人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程公开课课件
⑵ (x 2)(x 3) 8
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
巩固练习
当m为何值时,方程
(m 1) x 4m 2 27mx 5 0
（1）是关于x的一元二次方程；
（2）是关于x的一元一次方程.
课堂小结 只含有一个未知数，
一元二次方程的概念
并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2x2 － 2x = 0
当 x = 1 时，
x = 0，x = 1 都是方程 2x2 － 2x =0 的解.
巩固练习
x =－7，x = 8都是方程 x2 － x = 56 的解. x = 0，x = 1 都是方程 2x2 － 2x =0 的解.
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别， 我们称一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）.
巩固练习
x2 0
x2 － x = 56
3x2 5x 1
(x 3)(2x 4) x2 x2 ＋ 2x －4= 0 x2 － 75x+350= 0
一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？
例题讲解
将方程 8 2x5 2x 18 化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
探究新知
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
一元二次方程 一般形式
解：将上面的这些数代入后，
只有－2和－3满足方程的等式，
所以 x =－2或 x =－3是一元二次方程的两根.
巩固练习
5. 试写出方程 x2 x 0 的根，你能写出几个？
根分别为0，1.
巩固练习
1. （1）3x2－6x＋1= 0，3，-6，1 （2）4x2＋5x－81= 0，4，5，－81 （3）x2＋5x = 0，1，5，0 （4）x2－2x＋1= 0，1，－2，1 （5）x2＋10 = 0，1，0，10 （6）x2＋2x－2= 0，1，2，－2
二次项系数
一次项系数
a≠0 ax2 + bx +c = 0
二次项 一次项 常数项
巩 固 练 习 为什么要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时，方程变 为 bx＋c = 0 ，不再 是一元二次方程。
ax2 + bx +c = 0 的强调
“ = ”左边最多有三项，一次项、常数 项可不出现，但二次项必须有。 “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列。 “ = ”右边必须整理为 0。
移项，合并同类项，得一般形式为
2x2 2x 4 0
中的二次项系数、一
其中二次项系数为 2，
次项系数及常数项.
一次项系数为 2，常数项为－4.
整合归纳
当 x =－7 时，
x2 － x = 56;
当 x = 8 时，
x =－7，x =8都是方程 x2 － x = 56 的解.
当 x = 0 时，
m 42 0
m 42 1 0
m2 8m 17 0
即二次项系数不等于 0，不论 m 取何
值，该方程都是一元二次方程.
巩固练习
x 2. 根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一
元二次方程的一般形式：
x （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 ；
4x2 25 0
x （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 ；
x2 2x 100 0
巩固练习
（3）把长为1的木条分成两段使较短，一段的长与全长的
积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x ；
x2 3x 1 0
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，
x 求较长的直角边长 .
2x2 4x 96 0
巩固练习
原 方 程
5x2 1 4x
根据方盒的底面积为3600cm2,得
(100 2x)(50 2x) 3600
即 X2 -75x+350=0
3 600 cm2 50 ㎝
x 100 ㎝
探究新知
问题3 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比 赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4 场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析: 4×7=28（场） 解：设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以
x 全部比赛共
1 2
xห้องสมุดไป่ตู้ x
1)
28 场.
即
2 x 56
探究新知
3尺
勾股定理问题
设竹竿的长为 x 尺，根据勾股定理，得 x－ 3
(x－3)2 ＋ (x－6)2 = x2
一 般 形 式
5x2 4x 1 0
二次 一次 常 项系 项系 数
数 数项
5 －4 －1
4x2 81
4x2 81 0 4 0 －81
4x x 2 25 4x2 8x 25 0
3x 2 x 1 8x 3 3x2 7x 1 0
4 8 －25 3 －7 1
巩固练习
4. 下面哪些数是方程 2x2 10x 12 0 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过 程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.
