数轴表示无理数
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？ L 解： B 分析 2 3 13
2 2
建立直角三角形 而两个直角边分别是 2， 3 那斜边一定是 13
2
A
0
1
2
C 3 4
13
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2,
3,
3 4
4，5
2
提示：利用上一个直角三角形的斜边 作为下一个直角三角形的直角边
解：过A作铅垂线，
过B作水平线,两线交于 点C，则∠ACB=90° AC=90-40=50(mm) BC=160-40=120(mm) 由勾股定理，得
A
90
50
B C
120
AB AC BC
2 2
2
40
502 1202 16900(mm2 )
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm) 答：两孔中心A、B之间的距离为 130mm。
17.1 勾股定理（2）
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么
a 勾
股 b
弦 c
a b c
2
2
2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3. 如果图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形， 最大的那个正方形的边长为7厘米，那S1，S2，S3，S4 之和 为多少？
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５, 根据勾股定理， B
5米
AB AC BC
2 2 2 2 2
2
C
12米
A
即AB 12 5 169 AB 13
∴电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5米+１３米＝１８米
答：电线杆折断之前 的高度是18米。
例2：一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位mm),求 两孔中心A、B之间的距离. 40
S3
S4
S2
结论:
S1
S5
S6
S1+S2+S3+S4
=S5+S6 =S7
S7
好奇是人的本性! 探索勾股定理 想一想（误差在10内为正常） 我们有: a=46
b=58 由勾股定理得： c2=a2+b2 =462+582 =5480 而742=5476
58
46
c
在误差范围内
例1.如图，一根电线杆在离地面5米处断裂， 电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电 线杆折断之前有多高？
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 1
5
，…
1 1
2
3
4
5
1 0 1 2 32 5 3 4 5
160
构造直角三角形可 以解决实际问题。
有一架5米长的梯子靠在学校围墙上,刚好与墙 头对齐,此时梯脚B与墙脚C的距离是3米。 (1) 墙的高度是多少米? (2)若梯子的顶端下滑50厘米, 底端将向外水平移动多少米?
A A′ 5m
3m C B B′
探究
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？
数轴知识点总结归纳
数轴知识点总结归纳数轴是数学中的一个重要概念，它用于表示和比较实数，是解决各种数学问题的重要工具。
在数轴上，实数通过点的位置来表示，这使得实数之间的大小关系和运算关系更加直观和清晰。
下面将对数轴的基本概念、性质、运算、应用等进行总结和归纳。
一、数轴的定义和基本概念1. 数轴的定义：数轴是用来表示实数的直线，直线上的一个点对应着一个实数。
2. 数轴的基本概念：数轴可以看作是一个无限长的直线，在直线上取一个固定点O，作为原点，再取一个固定的单位长度，作为1的长度，然后在数轴上规定正向和负向，将数轴分成了正半轴和负半轴。
二、数轴的性质1. 数轴上的点与实数的对应关系：数轴上的每一个点都与一个实数对应，反之亦然。
2. 数轴上的距离：两个数轴上的点的距离就是它们对应的实数之差的绝对值。
3. 数轴上的有理数和无理数分布：数轴上，有理数和无理数是密集分布的，即在任意两个有理数之间都存在无理数，在任意两个无理数之间都存在有理数。
4. 数轴上点的坐标：数轴上每个点都可以用实数表示它在数轴上的位置，这个实数称为这个点的坐标。
三、数轴上的运算1. 数轴上的加法：数轴上的两个数相加，相当于它们对应的点在数轴上的位置相加。
2. 数轴上的减法：数轴上的两个数相减，相当于它们对应的点在数轴上的位置相减。
3. 数轴上的乘法：数轴上的两个数相乘，相当于它们对应的点在数轴上的位置叠加。
4. 数轴上的除法：数轴上的两个数相除，相当于它们对应的点在数轴上的位置相除。
四、数轴的应用1. 数轴在实数的比较和大小关系中的应用：通过数轴可以直观地看出实数的大小关系，从而解决一些实际生活中的大小比较问题。
