第三章 晶体的宏观对称
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
晶体宏观对称
6
第二步
Element
6
13
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– 变换矩阵
cosa sin a 0
sin a cosa 0
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
结晶学与矿物学
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
10
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
= the symbol for a twofold rotation
6
Element
6
12
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
晶体的宏观对称性
Ex'
E
' y
=
'
Ex'
E
' y
'
A
Ex Ey
' zx
' zy
' zz
Ez'
Ez'
Ez
' A =A
可得 '=A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
1 0 0 0 1 0
0
0
1
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
例2 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
s
2
in
2 0
代入 A A1, 得
sin
2
cos
2 0
0
0
1
0 1
0
1 0 0 0 0 1
11 22 , 12 21
即：
11 12
12 11
0 0
0 0 33
13 23 0,31 32 0
进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得
11 33, 12 0
以加法为运算法则。 注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，
其运算法则为连续操作。
一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群
高中化学竞赛【晶体的对称性】
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
第三章晶体的宏观对称剖析
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1
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• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
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4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
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A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
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6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
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plane
1
m
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晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
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对称面可能出现的位置
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对称面(a)与非对称面(b)
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对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
第三章 晶体的宏观对称性
第三章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第一节对称性基本概念z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。
z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。
z对称元素（要素）--对称动作所借助的几何元素（点、线、面）。
z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。
前者是有限大小宏观物体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。
两者本质上是统一的。
宏观对称性是微观对称性的外在表现。
晶体的对称必须满足晶体对称性定律。
晶体对称性对称自身：国际符号为1，习惯记号为L1。
当它处于任意坐标中的坐标原点时，它的坐标是1(000)，所导出的一般位置等效点系为：x,y,z→x,y,z (1(000))反映面（reflection plane ）：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。
这一平面即为反映面。
相应的对称操作为反映。
反映面的惯用符号：P ；国际符号：m ；圣佛里斯符号：Cs反映面的极射赤面投影对称中心（inversion center)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。
相应的对称操作为反演。
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C对称中心的极射赤面投影返回旋转轴（rotation axe）：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。
相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（α）。
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/ α= n n正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
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第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
下面研究这种组合规律。
一、反映对称面-反映对称面间的组合规律定理：两个反映对称面相交，其交线为旋转对称轴。
旋转对称轴的基转角为反映对称面交角的二倍（证）。
推论：基转角为α的旋转对称轴可分解为（注：不一定真实存在）两个反映对称面的连续操作，两个反映对称面的夹角为α/2。
二、反映对称面-旋转对称轴组合规律定理：当一个反映对称面包含一L n时，必然有n个P同时包含L n。
三、旋转对称轴与对称中心的组合定理：如果偶次对称轴上有对称中心，那么必有一对称面与对称轴垂直相交于对称中心。