亲爱的读者： 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳 的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你 的阅读。
巩固练习
下列方程的根是什么？
（1）x2 64 0； （2）3x2 6 0.
x1 8 x2 8
x1 2 x2 2
巩固练习
1. 求证：关于 x 的方
程（m2－8m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不论 m 取何值，该方程都是 一元二次方程.
证明： m2 8m 17 m 42 1
习题答案
巩固练习
1.下列方程中,无论a为何值,
总是关于x的一元二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
巩固练习
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
⑴ 6y2 y
解：去括号，得：40 16x 10x 4x2 18
移项，合并同类项，得一般形式为：
4x2 26x 22 0 其中二次项系数为4，
一次项系数为 －26，常数项为 22.
巩固练习
解：
将方程 x 12 x 2x 2 1
化成一元二次方程的 一般形式，并写出其
去括号，得 x2 2x 1 x2 4 1
21 一元二次方程
21.1 一元二次方程
探究新知 问题2
有一块矩形铁皮,长100 ㎝,宽50 ㎝,在它的四角各切去一个正方形, 然后将四周突出部分折起,就能制 作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮 各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为
x cm,则盒底的长为 (100-2x)cm , 宽为 (50-2x)cm .
巩固练习
两个连续正奇数的积是 255，求这两个数.
x =－17，x = 15 都是方程 x2 ＋ 2x = 255 的解.
这两个解都是该实际问 题的答案吗？
只有 x = 15 是该题的答案。 即这两个正奇数为 15、17.
由实际问题列出方程并得出 方程的解后，还要考虑这些 解是否确实是实际问题的解.
整理，得
x2－18x＋45 = 0
x－ 6
探究新知
这些方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
x2 ＋ 2x －4= 0
方程两边都是整式.
x2 － 75x+350= 0 x2 － x = 56
方程中只含有 一个未知数.
x2－18x＋45 = 0
未知数的最 高次数是2.
探究新知
知识要点
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程 （quadratic equation in one unknown）.
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
探究新知
3x 2 5x 2 ×
x2 0
√
(x 3)(2x 4) x2 √ 3y2 (3y 1)( y 2) ×
x2 x3 x2 1 ×
3x2 5x 1
√
下列哪些是一元二次方程？
判断一个方程是否为一 元二次方程，不能只看表 面，能化简时应先化简.
探究新知
一元二次方程必须符合三个条件
整式方程 一个未知数 未知数的最高次数为 2
探究新知
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
巩固练习
当m为何值时,方程
(m 1) x 4m 2 27mx 5 0
（1）是关于x的一元二次方程；
（2）是关于x的一元一次方程.
课堂小结 只含有一个未知数，
一元二次方程的概念
并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2x2 － 2x = 0
当 x = 1 时，
x = 0，x = 1 都是方程 2x2 － 2x =0 的解.
巩固练习
x =－7，x = 8都是方程 x2 － x = 56 的解. x = 0，x = 1 都是方程 2x2 － 2x =0 的解.
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别， 我们称一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）.
巩固练习
x2 0
x2 － x = 56
3x2 5x 1
(x 3)(2x 4) x2 x2 ＋ 2x －4= 0 x2 － 75x+350= 0
一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？
例题讲解
将方程 8 2x5 2x 18 化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
探究新知
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
一元二次方程 一般形式
解：将上面的这些数代入后，
只有－2和－3满足方程的等式，
所以 x =－2或 x =－3是一元二次方程的两根.
巩固练习
5. 试写出方程 x2 x 0 的根，你能写出几个？
根分别为0，1.
巩固练习
1. （1）3x2－6x＋1= 0，3，-6，1 （2）4x2＋5x－81= 0，4，5，－81 （3）x2＋5x = 0，1，5，0 （4）x2－2x＋1= 0，1，－2，1 （5）x2＋10 = 0，1，0，10 （6）x2＋2x－2= 0，1，2，－2
二次项系数
一次项系数
a≠0 ax2 + bx +c = 0
二次项 一次项 常数项
巩 固 练 习 为什么要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时，方程变 为 bx＋c = 0 ，不再 是一元二次方程。
ax2 + bx +c = 0 的强调
“ = ”左边最多有三项，一次项、常数 项可不出现，但二次项必须有。 “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列。 “ = ”右边必须整理为 0。
移项，合并同类项，得一般形式为
2x2 2x 4 0
中的二次项系数、一
其中二次项系数为 2，
次项系数及常数项.
