沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理
探究五
再逛赵州桥解决求桥拱半径的实际问题
赵州石拱桥的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 你能根据大桥提 供的数据计算它的半径吗？（精确到0.1m）
A
AE ＝ BE A⌒C＝B⌒C ⌒AD＝B⌒D
O
E
B
D
图形语言
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究三
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
D A
B
E
A
O
E AC
A
CE O B
义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆
第2课时 垂径分弦
实际问题 赵州桥主桥拱的半径是多少？
这幅照片是我国隋代建造的一座石拱桥，位于河北省赵县的 洨河上，因此习惯称为赵州石拱桥，据今已经1300多年了，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m． 你能根据大桥提供的数据计算它的半径吗？
股定理解决问题.
圆心到弦的距离叫 弦心距。
·O
E
A
B
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沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
巩固提高
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
. 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
A•
•C
•O
•
E•┐
•B
•D
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探究发现
• 垂径分弦
我们发现， CD⊥AB，则：
你能用一句话把这个结论概括出来吗？
猜想：如果圆的一条直径垂直于 一条弦，那么这条直径平 分这条弦，且平分这条弦 所对的两条弧.
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
∵⊙O关于直径CD对称,
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定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
问
桥拱图案是圆弧形，那么这段弧是
题
轴对称图形吗？圆也有这个性质吗？
探究一
拿出一个准备好 的圆形纸片，你 用什么方法？
探究发现 圆的轴对称性
●O
任意两条折痕的交点就是圆心. 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
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沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
D
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探究二
（3）操作：CD是圆0的 直径，过直径上任一点E 作弦AB⊥CD，将圆0沿CD 对折，比较图中的线段和 弧，你有什么发现？
E点还是AB的中点吗？ C,D还是AB所对的两段弧 的中点吗？
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知识梳理
A
B E O
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
解决有关弦的问题，常用的方法有： （1）过圆心作弦的垂线（弦心距）；（2）作垂 直于弦的直径；（3）连接半径 目的都是为利用垂径定理创造条件
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的
. 同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点 求证：AC＝BD.
变式：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）
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B C
O
O
E
C
D B
AE D
B
O
D D
O
AE
B
C
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究发现 ⑴垂径定理中的垂径可以是 直径、半径
或过圆心的直线或 线段 ，其本质是 “过圆心”. ⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质： ①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就： ③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
, 验证猜想
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直 径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
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常用形式
语言表示：
符号语言
CD是直径 CD⊥AB
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, 探究二
拿出一个准备好的圆形纸片，按下列步 骤操作：
（1）对折，画出折痕CD；
（2）在半圆形纸片上任意选一点，用笔标记， 摊平在记号标上A,B，连接AB交CD于E点。
C
观察折痕CD与AB的位置关
系，你有什么发现？图中
O
有哪些相等关系？
A
E
B
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再逛赵州桥解决求桥拱半径的实际问题
赵州石拱桥的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 你能根据大桥提 供的数据计算它的半径吗？（精确到0.1m）
A
AE ＝ BE A⌒C＝B⌒C ⌒AD＝B⌒D
O
E
B
D
图形语言
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究三
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
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D A
B
E
A
O
E AC
A
CE O B
义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆
第2课时 垂径分弦
实际问题 赵州桥主桥拱的半径是多少？
这幅照片是我国隋代建造的一座石拱桥，位于河北省赵县的 洨河上，因此习惯称为赵州石拱桥，据今已经1300多年了，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m． 你能根据大桥提供的数据计算它的半径吗？
股定理解决问题.
圆心到弦的距离叫 弦心距。
·O
E
A
B
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巩固提高
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
. 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
A•
•C
•O
•
E•┐
•B
•D
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究发现
• 垂径分弦
我们发现， CD⊥AB，则：
你能用一句话把这个结论概括出来吗？
猜想：如果圆的一条直径垂直于 一条弦，那么这条直径平 分这条弦，且平分这条弦 所对的两条弧.
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
∵⊙O关于直径CD对称,
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定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
问
桥拱图案是圆弧形，那么这段弧是
题
轴对称图形吗？圆也有这个性质吗？
探究一
拿出一个准备好 的圆形纸片，你 用什么方法？
探究发现 圆的轴对称性
●O
任意两条折痕的交点就是圆心. 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
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探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
D
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探究二
（3）操作：CD是圆0的 直径，过直径上任一点E 作弦AB⊥CD，将圆0沿CD 对折，比较图中的线段和 弧，你有什么发现？
E点还是AB的中点吗？ C,D还是AB所对的两段弧 的中点吗？
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知识梳理
A
B E O
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
解决有关弦的问题，常用的方法有： （1）过圆心作弦的垂线（弦心距）；（2）作垂 直于弦的直径；（3）连接半径 目的都是为利用垂径定理创造条件
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的
. 同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点 求证：AC＝BD.
