任意角与弧度制导学案.doc
北师大版4.1.3 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
【导学释疑】
1.已知sin = ,cos = ,若 是第二象限角，求实数a的值. .
2.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
3.设 为第三象限角，试判断 的符号. ＜0.
4.角 终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角 终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
A.-3B.3或
C.- D.-3或-
答案C
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
4、掌握三角函数在各个象限的符号
5.会做出某角的三角函数线
三、教学过程
【温故知新】
一、选择题
1.已知cos ·tan ＜0,那么角 是（）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
2.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是（）
A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>
答案D
3.与610°角终边相同的角表示为
A.k·360°+230°(k∈Z)B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案B
4.已知（ ）sin2 ＜1,则 所在象限为
A.第一或第二象限B.第二或第四象限
C.第二或第三象限D.第一或第三象限
求sin ·cos +sin ·cos +tan ·tan 的值.-1.
【检测反馈】
5.已知点P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边在第几象限（）
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
【导语】⾼⼆时孤⾝奋⽃的阶段，是⼀个与寂寞为伍的阶段，是⼀个耐⼒、意志、⾃控⼒⽐拚的阶段。
但它同时是⼀个厚实庄重的阶段。
由此可见，⾼⼆是⾼中三年的关键，也是最难把握的⼀年。
为了帮你把握这个重要阶段，⾼⼆频道整理了《⾼⼆数学必修四《任意⾓和弧度制》教案》希望对你有帮助！！ 教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 ⼀、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运⽤弧度制表⽰的弧长公式、扇形⾯积公式;(4)熟练地进⾏⾓度制与弧度制的换算;(5)⾓的集合与实数集之间建⽴的⼀⼀对应关系.(6)使学⽣通过弧度制的学习，理解并认识到⾓度制与弧度制都是对⾓度量的⽅法，⼆者是辨证统⼀的，⽽不是孤⽴、割裂的关系. ⼆、过程与⽅法 创设情境,引⼊弧度制度量⾓的⼤⼩,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运⽤弧长公式和扇形⾯积公式.以具体的实例学习⾓度制与弧度制的互化,能正确使⽤计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另⼀种度量⾓的单位制---弧度制，理解并认识到⾓度制与弧度制都是对⾓度量的⽅法，⼆者是辨证统⼀的，⽽不是孤⽴、割裂的关系.⾓的概念推⼴以后,在弧度制下,⾓的集合与实数集之间建⽴了⼀⼀对应关系:即每⼀个⾓都有的⼀个实数(即这个⾓的弧度数)与它对应;反过来，每⼀个实数也都有的⼀个⾓(即弧度数等于这个实数的⾓)与它对应，为下⼀节学习三⾓函数做好准备 教学重难点 重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进⾏⾓度制与弧度制地互化换算;弧度制的运⽤. 难点:理解弧度制定义，弧度制的运⽤. 教学⼯具 投影仪等 教学过程 ⼀、创设情境，引⼊新课 师：有⼈问：海⼝到三亚有多远时，有⼈回答约250公⾥，但也有⼈回答约160英⾥，请问那⼀种回答是正确的?(已知1英⾥=1.6公⾥) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采⽤的度量制不同，⼀个是公⾥制，⼀个是英⾥制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英⾥=1.6公⾥. 在⾓度的度量⾥⾯，也有类似的情况，⼀个是⾓度制，我们已经不再陌⽣,另外⼀个就是我们这节课要研究的⾓的另外⼀种度量制---弧度制. ⼆、讲解新课 1.⾓度制规定：将⼀个圆周分成360份，每⼀份叫做1度，故⼀周等于360度，平⾓等于180度，直⾓等于90度等等. 弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?⼀周是多少弧度?半周呢?直⾓等于多少弧度?弧度制与⾓度制之间如何换算?请看课本，⾃⾏解决上述问题. 2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度⾓，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (师⽣共同活动)探究:如图,半径为的圆的圆⼼与原点重合,⾓的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格. 我们知道，⾓有正负零⾓之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，⼀般地,正⾓的弧度数是⼀个正数，负⾓的弧度数是⼀个负数，零⾓的弧度数是0,⾓的正负主要由⾓的旋转⽅向来决定. ⾓的概念推⼴以后,在弧度制下,⾓的集合与实数集R之间建⽴了⼀⼀对应关系:即每⼀个⾓都有的⼀个实数(即这个⾓的弧度数)与它对应;反过来，每⼀个实数也都有的⼀个⾓(即弧度数等于这个实数的⾓)与它对应. 四、课堂⼩结 度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学⽤表》进⾏;在具体运算时，“弧度”⼆字和单位符号“rad”可以省略如：3表⽰3radsinp表⽰prad⾓的正弦应确⽴如下的概念：⾓的概念推⼴之后，⽆论⽤⾓度制还是弧度制都能在⾓的集合与实数的集合之间建⽴⼀种⼀⼀对应的关系。
人教A版数学四1.1任意角导学案
1.1任意角和弧度制§1.1.1任意角 使用时间:【使用说明及学法指导】1. 先精读一遍教材P 2～P5,完成P5的练习，用红笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过50分钟；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.必须记住的内容：○1任意角的概念（正确理解正角、负角、零角的概念，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有动）○2认识终边相同的角（其核心是周期现象）（理解终边相同的角之间的关系）并会用集合语言简单表示；○3会判定给定角的终边所在位置。