一次项系数为 2，常数项为－4.
整合归纳
当 x =－7 时，
x2 － x = 56;
当 x = 8 时，
x =－7，x =8都是方程 x2 － x = 56 的解.
当 x = 0 时，
m 42 0
m 42 1 0
m2 8m 17 0
即二次项系数不等于 0，不论 m 取何
值，该方程都是一元二次方程.
巩固练习
x 2. 根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一
元二次方程的一般形式：
x （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 ；
4x2 25 0
x （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 ；
x2 2x 100 0
巩固练习
（3）把长为1的木条分成两段使较短，一段的长与全长的
积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x ；
x2 3x 1 0
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，
x 求较长的直角边长 .
2x2 4x 96 0
巩固练习
原 方 程
5x2 1 4x
根据方盒的底面积为3600cm2,得
(100 2x)(50 2x) 3600
即 X2 -75x+350=0
3 600 cm2 50 ㎝
x 100 ㎝
探究新知
问题3 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比 赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4 场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析: 4×7=28（场） 解：设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以
x 全部比赛共
1 2
xห้องสมุดไป่ตู้ x
1)
28 场.
即
2 x 56
探究新知
3尺
勾股定理问题
设竹竿的长为 x 尺，根据勾股定理，得 x－ 3
(x－3)2 ＋ (x－6)2 = x2
一 般 形 式
5x2 4x 1 0
二次 一次 常 项系 项系 数
数 数项
5 －4 －1
4x2 81
4x2 81 0 4 0 －81
4x x 2 25 4x2 8x 25 0
3x 2 x 1 8x 3 3x2 7x 1 0
4 8 －25 3 －7 1
巩固练习
4. 下面哪些数是方程 2x2 10x 12 0 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过 程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.
亲爱的读者： 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳 的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你 的阅读。
巩固练习
下列方程的根是什么？
（1）x2 64 0； （2）3x2 6 0.
x1 8 x2 8
x1 2 x2 2
巩固练习
1. 求证：关于 x 的方
程（m2－8m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不论 m 取何值，该方程都是 一元二次方程.
证明： m2 8m 17 m 42 1
习题答案
巩固练习
1.下列方程中,无论a为何值,
总是关于x的一元二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
巩固练习
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
⑴ 6y2 y
解：去括号，得：40 16x 10x 4x2 18
移项，合并同类项，得一般形式为：
4x2 26x 22 0 其中二次项系数为4，
一次项系数为 －26，常数项为 22.
巩固练习
解：
将方程 x 12 x 2x 2 1
化成一元二次方程的 一般形式，并写出其
去括号，得 x2 2x 1 x2 4 1
21 一元二次方程
21.1 一元二次方程
探究新知 问题2
有一块矩形铁皮,长100 ㎝,宽50 ㎝,在它的四角各切去一个正方形, 然后将四周突出部分折起,就能制 作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮 各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为
x cm,则盒底的长为 (100-2x)cm , 宽为 (50-2x)cm .
巩固练习
两个连续正奇数的积是 255，求这两个数.
x =－17，x = 15 都是方程 x2 ＋ 2x = 255 的解.
这两个解都是该实际问 题的答案吗？
只有 x = 15 是该题的答案。 即这两个正奇数为 15、17.
由实际问题列出方程并得出 方程的解后，还要考虑这些 解是否确实是实际问题的解.
整理，得
x2－18x＋45 = 0
x－ 6
探究新知
这些方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
x2 ＋ 2x －4= 0
方程两边都是整式.
x2 － 75x+350= 0 x2 － x = 56
方程中只含有 一个未知数.
x2－18x＋45 = 0
未知数的最 高次数是2.
