线性代数讲义 (9)行列式4
线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
线性代数 行列式
第一章 行列式1. 排列与逆序数(1)排列把n 个不同的元素排成一列， 就叫作这n 个元素的全排列，简称排列。
比如231645就是这6个元素的一个排列.注：不同的n 级排列共有n!个。
(2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中，若一对数t s j j ,，大前小后，即t s j j >，则t s j j ,构成了一个逆序。
一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1n j j τ。
如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。
②排列n j j 1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。
③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。
注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。
2. n 阶行列式的定义行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则ni i i i i nj j j j j nnn n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1)(1)(212221212111121121)1()1()(ττ∑∑-=-==∆=⨯计算步骤;(1)取数相乘，来自不同行不同列(2)冠以符号，)(21)1(n j j j τ-(3)全部相加，n n nj j j j j n a a 1211)(!)1(τ∑-、注：(1)当n=1时，定义11111a a D ==(2)n D 是一个数值，是n!项的代数和(3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nn a a a ,,,2211 称为主对角元。
另一条对角线称为行列式的副对角线。
3. 行列式的性质(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置）nnn n n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212222111211212221212111=(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。
线性代数：矩阵行列式
线性代数：矩阵⾏列式1、矩阵的⾏列式定义矩阵的⾏列式，determinate，是基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的⾏列式假设矩阵A为n维的⽅阵，定义Aij为从A中删除第i⾏、第j列之后剩下的n-1维⽅阵。
可以沿着A的第⼀⾏来求取⾏列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是⼀个递归的定义，包含n项，每⼀项的正负号等于（-1)的(i+j)次⽅。
实际上可以对A的任意⼀⾏、任意⼀列按上⾯的⽅法来求取⾏列式，可以挑选包含0⽐较多得⾏(列)。
3、矩阵标量乘法的⾏列式当矩阵的某⼀⾏（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次⽅ * det(A)。
4、矩阵⾏列式的⼀些规律1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)2)如果矩阵A有两⾏（列）相等则，det(A) = 03)如果矩阵A将两⾏交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)4)如果矩阵A进⾏⾏变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过⾏变换达到3)的效果，这个过程中会发⽣-1数乘某⾏。
5、上三⾓矩阵的⾏列式所谓上三⾓矩阵，就是对⾓线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；上三⾓矩阵的⾏列式等于 a11*a22*...*ann；基于这个特性，可以通过⾏变换，把矩阵转换为上三⾓矩阵，再求⾏列式。
6、⾏列式与平⾏四边形⾯积两个⼆维向量v1，v2，可以作为平⾏四边形的临边来定义⼀个平⾏四边形。
两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平⾏四边形的⾯积 = det(A)的绝对值。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
考研线性代数精讲讲义
性质4ห้องสมุดไป่ตู้
某行 列 是两个元素之和, 则可拆成两个行列式之和.
a11 b1 a12 b2 a13 b3 a11 a12 a13 b1 b2 b3
a21
a22
a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 .
a31
a32
a33
a31 a32 a33 a31 a32 a33
性质5 某行列元素的k倍加到外一行(列)对应元素上,行列式的值不变.
线性代数的考试基本情况
▪一、满分34分；2个选择+1个填空+2个解答； ▪二、数一数二数三考试内容基本统一
（数一：向量空间） ▪三、一个核心——秩，一个方法——初等变换.
第1章 行列式
▪主要内容
▪1.行列式的定义及性质； ▪2.行列式的展开公式
一、行列式的定义
▪1.排列和逆序
排列 由n个数1, 2, , n组成的一个有序数组称为一个n级排列, n级排列共有n!个.
.
x x n1
n1
1
2
x n 1 n
▪
第2章 矩阵及其运算
主要内容:
▪ 1.矩阵的基本运算
▪ 2.幂、转置、伴随、逆
▪ 3.初等变换与初等矩阵
▪ 4.秩
▪▪一、矩阵的定义及其基本运算
▪1.矩阵的定义
由m n个数,排成的m行n列的表格
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2
n
称为一个m
n的矩阵,
记为A.
ann
若m n,则称为n阶方阵；
若A与B都是m n的矩阵,则称A与B是同型矩阵；
若A与B是同型矩阵且对应元素aij bij ,则A B.
