大学物理答案第三章

第三章 功和能

3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比．设对于一辆质量为1500kg 的汽车总的阻力281300v .+=F （其中F 以N 为单位，v 以m/s 为单位），求当车速为60 km/h ，加速度为1.0m/s 2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率．

分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积．

解 当汽车的加速度为a 时，引擎牵引力为F 1，应用牛顿第二定律，运动方程为

ma F F =-1

则 2181300v .++=-=ma F ma F

根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为

W 103.83 W 3600

100060360010006081300011500 813004221⨯=⨯⨯⨯⨯++⨯=++==])(..().(v

v v ma F P 3-2 如习题1-7所述，若海岸高h = 10 m ，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N ，如图3-2所示．当岸上的水手将缆绳由50 m 收到30 m 后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功．

分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功．由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难．根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F 作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值

应等于恒力F 所作的负功．

解 缆绳长度由l 1=50 m 收到l 2=30 m 的过程中，位移为s ，水手作的功为

J 101.035J 103010505000 52222222221⨯=---⨯=---==()

(h l h l F Fs W

设此过程中开始前缆绳张力为F T1、结束后为F T2，它们的水平方向分量都应与恒力F 等大而反向，因此有

F l h l F =-1221T1 F l h l F =-2222T2

则

图3-2

N 200N 10505010

30305000 222222112222T1T2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=-h l l h l l F F F 3-3 质点沿x 轴运动，由x 1 = 0处移动到x 2 = 4 m 的过程中，受到力)1(0

0-=x x F F 的作用，其中x 0 = 2 m ，F 0 = 8 N ，作出F －x 曲线，求在此期间力F 对质点所作的功． 分析 当质点沿x 轴作直线运动时，如果外力是质点位置坐标x 的函数)(x F F =，质点从位置x 1运动到x 2的过程中，根据功的定义，该力所作的功为⎰=21d x x x x F W )(，即为F －x 图像中x 1到x 2

区间曲线)(x F 与x 轴线包围面积的代数和．

解 根据题意，F －x 曲线如图3-3所示．按照功的定义，有

0J 42248 2d 1d 220

220002121

=-⨯⨯=-=-==⎰⎰)(

)()()(x x x F x x x F x x F W x x x x 由图3-3可见，x 1到x 2区间曲线)(x F 与x 轴线包围面积的代数和为零，与上面的计算结果一致．

3-4 在x 轴线上运动的物体速度为v = 4 t 2 + 6（其中v 以m/s 为单位，t 以s 为单位），作用力3-=t F （其中F 以N 为单位，t 以s 为单位）沿x 轴正向．试求在t 1 = 1 s 和t 2 = 5 s 期间，力F 对物体所作的功．

分析 当质点沿x 轴作直线运动时，如果外力是时间t 的函数)(t F F =，根据功的定义⎰=2

1d x x x x F W )(，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式t t t

x x d d d d d v ==

，将积分变量转换为时间t 进行计算．积分变量代换后，积分的上下限也要作相应的代换．

解 根据功的定义 []J 921834d 186124 d 643d d 21212

121212

34232=-+-=-+-=+-===⎰⎰⎰⎰t t t t t t t t x x t t t t t t t t t t t t t F x t F W )())(()()(v

图3-3

3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为m 的滑块以初速v 0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，（1）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为

)(1e 2

120-=

-μπv m W ；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关． 分析 当外力无法表示成位移的函数时，功就不能直接由定义式积分进行计算．如果能确定物体初末状态的速度，可以应用动能定理，求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功．

证 （1）首先应计算出滑块从屏障另一端滑出时的速度．设滑块在屏障中位于如图3-5(b)所示的位置，在竖直方向无运动，在水平面内受到屏障

压力F N 和摩擦力F f 作用，此时速度为v ，设屏障半径为R ，应用牛顿第二定律所得运动方程为

法向： R v 2m F =N 切向： t

m F d d f v =- 由于F f ＝μF N ，得 R

t 2

d d v v μ-= 利用关系式θ

θθd d d d d d d d v v v v R t t ==，上式可写为 v v μθ

-=d d (1) 由初末条件：当0=θ时，0v v =；当πθ=时，v v =，将上式分离变量并积分：

⎰⎰-=πθμ0d d 0v

v v v (2)

得滑块从屏障另一端滑出时的速度为 μπ-=e 0v v (3)

则摩擦力在此期间所作的功为

)(1e 2

12121220202-=-=-μπv v v m m m W （2）由（1）和（2）式可以看出，当滑块发生角位移θd 时，速度的变化只与角位移θd 有关，与半径无关，因此（3）式给出的末速度也只与半圆的张角有关，这就导致最终结果与圆弧半径无关了．

3-6 一个质点在指向中心的平方反比力2r k F /=的作用下，作半径为r 的圆

v

（a ） （b ）

图3-5