【学习目标】1.自主学习，合作探究学会 .○1．理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；○2．掌握终边相同的角的表示；○3．了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角集合的表示。
2.激情投入，享受学习成功的快乐一．问题导学：复习 1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 如图，一条射线由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ，就形成角α. 旋转开始时的射线 OA 叫做角的 ，OB 叫 ，射线的端点 O 叫做叫α的顶点． 初中所研究的角的范围为 ． 复习 2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“ 转体720°” （ 即转体 周），“转体 1080°” （ 即转体 周）；②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度）二．合作探究探究任务一：角的概念问题：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围．如何重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法呢？新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角．试试：图 2 中的角a 是正角，为 ；图 3中的角β、γ是负角，分别为 、 ．BO α图2 图3再试试画出－45 °及405°．反思：角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角．探究任务二：坐标系中讨论角问题：如何将角放入坐标系中讨论？角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合．新知：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．试试：在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限．反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究任务三：终边相同的角问题：与60°终边相同的角有、、、…都可以用代数式表示为．与α终边相同的角如何表示？新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为：．试试：与390°终边相同的角可表示为，也可以表示为．反思：给定顶点、终边、始边的角有个. 终边相同的角相等；但相等的角，终边相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．※典型题例1 在0°～360°间，找出下列终边相同角：（1）－150°；（2）1040°；（3）－940°变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角．（1）120°；（2）－270°；（3）1020°例 2 写出终边在下列位置上的角的集合：（1）y 轴； （2）直线y =x ．变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？小结：0°～360°是指 ；注意区分终边相同的角、象限角、区间角的表示．※ 动手试试练 1. 如图，终边落在 OA 位置时的角的集合是__ ；终边落在OB 位置，且在－360°～360°内的角的集合是_ _ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 _．练 2. 写出终边在直线 y =－x 的角的集合．三、总结提升※ 学习小结1．角的推广；2．象限角的定义；3．终边相同角的表示；4．终边落在坐标轴时等；5．区间角表示．※ 知识拓展第一象限角：｛α |..36036090k k α︒<<︒+︒，k ∈Z }第二象限角：｛α|..36090360180k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }第三象限角：｛α|..360180360270k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }第四象限角：{α|..360270360360k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1．460° 是（ ）.A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．在 0°～360°范围内，与-60 °终边相同的角是（ ）.A ．30°B ．60°C ．300°D ．330°3．0°～90°间的角可表示为（）.A．{α| 0°<α< 90°} B．{α| 0°≤α< 90°}C．{α| 0°<α≤90°} D．{α| 0°≤α≤90°}4. 一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为.5. 集合M＝{α=k×90︒，k∈Z}中，各角的终边都在.课后作业1．在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）－120°；（2）760°.2．分别写出在下列位置上的角的集合：（1）y 轴负半轴；（2）轴；（3）第一、三象限角平分线；（4）第四象限角平分线．四.合何作探究：1.在0°～360°范围内，找出与－950°12′终边相同的角有；它是第象限角。
弧度制
) 15、 类）扇形 （B 的面积为 ，它的周长为 ，求扇形圆心角的弧度数
3
3
(B)－
3
(C)
(D)－
6
4、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 (A) (B)
2 3
(
)
(C) 3
(D)2 ( (D) π+α ，终边在一、三象限的角平分线上的角 β 的集合 O
AOB 的弧度数
AOB 的度数
B
y
r
2 r
r
2r
A x
0
180 180
1 2
O
强化：
度；
弧度． ②终边在 y 轴上的角的集合
〖例 2〗 ：用弧度制表示：①终边在 x 轴负半轴上的角的集合
③终边在坐标轴上的角的集合
4、思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧度数是多少?
