湖南省2011年普通高等学校对口招生考试数学试题
湖南省对口高考2011年数学模拟学训练试卷(2)5
湖南省2011年普通高等学校对口招生考试数学模拟试卷(2)第Ⅰ卷（选择题，共40分）考生注意事项：请用2A 铅笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，=+ii 33A ．12341-B ．i 12341- C ．i 6321+ D ．i 6321- 2．若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C RA ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22 C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,( D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22 3．设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是A ．||||b a =B ．22=⋅b a C ．b b a 与-垂直 D ．b a //4．若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=A ．-1B ．1C ．-2D ．25．双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为A ．)0,22(B ．)0,25(C ．)0,26(D ．)0,3(6．设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是7．若=∈=+x x x x tan ),,0(,51cos sin 则πA ．53-B ．43C ．2512-D ．34-8．五项不同的工程由3个工程队承包，每队至少承包一项，则不同的承包方案A ．420B ．240C ．150D ．909．已知随机变量ξ~B （n, p ）,且E （ξ）=1.6, D （ξ）=1.28，则n, p 分别是A ．n=10, p=0.6B ．n=8, p=0.2C ．n=2, p=0.8D ．n=8, p=0.410．下列四个命题： ① +∞→x limx1= 0； ② +→1lim x 1-x = 0； ③ 2lim -→x 222++x xx 不存在；④ 设f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧+≥）＜（，（，01)0x x x x ，则0lim →x f (x ) = 0.其中不正确的是 A ．①② B ．②③ C ． ③④ D ． ①④第Ⅱ卷（非选择题 共80分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．3|4||2|>-+-x x ”的解集为 ． 12．若n xx x )1(3+的展开式中第七项为常数项，则n=___________13．设曲线ax y e =在点(0,1)处的切线与直线410x y +-=垂直，则a = ．14．在正项等比数列}{n a 中，374a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 .15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①52)(1=B P ； ②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．16．从总数为N 的一群学生中抽取一个容量为100的样本，若每个学生被抽取的概率为41，则N 的值为 .三、解答题（本大题共7小题，前5小题每题8分，其中第22、23小题为选做题且每题10分，共50分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤） 17．已知关于x 的不等式：.113)1(<--+x x a（1）当1=a 时，求该不等式的解集； （2）当0>a 时，求该不等式的解集18．设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12,AB AC a ⋅==c b ,（其中c b <）．19．已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项和10100S =。
湖南省2011年普通高等学校对口招生考试
湖南省2011年普通高等学校对口招生考试机电类专业综合知识模拟试题（二）一、单选题（5分×20=100分）1、根据图1主、俯视图选择正确的左视图。
（）2、要得到如图2所示的尺寸标注形式，选用的命令是（）A、dimlinearB、dimalignedC、dimcontinueD、dimbaseline3、适用于两轴直径较小、同心度较高、工作平稳的场合、并在机床上应用广泛的联轴器是（）A、套筒联轴器B、滑块联轴器C、万向联轴器D、弹性柱销联轴器4、在同一轴上不同轴段的键槽应布置在同一母线上，目的是（）A、便于一次装夹后完成加工B、便于轴上零件的装拆C、便于轴上零件的轴向定位D、便于轴上零件的周向定位5、一铰链四杆机构，连架杆尺寸分别为a=400mm，C=500mm，连杆尺寸为b=600mm，机架尺寸为d=300mm。
该四杆机构为（）A、曲柄摇杆机构B、双曲柄机构C、双摇杆机构D、导杆机构6、一对外啮合的标准直齿圆柱齿轮传动，已知其齿数分别为z1=30，z2=50，模数m=5，下列尺寸计算正确的是（）A、d1=150mm,d a2=160mm,a=200mmB、d2=250mm,h=11.25mm,a=400mmC、P=5πmm,d a1=160mm,d f1=137.5mmD、h a=5mm,d a2=260mm,d f2=140mm7、有一双头丝杆传动，螺距为6 mm，要求螺母移动0.2 mm时，刻度盘转过一格。
此刻度盘（固定在丝杆端部）圆周应均匀刻线数为（）A、30B、40C、60D、1008、下列措施中，不能提高轴疲劳强度的是（）A、改进轴的结构，降低应力集中B、提高轴的表面质量C、改变轴上零件的布置，以减小轴上载荷D、通过热处理整体淬硬9、定轴轮系中，直接外啮合的主从动两轮之间若加入偶数个惰轮，会出现（）A. 主从两轮转向相同B. 主从两轮转向相反C. 改变传动比大小D. 对中心距无影响10、有一双圆销外啮合槽轮机构，槽轮有六条槽，主动件转速为120r/min，当主动件转1转时，槽轮停歇时间为( )秒。
2011年全国高考文科数学试题及答案-湖南
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。
４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