2. 数轴在代数表达式的图像中的应用：通过数轴可以画出代数表达式的图像，从而帮助理解和解决代数表达式的问题。
3. 数轴在解决一元一次不等式中的应用：通过数轴可以直观地表示一元一次不等式的解集，从而解决不等式问题。
综上所述，数轴是解决数学问题的重要工具，它可以直观地表示实数的大小关系和运算关系，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
如何在数轴上快速找到无理数
解
解：
作法 ： 做Ａ Ｏ垂直 于数轴且 Ａ Ｏ＝ ５ ， 以 Ａ为圆心 ， ６为 半 径 画 归纳： 在数轴上要表示一个无理数 ｘ ／ ａ（ ａ ≥Ｏ ， ） 它 的整 数 部 分 为 ｍ 。 可 将 它 作 为 直 角 三 角 形 的 斜边 ， 那 么 两 直
弧， 与数轴 交于点 Ｂ， 则点 Ｂ是表示 的数为 、 ／ 厂 Ｉ Ｔ一
Ｆｅ ｂ． ２０１ ４
第 ２期 ２ ０１ ４ 年 ２ 月
・
教 学研 究 ・
如何在数轴上快速找到无理数
陈 志伟
（ 新 疆 第 五 师八 十 八 团学 校 ， 新疆 博 尔塔 拉 蒙 古 自治 州 ８ ３ ３ ４ ０ ０ ）
《 八 年 级我 们 将 数 的范 围 扩 大大 到 了 实数 》 数 轴 上 的点 与实 数
比如 说 例 二 ， 将
一 作 为 直 角 三 角 形 的一 条 直 角 边 ， 那 一直角边为 ３ 。
三、 动 静 结 合 生成 半 小 时课 堂 的生 命 之 美 构建“ 动静 结 合 ” 的半小时课堂 ． 教 师 应 遵 循 以下 基 本 原 则 ： “ 四为” 原则 ： 以学生的发展 为本 ， 以启 迪 引 导 学 生感 悟 为 动
思 想 不 能 变 ；尊 重 学 生 的 年 龄 特 点 和认 知 的 客 观 现实 不 能 变 ： 学
・
１ ７ ・
一
、
将 要 找 的无 理 数 作 为 斜 边 ． 这 也是 我 们 常用 的方 法 。
例一 ： 在数轴上作 出表示 、 ／ ５的点
分析可将、 ／ 放在直角三角形 中作 为直角 的斜边， 两 直角边
为 １与 ２ 。
6.3无理数可以在数轴上表示出来吗——实数20121023
6．3无理数可以在数轴上表示出来吗？——实数背景材料：自从学习了实数的知识，小贝有一种体会——实数的内容简直是太丰富了！别的不说，光是“实数与数轴上的点是一一对应的”这一句话，就让小贝琢磨了好几天，她几乎花了这几天中所有的业余时间来消化理解这个结论．今天晚上写完作业后，小贝找出纸笔、计算器和绘图工具，她准备亲自动手，将一些无理数表示在数轴上．首先，小贝搜罗来六个无理数：π；2π-；2；3；5；512-，接着画出一条数轴，然后就开始研究怎样在数轴上表示出这些数．根据小贝的设想，先在原点上方画一个直径是1个单位长度的圆，使圆与数轴接触的点恰好是原点0，因为圆的直径是1，所以圆的周长是π，将圆从原点沿数轴向右滚动一周，那么现在圆与数轴接触的点到原点的距离就是π，这样就可以在数轴上表示出π来了．可是设想毕竟是设想，真到了实践的时候却出了问题：在原点处画的圆是“死的”，动不了！这可咋办？小贝充分发扬了不怕麻烦勤动手的优良习惯，索性用卡纸做出一个直径是1个单位长度的圆形纸片，这下好了，将圆形纸片在数轴上滚动一周，记下了此时圆与数轴的接触点，满意地在那里标记上“π”．下一个数是2π-，有了圆形纸片，标记这个数就好办多了，因为2π-是负数，且它的绝对值是π的一半，所以这次纸片滚动的方向是向左的，滚动半周就可以了． 接下来是2．记得学习平方根的时候老师讲过，作一个边长为1的正方形，那么正方形的对角线长度就是2．心动不如行动，小贝很快就把2作出来了．这时小贝发现，以上面的π和2为基础，可以表示出很多与它们有关的无理数：如－π，－2，21+，π－2等等，但是，3；5；512-这样的无理数该怎样表示呢？小贝苦思冥想，还是没有找到方法，只好暂时求助于计算器了．通过计算器计算得到3≈1.732；5≈2.236；512-≈0.618，最后在数轴上把这三个数一一表示出来．π－π24321－2－12－1－2125－12532－1－2120π－π243知识解读：一、实数的概念及分类通过前面两节的学习，我们知道很多数经过开平方或开立方后所得的结果都是无限不循环小数，因而它们不属于有理数．我们把无限不循环小数称为无理数．例如：2、(32)2+-、π等．有理数和无理数合在一起统称为实数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如3π、5、37是正无理数，－3、3-π是负无理数．所以实数也可以细分为：实数的性质：（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）．（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．在数轴上，右边的实数大于左边的实数．（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数不能开偶次方．（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 二、实数的运算在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．