探究新知
知识要点
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程 （quadratic equation in one unknown）.
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
探究新知
3x 2 5x 2 ×
x2 0
√
(x 3)(2x 4) x2 √ 3y2 (3y 1)( y 2) ×
x2 x3 x2 1 ×
3x2 5x 1
√
下列哪些是一元二次方程？
判断一个方程是否为一 元二次方程，不能只看表 面，能化简时应先化简.
探究新知
一元二次方程必须符合三个条件
整式方程 一个未知数 未知数的最高次数为 2
探究新知
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
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人教版九年级数学上册精品教学课件21.1一元二次方程
为_______．
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程 课件(共37张PPt)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程(教学课件)
整式
等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
判断一元二次方程
例1 判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
a可能为0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，即a≠1，
∴a的值是−1．
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
不同点
ax=b (a≠0）
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
设由勾股定理得，滑动前梯底端距墙
6
1m
m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙
x＋6 m 8m
7m
根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
6m
x
情景引入
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条
设切去的正方形的边长为 x cm
(100-2x)(50-2x)=3600
化简，得
x
x
整理，得 − + =
100-2x
等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
判断一元二次方程
例1 判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
a可能为0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，即a≠1，
∴a的值是−1．
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
不同点
ax=b (a≠0）
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
设由勾股定理得，滑动前梯底端距墙
6
1m
m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙
x＋6 m 8m
7m
根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
6m
x
情景引入
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条
设切去的正方形的边长为 x cm
(100-2x)(50-2x)=3600
化简，得
x
x
整理，得 − + =
100-2x
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
新人教版数学九上21.1 一元二次方程精品公开课优质课PPT课件
3
-2
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
-2
-5
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______．
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0
x 2
(6) 6 3
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
751 x2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
(7)4x2 1 (2x 3)2
(8)( x )2 2 x 6 0
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课件
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式，我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
3.一元二次方程的根的概念
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程 的解，也叫做一元二次方程的根.
(2) x3+ x2=36 2
(4) +2=0 x
(6) y2- y = 6 + 3y2
判断一个方 程是否为一 元二次方程， 不能只看表 面，能化简 时应先化简.
(7) x2=0
(8) x2＋2x－3＝1＋x2
(9) (x+3)(2x-4)＝x2
2.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k ≠ 3 时，是一元二次方程．
精讲点拨
1.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看 表面，而是能化简必须先化简，然后再查看这 个方程未知数的最高次数是否是2.
2.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最 多三项，其中一次项、常数项可以不出现，但 二次项必须存在，而且左边通常按x的降幂排 列.特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0的解? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
解：设雕像下部高x m，则
的形式，我们把
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
个队参加比赛? 特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
一元二次方程必须符合三个条件:
这些方程有什么共同特点？
当k
时，是一元二次方程．
解：设应邀请x个队参赛，则 这些方程有什么共同特点？
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式，我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
3.一元二次方程的根的概念
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程 的解，也叫做一元二次方程的根.
(2) x3+ x2=36 2
(4) +2=0 x
(6) y2- y = 6 + 3y2
判断一个方 程是否为一 元二次方程， 不能只看表 面，能化简 时应先化简.
(7) x2=0
(8) x2＋2x－3＝1＋x2
(9) (x+3)(2x-4)＝x2
2.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k ≠ 3 时，是一元二次方程．
精讲点拨
1.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看 表面，而是能化简必须先化简，然后再查看这 个方程未知数的最高次数是否是2.
2.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最 多三项，其中一次项、常数项可以不出现，但 二次项必须存在，而且左边通常按x的降幂排 列.特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0的解? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
解：设雕像下部高x m，则
的形式，我们把
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
个队参加比赛? 特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
一元二次方程必须符合三个条件:
这些方程有什么共同特点？
当k
时，是一元二次方程．
解：设应邀请x个队参赛，则 这些方程有什么共同特点？