在数轴上表示无理数
人教版八年级下册17.1在数轴上表示无理数教学设计
"在数轴上表示无理数时，我们可以用近似值来表示。比如，π约等于3.14，我们可以在数轴上找到3和4之间的某个点来表示π。"
3.比较无理数的大小：讲解如何利用数轴比较无理数的大小。
"通过数轴，我们可以直观地比较两个无理数的大小。例如，π和√2，我们可以发现π大于√2，因为在数轴上π的位置在√2的右边。"
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计具有代表性的练习题。
"请同学们在数轴上表示出以下无理数：π、√3、√5。然后比较它们的大小，并在小组内讨论如何估算它们的近似值。"
2.解答与指导：在学生练习过程中，及时解答他们的问题，并进行个别指导。
"同学们，如果在数轴上表示无理数时遇到困难，可以参考教材上的示例，或者向我提问。我会及时帮助你们解决问题。"
5.预习下一节课内容，了解无理数在数学中的应用，为课堂学习做好准备。
"提前预习下一节课的内容，了解无理数在数学中的应用，为课堂学习打下基础，提高学习效果。"
请同学们认真完成作业，通过作业巩固所学知识，提高自己的数学素养。在完成作业的过程中，如果遇到问题，可以与同学互相讨论，共同解决。同时，也希望同学们能够主动思考，积极探索，将所学知识运用到实际生活中。祝大家学习进步！
教学设想：
1.引入阶段：通过生活实例或数学故事引入无理数的概念，激发学生兴趣，为后续学习打下基础。
-例如，可以讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现无理数的故事，让学生了解无理数的发现过程，感受数学的探索精神。
2.基本概念教学：采用讲解、举例、讨论等形式，帮助学生理解无理数的定义、性质和特点。
勾股定理--在数轴上表示无理数
17.1(6)勾股定理--在数轴上表示无理数一．【知识要点】1.在数轴上表示无理数二．【经典例题】1.如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）-+A．15-C．5--B．15-D．152.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是.3.如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连接大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求：（1）图甲中阴影部分的面积是多少？（2）图甲中阴影部分正方形的边长是多少？（3）如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？三．【题库】【A】1、如图，在数轴上点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3-D. 5-【B 】1．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1 B ．﹣1 C ．﹣+1 D ．﹣﹣12.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A. 5+1B. 5-1C. -5+1D. -5-13．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1B ．﹣1C ．﹣+1D ．﹣﹣14.如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O 为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A ，则点A 表示的数为________5.如图所示，是老师在讲解“实数”是所画的图，即“以数轴的单位长度1为边长作一个正方形，然后以O 为圆心、以正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，作这样的图是用来说明（ ）A ．无理数是存在的B ．实数是存在的C ．有理数可以在数轴上表示出来D ．无理数可以在数轴上表示出来6.如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A ，则点A 表示的数是_________【C 】1．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()2,3-，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A 4-和3-之间B 3和4之间C 5-和4-之间D 4和5之间2.如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．﹣1+B．C．﹣1+D．【D】。
6.3无理数可以在数轴上表示出来吗——实数20121023
6．3无理数可以在数轴上表示出来吗？——实数背景材料：自从学习了实数的知识，小贝有一种体会——实数的内容简直是太丰富了！别的不说，光是“实数与数轴上的点是一一对应的”这一句话，就让小贝琢磨了好几天，她几乎花了这几天中所有的业余时间来消化理解这个结论．今天晚上写完作业后，小贝找出纸笔、计算器和绘图工具，她准备亲自动手，将一些无理数表示在数轴上．首先，小贝搜罗来六个无理数：π；2π-；2；3；5；512-，接着画出一条数轴，然后就开始研究怎样在数轴上表示出这些数．根据小贝的设想，先在原点上方画一个直径是1个单位长度的圆，使圆与数轴接触的点恰好是原点0，因为圆的直径是1，所以圆的周长是π，将圆从原点沿数轴向右滚动一周，那么现在圆与数轴接触的点到原点的距离就是π，这样就可以在数轴上表示出π来了．可是设想毕竟是设想，真到了实践的时候却出了问题：在原点处画的圆是“死的”，动不了！这可咋办？小贝充分发扬了不怕麻烦勤动手的优良习惯，索性用卡纸做出一个直径是1个单位长度的圆形纸片，这下好了，将圆形纸片在数轴上滚动一周，记下了此时圆与数轴的接触点，满意地在那里标记上“π”．下一个数是2π-，有了圆形纸片，标记这个数就好办多了，因为2π-是负数，且它的绝对值是π的一半，所以这次纸片滚动的方向是向左的，滚动半周就可以了． 接下来是2．记得学习平方根的时候老师讲过，作一个边长为1的正方形，那么正方形的对角线长度就是2．心动不如行动，小贝很快就把2作出来了．这时小贝发现，以上面的π和2为基础，可以表示出很多与它们有关的无理数：如－π，－2，21+，π－2等等，但是，3；5；512-这样的无理数该怎样表示呢？小贝苦思冥想，还是没有找到方法，只好暂时求助于计算器了．通过计算器计算得到3≈1.732；5≈2.236；512-≈0.618，最后在数轴上把这三个数一一表示出来．