例如：2的相反数是－2；－π的相反数是π；12-＝21-；π-＝π；0＝0；33的倒数是33．当数从有理数扩充到实数以后，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和性质等同样适用．例如：(32)2+-＝3223+-=；3323+＝53；2（223-）－23＝2263-．三、实数的比较大小在比较实数大小的时候，要注意方法的运用．1．代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．2．数轴法：数轴右边的数比左边的数大．用数轴法比较实数的大小，先将实数表示在数轴上，再根据数的位置直接判断大小．3．特殊值法：例如，当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．1x ＜x ＜x 2B ．1x ＜x 2＜xC ．x 2＜x ＜1xD ．x ＜x 2＜1x因为0＜x ＜1，故可取x ＝0.5，则x 2＝0.25，1x ＝2，由0.25＜0.5＜2，可得x 2＜x ＜1x，故选C ．4．分类讨论法：若a 是整数，那么a 2__________a ．（请选符号＞，≥，＜，≤填空)因为对于a ，题目并未明确给出是正整数还是负整数，取值具有不确定性，因此需要分类讨论：当a是负整数时，得a 2＞a ；当a 是0或1时，得a 2＝a a a =2；当a 是大于1的整数时，得a 2＞a ，综上可知，当a 是整数时，a 2≥a ．5．作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．例如，已知2005200620072008a ⨯=-⨯，2005200720062008b ⨯=-⨯，2005200820062007c ⨯=-⨯，则a ，b ，c 的大小关系是_______________． ∵a b -20052006200520072005200720052006()20072008200620082006200820072008⨯⨯⨯⨯=---=-⨯⨯⨯⨯200520072006()0200820062007=->，所以a b >，同理可得,b c >所以a b c >>．6．作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a b b <⇔<．例如，比较78和910的大小，78÷910＝7072＜1，∴78＜910．7．倒数法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．例如，比较34，56，78的大小，41133=，61155=，81177=，易得：468357>>，所以：357468<<．8．乘方法：例如，比较35和53的大小，先将两个数平方，得到45和75，∵45＜75，∴35＜53．9．同一法：将分数化为同分子或同分母的分数，再比较大小．例如，比较5个分数23，58，1523，1017，1219的大小，先找出分子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于：6090，6096，6092，60102，6095，∴60102＜6096＜6095＜6092＜6090，即1017＜58＜1219＜1523＜23．此外，比较数的大小时，还常常采用传递的原理（若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ）帮助解题． 四、实数与数轴的关系我们知道，所有的有理数都可以表示在数轴上．结合小贝的一系列实践操作，不难发现以下结论：数轴上任意一点表示的数，不是有理数就是无理数．数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，所以“实数与数轴上的点是一一对应的”．相关链接：（一）“无理数”的由来在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏．唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼．——【德】汉克尔公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处．毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．从有理数到实数，是数的发展史上一次巨大的飞跃，这一次飞跃经历了曲折而漫长的过程，这是科学家们努力探索的结果．在学习中，要学习这种勇于探索，积极创新的精神，为造福于社会而努力学习．用电子计算机计算π与2的值（二）超越数e在我们中学阶段，接触到的无理数最多的是含有根号的无理数，就连神秘的黄金分割数，也可以用512的形式表示出来．再有就是我们很熟悉（小学阶段就已经学过）的无理数“π”了．与众多的含根号的无理数相比，π显得有点孤独．其实，除了这些无理数外，还有一些可能不为你所知的无理数呢．