1
a 1
图像
定义域
(0, )
值域
R
定点
(1, 0)
单调性
在（0,）单调递减
在（0,）单调递增
奇偶性 函数值的变化范围
非奇非偶函数
当 0 x 1时，y 0 当 x 1 时，y 0
2.2.2对数函数及其性质(一)第一课时
马王堆女尸千年不腐之 谜：1972年,马王堆考古发 现震惊世界,专家发掘西汉 辛追遗尸时,发现其形体完 整,全身润泽,皮肤仍有弹 性,关节还可以活动,骨质 比现在60岁的正常人还好, 是世界上发现的首例历史 悠久的湿尸。
古长沙国丞相夫人辛追
马王堆辛追夫人在湿润的环境中保存了 2200多年之久，人们最关注的两个问题是：
1 1
2
3
4
5
6
7
8
定义域 :
( 0,+∞)
值域:
R
性
过定点 在(0,+∞)上是
增函数
(1 ,0) 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y>0
质
当x=1时， y=0 当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0 当0<x<1时， y>0
学点一 求定义域
例 求下列函数的定义域：
表 y=log2x -2 -1 0 1 2
y
描2
点1 11
0 42 1 2 3 4
x
连线 1-
2
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与
性质
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
0 0
1 -1
2… -2 …
y
描
2
点
P74 A组7、10
作业
谢谢市教研所各位专家和教研组 各位老师的光临指导！
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
2.2.2 对数函数及其性质(一)
1 >0 1 1－3x (3)由 ，得 x< ； 3 1－3x≠0
1 ∴所求函数定义域为x|x< ； 3
x>0 (4)由 log3x≥0 x>0 ，得 x≥1
；
∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}．
小结
此题主要利用对数函数 y＝logax 的定义域为(0，
2.2.2 对数函数及其性质（一）
问题： 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4
个,……,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的
个数 y 与 x 的函数关系是:
y2 .
x
现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞 经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个…… 细胞，那么，分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数. 即 x log y .
∴ 函数的定义域为 (1，2)∪(2，3) .
例 2：比较大小 例3：
（1） log2 3 , log2 3.5 （3） log3 2 ， log3.5 2 （2） log0.7 1.6 , log0.7 1.8 （4） log1.6 0.7 , log1.8 0.7
( 解：1) y log2 x 在 (0 ， ) 上是增函数，
∴函数 y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3<x<3}． (4)由 16－4x>0，得 4x<16＝42，由指数函数的单调性得
x<2， ∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
例2.求下列函数的定义域 :
(1) y loga x ;
2
(2) y loga (4 x 2 );
否
否 否
2.2.2 对数函数及其性质 (1)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
二、对数函数的图像
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
x y 3log 5. 2 5
2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
2 解（1）因为 x 0
（2）因为 4 x 0 所以函数的定义域为
所以函数的定义域为
{x x 0}
{x x 4}
a N
b
，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，· · ·，1个这样的细 胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
当x=1时，总有loga1=0
a 1且0 x 1时， loga x 0
o
x 1
o
图象
x
(0, )
R
y
y loga （ x a>1）
a>1
y
y loga （ x 0<a<1）
(1,0)
0<a<1
(1,0)
x 1
x
定义域
值域 定点 单调性
2.2.2对数函数及其性质教案(1)
2.2.2对数函数及其性质教案(1)2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．认知对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．重新认识事物之间的广泛联系与相互转变；2．用联系的观点看看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、对数的概念：如果ax=n,那么数x叫作以a为底n的对数,记作logan＝x（a>0,a≠1）2、指数函数的定义:函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫作指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是r.3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y就是对立次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2则表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个??细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x?log2y.如果用x则表示自变量，y则表示函数，这个函数就是y?log2x.带出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数，定义域为(0,??)，值域为(??,??)．x第1页共11页例1．求下列函数的定义域：（1）y?logax2；（2）y?loga(4?x)；（3）y?loga(9?x2)．分析：此题主要利用对数函数y?logax的定义域（0，+∞）解．求解：（1）由x>0得x?0,∴函数y?logax2的定义域就是?x|x?0?；2（2）由4?x?0得x?4，∴函数y?loga(4?x)的定义域是?x|x?4?；2（3）由9?x?0得-3?x?3，∴函数y?loga(9?x2)的定义域是?x|?3?x?3?．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作y?log2x与y?log1x的图象：232.532.5221.51-11.510.51110.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5思索：y?log2x与y?log1x的图象存有什么关系？23．练习：教材第73页练习第1题．1.图画出来函数y=log3x及y=log1x的图象，并且表明这两个函数的相同性质和相同性质.3解：相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.不同性质：y=log3x的图象是上升的曲线，y=log1x的图象3就是上升的曲线，这表明前者在（0，+∞）上就是增函数，后者在（0，+∞）上就是减至函数.4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．32.52a＞132.520＜a＜11.51.5图象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5性定义域：（0，+∞）第2页共11页质值域：r过点（1，0），即当x=1时，y=0x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是增函数三、讲解范例：基准2．比较以下各组数中两个值的大小：x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是减函数⑴log23.4,log28.5；⑵log0.31.8,log0.32.7；⑶loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)．解：⑴考查对数函数y?log2x，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4?log28.5．⑵考查对数函数y?log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上就是减至函数，于是log0.31.8?log0.32.7．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确认所必须考查的对数函数；②根据对数底数推论对数函数多寡性；③比较真数大小，然后利用对数函数的多寡性推论两对数值的大小．⑶当a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是增函数，于是loga5.1?loga5.9；当0?a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是减至函数，于是loga5.1?loga5.9．小结2：分类探讨的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练1。
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2.2.2 对数函数及其性质（一）
（一）教学目标
1．知识技能
（1）理解对数函数的概念.