π－π24321－2－12－1－2125－12532－1－2120π－π243知识解读：一、实数的概念及分类通过前面两节的学习，我们知道很多数经过开平方或开立方后所得的结果都是无限不循环小数，因而它们不属于有理数．我们把无限不循环小数称为无理数．例如：2、(32)2+-、π等．有理数和无理数合在一起统称为实数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如3π、5、37是正无理数，－3、3-π是负无理数．所以实数也可以细分为：实数的性质：（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）．（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．在数轴上，右边的实数大于左边的实数．（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数不能开偶次方．（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 二、实数的运算在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．例如：2的相反数是－2；－π的相反数是π；12-＝21-；π-＝π；0＝0；33的倒数是33．当数从有理数扩充到实数以后，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和性质等同样适用．例如：(32)2+-＝3223+-=；3323+＝53；2（223-）－23＝2263-．三、实数的比较大小在比较实数大小的时候，要注意方法的运用．1．代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．2．数轴法：数轴右边的数比左边的数大．用数轴法比较实数的大小，先将实数表示在数轴上，再根据数的位置直接判断大小．3．特殊值法：例如，当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．1x ＜x ＜x 2B ．1x ＜x 2＜xC ．x 2＜x ＜1xD ．x ＜x 2＜1x因为0＜x ＜1，故可取x ＝0.5，则x 2＝0.25，1x ＝2，由0.25＜0.5＜2，可得x 2＜x ＜1x，故选C ．4．分类讨论法：若a 是整数，那么a 2__________a ．（请选符号＞，≥，＜，≤填空)因为对于a ，题目并未明确给出是正整数还是负整数，取值具有不确定性，因此需要分类讨论：当a是负整数时，得a 2＞a ；当a 是0或1时，得a 2＝a a a =2；当a 是大于1的整数时，得a 2＞a ，综上可知，当a 是整数时，a 2≥a ．5．作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．例如，已知2005200620072008a ⨯=-⨯，2005200720062008b ⨯=-⨯，2005200820062007c ⨯=-⨯，则a ，b ，c 的大小关系是_______________． ∵a b -20052006200520072005200720052006()20072008200620082006200820072008⨯⨯⨯⨯=---=-⨯⨯⨯⨯200520072006()0200820062007=->，所以a b >，同理可得,b c >所以a b c >>．6．作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a b b <⇔<．例如，比较78和910的大小，78÷910＝7072＜1，∴78＜910．7．倒数法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．例如，比较34，56，78的大小，41133=，61155=，81177=，易得：468357>>，所以：357468<<．8．乘方法：例如，比较35和53的大小，先将两个数平方，得到45和75，∵45＜75，∴35＜53．9．同一法：将分数化为同分子或同分母的分数，再比较大小．例如，比较5个分数23，58，1523，1017，1219的大小，先找出分子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于：6090，6096，6092，60102，6095，∴60102＜6096＜6095＜6092＜6090，即1017＜58＜1219＜1523＜23．此外，比较数的大小时，还常常采用传递的原理（若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ）帮助解题． 四、实数与数轴的关系我们知道，所有的有理数都可以表示在数轴上．结合小贝的一系列实践操作，不难发现以下结论：数轴上任意一点表示的数，不是有理数就是无理数．数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，所以“实数与数轴上的点是一一对应的”．相关链接：（一）“无理数”的由来在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏．唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼．——【德】汉克尔公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处．毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．从有理数到实数，是数的发展史上一次巨大的飞跃，这一次飞跃经历了曲折而漫长的过程，这是科学家们努力探索的结果．在学习中，要学习这种勇于探索，积极创新的精神，为造福于社会而努力学习．用电子计算机计算π与2的值（二）超越数e在我们中学阶段，接触到的无理数最多的是含有根号的无理数，就连神秘的黄金分割数，也可以用512的形式表示出来．再有就是我们很熟悉（小学阶段就已经学过）的无理数“π”了．与众多的含根号的无理数相比，π显得有点孤独．其实，除了这些无理数外，还有一些可能不为你所知的无理数呢．下面为读者介绍的是在数学中的另一个常数e ．e 是自然对数的底数，有些著作上称它为欧拉数，因为数学家欧拉（1707－1783）研究过它．用e 表示这个数，是欧拉在1728年一篇未发表的手稿《遗作》中引入的，1731年他在给哥德巴赫的信中用过e 表示自然对数的底后，e 便一直沿用至今．毕达哥拉斯（约公元前580－前500）古希腊哲学家、数学家、天文学家发展到1737年，欧拉已经证明了e 及e 2是无理数．