变式：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
B C
O
O
E
C
D B
AE D
B
O
D D
O
AE
B
C
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
探究发现 ⑴垂径定理中的垂径可以是 直径、半径
或过圆心的直线或 线段 ，其本质是 “过圆心”. ⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质： ①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就： ③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
, 验证猜想
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直 径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
常用形式
语言表示：
符号语言
CD是直径 CD⊥AB
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
, 探究二
拿出一个准备好的圆形纸片，按下列步 骤操作：
（1）对折，画出折痕CD；
（2）在半圆形纸片上任意选一点，用笔标记， 摊平在记号标上A,B，连接AB交CD于E点。
C
观察折痕CD与AB的位置关
系，你有什么发现？图中
O
有哪些相等关系？
A
E
B
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
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沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理PPT课件
作直径mn垂直于弦ab直径mn也垂直于弦cdamcmbmdmacbd两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弦的直线必垂直弦如图ab是半圆的直径o是圆心c是弦ac的中点od交弧acwwwczsx
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
沪科版九年级下册数学：垂径定理
A
E D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？
如果不是，请说明为什么？
C C
A
B
O
A
EB
D
O A
是
不是，因
为没有垂
直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为
CD没有过
圆心
归纳总结
➢垂径定理的几个基本图形：
C
A
B D
O
O
O
O
A
EBA
DB
D
E
A CB C
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
这条弦所对的两条弧。
·O
用垂径定理和勾股定理求解.
AC
B
弓形中重要数量关系
C
弦长a，弦心距d，弓形高h，
h
半径r之间有以下关系：
A
Da
B
d+h=r
r2
d2
a 2
2
r
d O
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm . 2.已知⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°, 则弦 AC= 10 3cm .
C
➢特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
圆心到弦的距离
叫做 弦心距.
例1 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
AE EB 1 AB 1 6 3cm.
22
[初中数学]+第二课时+垂径分弦课件+年+沪科版数学九年级下册
![[初中数学]+第二课时+垂径分弦课件+年+沪科版数学九年级下册](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/6dab5088250c844769eae009581b6bd97e19bc7b.webp)
图18
的半径，构造直角三角形，结合垂径定理、锐角三角函
数求解.
起航加油
随堂演练
课后达标
29
解：如图72，过点作 ⊥ 于点， ⊥ 于点，连接
1
，，，则＝，＝＝
2
＝3.
故＝ − ＝3 − 1 = 2.
在Rt △ 中，＝
2
1
AB
2
图11
= 2 m.
在 Rt △ AOC 中， OA = r m ， OC = 6 − r m ，根据勾股
定理，得 22 + 6 − r
解得 r =
10
.∴
3
⊙
2
= r2 .
10
O 的半径长为
3
图66
m．
起航加油
随堂演练
课后达标
18
课后达标
起航加油
Байду номын сангаас
随堂演练
课后达标
19
基础巩固
1.如图12, ⊙ O 的弦 AB 的长为16, M 是 AB 的中点,且
13
2
−
2
2 ＝ 11，所以
＝2＝2 11.
图72
起航加油
随堂演练
课后达标
31
以点 O 为圆心的圆的一部分， C 是 ⊙ O 中弦 AB 的中
点， CD 经过圆心 O 交 ⊙ O 于点 D ，并且 AB = 4 m ，
CD = 6 m .求 ⊙ O 的半径长．
解：如图66，连接 OA .
设 ⊙ O 的半径为 r m ， ∵ C 是弦AB 的中点， CD 过圆心
O ， ∴ CD ⊥ AB ， AC = BC =
⊙ O 的弦，点 P 在弦 AB 上．若 PA = 4 ， PB = 6 ，则
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
解： OEAB
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
A O 2O E2A E2
E
B
·
O
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm.
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第2课时
( 2 )连接OA,设OA=x,AD=12 cm,OD=( x-8 ) cm, 由勾股定理,得x2=122+( x-8 )2, 解得x=13,即圆的半径为13 cm.
综合能力提升练
13.如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
解:连接 OA,作直径 MN⊥弦 AB,交 AB 于点 D, 由垂径定理,得 AD=DB=12AB=4.
又∵☉O 的直径为 10,∴OA=5.
在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得 OD= ������������2-������������2=3.
∵垂线段最短,半径最长, ∴OP 的长度范围是 3≤OP≤5.
综合能力提升练
【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6 cm, 则直径AB的长是( D )
A.2 3 cm
B.3 2 cm C.4 2 cm D.4 3 cm
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则
C.2 15
D.8
9.( 乐山中考 )如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇
门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,
且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最
高点离地面的距离( B )
垂径定理及其推论 3.( 教材改编 )如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( B )
A.CE=DE B.AE=OE C.������������ = ������������ D.△OCE≌△ODE 4.( 教材改编 )如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点, AB=10 cm,CD=6 cm,则AC长为 2 cm.
综合能力提升练
13.如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
解:连接 OA,作直径 MN⊥弦 AB,交 AB 于点 D, 由垂径定理,得 AD=DB=12AB=4.
又∵☉O 的直径为 10,∴OA=5.
在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得 OD= ������������2-������������2=3.
∵垂线段最短,半径最长, ∴OP 的长度范围是 3≤OP≤5.
