江苏高考三角函数真题版
三角函数、解三角形 选择填空题(江苏高考版)含答案
7、已知 ， ，其中 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
8、若 的外接圆半径为2，且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
9、已知函数 ， ，则下列结论正确的是（）
A． 的图象关于点 对称B． 的图象的一条对称轴是
C． 在 上递减D． 在 值域为
【答案】BC
10．已知sin( ﹣ )＝ ，则sin(2 ＋ )＝
A． ＝2B．
C． 在( ，0)上单调递增D． 在(0，2 )上有3个极小值点
答案：AC
解析：因为 ， ，所以 ，故B错；因为 在[0，2 ]上有且仅有4个零点，故A对；易知 ，画出草图可知，在( ，0)上单调递增，故C正确；在(0，2 )上有2个极小值点，故D错．综上选AC．
13.已知cos( )= ,a∈(0, )，则sina =______________
答案：
14.在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量 ＝x ＋y ，x＋y＝6，则| |的最小值为()
A. 1B. 2C. D. 2
答案：D
15.已知α＋β＝ (α>0，β>0)，则tanα＋tanβ的最小值为( )
A. B. 1C.－2－2 D.－2＋2
答案：D
16.若函数f(x) ＝cos2x＋sinx，则关于f(x)的性质说法正确的有( )
31．若向量 ， 满足| － |＝ ，则 的最小值为．
【答案】－
【考点】平面向量的综合应用
【解析】法一：由题意，| － |2＝ 2＋ 2－2 ≥－2 －2 ＝－4 ，即3≥－4 ，则 ≥－ ．
法二：由题意， ＝ ≥－ | － |2＝－ ，所以 的最小值为－ ．
三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及练习题（含答案）1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质．2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1. 函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin2x.2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π4.4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．答案：34解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.题型二 三角函数定义及应用问题例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，求f(θ)的值；(2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出 f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π3，f (θ)max ＝2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx ＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求：(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．解：由题意得cos α＝210，cos β＝255，α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.(1) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，所以α＋2β＝3π4.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1)由题图可知A ＝2，∵ T 4＝7π12－π3＝π4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，∴ φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴ f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝62.(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asin ωx ＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f(x)max ＝2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512.又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3 把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x ＝17π8对称．(1) 求m 的最小值；(2) 证明：当x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x2＝cos2x －sin2x＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，得到g(x)＝2⎣⎡⎦⎤2（x ＋m ）＋π4＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x ＝17π8对称，所以2⎝⎛⎭⎫17π8＋m ＋π4＝k π，即m ＝（2k －9）4π(k ∈Z )． 因为m>0，所以m 的最小值为π4.(2) 证明：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，所以－4π<2x ＋π4<－7π2，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8上是减函数．所以当x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，且x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，从而经过任意两点(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的直线的斜率k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.(3) 解：令f(x)＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22.因为x ∈(0，π)，所以2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4.所以2x ＋π4＝3π4或2x ＋π4＝5π4，即x ＝π4或x ＝π2.因为x 1、x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1) 若y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2) 令ω＝2，将函数y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，区间[a ，b](a ，b ∈R 且a<b)满足：y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b －a 的最小值．解：(1) 因为ω>0，根据题意有 ⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)＝2sin2x ，g(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，g(x)＝0sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12x ＝k π－π3或x ＝k π－712π，k ∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin （ωx ＋φ）－12cos （ωx ＋φ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x ，因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所以g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f(x)取得最大值3；当x ＝712π时，f(x)取得最小值－3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1) 由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又 －π<φ<π，∴ φ＝π3，∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴ 函数f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z.