到了1873年，巴黎大学的爱尔米德教授（1822－1901）就证明了e 是超越数．而e 就具有下列性质：11111xx e x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x 为正数）．当x 取1，000，000时，便可求得e ＝2.71828．e 也可以定义为极限值：e ＝lim 11xx x ⎛⎫+ ⎪→∞⎝⎭．若利用牛顿所发明的幂级数，则可得：11122!3!4!e =++++…，这将能得到更精确的近似值：e ＝2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312．．．．因为圆周率的定义直观，易于理解，所以π几乎是家喻户晓的一个数，知道π的人多数能背诵到3.14．e 则不同，在高等数学中大放异彩的常数e ，在现实中往往却不被人所知．它们时而出现在街角，时而见诸报端，只要你留意，生活中处处皆是数学．在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2，718，281，828，这当然是取e 的前十位数字．顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14，159，265，这是与圆周率π有关的一个数字了．阅读思考：问题1．（1983年，河北省初中数学竞赛试题）22π29 3.140.614140.10010001000017-，，，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3问题2．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|c －b |的结果是( )abcA ．a ＋cB ．－a －2b ＋cC ．a ＋2b －cD ．－a －c问题3．有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）是无理数输出y是有理数取算术平方根输入xA ．8B ．22C ．23D ．32问题4．若a 、b 为实数，且22111a a ab a -+-+=+，求3a b -+的相反数．问题5．下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数； ②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数； ④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．问题6．已知数14的小数部分是b ，求4321237620b b b b +++-． 问题7．（1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[π]3=，则123100______⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．参考答案：问题1．解：π20.1001000100001-，，是无理数．选D ．【规律】（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环．（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327都是有理数）．问题2．解：从图中可知c ＜0，a ＜0，b ＞0，c ＜b ，|a |＜|b |，a ＋b ＞0，c －b ＜0， 所以|a ＋b |＝a ＋b ，|c －b |＝b －c ，所以|a ＋b |－|c －b |＝（a ＋b ）－（b －c ）＝a ＋b －b ＋c ＝a ＋c ． 因此选A ．【启示】这是一道数形结合的题目，解题的关键在于认真观察图形，只有认真细致地观察才能准确地找出数轴上所给定的点表示的实数的取值范围，以及各实数之间的大小关系，从而准确地去掉绝对值符号．问题3．解：输入64，64的算数平方根是8，8是有理数，所以取8的算数平方根，得22，22是无理数，输出，得y ＝22，因此选B ．问题4．解：依题意，a 2＝1，即a ＝±1（舍去负值），故a ＝1，代入得b ＝12，代入3a b -+得3．问题5．解：设a b ，是有理数，αβ，是无理数．①若a b α+=，则b a α=-，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故a α+是无理数．①正确．②当0a =时，0a α=是有理数，②不正确．③当22αβ==-，时，0αβ+=是有理数，故③不正确． ④当2αβ==时，2αβ=是有理数，故④不正确．问题6．解：∵91416<<，即3144<<，∴14的整数部分是3．设143b =+，两边同时平方得21496b b =++， ∴265b b +=．∴4321237620b b b b +++-()()43222636620b b b b b =+⋅+++-()()2226620b b b b =+++-25520=+- 10=．问题7．解：∵1231⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 456782⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， [][]91011153⎡⎤⎡⎤=====⎣⎦⎣⎦， []1617244⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦， ……8182999⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 10010⎡⎤=⎣⎦． ∴原式1325374951161371581791910625=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=．。
数轴上有表示无理数的点吗微教案
在数轴上找表示无理数的点教学目标学生能在数轴上找到表示π这样的无理数的点。
教学过程1、引入问题我们知道，实数可以分成有理数和无理数。
如：在实数5395,,,,,25119π--中，5395,,,,325119--π是无理数。
我们还知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？2、探索解决问题的方法活动1：在数轴上找表示无理数π的点直径为1个单位长度的圆其周长为π。
画一条数轴，把一个用软铁丝做成的直径为1的圆放在原点，从原点处剪开把铁丝向右拉直，铁丝的另一端落在数轴上的位置就是π所对应的位置，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