正视图 侧视图俯视图 图1由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得,附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A.6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011年湖南省高考数学文科试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分参考公式:(1)()(|)()P AB P B A P A =,其中,A B 为两个基本事件,且()0P A >. (2)柱体体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. (3)球的体积公式343V R π=,其中R 为球的半径. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ）A .{1,2,3}B .{1,3,5}C .{1,4,5}D . {2,3,4} 2. 若,,a b R i ∈为虚数单位,且()a i i b i +=+,则( )A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C . 1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-3. “1x >”是“||1x >”的( )A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 4. 设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )A .942π+B .3618π+C .9122π+ D .9182π+ 5. 通过询问110名性别不同的的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表.由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得,22110(40302020)7.860506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,附表如右下,参照附表,得到的正确结论( )A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”6. 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y =±,则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为( )A .-12B . 12C . -22D . 228. 已知函数2()1,()4 3.xf x eg x x x =-=-+-若有()()f a g b =,则b 的取值范围为( )A .[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C . [1,3]D .(1,3)二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)9. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(cos s i n )10ρθθ-+=,则1C 与2C 的交点个数为 .10. 已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 （只写出其中一个也正确）. (二)必做题(11～16题)11. 若执行如图2所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ==== 则输出的数等于 .12. 已知()f x 为奇函数,()()9g x f x =+,(2)3g -=,则(2)f = .13. 设向量a ,b 满足|a|=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为 .14. 设1m >,在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数5z x y =+的大值为4,则m 的值为 。
湖南省近七年(2011-2017)对口高考数学试题分类
湖南省近七年(2011-2017)对口高考数学试题分类近七年湖南省普通高等学校对口招生考试的数学试题中，填空和选择题占据了很大比例。
以下是一些题目和解答：1.（2011.1）不等式(x-2)(x+1)≤0的解集是（）A.(-1,2)B.(-∞,2) ∪ (2,+∞)C.[-1,2]D.(-∞,-1) ∪ [2,+∞]2.（2012.3）不等式2x-3>1的解集为（）A.(1,2)B.(-∞,1) ∪ (2,+∞)C.(-∞,1)D.(2,+∞)3.（2013.7）不等式x^2-2x-3>0的解集为（）A.(-3,1)B.(-∞,-3) ∪ (1,+∞)C.(-1,3)D.(-∞,-1) ∪ (3,+∞)4.（2014.7）若a<0，则关于x的不等式(x-3a)(x+2a)<0的解集为（）A.{x|3a-2a} C.{x|-2a3a}5.（2015.8）不等式1-2x<3的解集为（）A.{x|x-1} C.{x|-2<x<4} D.{x|-1<x<2}6.（2016.4）不等式2x+1>5的解集为（）A.{x|x>2}B.{x|x2}7.（2016.13）若不等式x^2+x-c≤0的解集为{x-2≤x≤1}，则c=5.8.（2017.7）不等式x-5x+6<0的解集为（）A.{x|x3} C.{x|x3} D.{x|2<x<3}9.（2017.14）若关于x的不等式2x+b<3的解集为{x-3<x<5}，则b=-1.1.（2011.2）方程x^2-px+q=0有解的充分必要条件是p^2-4q≥0.2.（2012.2）"x>3"是"x^2>9"的充分必要条件。
3.（2013.3）"x=2"是"(x-1)(x-2)=0"的充要条件。