(3) 由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个根．∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴ 2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.∴ m －16∈⎣⎡⎦⎤－32，1，∴ m ∈[1－33，7)．1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值范围是________．答案：a ≥2解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f(x)|≤2，所以a ≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是________．答案：－223. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则|φ|＝________．答案：5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________． 答案：π解析：由f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，函数f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，函数f(x)的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋2π3＝7π12，设函数f(x)的最小正周期为T ，所以12T ≥π2－π6，即T ≥2π3，所以7π12－π3＝T 4，解得T ＝π. 5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；(2) 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22. (2) 因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为G(A)．(1) 设t ＝sinx ＋cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)；(2) 求G(A)．解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，∴ 1≤t ≤2，即t 的取值范围为[1，2]．(3分)(另解：∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x ∈[0，π]得0≤sin2x ≤1，∴ 1≤t ≤2)∵ t ＝sinx ＋cosx ，∴ sinxcosx ＝t 2－12，(5分)∴ m(t)＝a·t 2－12－t ＝12at 2－t －12a ，t ∈[1，2]，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：① 当1a <1＋22，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝12a －2； (10分)② 当1a ≥1＋22，即0<a ≤2(2－1)时，G(A)＝m(1)＝－ 2.(13分)∴ G(A)＝⎩⎪⎨⎪⎧12a －2，a>2（2－1），－2，0<a ≤2（2－1）.(14分)1. 若π4＜x ＜π2，则函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________．答案：－8解析：令tanx ＝t ∈(1，＋∞)，y ＝2t 41－t 2，y ′(t)＝－4t 3（t ＋2）（t －2）（1－t 2）2，得t ＝2时y 取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ，求：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2) f(x)的最大值和最小值．解：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1，1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1.3. 已知A 为△ABC 的内角，求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围．解： y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 2＝1＋cos2A 2＋12⎝⎛⎭⎫cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A＝1＋12⎝⎛⎭⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3.∵ A 为三角形内角，∴ 0＜A ＜π，∴ －1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1，∴ y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围是[12，32]．4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式；(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3 ＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3－3t ＋3. (2) g′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1. 由此可见，g(t)在区间⎝⎛⎭⎫－1，－12和⎝⎛⎭⎫12，1上单调增，在区间⎝⎛⎭⎫－12，12上单调减，极小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝2，极大值为g ⎝⎛⎭⎫－12＝4.。
高中三角函数历年高考真题_含答案
历年高考三角函数专题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于 （ ） A．2-B ．12-C ．12D．214.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
三角函数高考试题精选(含详细答案)
三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。
8.6江苏历届高考试题分类汇编(三角函数2)
江苏历届高考试题分类汇编（三角函数2）（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为（2015江苏高考第15题）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.（2016江苏高考第9题）9、 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 13、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A =则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （1） 求AB 的长；（2） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.（2017江苏高考第16题） 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ⊥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.(第12题)【答案】（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为【答案】【解析】试题分析：20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+2(1)21(21)cossincos cos sin cos 6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111012k k k a a +=⋅==∑ 考点：向量数量积，三角函数性质（2015江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（12【解析】（2016江苏高考第9题） 10、定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 14、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A 则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （3） 求AB 的长； （4） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.【答案】3(第12题)（2017江苏高考第16题）16.（本小题满分14分）已知向量(cos,sin),(3,[0,π].a b==∈x x x（1）若a⊥b,求x的值；（2）记()f x=⋅a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.。