下面为读者介绍的是在数学中的另一个常数e ．e 是自然对数的底数，有些著作上称它为欧拉数，因为数学家欧拉（1707－1783）研究过它．用e 表示这个数，是欧拉在1728年一篇未发表的手稿《遗作》中引入的，1731年他在给哥德巴赫的信中用过e 表示自然对数的底后，e 便一直沿用至今．毕达哥拉斯（约公元前580－前500）古希腊哲学家、数学家、天文学家发展到1737年，欧拉已经证明了e 及e 2是无理数．到了1873年，巴黎大学的爱尔米德教授（1822－1901）就证明了e 是超越数．而e 就具有下列性质：11111xx e x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x 为正数）．当x 取1，000，000时，便可求得e ＝2.71828．e 也可以定义为极限值：e ＝lim 11xx x ⎛⎫+ ⎪→∞⎝⎭．若利用牛顿所发明的幂级数，则可得：11122!3!4!e =++++…，这将能得到更精确的近似值：e ＝2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312．．．．因为圆周率的定义直观，易于理解，所以π几乎是家喻户晓的一个数，知道π的人多数能背诵到3.14．e 则不同，在高等数学中大放异彩的常数e ，在现实中往往却不被人所知．它们时而出现在街角，时而见诸报端，只要你留意，生活中处处皆是数学．在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2，718，281，828，这当然是取e 的前十位数字．顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14，159，265，这是与圆周率π有关的一个数字了．阅读思考：问题1．（1983年，河北省初中数学竞赛试题）22π29 3.140.614140.10010001000017-，，，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3问题2．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|c －b |的结果是( )abcA ．a ＋cB ．－a －2b ＋cC ．a ＋2b －cD ．－a －c问题3．有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）是无理数输出y是有理数取算术平方根输入xA ．8B ．22C ．23D ．32问题4．若a 、b 为实数，且22111a a ab a -+-+=+，求3a b -+的相反数．问题5．下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数； ②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数； ④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．问题6．已知数14的小数部分是b ，求4321237620b b b b +++-． 问题7．（1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[π]3=，则123100______⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．参考答案：问题1．解：π20.1001000100001-，，是无理数．选D ．【规律】（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环．（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327都是有理数）．问题2．解：从图中可知c ＜0，a ＜0，b ＞0，c ＜b ，|a |＜|b |，a ＋b ＞0，c －b ＜0， 所以|a ＋b |＝a ＋b ，|c －b |＝b －c ，所以|a ＋b |－|c －b |＝（a ＋b ）－（b －c ）＝a ＋b －b ＋c ＝a ＋c ． 因此选A ．【启示】这是一道数形结合的题目，解题的关键在于认真观察图形，只有认真细致地观察才能准确地找出数轴上所给定的点表示的实数的取值范围，以及各实数之间的大小关系，从而准确地去掉绝对值符号．问题3．解：输入64，64的算数平方根是8，8是有理数，所以取8的算数平方根，得22，22是无理数，输出，得y ＝22，因此选B ．问题4．解：依题意，a 2＝1，即a ＝±1（舍去负值），故a ＝1，代入得b ＝12，代入3a b -+得3．问题5．解：设a b ，是有理数，αβ，是无理数．①若a b α+=，则b a α=-，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故a α+是无理数．①正确．②当0a =时，0a α=是有理数，②不正确．③当22αβ==-，时，0αβ+=是有理数，故③不正确． ④当2αβ==时，2αβ=是有理数，故④不正确．