2011年湖南省高考数学文科试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分参考公式:(1)()(|)()P AB P B A P A =,其中,A B 为两个基本事件,且()0P A >. (2)柱体体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. (3)球的体积公式343V R π=,其中R 为球的半径. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ）A .{1,2,3}B .{1,3,5}C .{1,4,5}D . {2,3,4} 2. 若,,a b R i ∈为虚数单位,且()a i i b i +=+,则( )A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C . 1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-3. “1x >”是“||1x >”的( )A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 4. 设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )A .942π+B .3618π+C .9122π+ D .9182π+ 5. 通过询问110名性别不同的的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表.由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得,22110(40302020)7.860506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,附表如右下,参照附表,得到的正确结论( )A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”6. 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y =±,则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为( )A .-12B . 12C . -22D . 228. 已知函数2()1,()4 3.x f x e g x x x =-=-+-若有()()f a g b =,则b 的取值范围为( )A .[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C . [1,3]D .(1,3)二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)9. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(cos sin )10ρθθ-+=,则1C 与2C 的交点个数为 .10. 已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 （只写出其中一个也正确）. (二)必做题(11～16题)11. 若执行如图2所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ==== 则输出的数等于 .12. 已知()f x 为奇函数,()()9g x f x =+,(2)3g -=,则(2)f = .13. 设向量a ,b 满足|a|=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为 .14. 设1m >,在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数5z x y =+的大值为4,则m 的值为 。
2011年湖南省对口高考数学模拟试卷
湖南省2008年普通高等学校对口招生考试数学模拟试卷班级 姓名 计分一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1、含有三个实数的集合可表示为{a,ab,1}，也可表示为{a 2,a+b ,0}，则a 2003 +b 2003的值为 -------（ ） A ．0 B ．1 C ．—1 D ．1±2、下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数、又是偶函数的函数一定是).(0)(R x x f ∈=其中正确的命题的个数是 -------（ ） A ．4个B ．1个C ．2个D ．3个3、 设向量=⋅︒︒=︒︒=则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos -------（ ）A ．23B ．21 C ．－23 D ．－21 4、在等差数列1，4，7，……中，5995是它的 -------（ ）A ．第1999项B ．第2005项C ．第2003项D ．第2001项5、某小学为了让同学们记住北京奥运会开幕的时间，让同学们做一个游戏，把20080808这个数中的8个数字进行任意排列，规定最高位不能是0，看谁得到的数字最多，则符合条件的数字最多有 -------（ ） A 、35 B 、105 C 、140 D 、2806、函数y =cos2x 的图象，可由y=cos(2x －)3π的图象，经过下列哪种平移变换得到 -------（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7、．若一个圆的圆心在抛物线x y 42=的焦点处，且此圆与直线01=++y x 相切，则这个圆的方程是 -------（ ）A ．01222=--+x y xB ．01222=+++x y xC ．01222=+-+y y xD ．01222=+++y y x8、在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的-------（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件9、已知x x x f cos sin )(1-=、记x f x f ()(12'=），…..，)()(1x f x f n n '=-),2,(*≥∈n N n 则： =++++)2(......)2()2()2(2008321ππππf f f f -------（ ）A 、1-B 、0C 、3-D 、310、)11(lim 22--+∞→x x x x 的值为 -------（ ）A ．1B ．21C ．2D ．不存在二．填空题（每小题5分，共40分）11、已知=+=--=+y x y x y x 则,sin 4,2cos 3θθ 12、函数xx y --=312log 2的定义域为 . 13、23210-=N n C C ，则=n15、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1012S =，2017,S =则30S 为 . 16、复数i z 62+=，则Z 的三角形式为：______________.17、已知1)1(+=x x x f .