三角函数(江苏高考真题)
三角函数(江苏高考真题)1.(2019)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；(2)若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．2.(2018)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（2017）已知向量=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），x ∈[0，π]．(1)若∥，求x 的值；(2)记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．4.(2016)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==（1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.5.（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值．6.(2014)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.7.(2013)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a+b ＝c ，求α，β的值．8.(2012)在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．9.(2011)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin(2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．10.(2019)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是.11.(2018)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是12.（2017）若tan （α﹣）=．则tanα=．13.(2016)定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是14.(2016)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是15.（2015）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为．16.（2015）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．17.(2014)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.18.(2014)若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.19.(2013)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．20.(2012)设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为21.(2011)已知tan()24x π+=，则xx 2tan tan 的值为22.(2011)函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是23.(2010)定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为.24.(2010)在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=25.(2009)函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 已知a∈R，函数f(x)=sinx−∣a∣(x∈R)为奇函数，则a=( )A. 0B. 1C. −1D. ±12. 若sin(π6−α)=13，则cos(2π3+2α)=( )A. −79B. −13C. 13D. 793. 下列函数中，周期为π2的是( )A. y=sin x2B. y=sin2x C. y=cos x4D. y=cos4x4. 为了得到函数y=2sin(x3+π6),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上的所有点( )A. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5. 已知x∈(−π2,0)，cosx=45，则tan2x=( )A. 724B. −724C. 247D. −2476. 函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是( )A. [−π,−5π6] B. [−5π6,−π6]C. [−π3,0] D. [−π6,0]7. △ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为( )A. 4√3sin(B+π3)+3 B. 4√3sin(B+π6)+3C. 6sin(B+π3)+3 D. 6sin(B+π6)+3二、填空题（共23小题；共115分）8. 如图，函数y=Asin(ωx+φ)（A,ω,φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=．9. 函数 y =3sin (2x +π4) 的最小正周期为 .10. 已知函数 y =cosx 与 y =sin (2x +φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为 π3 的交点，则 φ的值是 ．11. 若函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0) 最小正周期为 π5，则 ω= ． 12. 在 △ABC 中，已知 BC =12 ， A =60∘ ， B =45∘ ，则 AC = ．13. 定义在区间 [0,3π] 上的函数 y =sin2x 的图象与 y =cosx 的图象的交点个数是 ． 14. 若 tan (α−π4)=16，则 tanα= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 顶点 A (−4,0) 和 C (4,0) ，顶点 B 在椭圆x 225+y 29=1 上，则sinA+sinC sinB= ．16. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)，（A,ω,φ 是常数，A >0,ω>0）的部分图象如图所示，则f (0)= ．17. 已知 tan (x +π4)=2, 则 tanxtan2x的值为 ．18. 若 △ABC 的内角满足 sinA +√2sinB =2sinC ，则 cosC 的最小值是 ． 19. 若 cos (α+β)=15，cos (α−β)=35，则 tanαtanβ= ． 20. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (2α+π12) 的值为 ．21. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．22. 已知 tanα=−2，tan (α+β)=17，则 tanβ 的值为 ．23. 定义在区间 (0,π2) 上的函数 y =6cosx 的图象与 y =5tanx 的图象的交点为 P ，过点 P 作 PP 1⊥x 轴于点 P 1，直线 PP 1 与 y =sinx 的图象交于点 P 2，则线段 P 1P 2 的长为 ． 24. cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘= ．25. 在锐角 △ABC 中，sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ． 26. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sin kπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为 ．27. 