问题6．解：∵91416<<，即3144<<，∴14的整数部分是3．设143b =+，两边同时平方得21496b b =++， ∴265b b +=．∴4321237620b b b b +++-()()43222636620b b b b b =+⋅+++-()()2226620b b b b =+++-25520=+- 10=．问题7．解：∵1231⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 456782⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， [][]91011153⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦， []1617244⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦， ……8182999⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 10010⎡⎤=⎣⎦． ∴原式1325374951161371581791910625=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=．。
数轴上有表示无理数的点吗微教案
在数轴上找表示无理数的点教学目标学生能在数轴上找到表示π这样的无理数的点。
教学过程1、引入问题我们知道，实数可以分成有理数和无理数。
如：在实数5395,,,,,25119π--中，5395,,,,325119--π是无理数。
我们还知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？2、探索解决问题的方法活动1：在数轴上找表示无理数π的点直径为1个单位长度的圆其周长为π。
画一条数轴，把一个用软铁丝做成的直径为1的圆放在原点，从原点处剪开把铁丝向右拉直，铁丝的另一端落在数轴上的位置就是π所对应的位置，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
想一想：怎样在数轴上找到表示无理数,,,3210ππππ-的点？ 设计意图：通过直径为1个单位长度的圆的周长剪开后从坐标原点拉出的方法，让学生知道无理数π可以在数轴上表示，同时与π有关的许多数都可以在数轴上表示。
活动2：前面学习过用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，如图：大正方形的边长为2在数轴上，以原点为一个顶点，一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2。
以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示2-。
试一试：-设计意图：通过具体操作，让学生知道无理数2也可以在数轴上表示。
同时与2有关的许多数都可以在数轴上表示。
3、总结通过本课的学习，我们知道了如何在数轴上表示π，2及与他们相关的无理数。
事实上，类似于以上做法，我们可以把每一个无理数在数轴上表示出来。
另外，我们在探索过程中或者借助了圆的周长，或者借助了正方形的周长、对角线与面积的关系，请同学们注意这种化归思想，从而培养自己的创新能力。
七年级无理数的概念与运算
七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
它们是无限不循环小数的一种特殊形式。
在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。
一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。
无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。
无理数可以是正数也可以是负数。
二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。
例如，√2 × √3 = √6。
2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。
例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。
三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。
在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。
四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。
无理数和有理数的并集构成了实数的全体。
4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。
这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。
