二次函数公开课课件-二次函数公式课件
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《二次函数》课件
一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
二次函数性质ppt课件
二次函数性质ppt课 件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式，其定义是基于变量的二 次方。在定义中，$a$、$b$和 $c$是常数，且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时，二次函数有最小值；当a<0时，二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线有最 小值；当a<0时，抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上，即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折，得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折，得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式，其定义是基于变量的二 次方。在定义中，$a$、$b$和 $c$是常数，且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时，二次函数有最小值；当a<0时，二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线有最 小值；当a<0时，抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上，即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ，得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折，得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折，得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
《二次函数》PPT精品课件
在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是（ B ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中，不是二次函数的是（ C ）
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解：
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得：k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是（ B ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中，不是二次函数的是（ C ）
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解：
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得：k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
二次函数 (PPT课件)
一次投篮过程
广 出场 的喷 水水 珠池喷 Nhomakorabea篮球和水珠在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位 置上，篮球（水珠）的竖直高度y与它距离投出位置 （喷头）的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用二次 函数来表示.这就是我们今天要学习的内容.
合作探究
问题2 n个人参加某项活动，每两个人握一次手，
形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
一次项
问题：
?
a，b，c为常数，a≠0
学以致用 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
人教版·九年级上册
22.1 二次函数的图象和性质
复习回顾
1．对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得 我们学过哪些函数吗？请具体说明。
会列二次函数表示实际问题中两个 变量的数量关系
学习目标：
能判断所给函数是否是二次函数， 能说出二次函数的项和各项系数.
学习重点：二次函数的概念
学习难点：
请欣赏下面两幅图片：
√ √ × √
× ×
最高次数是4
学以致用
2.分别指出下列二次函数解析式的自变量、各 项及各项系数.
?
（1）二次函数自变 量最高次数为2. （2）二次函数有意 义的前提条件是二次 项系数不为零.
?
点拨：绿地面积等于广场的面积减去两
?
条小路的面积之和再加上一个与小路等 宽的正方形的面积.
学有所获
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
初二二次函数教学ppt课件ppt课件ppt
如何判断二次函数的单调性
单调性是函数的重要性质，对于二次函 数来说，可以通过导数来判断其单调性 。
导数等于0：如果二次函数的导数在某点 处等于0，需要结合函数在该点的左右极 限来判断单调性。
导数小于0：如果二次函数的导数在某区 间内小于0，则该函数在此区间内单调递 减。
•·
导数大于0：如果二次函数的导数在某区 间内大于0，则该函数在此区间内单调递 增。
THANK YOU
详细描述
例如，最优化问题（如最小成本、最 大利润等）可以用二次函数来解决； 物理中的自由落体、抛物线运动等也 可以用二次函数描述。
数学问题中的二次函数
总结词
在数学领域，二次函数是解决各种问 题的重要工具。
详细描述
例如，代数问题中解方程、不等式等 ；几何问题中求最值、面积等；概率 统计中求期望、方差等。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
帮助学生掌握二次函数的基本概念和性质。
详细描述
设计一些关于二次函数表达式、开口方向、 顶点坐标等基础知识的题目，让学生通过练 习加深对二次函数的理解。
提升练习题
总结词
提高学生的解题能力和思维灵活性。
详细描述
题目难度略高于基础练习题，可以涉及一些 稍微复杂的计算和推理，例如求二次函数的
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为 常数，且a≠0。
详细描述
这是二次函数的标准形式，其中x 是自变量，y是因变量。通过调整 a、b、c的值，可以生成各种不同 形状和性质的抛物线。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一条抛物线。
