数理统计学课后答案
数理统计学课后答案
【篇一：数理统计习题】
为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。
1. 2 设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为
f(x1,x2,?,xn)?(2??)
*
2?n2
n(?,?2)，则样本
exp{?
12?
2
?(x
i?1
n
2
i
??)}。
1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取
n件。分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即
?1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?
p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。
所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为
p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)?
??
i?1
n
xi
(1??)1?xi,xi?0,1.
2
1.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则
(x1?x2?x3)??，
)，其中?,?2是未知参
11
(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222
因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3 32
都是统计量。
1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则
2
1
3
)，其中?已知，?2是未
12(x12?x22
111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和323
12
?x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。
?
1．6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量
121ns?(xi?)2 ?nx??xi，ni?1
ni?1
n
分别为样本的均值和样本方差；统计量
1nk1n
ak??xi，bk??(xi?x)k
ni?1ni?1
分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。
2
显然，a1?x， b2?sn。
1．7 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数
2
)的一个样本，统计量是样本的
u?a1x1?a2x2???anxn，则统计量u?a1x1?a2x2???anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为
e(u)??(a1?a2???an)??
?a
i?1
n
i
，
n
d(u)??(a1?a2???an)??特别地，取a1?a2???an?
22222
?a
i?1
2i
。
1
，则统计量u是样本的均值x，有下面的推论。 n
2
1.8 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，则样本的均值
?2
)。（2 x~n(?,n
1.9 设（x1,x2,?,x25）是来自正态总体n(2,5)的一个样本，求统计量x的密度函数。
解由推论知
52
x~n(2,)?n(2,1)，
25
则x的密度函数为
fx(x1,x2,?,x25)?
1
exp[?(x?2)2]。
22?
1
1．10 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?数，求统计量
t?的分布。
解作变换
yi?
2
)的一个样本，且?是已知常
?(x
i?1
n
i
??)2
xi??
?
,i?1,2,?,n，
则y1,y2,?,yn相互独立，且同服从n(0,1)分布，所以
2
t
?
2
??(
i?1
n
xi??
?
)??yi2
2
i?1
n
服从?分布。从而统计量t的密度函数为
1.11 ①如果f~f(m,n)，则②x
1
~f(n,m)。 f
与y独立，则f
~?2(1), y~?2(n),x?t2，即f(1,n)与t2(n)相同。
2
1.12 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，
x??1n
x??xi，则u?~n(0,1)。
ni?1?/n
证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,? 2
)，即
xi~n(?,?
2
1n
)，由正态分布的加性定理知x??xi服从正态分布。又因为 ni?1
1n1n
e(x)?e?xi}??e(xi)??，
ni?1ni?1
1n1
d(x)?d?xi}?2
ni?1n
所以
?d(x)?
i
i?1
n
?2
n
，
x~n(?,
?2
n
)。
再由正态分布的性质知 u?
x??
?/n
~n(0,1)。
1.13 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体
n(?,?2)
的一个样本，则
1
?2
?(x
i?1
n
i
??)2~?2(n)。
2
证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,? )，即
xi~n(?,?2)，于是
xi??
?
~n(0,1),(i?1,2,?,n)。再由?2的定义，则
1
?2
?(x
i?1
n
i
??)2~?2(n)。
2
1．14 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，则
t?
x??sn/n?1
x??
~t(n?1)。
nsn
2
证明由定理2.2知，
2
?/n
~n(0,1)，由定理2.10知，
?2
~?2(n?1)，且
x??
?/n
与
nsn
?2
相互独立。由t分布的定义，则
2nsn
?/~t(n?1)。 t?2
sn/n?1?/n(n?1)?
x??x??
1.15 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
2
n(?1,?1)
2
的一个样本，
和
n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xm
y1,y2,?,yn相互独立，则
(x?y)?(?1??2)
?
21
m
?
?