数学是人类思考中的最高成就（米斯拉）
5、 若 α 是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 (A)
2
)
-α
(B)
2
+α
(C)2π-α
16、 类）如下图，圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过 θ (0＜θ＜π)角，2 分钟 （A 到达第三象限，14 分钟后回到原来的位置，求 θ. y A x
弧度制与角度制之间如何换算？
3、 探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交 于点 B .请完成表格. 〖例 1〗（1）把 67 30' 化成弧度 ： 弧 AB 的长
高中数学教案《任意角和弧度制》
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
任意角和弧度制》优秀教学教案教学设计
5.1.2 弧度制本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体任意角的集合 实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR 21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
只是学生的作业还是做得不太好。
所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
任意角、弧度制小结学案
1.1.3 任意角、弧度制小结【学习目标】 1．通过小结形成知识网络，更加熟练、系统地掌握和运用本小节的知识点；2．能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求有关扇形面积的最值等.【学习重点】（1）角的集合表示；（2）弧长公式、扇形面积公式的灵活运用【难点提示】构建知识网络、灵活运用解决实际问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材110P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．知识梳理请感悟上面的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各知识内容填写在横线上或空白处.二、热身练习1.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是（ ）90;90360();A B k k Z βαβα=+=++⋅∈． ．90;90360();C D k k Z βαβα=±=±+⋅∈． ．任意角、弧度制任意角弧度制角的概念象限角 同终边上的角 轴上角 正角负角零角弧度制的概念 弧度制与角度制互化弧长、面积公式{}{},,,n Z Y k Z ⋅∈=±⋅∈２．集合Z ＝x ｜x=(2n+1)180x ｜x=(4k 1)180之间的关系是（ ）.;.;.;..A Z Y B Z Y C Z Y D Z Y ≠≠⊂⊃= 与之间的关系不确定三、典例赏析例1 写出如图(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合．思路启迪 以两条射线为终边上的角是多少度（或弧度）？再看周期性吧！解：解后反思 你是怎样理解题的？求解该题的关键点、易错点在哪里？变式练习 写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.解：例2.已知α是第二象限角，试求下列角的范围与所在的象限：(1) 3α；(2) 3α．思路启迪：准确写出α，在33αα、的范围，根据求出的范围，运用数形结合，试试看.解后反思（1）若例2中的α分别是第一象限、第三象限、第四象限的角，怎样确定 33αα、所在象限？有规律吗？各自的周期是多少？（2）解答本题用到了什么数学思想方法？该题中33ααα、、的范围还有不同的写法吗？角的两种制度能用在同一个表达式中出现吗？变式练习 已知α是第三象限角，试求角4α与2α的范围和所在的象限. 解：例3（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积． （２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：解后反思 在第（1）问中，应怎样选择公式更好？第（2）问是一道什么题型，求解时 的入手点在哪里？易错点在哪里？变式练习 已知圆中一条弦的长等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧组成的弓形的面积.解：例4. 2003年10月15日9时，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船， 在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空，按规定轨道3地球14圈，在太空飞行21小时18分，16日6时23分在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功.视飞船在地面343千米的太空中绕地球做匀速圆周运动，90分钟绕地球一圈，地球的平均半径为6378千米，计算：（1）飞船绕地球14圈共转过的度数是多少？（2）在太空飞行中，杨利伟与家人进行了一次特别的通话，通话时间持续4分50秒，在这段时间内，杨利伟所乘坐的飞船转过的角度是多少？飞船走了多少千米（不考虑其他因素，计算时取 3.14π≈）？解：解后反思 该题是什么题型？求解它的思想方法是什么、步骤如何？变式练习 在以原点为圆心半径为4的圆周上，动点P 、Q 从点A （4,0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟旋转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟旋转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 各自走过的弧长.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（学习链接——阅读材料）五、学习评价1将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6π2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B.1sin 2 C.1sin 2 D.2sin 3.