想一想：怎样在数轴上找到表示无理数,,,3210ππππ-的点？ 设计意图：通过直径为1个单位长度的圆的周长剪开后从坐标原点拉出的方法，让学生知道无理数π可以在数轴上表示，同时与π有关的许多数都可以在数轴上表示。
活动2：前面学习过用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，如图：大正方形的边长为2在数轴上，以原点为一个顶点，一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2。
以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示2-。
试一试：-设计意图：通过具体操作，让学生知道无理数2也可以在数轴上表示。
同时与2有关的许多数都可以在数轴上表示。
3、总结通过本课的学习，我们知道了如何在数轴上表示π，2及与他们相关的无理数。
事实上，类似于以上做法，我们可以把每一个无理数在数轴上表示出来。
另外，我们在探索过程中或者借助了圆的周长，或者借助了正方形的周长、对角线与面积的关系，请同学们注意这种化归思想，从而培养自己的创新能力。
七年级无理数的概念与运算
七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
它们是无限不循环小数的一种特殊形式。
在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。
一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。
无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。
无理数可以是正数也可以是负数。
二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。
例如，√2 × √3 = √6。
2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。
例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。
三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。
在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。
四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。
无理数和有理数的并集构成了实数的全体。
4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。
这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。
4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。
例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。
五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。
例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。
六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。
带根号的无理数在数轴上的表示问题
带根号的无理数在数轴上的表示问题
人教版数学八年级教科书上册第83页中有这样一段话：“以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示－2 (为什么？)”，勾股定理在人教版数学八年级下册第十八章才讲，如果学生真的问起“为什么？”，老师如何回答?（老师不可能在这里证明勾股定理吧），2好办，可用面积为1的两个小正方形拼成一个面积为2的大正方形，此时大正方形的边长为2，学生可以理解，3在数轴上如何表示？，5呢？，6呢？。
针对这个问题，
可事先进行数学活动（人教版数学八年级教科书上册第89页）：（1）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为5），老师引
导学生找出关系式：32+42=52，（2）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是6和8，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为10），老师引导学生找出关系式：62+82=102，（3）让学生画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是5和12，由学生用直尺量出斜边的长（斜边的长为13），由学生分析讨论找出关系式：52+122=132。
从而得出结论：任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方。
从而可以利用这个结论在数轴上作出表示无理数2，3，5，6，┉的点。
如何在数轴上表示无理数.3-.2---无理数在数轴上的表示
A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示
2 3
点D表示
7 3
无理数在数轴上的表示
学科：数学 年级：八年级 版本：华师大版 主讲人：秦艳秋 单位：长治市郊区漳村矿中学
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方
c b
a
a2+b2=c2
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
__ 6 __ 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
45
2
6 10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 5 3 4 5
探究2：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使 AB=2;
3数,以轴原交点于OC为点圆L，心B 则，点以CO即B为为半表径示作1弧3，的弧点与。
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5
的线段.