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
线性代数四阶行列式计算方法
线性代数四阶行列式计算方法1 线性代数四阶行列式计算线性代数四阶行列式是解决线性代数复杂问题的一种重要技术，它可以用于表达复杂关系中各种变量之间的联系，是线性代数学习中基础知识之一。
行列式，顾名思义，就是一种用行和列表示的表格，其中各个元素间有特殊的计算公式，可以帮助解决线性代数复杂的问题。
四阶行列式计算就是结合四个相关变量，通过给出正确的计算公式，求出此四个变量之间的关系的技术。
2 计算步骤给出形如 \(A_{ij}\) (i,j=1,2,3,4) 的四阶行列式，需要先确定计算公式，计算步骤如下：（1）先确定行列式\(A_{ij}\) 第i行第j列所对应的因子，符号为\(a_{ij}\)；（2）根据四阶线性代数四阶行列式的展开式计算公式\(|A_{ij}| = \sum_{i=1}^{4}a_{ij}A_{i1,i2,i3,i4}\)，其中每行代表一个行列式子式 \(A_{i1,i2,i3,i4}\)；（3）计算每一个子式，再将符号\(a_{ij}\)乘以它所对应的子式，最后之后相加求得线性代数四阶行列式计算结果；（4）完成计算。
3 求解实例以求解线性代数四阶行列式\(A_{ij}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a _{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{4 2}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}\)为例，用上文提到的\(|A_{ij}| = \sum_{i=1}^{4}a_{ij}A_{i1,i2,i3,i4}\)的计算公式，结合该行列式的具体值，例如\(a_{11}=3, a_{12}=7, a_{13}=1,a_{14}=4,a_{21}=4, a_{22}=6, a_{23}=2, a_{24}=1, a_{31}=2,a_{32}=5, a_{33}=7, a_{34}=-3, a_{41}=5, a_{42}=1, a_{43}=3, a_{44}=2\)，可以得到下式，\(|A_{ij}| = 3\begin{vmatrix}6&2&1\\5&7&-3\\1&3&2\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}4&1&4\\2&7&-3\\5&3&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}4&6&4\\2&5&-3\\5&1&2\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}4&6&2\\2&5&7\\5&1&3\end {vmatrix}\)由此可知，线性代数四阶行列式\(A_{ij}\)的值为\(|A_{ij}| = 108\)。
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b2n
21/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
如此下去, 把第 n + 1 行的 ai1 倍, 第 n + 2 行的 ai2 倍, , …, 第 2n 行的ain倍全部加到第 i 行上去( i = 2, ..., n), 得
00 00
0 c11 c12 0 c21 c22
c1n cij = ai1b1j + ai2b2j
1 =–2 2
0 –1 –2 3
+
1 2
–1 –1 33
–2 2 –1 0
–2 –1 0 –2 2 0
= – 29 + (–10) = –28.
a11
a1k 0
0
例 2 设 D = ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1r
D1 = det(aij ) = cra111 , ba1k11
D2 = det(bij ) = , br1
13/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
crak1k br1
brr
ba1krk 证明 D = D1D2 .
a1n
第i行
ai1 ai2
ain
= ai1Ak1 + ai2Ak2 +
+ ainAkn,
ak–1,1 ak–1,2 ak–1,n
ai1 ai2 ak+1,1 ak+1,2
ain ak+1,n
10/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
= 0.
第k行
合并上面两个定理的结论，得
ai1Ak1 + ai2Ak2 + a1j A1l + a2j A2l +
记 2n 阶行列式
19/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a11 a12 a21 a22
D = an1 an2 –1 0 0 –1
a1n 0 0 a2n 0 0
ann 0 0 0 b11 b12 0 b21 b22
0 0
AO
=
0 –E B
b1n b2n
由上例知
= | A0| | B0| . –1 bn1 bn2 bnn
1 –1 –1
D = –2 2 2 3 – 2 3 3
–2 –2 0
–2 2 0
按第3列展开
22
15
= –2
–
–2
–2
–3 –2
–2
–
2 – –2
3 2
1 –3
–2
–1 2
= –2( 0 – 38 ) – ( –10 + 0 ) = 58.
