灰色预测理论详解
灰色预测法
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
灰色预测理论详解
xN(0) (1), xN(0) (2),...,xN(0) (n)
为Z1相(1) 关为因X1素(1)序的列紧。邻X生i(成1) 为序列X i(，0) 的则1称-AGO序列 i 1,2,...,，N
N
x (0) 1
(k
)
az1(1)
(k )
bi xi (1) (k )
i2
为GM(1,N)灰色微分方程。
灰色预测
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息 的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、 与时间有关的灰色过程进行预测。
通过对原始数据的生成处理来和灰色模型的建立， 挖掘、发现、掌握寻求系统变动的规律。生成数 据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的 微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和 未来状态，对系统的未来状态做出科学的定量分 析。
x (1)(k 1) (x(1) (1) b )eak b
还原到原始数据
a
a
x (0)(k 1) x(1) (k 1) x(k)
DGM（1，1）模型
X(1() 1) 1
B
X(1() 1)
1
X(1() n
-
1 ）1
GM(1,1)和DGM(1,1)的关系
灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
1.累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数 列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。
第七章 灰色预测法
Yn ( X ( 0) (2), X ( 0) (3), X ( 0) (4),, 通最小二乘法求出 模型中两个参数 , ˆ ( B T B) 1 B T Yn a
5.将求出的参数代入微分 方程并求解 可得如下对一次累加序 列的预测模型:
(3), X
(1)
( 0)
( N )}
2.对原始序列作一次累加 生成X (1) X
(1)
{ X (1), X (2),, X (n)}
(1) (1) (1) k (0)
其中: X (k ) X
i 1
(i ) X (k 1) X
(1)
(0)
(k )
X (1) X
(1)
ç3 0.739411 0.632479 0.726354 1 0.789305 0.682872 0.630645
18
3.求关联度
1 n r0 k 0 k (t ) n t 1
例见Excel操作：
19
例5:求联度：
1 2 3 4 5 6 7 Ø Á ¹ ª ¶ È
ç1 0.475806 0.450157 0.621756 0.746231 0.826601 0.478729 0.335606 0.562126
试建立GM(1,1)模型并进行预测.
29
第一步:作一次累加生成(AGO):
设一次累加生成序列 X (1) X (1) { X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3), X (1) (4), X (1) (5)} 其中: X (1) (k ) X ( 0) (i ) X (1) (k 1) X ( 0) (k )
i 1 k
灰色预测法
k
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X (m) (k) = ∑X (m−1) (i)
i=1 k
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
• 例1
x
(0)
={2,5,4,3,6 }
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相似或相异程度，即进行关联度分 析，并通过对原始数据的生成处理来寻 找系统变动的规律，生成数据序列有较 强规律性，可以用它建立相应的微分方 程模型，从而预测事物未来发展趋势和 未来状况。
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
GM－Grey model －
a 设 α 为待估参数向量， α = ˆ ˆ µ
可利用最小二乘法求解得：
−1 T a T ˆ α = = ( B B) B Yn µ
1 − (x (1) (1) + x (1) (2)) 2 − 1 (x (1) (2) + x (1) (3)) B= 2 M 1 (1) − (x (n − 1) + x (1) (n)) 2
（3）后验差检验 1.计算原始序列标准差:
S1 =
∑[X (i) − X ]
(0) (0)
2
n −1
2. 计算绝对误差序列的标准差：
S2 =
∑[∆ (i) − ∆ ]
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
关于“灰色预测模型”讲解
7.8205 11.184
1
14.7185
1
1
1 1
y = [x (0)(2), x (0)(3), x (0)(4), x (0)(5)]T
= [3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
谢谢观赏！
有不足之处，请老师和同 学指正。若有疑问之处 ，请课后交流！
由于
涉及到累加列
(1) 的两个时刻的值，因此，
(1)
t
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xxx(((000))M)(((N23)))xxx(((000))M)(((N12231212 [[[))x)xx(((111)))
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人
概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
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单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
灰色系统理论的内容
灰色朦胧集、灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等是灰色系统理论 的基础，从学科体系自身的优美、完善出发，这里有许多问题值得进 一步研究。灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色 统计评估等内容。灰色序列生成通过序列算子的作用来实现，序列算 子主要包括缓冲算子(弱化算子、强化算子)、均值生成算子、级比生 成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色模型按照五步建模思 想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在规律， 经过灰色差分方程与灰色微分方程之间的互换实现了利用离散的数据 序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。灰色预测是基于GM 模型作 出的定量预测，按照其功能和特征可分为数列预测、区间预测、灾变 预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型。灰色决策包 括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和 灰色层次决策等。灰色控制的主要内容包括本征性灰色系统的控制问 题和以灰色系统方法为基础构成的控制，如灰色关联控制和GM (1，1) 预测控制等。灰色优化技术包括灰色线性规划、灰色非线性规划、灰 色整数规划和灰色动态规划等。
GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量) GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
预测模型
单序列灰色预测模型
GM（1，1）模型 DGM（1，1）模型 GM（1，N）模型 Verhulst模型
区间灰数预测模型
基于几何坐标法的区间灰数预测模型IGPM-G(1,1) 基于信息分解法的区间灰数预测模型IGPM-P(1,1) 基于灰色属性法的区间灰数预测模型IGPM-D(1,1)
1.累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数 列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。 具体地，记原始数列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(1)(n)) 累加生成序列 X(i)=(x(i)(1), x(i)(2),…,x(i)(n)) 一次累加生成关系
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1)
k
令Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列 Z（1）=（ z(1)(1 ), z(1)(2),…… z(1)(k )） z(1)(k)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k-1) GM(1，1)的灰微分方程模型为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 式中称为-a发展系数，b为灰色作用量
设&为待估参数向量，即&=（a,b）T，则灰微分方程的最小二乘估计参数 列满足 &=BT B1 BT Y 其中，
z (1) (2) 1 B= (1) z (3) 1 ... ... (1) z ( n ) 1
则称
x (0) (2) Y n= (0) x (3) ... (0) x (n)
为由数列x(0)的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数。 特别地，当生成系数为0.5时，则称
z(0)(k) = 0.5x(0)(k) + 0.5x(0)(k −1)
为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。 4.级比生成 级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法。对数列端点值的生 成，我们无法采用均值生成填补空缺，只能采用级比生成。 级别生成在建模中可以获得较好的灰指数律。级比生成是级比σ(k)与光滑比 ρ(k)生成的总称。 设原始序列为 X(0）={x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)}，称 σ(k)为级比，ρ(k)为 光滑比，其表达式为 σ(k)=x(0)(k)/x(0)(k −1) ρ(k)=x(0) dx/dt+ax=b 导数的定义
dx x ( t t ) x ( t ) lim dt t 0 t
当Δt很小并取很小的单位1时
x(t+1)-x(t)=Δx/Δt
则离散形式可写为 Δx/Δt=x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1) 由dx/dt——Δx/Δt——x(1)(k+1)-x(1)(k)，在[x(1)(k)，x(1)(k+1)]范围内，由于 很短时间内背景值（即x值）不会发生突变，则取均值 z(1)(k+1)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k+1)作为x的值。 则得到灰微分方程为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 则可得矩阵方程 x(0)(k+1)=-a z(1)(k)+b Yn=B&
dx (1) ax (1) b dt
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。 将上面所求参数代入白化方程，求得其解为
b b x (1) (k 1) ( x (1) (1) )e ak a a
还原到原始数据
(0) (1) x (k 1) x (k 1) x(k )
DGM（1，1）模型
) X( 1 (1) 1 (1) 1 X (1) B (1) 1 X (n - 1）
GM(1,1)和DGM(1,1)的关系
•DGM(1，1)模型和GM(1，1)是完全等价的。 •DGM(1，1)模型全面符合灰色预测模型的建模机理.是 一种新的灰色预测模型.或者说是灰色预测模型的一种 新形式。 •其中DGM(1，1)模型更能够精确模拟齐次指数序列。 对于非指数增长序列和震荡序列，应选择微分，差分 混合形态的GM(1，1)；对于接近齐次指数序列的非指 数增长序列和震荡序列，应优先选择DGM(1，1)模型。 •DGM模型可以看做是GM模型的精确形式，当GM模型中 的a取值很小时，二者可替换。
灰色预测
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息 的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、 与时间有关的灰色过程进行预测。
通过对原始数据的生成处理来和灰色模型的建立， 挖掘、发现、掌握寻求系统变动的规律。生成数 据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的 微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和 未来状态，对系统的未来状态做出科学的定量分 析。
基础知识
1.灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”
的不确定性系统。 信息不完全包含： 1、系统因素不完全明确； 2、因素关系不完全清楚； 3、系统结构不完全知道； 4、系统作用原理不完全明了。 2.白色系统、灰色系统、黑色系统 白色系统：一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全 充分的。如：存取款系统，存款金额明确，利息固定则最终取款金额就 已知。 灰色系统：一个系统的内部特征是不完全已知的系统。人体是一个系统， 人的身高、体温、血压等都是已知的，可是，人体内部在结构及部位功 能上还有许多问题尚未可知。 黑色系统：一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它 与外界的联系来加以观测研究。如：观测到的星体。
GM（1，N）模型
如果考虑的系统由若干个相互影响的因素组成，设
X1
( 0)
( 0) ( 0) ( 0) x1 (1), x1 (2),...,x1 (n) 为系统特征数据序列，而
X2
( 0)
x2 (1), x2 (2),...,x2 (n)
... ...
( 0)
( 0)
( 0)
XN
灰色系统理论的内容
灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起一门 新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色朦胧集为基 础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰 色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型(GM )为核心 的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控 制、优化为主体的技术体系。