则=')(x f .18、如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 与BD 的中点，若CD = 2AB = 4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为 .答题卡一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 18. 三．解答题（本大题共7小题，共60分，解答写出文字或演算步骤.）19、已知}0x=m-xP（10分）-xxxQ=<{|},-{2≥|6（1）若P⊆Q，求实数m的取值范围；（2）若ΦP，求实数m的取值范围.=⋂Q20、已知,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，()221f x a b m =⋅+-（,x m R ∈）， （1）求()f x 关于x 的表达式（可含m ），并求()f x 的最小正周期；（2）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()f x 的最小值为5，求m 的值21、已知等差数列{}n a 满足11a =，22n n a a =，其前n 项和为n S ． （Ⅰ）若55n S =，求n ；（Ⅱ）各项均为正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若34b a =，37T a =，求n T ．（1）设数列{}n a 公差为d ，由11a =，22n n a a =，得 ()()121211n d n d +-=+-⎡⎤⎣⎦即1d = ∴()11n a n n =+-=，()()1122n n n a a n n S ++==而 55n S =，即()1552n n +=，解得10n = (6)分（2）由3437b a T a =⎧⎨=⎩，得21211147b q b b q b q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩ 解之得1923b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍），112b q =⎧⎨=⎩∴()()1111221112n n n n b q T q-⋅-===--- …12分22、一个透明的口袋内装有分别写着“08”、“奥运”且大小相同的球共7个，已知从摸出2个球都写着“奥运”的概率是71，甲、乙两个小朋友做游戏采用不放回的方式从口袋中轮流摸取一个球，甲先选，乙后选取，然后甲再取……，直到两个小朋友中有1个人取得“奥运”时游戏终止，每个球在每次被取到的机会均相同。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖南理
2011年湖南理一、选择题（共8小题；共40分）1. 若a,b∈R，i为虚数单位，且a+i i=b+i，则 A. a=1,b=1B. a=−1,b=1C. a=−1,b=−1D. a=1,b=−12. 设M=1,2，N=a2，则＂a=1＂是＂N⊆M＂的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．A. 92π+12 B. 92π+18 C. 9π+42 D. 36π+184. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2=n ad−bc2a+b c+d a+c b+d 算得K2=110×40×30−20×20260×50×60×50≈7.8附表：P K2≥k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂C. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂D. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂5. 设双曲线x2a2−y29=1a>0的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为 A. 4B. 3C. 2D. 16. 由直线x=−π3,x=π3,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为 A. 12B. 1 C. 32D. 37. 设m>1，在约束条件y≥x,y≤mx,x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A. 1,1+2B. 1+2,+∞C. 1,3D. 3,+∞8. 设直线x=t与函数f x=x2,g x=ln x的图象分别交于点M,N，则当∣MN∣达到最小时t的值为A. 1B. 12C. 52D. 22二、填空题（共8小题；共40分）9. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosαy=1+sinα α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρcosθ−sinθ+1=0，则C1与C2的交点个数为．10. 设x,y∈R，且xy≠0，则 x2+1y 1x+4y2的最小值为．11. 如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．12. 设S n是等差数列a n n∈N∗的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=．13. 若执行如图所示的框图，输入x1=1,x2=2,x3=3,x=2，则输出的数等于．14. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC =2BD ，CA =3CE ，则AD ⋅BE= ．15. 如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）P A = ；（2）P B ∣A = ．16. 对于n ∈N ∗，将n 表示为n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20．当i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a i 为0或1．记I n 为上述表示中a i 为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，则I 1 =0，I 4 =2），则I 12 = ；2I n 127n =1= ．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A =a cos C ．