4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。
例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。
五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。
例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。
六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。
聚焦无理数与数轴上点的问题
聚焦无理数与数轴上点的问题山东于秀坤学习了实数，我们知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，对于一个有理数可以比较容易用数轴上的点表示，对于无理数又如何用数轴上的点表示呢？一些同学感到有些困难，下面就让我们一起来探究这方面的问题.一、用数轴上的点表示无理数利用数轴上点表示无理数，一般的方法是利用直角三角形的斜边积累来表示.主要涉及勾股定理的应用.例1用数轴上的点表示2和-2.解：如图1，以原点为一个顶点，以单位长度为边长画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形对角线OB为半径画弧，与正半轴的交E点就表示2，与负半轴的交点F就表示-2.图1理由：因为在Rt△OAB中，OB2=0A2+AB2=1+1=2，所以OB=2，又OE=OB，所以OE=2，所以点E表示2.同样点F表示-2.例2 用数轴上的点表示3和-3.解：如图2，以单位长1为边作等腰直角三角形OAB，根据勾股定理得OB=2，再以B为直角顶点作Rt△OBC，使BC=1，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2=3.所以OC=3.图2以O为圆心，OC长为半径，画弧交数轴的正半轴于点F，负半轴于点E，则点F表示的数为3，点E表示的数为-3.例3 用数轴上的点表示π.解：如图3，将直径为单位长度1的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点原点到点O′，从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示无理数π.实际上，圆的周长为OO′=1×π=π.如果圆向左滚动一周，则与负半轴的交点表示-π.图3其它的无理数都可探究方法用数轴上的点表示.你可以试一试：在数轴上表示：5，13.二、写出数轴上的点所表示的无理数例4 如图4，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，BC⊥OB，BC=1，且E、O、A、D在同一数轴上，OC=OE=OD.试说出点D、E各表示的是什么数？图4解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，由勾股定理得OB=5，在Rt△OBC中，OB=5，BC=1，由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=6，所以OC=6，所以OD=OE=OC=6，所以点D表示的数是6，点E表示的数是-6.。
人教版八年级数学下《勾股定理 第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件
能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示 正无理数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变 求斜边：c a2 b2 形 求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个
【精】《勾股定理》第3课时精品教案
《勾股定理》第3课时精品教案【教学目标】1.知识与技能（1）了解在数轴上无理数的表示。
（2）能用勾股定理解决问题。
2.过程与方法在讲解与练习中进一步加深理解。
3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】无理数的表示【教学难点】正确的在数轴上表示无理数。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】在之前的学习中，我们了解到了数轴这样一个概念。
现在，大家看一下这两个问题，来复习一下有关无理数与数轴的知识。
（1）数轴上表示的点-√5到原点的距离是；（2）点M在数轴上与原点相距√15个单位，则点M表示的实数为。
【过渡】结合数轴的相关知识，我们能够很容易的给出答案。
对于有理数而言，我们能够很轻松的在数轴上找出对应的点。
但是像刚刚的√5与√15,这样的无理数，却很难去表示。
今天，我们就来寻找一种方法，在数轴上找到这样的点的位置。
