北京大学数值分析试题2015 经过订正

北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分)(1)设12A ⎡-=-⎥⎦，则A 的奇异值为 。

(2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。

(3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。

(4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,,,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数，则20(2)()nkk k xl x =+=∑ 。

(5) 插值型求积公式22=≈∑⎰()()nk k k x f x dx A f x 的求积系数之和0nk k A ==∑ 。

其中2x 为权函数，1≥n 。

（6）已知(3,4),(0,1)TTx y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。

H= 。

(7)数值求积公式112()((0)3f x dx f f f -⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰的代数精度为___。

(8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。

（输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:nif x (i)<S ，S=x (i);else,continue;end end S二、(12分) （1）证明对任何初值 0x R ∈，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)k k x x k +=+= 所产生的序列{}0k k x ∞=都收敛于方程1232cos 0x x -+=的根。

（2）证明它具有线性收敛性。

三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分40x e dx ⎰的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分4x e dx ⎰，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分） 已知数据表 2102230.510.5iiix y w --（1）构造关于点集和权的正交函数组01{(),()}x x ϕϕ；（2）利用01{(),()}x x ϕϕ拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2δ。

五、(12分) 利用Gauss 变换阵，求矩阵2113113112A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的LU 分解。

（要求写出分解过程）六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式1(1)()(1)()1,1,2,,i nk k k k iii ij jij j j j iii x x b a xa x i n a ω-++===+--=∑∑（）（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A 是严格对角占优阵，1ω=时此迭代格式收敛。

七、(10分) 用插值极小化方法求 xef -=)x ( 在[1，2]上的二次插值多项式)x (2P ，并在[1，2]上估计误差。

(已知Chebyshev 多项式)(t T 3的三个零点86600t 0t 86600t 210.,,.==-=)八、(8分)已知求解常微分方程初值问题00'()()()y x f x y y x y =+⎧⎨=⎩ 的数值格式为2100()'()[1()]2()n n n n n n n n h y y hf x y f x y f x y y x y +⎧⎪=++++++⎨⎪=⎩ 问此数值格式是几阶格式？北京大学 2014--2015 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称: 数值分析一、 填空题(每空3分，共24分)（1） 3 （2）3 （3）0.006 （4）22x +（5） 83 （6）4343--555534345555H H ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或 （7）3 （8）求向量x 的最小值 二、(12分) 记2()4cos 3x x ϕ=+，则2'()sin 3x x ϕ=-。

（1）先考虑区间[3，5]，当[3,5]x ∈时， 2()4cos [3,5]3x x ϕ=+∈ ，22'()sin 133x x ϕ=-<< 。

故对任意初值0[3,5]x ∈，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)k k x x k +=+=产生的序列{}0k k x ∞= 都收敛于方程1232cos 0x x -+=的根。

(6分)（2）对任意初值0x R ∈，有1024cos [3,5]3x x =+∈，将此1x 看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)k k x x k +=+=产生的序列{}0k k x ∞= 都收敛于方程 1232cos 0x x -+=的根。

(2分)（3） ****1**11**22(cos cos )sin ()33222sin ,lim lim sin 1333k k k k k k x k kx x x x x x x x x x x x x x ξξξξ+++→∞→-=-=----=-=-≤<-- (4分)此格式线性收敛性三、（12分）（1）42404(4) 56.10296x e dx e e e =++=⎰ (5分) （2） (4)(),(),xx f x e fx e ==由|R(S n )|=(5分)因为 ，且n 必须为偶数（复化辛普森公式）所以至少将区间[0，4] 30等分才能保证计算结果有五位有效数字. (2分) 四、（12分）（1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式(),0,1,i x i ϕ= 显然0()1x ϕ=，设10()()x x a x ϕϕ=+， 由10()()x x ϕϕ与正交得000((),)21((),())2x x a x x ϕϕϕ-=-=-=故有 1()1x x ϕ=+。

(4分)（2）设20011()()()p x a x a x ϕϕ=+，则01010011((),)((),)9/291/21,((),())24((),())12x y x y a a x x x x ϕϕϕϕϕϕ======191()(1)42p x x ∴=++ (4分) 2222000111||||((),())((),())Y a x x a x x δϕϕϕϕ=--2299116()2()10.1252428=+-⨯-⨯=≈ (4分) 五、(12分)(2)11100021015100010,220010013100010012L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (3分)(2)(3)221000210001005010,220100013/51500120001L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (3分) (2)321000210001005010,200100013/51500100021/1313L L A U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(3分) 111122100011002,20105500113L L L L A LU ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3分)六、(10分) (1) 1(1)()(1)()1,1,2,,i nk k k k ii iii ii ij jij j j j ia x a xb a xa x i n ω-++===+--=∑∑（）(1)()(1)()(1)()(1)1()1())()((1))()((1))()k k k k i k k k k Dx Dx b Lx U D x D L x D U x bx D L D U x D L bωωωωωωωωωω++++--=+++--=-++=--++-（(1)()11()((1))()k k x B x gB D L U D g D L bωωωωωωω+--=+=-+-=-迭代迭矩阵右端向式量代法的矩阵形 (6分) 21A ω=（）时，迭代格式为Gauss-seidel 迭代格式，当严格对角占优时，Gauss-seidel 迭代格式收敛。

(4分)七、(10分) 已知Chebyshev 多项式)(t T 3的三个零点86600t 0t 86600t 210.,,.==-=,作变量代换)(x 3t 21+=,得三个插值节点210k 3t 21k k ,,),(x =+=1.9330x 1.5x 1.0670x 210===,,0.1447x f 0.2231x f 0.3440f(x 210===)(,)(,)构造差商表()i i x f x 一阶差商 二阶差商1.06700.34401.50000.22310.27921.93300.14470.18110.1133--牛顿插值多项式22P (x)0.34400.2792(x 1.0670) 3.5863(x 1.0670)(x 1.5)0.11330.57010.8234x x =--+--=-+ ( 6分)001902216e t t t t t t max 216e x x x x x x 6f x R 2312101t -13121032.)())()(()())()(()()()(=⨯≤---≤---ξ=--≤≤-( 4分) 八、(8分)()2121112233()'()[1()]2()'()''()(4)2()'()''()()()'()''()22()(4)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y hf x y f x y f x y hy x hy x y x E y x y h h y x hy x y x O h y x hy x y x O h ++++=++++++=++=-⎛⎫⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=分此格式二阶精度。

分。