在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba +ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB=．28. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=，其中t∈[0,60]．29. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．30. 满足条件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值是．三、解答题（共17小题；共221分）31. 在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4．（1）求AB的长；（2）求cos(A−π6)的值．32. 已知α∈(π2,π)，sinα=√55．（1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−2α)的值．33. 已知a=(cosα,sinα)，b⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．（1）若∣∣a−b⃗∣∣=√2，求证：a⊥b⃗；（2）设c=(0,1)，若a+b⃗=c，求α,β的值．34. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10√7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．35. 已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．36. 在 △ABC 中，已知 AB =2，AC =3，A =60∘．（1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值．37. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值； （2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b⃗ ．38. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A ，B 两点，已知 A ，B 的横坐标分别为 √210，2√55．求：（1）tan (α+β) 的值； （2）α+2β 的值．39. 已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M (3π4,0) 对称，且在区间 [0,π2] 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．40. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：tanB =3tanA ； （2）若 cosC =√55，求 A 的值．41. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min ．在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量，cosA =1213,cosC =35．（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? （3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 42. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 P (x,y ) 是椭圆 x 23+y 2=1 上的一个动点，求 S =x +y 的最大值．43. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．)=2cosA，求A的值；（1）若sin(A+π6，b=3c，求sinC的值．（2）若cosA=1344. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），示意图如图所示，垂直放置的标杆BC高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α−β最大．45. 已知△ABC的三边长为有理数．（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．46. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离．47. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1−EF−B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B−A1P−F的大小．（用反三角函数表示）答案第一部分 1. A2. A【解析】cos (2π3+2α)=cos [π−(π3−2α)]=−cos [2(π6−α)]=2sin 2(π6−α)−1=−79.3. D4. C5. D6. D7. D【解析】在 △ABC 中，由正弦定理得：ACsinB =√32，化简得 AC =2√3sinB ，AB sin(π−B−π3)=√32，化简得 AB =2√3sin (2π3−B)， 所以三角形的周长为：3+AC +AB=3+2√3sinB +2√3sin (2π3−B)=3+3√3sinB +3cosB=6sin (B +π6)+3.第二部分 8. 3 9. π 【解析】T =2π2=π10. π6【解析】由题意，得 sin (2×π3+φ)=cos π3，则 φ=π6适合题意．11. 10【解析】因为 f (x )=cos (ωx −π6) 的最小正周期为 2πω=π5．所以 ω=10． 12. 4√6 13. 7【解析】画出两个函数的图象，经观察共有 7 个交点．14. 75 15. 54 16. √62【解析】由图可知，A =√2，T4=7π12−π3=π4，所以 T =2πω=π，ω=2．从而 2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中 k ∈Z ．则 f (0)=√2sin (2kπ+π3)=√62． 17. 49【解析】tanx=tan (x +π4−π4)=tan (x +π4)−11+tan (x +π4)=13．tanx tan2x=tanx 2tanx 1−tan 2x =(1−tan 2x )2=49. 18.√6−√24【解析】因为 sinA +√2sinB =2sinC ，由正弦定理得 a +√2b =2c ． 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =4a 2+4b 2−(a+√2b)28ab=3a 2+2b 28ab −√24≥2√3a 2⋅2b 28ab−√24=√64−√24,当且仅当 3a 2=2b 2 即 √3a =√2b 时取等号． 19. 12【解析】cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15, ⋯⋯①cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35. ⋯⋯②由 ①②，得 cosαcosβ=25，sinαsinβ=15， 故 tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12．20.17√250【解析】因为 cos (α+π6)=45，所以 α+π6∈(0,π2)．所以 sin (α+π6)=35．所以 sin (2α+π3)=2sin (α+π6)cos (α+π6)=2×35×45=2425， cos (2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=725． 所以sin (2α+π12)=sin [(2α+π3)−π4]=sin (2α+π3)cos π4−cos (2α+π3)sin π4=17√250.21. 3 22. 3 23. 23【解析】由题意知线段 P 1P 2 长即为垂线 PP 1 与 y =sinx 图象交点的纵坐标．因为 {y =6cosx,y =5tanx, 所以6cosx =5tanx ．即 6(cosx )2=5sinx ．即 6(sinx )2+5sinx −6=0．因为 x ∈(0,π2)．所以 sinx =23，即 P 1P 2=23． 24. 2【解析】cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘=tan70∘(cos10∘+√3sin10∘)−2cos40∘=2tan70∘sin40∘−2cos40∘=−2(cos70∘cos40∘−sin40∘sin70∘)cos70∘=−2cos110∘cos70∘=2.25. 8【解析】因为 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， 所以由已知得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC (∗)． 