详细描述
《二次函数的性质》课件
题目11：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于直线 $x=m$对称，求该函数的对称轴 。
总结词：综合分析
题目10：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的顶点坐标为 $(h,k)$，求该函数的表达式。
题目12：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(p,q)$上 单调递增，求该函数的表达式。
利用二次函数解决几何问题
总结词：图形性质
详细描述：二次函数与几何 图形之间有着密切的联系。 例如，抛物线的性质与几何 中的抛物线图形相对应，可 以利用二次函数研究抛物线 的性质和特点。
总结词：解析几何方法
详细描述：通过二次函数， 我们可以利用解析几何的方 法解决一些几何问题，如求 图形的面积、周长等。这种 方法具有很强的通用性和实 用性，可以广泛应用于各种 几何问题。
《二次函数的性质》课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的变式 • 练习与巩固
01
二次函数的概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、 $b$和$c$是常数，且$a neq 0$。$a$决定了抛物线的开口 方向和宽度，$b$决定了抛物线的对称轴位置，而$c$决定了 抛物线与y轴的交点。
04
二次函数的变式
二次函数的平移
平移不改变二次函数 的开口方向和开口大 小，只会改变顶点的 位置。
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1 y - x2 x 4 2
1 7 y - （x 1) 2 2 2
7 1 ， ，图像的顶点坐标为（ ）， 2
值，为
对称轴是： 直线x=1 当 当 当
；
x
=1 x <1
时，函数有最
大
-
7 2
；
时，y随x的增大而增大；
x >1
时，y随数的应用就是求解二次函数的综合运用题：二次函数的 应用主要利用二次函数的图象及性质解决相关的实际问题和几何 问题。在二次函数的应用中，经常遇到求最值的问题，我们通常 要借助：（1）顶点坐标（2）图像的增减性两方面内容来解决：
分析：
温馨提示：由于本题中二次函数的顶点横坐标不在自变量x的 取值范围内，所以应根据二次函数的增减性来确最值.
巩固练习
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段 发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每 上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与 销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天 销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元.请比较哪种方 案的最大利润更高，并说明理由．
分析：
分析：
温馨提示：由于本题中二次函数的顶点横坐标不在自变量x的 取值范围内，所以应根据二次函数的增减性来确最值.
在实际生活中，求二次函数的最大值或最小 值时，先用配方法，把二次函数用顶点式表示， 然后观察自变量x的取值范围，若函数取得最大 值或最小值的x在此范围内，则该最大值或最小 值符合题意，若不在此范围内，应根据自变量的 取值范围及函数的增减性求出最大或最小值。
分析：
温馨提示：本题中由于W关于x的二次函数的顶点横坐标在自变量 x的取值范围内，则顶点的纵坐标即为所求的最值
变化（一）
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房 间每天支出20元的各种费用．设每个房间的房价增加x元（x 为10的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式 及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是 多少元？
(1) 一般式： (2) 顶点式：
y ax2 bx c
>0
时，抛物线开口向上；
;
，顶点坐标为（ y a（x - h) 2 k ;
1 y - x( x 2) 4 2
b 4ac b 2 h ，k ）,其中h= - 2a ,k= 4a
练习：把
化为：
；
（1）一般式为： （2）项点式为：
茂名市新世纪学校
林建秋
1、利用二次函数解决最大利润问题 2、利用二次函数解决生活中的面积问题
例1
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时， 就会有一个房间空闲．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整 数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自 变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少 元？
3、（易错题）张大伯准备利用一面长15米的墙，用38米的栅栏 修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一 个2米宽的门. （1）求养殖场的面积y米2与BC边的长x米之间的函数关系式； （2）当BC为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？
巩固练习
解:
温馨提示：由于本题中二次函数的顶点横坐标不在自变量x的 取值范围内，所以应根据二次函数的增减性来确最值.
专题复习
茂名市新世纪学校
考点一 二次函数的概念及表达式 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数与方程、不等式的关系 考点四 二次函数的实际应用
知识回顾
一般地，形如
y ax2 bx c ，(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
二次函数的图象是 一条抛物线， ，当a 当a <0 时，抛物线开口向下。
分析：
温馨提示：本题中由于W关于x的二次函数的顶点横坐标在自变量 x的取值范围内，则顶点的纵坐标即为所求的最值
变化（二）
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房 间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房 价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整 数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式 及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是 多少元？