综合能力提升练
【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6 cm, 则直径AB的长是( D )
A.2 3 cm
B.3 2 cm C.4 2 cm D.4 3 cm
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则
C.2 15
D.8
9.( 乐山中考 )如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇
门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,
且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最
高点离地面的距离( B )
垂径定理及其推论 3.( 教材改编 )如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( B )
A.CE=DE B.AE=OE C.������������ = ������������ D.△OCE≌△ODE 4.( 教材改编 )如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点, AB=10 cm,CD=6 cm,则AC长为 2 cm.
九年级数学下册242圆的基本性质第2课时垂径定理学案新版[沪科版](1)
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24．2 圆的对称性第2课时 垂径定理学前温故1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CM 是中线，以C 为圆心，5为半径画圆，则A 、B 、M 与圆的位置关系是( )． A ．A 在圆外，B 在圆内，M 在圆上B ．A 在圆内，B 在圆上，M 在圆外C ．A 在圆上，B 在圆外，M 在圆内D ．A 在圆内，B 在圆外，M 在圆上解析：Rt△ABC 中，AB ＝22＋42＝20＝25，CM ＝12AB ＝5，又2＜5＜4，故A 在圆内，B 在圆外， M 在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O 的最长距离为8 cm ，最短距离为 2 cm ，则⊙O 的半径是__________．解析：本题分两种情况：(1)点P 在⊙O 内部时，如图①所示，PA ＝8 cm ，PB ＝2 cm ，直径AB ＝8＋2＝10(cm)，半径r ＝12A B ＝12×10＝5(cm)；(2)点P 在⊙O 外部时，如图②所示，直径AB ＝PA －PB ＝8－2＝6(cm)，半径r ＝12×6＝3(cm)． 答案：3 cm 或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB 表示主拱桥，设AB 所在圆的圆心为O.过点O 作OC⊥AB 于D ，交AB 于点C.根据垂径定理，则D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 为拱高．在Rt△OAD 中，AD ＝12AB ＝37.4×12＝18.7(m)，OA ＝27.9 m ， ∴OD＝OA 2－AD 2＝27.92－18.72≈20.7(m)．∴CD＝OC －OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．∴赵州桥的拱高为7.2 m.点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h.它们之间的关系有r ＝h ＋d (或r ＝h －d )，r 2＝d 2＋(a 2)2. 2．垂径定理的推论【例2】 学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．解：小勇得出的结论正确．理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．A．2 cm B. 3 cmC．2 3 cm D．2 5 cm答案：C2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．A．矩形B．平行四边形C．正方形D．直角梯形答案：C3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．A．6 B．8C．10 D．12答案：A4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.答案：4 95．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB于E，则AE＝EB，CE＝ED.∴AE－CE＝BE－DE.∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，∴AC＝BD.。
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：
①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就：
③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
,
径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
∵⊙O关于直径CD对称,
定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 ,
O
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固提高
1、见教材第17页练习第3题
2、（学有余力）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
谢谢，再见!
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系统中重要 的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备自我激励能力的人， 富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自家的后院练习棒球。在挥动球 棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有击中。男孩子停下来，检查了球 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很棒的挥球手。接着男孩子又对自 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著是很多人并不具备的……而许多奇 迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要目标不能激发你的想象力，目标 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先 看看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下， 即使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅 咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反 映很不错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的棋局该由自己来摆。 不要从别人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵感的降临。你可不要 这样。如果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以，这次犯错，是为了 下次接受挑战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的勇气。事过境 迁，面对人生，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努力。谁都不 可能一生一世的帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点 意识的年轻人都想努力提��
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
D
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
初中数学九年级教案-沪科版-24.2 圆的基本性质(第2课时)
24.2圆的基本性质
第二课时
教学目标
【知识与能力】
1探索圆的对称性，进而得到垂径定理；
2.能够利用径定理解决相关的实际问题。
【过程与方法】
在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
【情感态度价值观】
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的精神。
教学重难点
【教学重点】
垂径定理的应用。
【教学难点】
利用垂径定理解决实际问题。
课前准备
课件、圆规、直尺、三角板等。
教学过程。
沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24-2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦》教学课件
下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC
D.A⌒C=B⌒C
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC. ∴四边形ADOE是矩形. 又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，AB＝AC， A E ＝ 1 2A C ＝ 1 2A B ＝ A D , ∴四边形ADOE是正方形.
1 2
AB=150m.
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
课后小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧.
垂
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的
径
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
谢谢 大家
本课件是在Micorsoft PowerPoint的平台上制作的，可以在Windows环境下独立运行， 集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学 生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直观、形象、生动，提高了学生学习的主动性 与积极性，减轻了学习负担，有力地促进了课堂教育的灵活与高效。
第2课时 垂径分弦
沪科版 九年级下册
新课导入
等腰三角形
矩形
平行四边形
等腰三角形、平行四边形、矩形具有对称性
菱形
正方形
圆
菱形、正方形具有对称性，那么圆是否也 具有对称性呢？
探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径 所在的直线对折，重复做几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？