由三角形 ABC 为锐角三角形，得 cosB >0，cosC >0．在 (∗) 式两端同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ， 又 tanA =−tan (B +C )=−tanB+tanC 1−tanBtanC(#)，则 tanAtanBtanC =−tanB+tanC 1−tanBtanC×tanBtanC =−2(tanBtanC )21−tanBtanC．令 tanBtanC =t ．由 (#) 及 tanA >0，tanB >0，tanC >0，得 1−tanBtanC <0，即 t >1． tanAtanBtanC =−2t 21−t =−21t 2−1t=21t(1−1t)．因为 1t (1−1t )≤(1t +1−1t2)2=14，所以当且仅当 t =2 时，tanAtanBtanC 的最小值为 8．当 t =2，即 {tanB +tanC =4,tanBtanC =2,，亦即 {tanB =2+√2,tanC =2−√2,tanA =4 或 {tanB =2−√2,tanC =2+√2,tanA =4时，tanAtanBtanC 的最小值为 8． 26. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin 2k+16π+12cos 2k+16π．27. 4【解析】由已知 ba+ab =6cosC 及余弦定理 cosC =a 2+b 2−c 22ab，可得2a 2+2b 2=3c 2. ⋯⋯①而tanC tanA +tanC tanB =sin 2C cosCsinAsinB =6c 2a 2+b 2, 将①代入可得结果为 4． 28. 10sin πt60【解析】如图，设 ∠AOB =θ,θ∈[0,π]，由垂径定理，得 d =2×5sin θ2=10sin θ2．因为θ={πt 30,t ∈[0,30],2π−πt30,t ∈(30,60],所以d ={10sinπt 60,t ∈[0,30],10sin (π−πt60),t ∈(30,60],化简即得d =10sin πt60,t ∈[0,60].29. 8【解析】由 sinA =sin (B +C )=2sinBsinC ， 得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC ． 两边同时除以 cosBcosC ， 得 tanB +tanC =2tanBtanC ． 令 tanB +tanC =2tanBtanC =m ， 又 △ABC 是锐角三角形，所以 2tanBtanC =tanB +tanC >2√tanB ⋅tanC ， 则 tanBtanC >1，所以 m >2．又在三角形 ABC 中，有tanAtanBtanC=−tan (B +C )tanBtanC =−m1−12m ⋅12m=m 2m−2=(m −2)+4m−2+4≥2√(m −2)⋅4m−2+4=8,当且仅当 m −2=4m−2， 即 m =4 时取等号，故 tanAtanBtanC 的最小值为 8． 30. 2√2【解析】设 BC =x ，则 AC =√2x ，根据面积公式，得 S △ABC =12AB ⋅BCsinB =x√1−cos 2B ． 根据余弦定理，得 cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=4+x 2−2x 24x=4−x 24x，于是 S △ABC =x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216．由三角形三边关系有 {√2x +x >2,x +2>√2x,解得 2√2−2<x <2√2+2，故当 x =2√3 时，S △ABC 取到最大值 2√2． 第三部分31. （1） 由 cosB =45，得 sinB =35． 由 ABsinC =ACsinB ，得 AB =ACsinC sinB=6×√22×53=5√2．（2） cosA =−cos (C +B )=sinBsinC −cosBcosC=35×√22−45×√22=−√210.由 A 为三角形的内角，得 sinA =7√210．cos (A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=−√210×√32+7√210×12=7√2−√620.32. （1） 因为 α∈(π2,π),sinα=√55， 所以 cosα=−√1−sin 2α=−2√55． 故sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=√22×(−2√55)+√22×√55=−√1010.（2） 由（1）知 sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45，cos2α=1−2sin 2α=1−2×(√55)2=35，所以cos (5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin 5π6sin2α=(−√32)×35+12×(−45)=−4+3√310.33. （1） 由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ． （2） 因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)， 所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.34. （1） 设玻璃棒在 CC 1 上的点 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ， 如图 1，在平面 ACM 中，过 N 作 NP ∥MC ，交 AC 于点 P ，因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，所以CC1⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC，所以NP⊥AC，所以NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，因为NP∥MC，所以△ANP∽△AMC，所以ANAM =NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，如图2，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，因为EFGH−E1F1G1H1为正四棱台，所以EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，所以EE1G1G为等腰梯形，画出截面E1EGG1，因为E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，所以E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，所以sin∠EE1G1=45，sin∠EGM=sin∠EE1G1=45，cos∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM =EGsin∠EMG，所以sin∠EMG=725，cos∠EMG=2425，所以sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=35,所以EN=NPsin∠GEM =1235=20cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．35. 因为a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．所以ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α−β)≤8．当且仅当cos(α−β)=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64，当且仅当ac =bd时取等号．所以−8≤ac+bd≤8．36. （1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=4+9−2×2×3×12=7，所以BC=√7．（2）由正弦定理知，ABsinC =BCsinA，所以sinC=ABBC ⋅sinA=∘√7=√217．因为AB<BC，所以C为锐角，则cosC=√1−sin2C=√1−37=2√77．因此sin2C=2sinC⋅cosC=2×√217×2√77=4√37．37. （1）因为a与b⃗−2c垂直，所以a⋅(b⃗−2c)=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)−8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.（2）由b⃗+c=(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b⃗+c∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当β=kπ−π4,k∈Z时，等号成立，所以∣∣b⃗+c∣∣的最大值为4√2．