12/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
p.41 例2
c2n
+ + ainbnj
D= 0 0
–1 0 0 –1
0 cn1 cn2 0 b11 b12 0 b21 b22
OC
cnn =
b1n
–E
B
b2n
再交换第 10 列0和第 n–1+ 1b列n1 ,b第n2 2 列b和nn 第 n + 2 列, 第 n 列和第 2n 列, 并应用例 2 得
22/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a1n
a32 – a21
a3n +
+ (–1)n+1an1 a22
a2n
= a11M11a–n2a21Ma21nn+ = a11A11 + a21A21 +
+ (–1)n+1an1Mna1 n–1,2 + an1An1,
6/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
an–1,n
再由性质3.3.5, 有
q11 设为 D2 =
qr1
0 = q11 qrr .
qrr
17/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
对 D 的前 k 行作行运算，再对后 r 列作列运算，把 D 化为下三角形行列式
p11
D=
pk1 c11
0 pkk
c1k q11
cr1
crk qr1
qrr
故 D = p11 pkk q11 qrr = D1D2 .
25/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
0 2 –1 0
23 2 3
2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 =
23
2
= 0; 3
–2 2 –2 0
M13 – 2M33 + M43 = 1A13 + 0A23 – 2A33 – 1A43
02 10
=
1 –1 0 –1 2 3 –2 3
注意: Mij 和 Aij 只与 aij 在所在的位置(行 i 和列 j ) 有关, 而与 aij 的具体数值无关.
123 例如: 对行列式 D = 4 5 6 ,
789 13 M22 = 7 9 = 9 – 21 = –12,
A22 = (–1)2+2M22 = M22 = –12.
4/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a11 a12
a1j
a1n
定义 3.4.1 n 阶行列式 D =
ai1 ai2
ai j
ain
的 ( i, j ) 元素 第 i 行和第 j
a列ij 的, 其余它子元式素M不ij 是动an指1所在a得n2D的中下a划列nj去n所– 1在an阶n的
行列式 a11
a1,j–1 a1,j+1
a1n
ai–1,1 ai+1,1
c11 c12
c1n 0 0
0
c21 c22
c2n 0 0
0
D = (–1)n cn1 cn2
cnn 0 0
0
b11 b12
b1n –1 0
0
b21 b22
b2n 0 –1
0
= (–1)n
Cbn1 bOn2 B –E
bnn 0 0
–1
= (–1)n |C | | –E |
= |C | .
于是， | AB | = |C | = | A | | B | .
a2n
= aia1An1i1 +ana2i2Ai2 a+nn + ainAin = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj . 证明 仅证明关于行的等式, 利用性质3.3.5, 即可得 关于列的等式. 当 i = 1 时, 前面已验证. 对 i > 1, 证明方法是化成 i = 1 的情形.
–1 0
0 b11 b12
b1n
0 –1
0 b21 b22
b2n
00 a021 a022
0 a–21n
bc01n11 cb01n22
cb01nnn
c1j = a11b1j + a12b2j + + a1nbnj
= an1 an2
ann 0 0
0
–1 0
0 b11 b12
b1n
0 –1
0 b21 b22
23/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
若 A 可逆, 则有 AA–1 = E,
由例3知,
|
A–1
|
=
––1–
|A|
.
24/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
p.44 例4, D 就是例1中的D
0 2 –1 0 例4 已知行列式 D = 1 –1 5 –1
23 2 3 –2 2 –2 0 求 2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 ; M13 – 2M33 + M43 . 解 由定理3.4.1及定理3.4.2可知， 2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 等于用 2, 3, 2, 3 代替 D 的第 2 行所得的行列式，即
+ ainAkn = + anj Anl =
D, i = k, 0, i k, D, j = l, 0, j l.
11/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
p.40 例1
0 2 –1 0
例 1 计算行列式 D = 1 –1 5 –1 23 2 3
按第1行展开
–2 2 –2 0
解
1 5 –1
(–1)i–1(ai1aMn1i1
–aani22Mi2
+
+ ann
(–1)n+1ainMin)
= (–1)i+1ai1Mi1 + (–1)i+2ai2Mi2 + + (–1)i+nainMin)
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin.
9/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
ak1
ak,k–1
a11a1k b11源自b1rbr2brr
=
= D1D2 .
a a b b 16/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
证明(证法2)
对 D1 作行运算，把 D1 化为下三角形行列式
p11 设为 D1 =
pk1
0 = p11 pkk ;
pkk
对 D2 作列运算，把 D2 化为下三角形行列式
ai–1,j–1 ai–1,j+1 ai+1,j–1 ai+1,j+1
ai–1,n ai+1,n
3/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
称 (–1)i+jMij 称是 aij 的代数余子式, 记为Aij . 设 A = ( aij )nn 是方阵, 并用 Aij 表示 aij 在行列式