（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2．过程与方法
（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.
（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.
3．情感、态度与价值观
（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.
（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点
1、重点：
（1）对数函数的定义、图象和性质；
（2）对数函数性质的初步应用.
2、难点：底数a对图象的影响.
（三）教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意
图
提出问题
师：如2.2.1的例6，考古学家一般通
过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物
体的残留物，利用t=log
5730
2
1
P估算出土文
物或古遗址的年代.根据问题的实际意义
可知，对于每一个碳14含量P，通过对应
师：你能据此得到此
类函数的一般式吗？
生：y=log a x.
师：这样就得到了我
们生活中的又一类与指数
由
实际问
题引入，
不仅能
激发学
关系t =log
5730
2
1P ，都有唯一确定的年代t
与它对应，所以，t 是P 的函数.
函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是
我们下面将要研究的知识.
生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
概念
形成 对数函数概念
一般地，函数y =log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y =log a x 的定义域是（0，+∞），值域是R .
探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．
（2）为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．
组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
生答：①根据对数与指数式的关系，知
log a y x
=可化为
y a x =，由指数的概念，
要使y
a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．
②因为log a y x =可化为
y x a =，不管y 取什么值，
由指数函数的性质，
掌握对数
函数概念
y
a＞0，所以(0,)
x∈+∞．
概念深化
1. 对数函数的图象.
借助于计算器或计算机在同一坐标系
中画出下列两组函数的图象，并观察各组
函数的图象，探求它们之间的关系.
（1）y=2x，y=log2x；
（2）y=（
2
1
）x，y=log
2
1
x.
2.当a＞0，a≠1时，函数y=a x，y=log a x
的图象之间有什么关系？
对数函数图象有以下特征
图象的特征
（1）图象都在y轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）点
（3）从左往右看，当a＞1时，图象
逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐
下降.
（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）
点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）
点左边的纵坐标都小于0.当0＜a＜1
时，图象正好相反，在（1，0）点右
边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左
边的纵坐标都大于0 .
师：用多媒体演示函数图
象，揭示函数y=2x，y=log2x
图象间的关系及函数
y=（
2
1
）x，y=log
2
1
x图象
间的关系.
学生讨论总结如下结
论.
（1）函数y=2x和
y=log2x的图象关于直线
y=x对称；
（2）函数y=（
2
1
）x
和y=log
2
1
x的图象也关于
直线y=x对称.
一般地，函数y=a x
和y=log a x（a＞0，a≠1）的
图象关于直线y=x对称.
师生共同分析所画的
两组函数的图象，总结归
纳对数函数图象的特征，
进一步推出对数函数性质.
由
特殊到
一般，培
养学生
的观察、
归纳、概
括的能
力．
掌
握对数
函数图
象特征，
以及性
质.
对数函数有以下性质
0＜a＜1 a＞1 图
象
定义
域
（0，+∞）
值域R
性质
（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0 （2）在（0，+∞）
上是减函数
（2）在（0，+∞）上是
增函数
应用举例例1 求下列函数的定义域：
（1）y=log a x2；
（2）y=log a1
-
x（a＞0，a≠1）.
例1分析：求函数定
义域时应从哪些方面来考
虑？
学生回答：①分母不
能为0；②偶次根号下非
负；③0的0次幂没有意义.
④若函数解析式中含
有对数式，要注意对数的
真数大于0.
（师生共同完成该题
解答，师规范板书）
解：（1）由x2＞0，得
x≠0.
∴函数y=log a x2的定
义域是{x|x≠0}.
（2）由题意可得
1
-
x＞0，又∵偶次根号
掌
握对数
函数知
识的应
用.
相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点（1，0）.
不同点：y =log 3x 的图象是上升的，y =log 3
1x 的图
象是下降的.
关系：y =log 3x 和y =log 3
1x 的图象关于x 轴对
称.
2.（1）（－∞，1）； （2）（0，1）∪（1，+∞）； （3）（－∞，
3
1
）； （4）［1，+∞）.
归纳 总结
1.对数函数的定义.
2.对数函数的图象和性质.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后 作业
作业：2.2 第四课时 习案
学生独立完成
巩固新知 提升能力。