（3）由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ,所以a∥b⃗.38. （1）由已知，点A，B的坐标分别为(cosα,sinα)，(cosβ,sinβ)．因为α、β都是锐角，且cosα=√210,cosβ=2√55,所以sinα=7√210,sinβ=√55, 则tanα=7,tanβ=12,tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−3.（2） 由 tanβ=12 得tan2β=2tanβ1−tan 2β=43,所以tan (α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−1.又 α，β∈(0,π2)，所以 α+2β∈(0,3π2)，故α+2β=3π4.39. 由 f (x )=sinωxcosφ+cosωxsinφ 是偶函数，得 cosφ=0． 依题设 0≤φ≤π，所以解得 φ=π2．由 f (x ) 的图象关于点 M 对称，得 f (3π4)=0．所以3ωπ4+π2=π+kπ,k =0,1,2⋯ ∴ω=23(2k +1),k =0,1,2,⋯当 k =0 时，ω=23，f (x )=sin (23x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k =1 时，ω=2，f (x )=sin (2x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k ≥2 时，ω≥103，f (x )=sin (ωx +π2) 在 [0,π2] 上不是单调函数． 综上得 ω=23 或 ω=2．40. （1） 因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ． （2） 因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．41. （1） 在 △ABC 中，因为 cosA =1213,cosC =35，所以sinA =513,sinC =45, 从而sinB=sin [π−(A +C )]=sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365. 由正弦定理ABsinC=AC sinB，得AB=ACsinB⋅sinC =12606365×45=1040(m ),所以索道 AB 的长为 1040m ．（2） 设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d ， 此时，甲行走了 (100+50t )m ，乙距离 A 处 130tm ， 所以，由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2−2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2−70t +50).由于 0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8,故当 t =3537(min ) 时，甲、乙两游客距离最短．（3） 由正弦定理 BC sinA=AC sinB，得BC=ACsinB ⋅sinA =12606365×513=500(m ).乙从 B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550(m ),还需走 710m 才能到达 C ．设乙步行的速度为 vm/min ，由题意得−3≤500v −71050≤3,解得125043≤v ≤62514, 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ， 乙步行的速度应控制在 [125043,62514]（单位：m/min ）范围内．42. 由已知可设 P(√3cosφ,sinφ)(0≤φ<2π)，则S =x +y=√3cosφ+sinφ=2sin (φ+π3),所以当 φ=π6 时，S 取最大值 2． 43. （1） 因为sin (A +π6)=√32sinA +12cosA =2cosA,所以 sinA =√3cosA ，所以 A =π3． （2） 因为 cosA =13，b =3c ，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =8c 2,a =2√2c.由正弦定理得：2√2c sinA =csinC, 而 sinA =√1−cos 2A =2√23，所以 sinC =13．44. （1） 因为tanα=AE AB ,tanβ=AE AD, 所以tanαtanβ=AD AB =3130. 又tanα=HAB,tanβ=4AD−AB,所以H AB ⋅AD−AB4=ADAB,把ADAB =3130代入得H=124m．（2）由题设知d=AB，从而tanα=Hd．由AB=AD−BD=Htanβ−ℎtanβ,得tanβ=H−ℎd.所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎd+H(H−ℎ)d≤ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−ℎ)=√125×(125−4)=55√5时，上式取等号．所以当d=55√5时，tan(α−β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α−β<π2，所以当d=55√5时，α−β最大．故所求的d是55√5m．45. （1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC是有理数．（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA⋅sinnA都是有理数．①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA⋅sinA=1−cos2A也是有理数．②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA⋅sinkA都是有理数．当n=k+1时，由cos(k+1)A=cosA⋅coskA−sinA⋅sinkA,sinA⋅sin(k+1)A=sinA⋅(sinA⋅coskA+cosA⋅sinkA)=(sinA⋅sinA)⋅coskA+(sinA⋅sinkA)⋅cosA,由①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA⋅sin(k+1)A都是有理数，即当n=k+1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．46. （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，从而∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，因为E是A1B的中点，所以EF∥AA1，且EF=12AA1，又D是CC1的中点，所以CD∥AA1，且CD=12AA1，从而EF∥CD，且EF=CD，所以EFCD为平行四边形．又DC⊥平面ABC，所以EFCD为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，则G∈DF．在Rt△EFD中，EF2=FG⋅FD=13FD2.由EF=1，解得FD=√3，从而ED=√2,EG=1×√2√3=√63.在Rt△ABC中，因为FC=ED=√2，所以AB=2√2,A1B=2√3,EB=√3.在Rt△EBG中，sin∠EBG=EGEB=√23.因此，A1B与平面ABD所成的角是arcsin√23．（2）因为ED⊥AB，ED⊥EF，EF∩AB=F，所以ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为ℎ，由V A1−AED =V D−AA1E，得S△AED⋅ℎ=S△A1AE⋅ED,因为S △A 1AE =12S △A 1AB =√2,S △AED =12AE ⋅ED =√62.所以ℎ=√2×√2√62=2√63. 因此，A 1 到平面 AED 的距离为 2√63． 47. （1） 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3，则在图 1 中，取 BE 的中点 D ，连结 DF ． ∵ AE ∶EB =CF ∶FA =1∶2，∴ AF =AD =2，而 ∠A =60∘， ∴ △ADF 为正三角形． 又 AE =DE =1，∴ EF ⊥AE ． 从而在图 2 中，EF ⊥A 1E ． ∵ 二面角 A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥平面 BEP ．（2） 在图 2 中，∵ A 1E ⊥平面 BEP ， ∴ A 1E ⊥BP ，由线面垂直的判定与性质，得 BP 垂直于 A 1E 在面 A 1BP 内的射影． 设 A 1E 在平面 A 1BP 内的射影为 A 1Q ，且 A 1Q 交 BP 于 Q ．