推论1：在有对称中心时，若还有偶次对称轴，偶次对称轴的数目和对称面的数目相等。
推论2：对称面和偶次对称轴垂直，必有对称中心。
推论3：对称面和对称中心存在时，必有一垂直对称面的二次对称轴。
四、旋转轴之间的组合定理1：如果有一个L2垂直L n，则必然有n个L2垂直L n。
相邻L2的夹角是L n基转角的一半。
推论：两个二次轴相交，交角为α，则垂直于这两个二次轴必然有一基转角为2α的n次对称轴。
定理2：（欧拉定理）：两个对称轴的适当组合可产生第三个对称轴。
五、旋转反伸轴与二次对称轴和对称面组合定理：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它）第三节、32种对称型（或32种点群）在晶体宏观对称性中，对称要素的数目是有限的，根据对称要素的组合规律可推导出的对称要素组合的数目也是有限的，共计32种，我们称之为32种对称型。
由于在每种对称要素组合中，所有的对称要素相交于一点，换句话说，在每种对称要素操作过程中，至少有一点是不动的。
所以，按照数学中群论的观点，这些对称要素的集合构成了一个群（符合群的基本属性），每种对称要素就是群中的元素。
这些群元素在空间上相交于一点，所以我们也常将32种对称型称之为32种点群。
一、32种对称型推导从前述内容可知，宏观晶体中可能存在的对称要素有：旋转对称轴：L1、L2、L3、L4、L6；反映对称面：P（L-2=P）对称中心：C（L-1=C）旋转反伸轴：（L-1= C、L-2=P、L-3= L3C）、L-4、L-6= L3P；9种毒称要素可单独存在，就构成了9种对称型。
下面推导由这九种对称要素组合所产生的新的对称型。
为了便于推导，我们一般将这些对称要素的组合分成两类：将高次轴（n>2）不多于一个地组合称为A类，将高次轴多于一个的组合称为B 类。
先考虑A类：1.对称轴与对称轴的组合，只有两种组合关系：垂直和包含。
先考虑L2与L n垂直组合，根据定理“如果有一个L2垂直L n，则必然有n个L2垂直L n，相邻L2的夹角是L n基转角的一半。
”即L2+ L n= L n n L2。
组合所产生的新的对称型有：（L1L2=L2）、3L2、L3 3L2、L4 4L2、L6 6L22.对称轴与垂直它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（L1P=P）、L2 PC、（L3P=L-6）、L4 PC、L6 PC3.对称轴与包含它的对称面的组合，可产生的新对称型有：（L1P=P）、L2 2P、L3 3P、L4 4P、L6 6P4.对称轴同时与垂直它的对称面和包含它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（L1L2P=L22P）、3L23PC、（L33L24P=L-63L23P）、L44L25PC、L66L27PC5.旋转反伸轴与垂直它的L2（或包含它的P）的组合，可形成的新的对称型有（定理有：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它））：L-33L23P=L33L23PC、L-42L22P 、L-63L23P6.旋转对称轴与对称中心的组合，可产生的新对称型有L3C综上所述，对于A类，我们一共推导了27种对称型。
下面推导B类（包含多个高次对称轴的对称要素组合）1.根据欧拉公式，首先推导高次轴的组合，有3L44L36L2、3L44L32.3L44L36L2和对称面组合，可形成3L44L36L2 9PC3.3L44L3和对称面的组合，可形成3L-44L36P、3L24L36PC对于B类，我们一共推导出了5种对称型。
以上我们运用对称要素组合规律和对称定律，一一推导出晶体中所有可能的对称型（点群），见教材36页表2-1二、根据对称要素的特点对七大晶系的划分等轴晶系（或立方晶系）.：包含4个L3四方晶系：包含一个L4或L-4六方晶系：包含一个L6或L-6三方晶系：包含一个L3斜方晶系：.L2和P的数目大于1单斜晶系：.L2和P的数目等于1三斜晶系：无对称面和真正意义上的旋转对称轴人们习惯上将上述七大晶系又划分为三大晶族：高级、中级、低级。
三、对称型符号（点群符号）对称型的表示有两种方法：1. 其一为全称表示法：就是将各对称型中的对称要素按轴、面、心的顺序全部写出，多余一个的将其数目置于对称要素符号之前。
如L66L27PC等2. 其二为符号表示法：根据是一个对称型种的全部对称要素并不都是独立存在的，根据其独立存在的对称要素必然可以导出其它对称要素，所以在书写时没必要全部写出。
符号表示法有两种：一种是所谓的圣弗里斯符号（Shoentlies），一种是国际符号。
在圣弗里斯符号中，主符号分别有C、D、O、T、S、,其意义分别代表旋转点群（Cyclic Group）、二面体点群（Dihedral Group）、八面体点群（Octahedral Group）、四面体点群（Tetrahedral Group）、旋转反映轴（Spiegnl）；其下标符号有数字、n、i、v、h、d、s等，分别代表旋转轴轴次、对称中心(inner)、对称面和主轴平行（vertical）、对称面和主轴垂直（hrizontal）、对称面包含主轴又何两个二次轴夹等角（diagonal）等。
圣弗里斯符号虽然非常简洁，但比较晦涩难懂，在其后国际有关组织颁布了国际符号，国际符号的表示方法如下：单一对称轴以数字表示，数字代表对称轴的轴次，如1、2、3、4、6分别代表L1、L2、L3、L4、L6。
国际符号表示法采用轴次采用数字，旋转反伸轴在轴次数字上加一负号；若为对称轴组合，则采用数字并列的方式。
如L66L2对称型的国际符号表示为622（62）。
反映对称面用m表示，若旋转对称轴与对称面垂直，则写为n(数字)/m（符号），如L4PC对称型的国际符号表示为4/m。
.对称中心用T表示。
表示原则：1.在国际符号表示法中，一般选用晶体中三个不同方向上的主要对称要素符号顺序写出即可，如3L2对称型的国际符号为222。
2.省略原则：如果能从所表示的对称要素推导出其它对称要素，就没必要写出其它对称要素，L22P的国际符号为mm（mm2）。
3.面优先原则：在既可以写面又可以写轴的情况下尽量写面，因为面组合可以产生旋转轴，而轴组合不能产生对称面,如对称型L44L25PC的国际符号我们写成4/mmm(4/m2/m2/m)。
4.国际符号中最多只表示晶体三个不同方向上的对称要素，而不同晶系这种选择规律不同。
如立方晶系为：a,a+b+c,a+b，如m3m(3L44L36L29PC)四方晶系为：c,a,a+b，如4/mmm（L44L25PC）斜方晶系为：a, b, c，如mmm（3L23PC）单斜晶系为：b，如2（L2）三斜晶系为：a，如1（L1）；T（C）三方和六方晶系为：c, a, 2a+b或c，a，如32（L33L2）；62（L66L2）以上所述的三种对称型表示法：全称表示法最容易理解和接受，但相对繁琐；圣弗里斯表示法和相对简洁，但难于理解，国际符号法介于其间。
对于对称型的真正理解，只有掌握了符号表示法才算真正掌握了对称要素组合规律的真谛，建议大家先掌握全称表示法，慢慢过渡到符号表示法。
第四节晶体定向与晶面指数一、晶体定向为了精确并简洁地表示晶体几何形态上的几何要素（角顶、晶面和晶棱等），我们需要用数学语言。
要完成几何形态到数学语言的转变，首先必须围绕晶体的几何形态建立坐标系。
要使这种表达精确无误地进行交流，必须对建立坐标系的原则作出规定。
所谓的晶体定向就是建立晶体坐标系。
实际上，我们在介绍空间格子和点阵参数时已介绍了七大晶系的坐标系特点，在这只是介绍如何将宏观晶体放置到这个坐标系中去。
放置坐标系的原则是坐标轴要和行列点阵对应，根据晶体对称要素和空间点阵的关系点，我们知道对称轴就代表点阵行列，对称面和点阵行列垂直。