1
1
2
34
聚焦无理数与数轴上点的问题
聚焦无理数与数轴上点的问题山东于秀坤学习了实数，我们知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，对于一个有理数可以比较容易用数轴上的点表示，对于无理数又如何用数轴上的点表示呢？一些同学感到有些困难，下面就让我们一起来探究这方面的问题.一、用数轴上的点表示无理数利用数轴上点表示无理数，一般的方法是利用直角三角形的斜边积累来表示.主要涉及勾股定理的应用.例1用数轴上的点表示2和-2.解：如图1，以原点为一个顶点，以单位长度为边长画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形对角线OB为半径画弧，与正半轴的交E点就表示2，与负半轴的交点F就表示-2.图1理由：因为在Rt△OAB中，OB2=0A2+AB2=1+1=2，所以OB=2，又OE=OB，所以OE=2，所以点E表示2.同样点F表示-2.例2 用数轴上的点表示3和-3.解：如图2，以单位长1为边作等腰直角三角形OAB，根据勾股定理得OB=2，再以B为直角顶点作Rt△OBC，使BC=1，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2=3.所以OC=3.图2以O为圆心，OC长为半径，画弧交数轴的正半轴于点F，负半轴于点E，则点F表示的数为3，点E表示的数为-3.例3 用数轴上的点表示π.解：如图3，将直径为单位长度1的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点原点到点O′，从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示无理数π.实际上，圆的周长为OO′=1×π=π.如果圆向左滚动一周，则与负半轴的交点表示-π.图3其它的无理数都可探究方法用数轴上的点表示.你可以试一试：在数轴上表示：5，13.二、写出数轴上的点所表示的无理数例4 如图4，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，BC⊥OB，BC=1，且E、O、A、D在同一数轴上，OC=OE=OD.试说出点D、E各表示的是什么数？图4解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，由勾股定理得OB=5，在Rt△OBC中，OB=5，BC=1，由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=6，所以OC=6，所以OD=OE=OC=6，所以点D表示的数是6，点E表示的数是-6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BE= 3 2 ? 12 ? 10 BF= 32 ? 12 ? 10
此外，△ CEF与△ BDF 也是等腰三角形．
F
E
D C
B
F
E
M D
N
C
解：（3）如图，以点 B为圆心， A
B
为BD半径的圆，还经过点 M，N，
这是因为BM=BN=BD= 22 ? 12 ? 5
练习：在数轴上标出 6和 7 。
解：（1）在数轴上标出 6 的点。
（ 6）2 ?（2）2 ?（2）2 （ 6）2 ?（1）2 ?（）5 2
2
6
2
6 1
5
作图过程：
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 2 5 6 3
4
6
2
2
6 1
5
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 ?
c 1
┌
2
c=__5__
问题1： 怎么在数轴上标出 2 的点？
2
1
1
-2 - 2 -1
l
B
2
1
AC
0
1
2
2
步骤 ：1、在数轴上找到点A,使OA=1;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=1; 3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴
交于C点，则点C即为表示 2 的点。
思考：- 2 的点怎么表示？
(提示：先建立一个正方形网格，每个小正方形的边长是1，再在网格中画出 格点△ ABC，借助网格求出△ABC的面积。)
C B
A
3
1
10
2
5
1
13
3
2
这节课你学会了什么？
课后习题：第1，2题
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
步骤：1、在数轴上找到点 A,使OA=3;
2、作直线 l⊥OA,在l上取一点 B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以 OB为半径作弧，弧与
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
__ 6 __ 5
6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
45
2
6 10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 5 3 4 5
探究2：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤：1、在数轴上找到点 A,使OA=3;
17.1.2 在数轴上表示无理数 2
授课老师：蔡永玲
1、理解勾股定理并能对无理数 ： 2、 3、 5、 7 、10 等作出几何解释。
2、能在数轴上标出 2、 3 、 5 等无理数。 3、通过作图体会数形结合的思想。
重点：在数轴上标出无理数的点。 难点：理解尺规作图的原理。
温故知新：
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A?3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和
15 的点吗？
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少?