（1）求角C 的大小； （2）求 3sin A −cos B +π4 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量 件 0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（1）求当天商品不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19. 如图，在圆锥PO中，已知PO=⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点．（1）证明：平面POD⊥平面PAC；（2）求二面角B−PA−C的余弦值．20. 如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v v>0，雨速沿E移动方向的分速度为c c∈R．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与∣v−c∣×S成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（1）写出y的表达式；（2）设0<v≤10，0<c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．21. 如图，椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，x轴被曲线C2:y=x2−b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求C1，C2的方程；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与点D，E．①证明：MD⊥ME；②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得S1S2=1732?请说明理由．22. 已知函数f x=x3，g x=x+x．（1）求函数 x=f x−g x的零点个数，并说明理由；（2）设数列a n n∈N∗满足a1=a a>0，f a n+1=g a n，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N∗，都有a n≤M．答案第一部分 1. D 【解析】因为 a +i i =−1+a i =b +i ，根据复数相等的条件可知a =1,b =−1． 2. A 【解析】因为" a =1 "，即N = 1 ，满足" N ⊆M "，反之" N ⊆M "，则N = a 2 = 1 ，或N = a 2 = 2 ，不一定有" a =1 "．3. B【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V =4π 3 3+3×3×2=9π+18.4. C 【解析】由题意K 2=7.8>6.635，有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；5. C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为y =±3ax ，故可知a =2． 6. D 【解析】由定积分知识可得S = cos x d x π3−π3=sin x ∣−π3π3=32− −32= 3．7. A【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，将目标函数化为斜截式为y =−1mx +zm，平移x +my =0，结合图形可以看出当目标函数过y =mx 与x +y =1的交点B 时取到最大值．联立 y =mx ,x +y =1,得交点坐标为B 1m +1,m m +1 ．将其代入目标函数得z max =1+m 2m +1．由题意可得1+m 2m +1<2，又m >1，所以1<m <1+8. D【解析】由题可得∣MN ∣=x 2−ln x x >0 ，不妨令 x =x 2−ln x ，则 ʹ x =2x −1x ，令ʹ x =0解得x = 22． 因为当x ∈ 0, 22时， ʹ x <0，当x ∈ 22,+∞ 时， ʹ x >0，所以当x = 22时，∣MN ∣达到最小，即t =22． 第二部分 9. 2 10. 9 【解析】x 2+1y 2 1x 2+4y 2 =1+1x 2y2+4x 2y 2+4≥5+2 4=9, 当且仅当x 2y 2=12时取等号． 11.2 33【解析】由题可知，∠AOB =∠AOE =60∘，OA =OB =OE =2，得△ABO 和△AEO 为正三角形，则AD = 3，AE =2． 由△AEF ∽△BDF ，得AF FD=AE BD=2．所以3−AF=2，解得AF =2 33．12. 25 13. 23 【解析】S = 1−2 2+ 2−2 2+ 3−2 2=2.14. −14【解析】依题意，AD=CD −CA =12CB −CA ,BE=CE −CB =13CA −CB . 所以AD ⋅BE = 12CB −CA ⋅ 13CA −CB =−12−13+76CB ⋅CA =−14. 15. 2π，14【解析】由几何概型概率计算公式可得：P A =S 正圆=2; 由条件概率的计算公式可得：P B ∣A =P AB=2π×142π=1.16. 2，1093【解析】将n 表示为n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，实际上是将十进制的数转化为二进制的数．（1）因为12=1×23+1×22+0×21+0×20，所以I 12 =2． （2）当n =1时，二进制为1，则I 1 =0，2I 1 =20．即2I 1 =30． 当n =2时，二进制为10，则I 2 =1，2I 2 =21； 当n =3时，二进制为11，则I 3 =0，2I 3 =20；则 2I n3n =2=21+20=31． 当n =4时，二进制为100，则I 4 =2，2I 4 =22； 当n =5时，二进制为101，则I 5 =1，2I 5 =21； 当n =6时，二进制为110，则I 6 =1，2I 6 =21； 当n =7时，二进制为111，则I 7 =0，2I 7 =20．则 2I n7n =4=22+21+21+20=32． 类似地，有 2I n 15n =8=33， 2I n 31n =16=34， 2I n 63n =32=35， 2I n 127n =64=36． 于是 2I n 127n =1=30+31+32+33+34+35+36=1093． 第三部分17. （1）由正弦定理得sin C sin A =sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C =cos C ,又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4． （2）由（1）知B =3π4−A ．