集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα， B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ） A. A B ⊂ B. B A ⊂ C. B ⊂A D. A ⊂B4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A ．α＝3B ．α＜3C ．α＝32π D ．α＝120 5.若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ； 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角,αβ的终边关于直线y x =对称，则αβ与的关系式是 .6.12弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积．解：7.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?解：8.半径为R 的扇形，其周长为R 4，则扇形中所含弓形的面积是多少？解：◆承前启后 现在我们学习了角的推广，角的两种度量制度？在数学中角与三角函数联系最为紧密，那对任意角又怎样定义三角函数呢？【学习链接】（阅读材料）密位制:一种军用的角度计量法.以密位为单位来量角的制度是：把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密 位的角，即：1密度位就是圆的16000所对的圆心角（或这条弧）的大小. 密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“0—15”，读作“零，一五”；1370密位记为“13—70”，读作“一三，七零”。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案数学课程第7章第7.1.1节任意角的概念知识目标：1.了解角的概念推广的实际背景意义；2.理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
教学备品：教学课件、研究演示用具（两个硬纸条一个扣钉）。
授课班级：海乘1601/轮机1601授课时间：10周授课方法：讲授法教学目的能力目标：1.能够判断角所在的象限；2.能够求指定范围内与已知角终边相同的角；3.培养观察能力和计算技能。
教学重点：终边相同角的概念。
教学难点：终边相同角的表示和确定。
教学过程】1.揭示课题：任意角的概念与弧度制。
2.创设情景兴趣导入：问题1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，___与___两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，___下了摩天轮，___继续乘坐一圈。
那么，___走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转10周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角。
如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。
3.动脑思考探索新知：任意角的概念：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α。
旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点。
4.讲解关键点：任意角的概念推广的实际背景意义，以及任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
5.结合图形讲解角的图形，并可以加入学生的举例。
6.练和讨论深化、巩固知识，培养能力。
7.反思交流中，总结知识，品味研究方法。
动轴转动，主动轴每分钟转速为1800转，从动轴每分钟转速为1200转，试求主动轴和从动轴之间的转速比。
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第一章三角函数【学习目标】1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【日主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的“ 720°”，怎么刻画?二、建构数学1.角的概念角同•以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O2.角的分类按方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做O如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。
3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成•4.象限角、轴线角的概念我们常在直鱼坐度内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。
那么，角的（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是o如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.象限角的集合(1)第一象限角的集合： ____________________________________________(2)第二象限角的集合： ____________________________________________(3)第三象限角的集合： ____________________________________________(4)第四象限角的集合： ____________________________________________轴线角的集合(1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________(2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________(3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________(4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________(5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________(6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________(7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________三、课前练习在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120°【典型例题】例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？