2
2
-2 -1 0 1 2 3 4
任意一个直角三角形，都有两条直 角边的平方和等于斜边的平方
2
-5 -4 -3 -2 -1 0
3
12 2 3
45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 2 3 4 5
边长都是1， A
（1）求△ABC的各边长
（2）求△ABC的面积
C
B
延伸练习：
例1.如图方格纸上每个小正方形的边长都是1，
求 ABC 的面积。
A
5
26
C
13
解：S=4x5-
1 2
x1x5-
1 2
x4x3-
1 x2x3
2
17△ABC 中，AB= 5 , BC= 10 ,AC= 13 , 求这个三角形的面积。
数轴交于 C点l，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A?3 C 4
你能在数轴上画出表示 - 2 的点吗？
5
步骤：1、在数轴上找到点 A,使OA=3;
2、作直线 l⊥OA,在l上取一点 B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以 OB为半径作弧，弧与
数轴交于 C点l，则点C即为表示 13 的点。
的线段.
1
12
3 4
5
1
1
1．判断正误： （1）所有的无理数都能在数轴上表示．（√）
（2）数轴上的点都表示无理数．（ ×）
2．在Rt△ABC中，如果∠B是直角，AB=6，BC=5， 求AC的长．
解：在Rt△ABC中，
A
由勾股定理，得：
6
AC = 62 ? 52 ? 61
B5
C
延伸练习：
例1．如图所示，方格纸上每个小正方形的
其中有没有等腰三角形？如果有，指出这些三角形．
（3）以点 B为圆心，为 BD半径的圆，还经过方格纸上的哪些
格点？如果有，把它们描述出来，标上字母，并说明理由．
F
E
D C
A
B
解：（1）由图可知： AB=3
由勾役定理，得：
AC= 42 ? 12 ? 17
A
AD= 4 2 ? 2 2 ? 20
AE= 42 ?32 ?5 AF= 22 ? 32 ? 13
练习：
1.在数轴上标出 5和 13 的点。
5
2
13
3
1 2
探究新知二：
操作题：在数轴上标出表示 3 的点。
想一想：怎样作出长度为 3 的线段呢？
（ 3）2 ?（1） 2 ?（2） 2
3
2
1
问题2： 怎么在数轴上标出 3 的点？
3
2
1
-2
-1
l B
2
3
1
0
1 2 32
思考：- 3 的点怎么表示？
2、作直线 l⊥OA,在l上取一点 B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以 OB为半径作弧，弧与
数轴交于 C点l，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A?3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和
15 的点吗？
例2．如图方格纸上每个小正方形的边长都是 1．
（1）分别求出A到B、 C、D、E、F各点的距离． （2）以A、B、C、D、E、F中的任意三个点为顶点作三角形，
4．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是 1，在三 个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有 一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为
无理数，第三个三角形的三条边长都为无理数．
你能在数轴上找出表示
? 无理数 的点吗？
通过本节课的学习，你有什么收获？
自主学习
一、完成下列题目： 1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩
形对角线） ①若两条直角边分别为 1和1，则斜边的长为 2 ； ②若两条直角边分别为 2和1，则斜边的长为 5 ； ③若两条直角边分别为 3和1，则斜边的长为 10 ； ④若两条直角边分别为 4和1，则斜边的长为 17 ； ⑤若两条直角边分别为 5和1，则斜边的长为 26 ； ⑥若两条直角边分别为 6和1，则斜边的为 37 ； ……
A
B
-2
-1
0
CD
1
2
点A表示 ? 2
点C表示 1
点B表示
?
2 3
点D表示 5
3
我们知道有理数可以在数轴上表示，那么 无理数是怎样在数轴上表示的？你能在数轴上标
出 2 ， 3 ， 5的点吗？
探究新知一：
操作题：在数轴上标出 2和 5 的点。
例： 求出下列图形中线段c的长度。
c 1
┌
1
c= __2_