于是3sin A −cos B +π4= 3sin A −cos π−A= 3sin A +cos A=2sin A +π6.因为0<A <3π4，所以π<A +π<11π, 从而当A +π6=π2，即A =π3时，2sin A +π6取最大值2.综上所述， 3sin A −cos B +π4 的最大值为2，此时A =π3，B =5π12．18. （1）记事件A 为当天不进货，事件B 为当天销售了0件，事件C 为当天销售了1件，则P A =P B +P C =1+5=3.（2）记事件D 为当天销售了2件，记事件E 为当天销售了3件． 第二天开始营业时该商品有3件包括第一天销售了0件、2件或3件． 由题意知，X 的可能取值为2,3.P X =2 =P C =520=14. P X =3 =P B +P D +P E =34.故X 的分布列为X 23P13 X 的数学期望为EX =2×14+3×34=114.19. （1）连接OC ，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD．又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO．因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．（2）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（1）知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC,所以PA⊥OH．在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G,连接HG，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，所以∠OGH是二面角B−PA−C的平面角．在Rt△ODA中，OD=OA⋅sin45∘=2 2 ,在Rt△POD中，OH=PO2+OD2=2×222+2=10,在Rt△POA中，OG=PO⋅OA PO2+OA2=22+1=6 ,在Rt△OHG中sin∠OGH=OH=10563=15 5,所以cos∠OGH=10 5 ,故二面角B−PA−C的余弦值为105．20. （1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为320∣v−c∣+12，故y=100v320∣v−c∣+12=53∣v−c∣+10.（2）由（1）知，当0<v≤c时，y=53c−3v+10=53c+10v−15;当c<v≤10时，y=5v3v−3c+10=510−3c+15.故y=53c+10v−15,0<v≤c,510−3c+15,c<v≤10.①当0<c≤103时，y是关于v的减函数．故当v=10时，y min=20−3c2．②当103<c≤5时，在0,c上，y是关于v的减函数；在c,10上，y是关于v的增函数；故当v=c时，y min=50c．21. （1）由题意知e=c=3,从而a=2b,又2=a，解得a=2,b=1.故C1，C2的方程分别为x 24+y2=1，y=x2−1．（2）①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx．由y=kx,y=x2−1.得x2−kx−1=0,设A x1,y1，B x2,y2，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k,x1x2=−1.又点M的坐标为0,−1，所以k MA⋅k MB=y1+1x1⋅y2+1x2=kx1+1kx2+1x1x2=k2x1x2+k x1+x2+112=−k2+k2+1=−1,故MA⊥MB，即MD⊥ME．②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x−1，由y=k1x−1,y=x2−1.解得x=0,y=−1.或x=k1,y=k12−1.则点A的坐标为k1,k12−1．又直线MB的斜率为−1k1，同理可得点B的坐标为 −1k1,1k12−1．于是S1=1∣MA∣⋅∣MB∣=11+k12⋅∣k1∣⋅1+112⋅∣∣∣−11∣∣∣=1+k121.由y=k1x−1,x2+4y2−4=0.得1+4k12x2−8k1x=0,解得x=0,y=−1.或x=8k112, y=4k12−112.则点D的坐标为8k11+4k12,4k12−11+4k12．又直线ME的斜率为−1k1，同理可得点E的坐标为−8k14+k12,4−k124+k12．于是S2=1∣MD∣⋅∣ME∣=321+k12⋅∣k1∣1212,因此S1 2=14k12+412+17.由题意知1 644k12+4k12+17=1732,解得k12=4 或 k12=1 .又由点A，B的坐标可知k=k12−1k12k1+1k1=k1−11,所以k=±32．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y=32x和y=−32x．22. （1）由 x=x3−x−x知，x∈0,+∞，而 0=0，且1=−1<0,2=6−2>0,则x=0为 x的一个零点，且 x在1,2内有零点，因此 x至少有两个零点．x=x x2−1−x−12,记φx=x2−1−x−1，则φʹx=2x+12x−3.当x∈0,+∞时，φʹx>0,因此φx在0,+∞上单调递增，则φx在0,+∞内至多只有一个零点．因此 x在0,+∞内也至多只有一个零点，综上所述， x有且只有两个零点．（2）记 x的正零点为x0，即x03=x0+x0①当a<x0时，由a1=a，即a1<x0．而a23=a1+a1<x0+x0=x03,因此a2<x0．由此猜测：a n<x0．下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1<x0显然成立；2）假设当n=k k≥1时，有a k<x0成立，则当n=k+1时，由a k+13=a k+a k<x0+x0=x03知，a k+1<x0，因此，当n=k+1时，a k+1<x0成立．故对任意的n∈N∗，a n<x0成立．②当a≥x0时，由（1）知， x在x0,+∞上单调递增．则 a≥ x0=0，即a3≥a+a．从而a23=a1+a1=a+a≤a3,即a2≤a，由此猜测：a n≤a．下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1≤a显然成立；2）假设当n=k k≥1时，有a k≤a成立，则当n=k+1时，由a k+13=a k+a k≤a+a≤a3知，a k+1≤a，因此，当n=k+1时，a k+1≤a成立．故对任意的n∈N∗，a n≤a成立．综上所述，存在常数M=max x0,a，使得对于任意的n∈N∗，都有a n≤M．。