则 ∠EA 1Q 就是 A 1E 与平面 A 1BP 所成的角，且 BP ⊥A 1Q ． 在 △EBP 中，∵ BE =BP =2，∠EBP =60∘， ∴ △EBP 为正三角形，∴ BE =EP ． 又 ∵ A 1E ⊥平面 BEP ，∴ A 1B =A 1P ， ∴ Q 为 BP 的中点，且 EQ =√3，而 A 1E =1， ∴ 在 Rt △A 1EQ 中，tan∠EA 1Q =EQA 1E=√3. 因此，直线 A 1E与面 A 1BP 所成角为 60∘．（3）在图2中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF．∵CF=CP=1，∠C=60∘，∴△FCP为正三角形，从而PF=1．又∵PQ=12BP=1，∴PF=PQ．⋯⋯①∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=√3，∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP，从而∠A1PF=∠A1PQ．⋯⋯②由①、②及MP为公共边，得△FMP≌△QMP，∴∠QMP=∠FMP=90∘，且MF=MQ，从而∠FMQ为二面角B−A1P−F的平面角．在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=√5．由MQ⊥A1P，得MF=MQ=A1Q⋅PQA1P=2√55.在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60∘．由余弦定理，得QF=√3，在△FMQ中，cos∠FMQ=MF2+MQ2−QF22MF⋅MQ=−78.因此，二面角B−A1P−F的大小为π−arccos78．第21页（共21 页）。
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高考三角函数真题
2018：
7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．
16．（本小题满分14分）
已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；
（2）求tan()αβ-的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，
大棚Ⅰ的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ的地块形状
为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧
上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确
定sin θ的取值围；
（2）若大棚Ⅰ种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
2017：5.若tan 1-
=46
πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 16. （本小题满分14分）
已知向量a =（cos x ,sin x ）,,.
（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x 的值
18. （本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为
32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为
12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不
计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l
没入水中部分的长度；16
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l
没入水中部分的长度. 20
2016：9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点
个数是▲ .
14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .
15.（本小题满分14分）
在ABC △中，AC =6，4πcos .54B
C ， （1）求AB 的长；
（2）求πcos(6A
)的值.
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.
(1) 若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？
2015：8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 15.（本小题满分14分）
在ABC 中，已知2,3,60.AB AC A ===
(1)求BC 的长；
（2）求sin2C 的值。
2018：全国卷2
6. 在
中，，，，则 A. B. C. D.
10. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C.
D. 15. 已知，，则__________．
2010：卷
10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。
13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b
+=，则tan tan tan tan C C A B
+=____▲_____。
17.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔
的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精
确度。
若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
2011：卷
7．已知,2)4tan(=+π
x 则x
x 2tan tan 的值为__________ 9．函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则f (0)=
15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
（1）若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1cos ==，求C sin 的值.
2012：卷
11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．
15．在A B C ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：tan 3tan B A =；
（2）若cos C =
求A 的值．
2013：卷
1函数)4
2sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ . 15.（本小题满分14分）
已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<.
(1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；
(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.
18. （本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径. 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5
C =. (1) 求索道AB 的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离
最短？
(3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3
分钟，乙步行的速度应控制在什么围？
2014：卷
5.已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为
3
π的交点，则ϕ的值是_______．
14. 若ABC ∆的角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．
15【14分】已知()
2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4
απ+的值； （2）求()cos 26α5π-的值．
18.【16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个
圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3
BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长； （2）当OM 多长时，圆形保护区的
面积最大？．。