二、新课教学1．勾股定理【过渡】在八年级上册的学习中，我们得到了一种证明两个直角三角形全等的结论。
寻找大家看一下思考的内容，你能通过勾股定理去证明这个结论是否正确吗？【过渡】在解决数学问题时，我们常常利用数学语言会更直观。
因此，将上述结论转化为数学语言，即为：已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中，∠C=∠C ’=90°，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’。
求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’。
现在大家来证明一下吧。
（学生回答）课件展示证明过程。
【过渡】这个证明显示了勾股定理在三角形的运算或证明等过程中的应用。
大家在遇到这样的问题的时候，要能够灵活运用勾股定理。
表示无理数【过渡】现在，我们回到课堂最开始的问题，如何在数轴上找到√13的点呢？既然是在勾股定理的应用，那么我们就从这个角度来进行分析。
【过渡】根据勾股定理，知道√13是两个直角边分别为2、3的直角三角形的斜边。
数轴上的数与点的关系
数轴上的数与点的关系数轴是一种用于表示实数的图形工具，它是一个直线，上面标有数值，可以帮助我们直观地理解数与点之间的关系。
在数轴上，每个点对应一个实数，而每个实数也对应数轴上的一个点。
本文将探讨数轴上的数与点之间的关系。
一、数轴的基本概念数轴是由一个直线上连续无间隔的点组成的。
我们可以将数轴分为两个部分：正半轴和负半轴。
数轴的正方向是向右的，负方向是向左的。
在数轴上，零点位于原点，同时它也是正半轴和负半轴的分界点。
二、数轴上的整数整数是我们最常用的数，它们可以在数轴上找到特定的位置。
正整数位于数轴的右侧，负整数位于数轴的左侧。
例如，数轴上的点1表示正整数1，数轴上的点-1则表示负整数-1。
通过观察数轴上的整数点，我们可以直观地了解整数之间的大小关系。
三、数轴上的分数分数是数轴上另一种常见的数。
理解分数在数轴上的位置有助于我们比较分数的大小。
假设我们需要在数轴上表示1/2这个分数，可以将1/2从零点开始向右移动一半的距离。
同样道理，1/4可以向右移动1/4的距离。
通过这种方式，我们可以准确地表示各种分数在数轴上的位置。
四、数轴上的小数小数是数轴上的另一种表示形式。
小数可以通过将整数部分和小数部分组合而成。
例如，数轴上的点0.5表示小数0.5，点-0.5则表示小数-0.5。
当我们需要在数轴上表示一个小数时，可以根据小数点的位置来确定其在数轴上的具体位置。
五、数轴上的无理数无理数是不能被表示为两个整数的比值的数，例如π和根号2等。
虽然无理数无法被准确地表示为分数或小数，但它们仍然可以在数轴上找到相应的位置。
我们可以使用估算的方法，将无理数约等于一个分数或小数，然后将其在数轴上表示出来。
六、数轴上的点与数的关系在数轴上，每个点都对应着一个实数。
既可以通过给定的实数来确定相应的点，也可以通过给定的点来确定相应的实数。
数和点之间存在着一一对应的关系。
数轴上的点向左移动可以表示减去一个数，向右移动则表示加上一个数。
数轴和数字线段
数轴和数字线段数轴是数学中一种常用的表示数值大小和位置关系的工具，它是一条直线，上面标有数值，可以用来表示整数、分数、无理数等。
而数字线段则是数轴上两点之间的部分，表示了一个具体的数值区间。
一、数轴的基本概念和用途数轴是一种数学工具，用来表示数值大小和位置关系。
在数轴上，水平的直线表示数轴本身，而垂直于数轴的直线则表示数值。
我们通常将数值标在数轴上的适当位置，以便观察和比较数值大小。
数轴可以用来表示各种数值，比如整数、分数、无理数等。
整数通常位于数轴的特定刻度上，例如0、1、2、-1、-2等，而分数和无理数则可以位于任意两个整数之间的某个位置。
通过数轴，我们可以直观地理解数值的大小和相对位置，进而进行数值运算和比较。
数轴在实际生活中有广泛的应用。
比如，在地图上，我们可以用数轴表示距离和位置关系；在经济学中，数轴可以表示价格和数量的关系；在物理学中，数轴可以表示时间和物理量的关系等等。
数轴提供了一种直观的视觉工具，帮助人们更好地理解和使用数值。
二、数字线段的概念和表示方法数字线段是数轴上两点之间的部分，它可以表示一个具体的数值区间。
数字线段通常由两个端点和线段上的所有点组成，其中端点可以是整数、分数或无理数。
为了简化表示，我们可以用两个数值来表示数字线段的端点，分别表示线段在数轴上的起点和终点。
数字线段可以用不同的符号来表示，最常见的是用中括号或小括号括起来。
例如，[2, 5]表示数轴上从2到5之间的所有数值，包括2和5；(1, 3)则表示数轴上从1到3之间的所有数值，不包括1和3。
在表示数字线段时，我们需要清楚地了解起点和终点的位置，并正确使用不同的符号，以便准确地表示数值区间。
三、数轴和数字线段的运算和应用数轴和数字线段不仅可以用来表示数值大小和位置关系，还可以进行数值运算和应用。
在数轴上，我们可以通过移动、扩大、缩小数字线段的方式来进行数值运算，例如加法、减法、乘法、除法等。
比如，要计算数轴上某个数字线段的长度，我们可以根据起点和终点的数值差来计算。