(2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?例2在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角(1) 650°(2) -150°(3) -240°⑷ -990°15‘例3已知a与240°角的终边相同，判断?是第几象限角。
例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)(3)【拓展延伸】(1) 1200° (2) -55° (3) 1563° (4) -1590°Of已知角a 是第二象限角，试判断一为第几象限角？ 2【巩固练习】1、 设。
=-60°,则与角a 终边相同的角的集合可以表示为.2、把下列各角化成二+如360°(0° Va v360°,A cZ)的形式，并指出它们是第几象限的角。
3、 终边在y 轴上的角的集合;终边在直线y = x 上的角的集合;终边在四个象限角平分线上的角的集合.4、 终边在30°角终边的反向延长线上的角的集合.5、 若角。
的终边与45°角的终边关于原点对称，则。
=；若角a, 的终边关于直线工+ ^ = 0对称，且a = —60°，则/? =.6、 集合A = {ala = A ・90°—36°M 《Z},8 = {”|一180° </?<180°},则AcB =.Of7、若兰是第一象限角，则。
的终边在2【课后训练】1、 分针走10分钟所转过的角度为;时针转过的角度为.2、 若90° </?<a<135°,则。
一”的范围是,。
+尸的范围是3、(1)与-35°30'终边相同的最小正角是(2) 与715°终边相同的最大负角是;(3)__________________________________ 与1000°终边相同且绝对值最小的角是;(4)与-1778。
终边相同且绝对值最小的角是.4、与—15°终边相同的在-1080° </?<-360°之间的角为.5、已知角的终边相同，则a-p的终边在.6、若”是第四象限角，则180°一月是第象限角；180°+0是第—象限角。
7、若集合A = ｛口成• 180° + 30° v a v 3 ・ 180° + 90°』E Z｝,集合B = ｛仞如360°—45° v"vk.360°+45°M cZ｝,则AHB =.8、已知集合心=｛锐角｝, N = ｛小于90。
的角｝,尸=｛第一象限的角｝,下列说法：(I) PjN , (2) N CP= M , (3) M gP , (4) (M P N) j P其中正确的是.9、角。
小于180°而大于-180°,它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角10、已知。
与60°角的终边相同，分别判断巳，2。
是第几象限角。
【课堂小结】【布置作业】1.1.2弧度制【学习目标】3.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟祀特殊角的孤度数4.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】孤度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一•下初中所学的1°的角是如何定义的？二、建构数学1.孤度制角还M以用为单位进行度量，叫做］孤度的角，用符号表示，读作o2.孤度数：正角的弧度数为 ___________ ，负角的弧度数为 ___________ ,零角的孤度数为 ______ 如果半径为尸的圆心角所对的孤的长为/,那么，角a的孤度数的绝对值是。
这里，［的正负由决定03.角度制与弧度制相互换算360° = rad 180° =___ rad1° =—rad 1 rad =°°4.角的概念推广后，在弧度制下，与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数（即）与它对应；反过来，每一个实数也都有（即）与它对应。
5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角。
的孤度数的绝对值lai （/为弧长，尸为半径）弧长公式：_______________________________扇形面积公式：_______________________________【典型例题】例1.把下列各角从弧度化为度。
(1) —(2) —(3) (4) 2 (5) 3.55 12 6例2.把下列各角从度化为弧度。
(1) -750°(2) -1440°(3) 67°30‘(4) 252°(5) 11°15‘例3. (1)已知扇形的周长为8cw ,圆心角为Irad ,求该扇形的面积。
(2)已知扇形周长为4cm,求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的孤度数。
例4.已知一扇形周长为C(C>0),当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大而积。
【巩固练习】、若伯。
则角。
的终边在第—象限；若则们。
的终边在第—象限。
3、将下列各角化成6Z + 2^,(0<6Z<2^), k.Z的形式，并指出第几象限角。
/、19),、CM()/ 、22〃,、23勿(1) a = ------ (2) a - -315 (3) a = ------ (4) a --------- ----3 3 24、圆的半径为10,则2的圆心角所对的孤长为；扇形的而积为5、用弧度制表示卜,列角终边的集合。
（1）轴线角（2）角平分线上的角（3）直线y = 4^x上的角6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三伯形的边长，那么该圆弧的圆心伯等于【课堂小结】【布置作业】。