22
~n(0,1)。
n
证明因为（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
2?2
n(?1,?1)
2
的一个样本，
n(?2,?2)的一个样本，所以x~n(?1,
2
?12
m
)，
y~n(?2,
性定理知
n
)。又因为x1,x2,?,xm和y1,y2,?,yn相互独立，再由正态分布的可加
x?y~n(?1??2,从而
?12
m
?
2?2
n
)，
(x?y)?(?1??2)
?
21
m
?
?
22
~n(0,1)。
n
1.16 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
n(?1,?2)
的一个样本，
和
n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xm
y1,y2,?,yn相互独立，则
t?
(x?y)?(?1??2)mn(m?n?2)
~t(m?n?2)。
22m?nms1?ns2
1m1n1n1m222
其中s??(xi?x)，x??xi；s2??(yi?y)，y??yi。
mi?1ni?1ni?1mi?1
21
证明由定理2.10知，
ms1
2
?2
2
~?(m?1)，
2
ns2
2
?2
~?2(n?1)，又x1,x2,?,xm
和y1,y2,?,yn相互独立，由?的加法定理可得
【篇二：数理统计习题】
、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体x~n(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值
差?~________；
2
2、设x1,x2,...,x16为取自总体x~n(0,0.52)的一个样本，若已
知?0.01(16)?32.0,则
p{?xi2?8}=________；
i?1
16
3、设总体x~n(?,?2)，若?和?2均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为
1??的置信区间为(x??,x??)，则?的值为________；
4、设x1,x2,...,xn为取自总体x~n(?,?2)的一个样本，对于给定的
显著性水平?，已知关于?2检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相
应的备择假设h1为________；
?2已知，5、设总体x~n(?,?2)，在显著性水平0.05下，检验假设
h0:???0,h1:???0，
拒绝域是________。
1、n(0)；
2、0.01；
3、t?(n?1)
2
1
2
sn
2
； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设x1,x2,x3是取自总体x的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。
13
（a）?(x1?x2?x3) （b）x1?x2?x3 （c）x1x2x3（d）?(xi??)2
3i?1?
2、设x1,x2,.,
2?xn为取自总体x~n(?,?)的样本，x为样本均值，sn
1
2
1n
(xi?)2，?ni?1
则服从自由度为n?1的t分布的统计量为（）。（a）
n?1(x??）n(x??）n(x??)n?1(x??)
（b）（c）（d）
??snsn
2
2
1n
(xi?x)2, 3、设x1,x2,?,xn是来自总体的样本，d(x)??存在，
s??n?1i?1
则（）。
（a）s2是?2的矩估计
（b）s2是?2的极大似然估计
（c）s2是?2的无偏估计和相合估计（d）s2作为?2的估计其优良性与分布有关
22
4、设总体x~n(?1,?1),y~n(?2,?2)相互独立，样本容量分别为
n1,n2，样本方差分别2222为s12,s2，在显著性水平?下，检验
h0:?1的拒绝域为（）。 ??2,h1:?12??2
（a）
2
s2
s12
2s2
?f?(n2?1,n1?1)（b）
2s2
s12
2s2
?f
1?
?
2
(n2?1,n1?1)
（c）
s12
?f?(n1?1,n2?1)（d）
s12
?f
1?
?
2
(n1?1,n2?1)
5、设总体x~n(?,?2)，?2已知，?未知，x1,x2,?,xn是来自总体的
样本观察值，已知?的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），
则取显著性水平??0.05时，检验假设h0:??5.0,h1:??5.0的结果是（）。
（a）不能确定（b）接受h0（c）拒绝h0 （d）条件不足无法检
验 1、b； 2、d； 3、c； 4、a； 5、b.
?2x0?x??
?,
三、（本题14分）设随机变量x的概率密度为：f(x)???2，其中
未知
其他??0,
参数??0，x1,?,xn是来自x的样本，求（1）?的矩估计；（2）?
的极大似然估计。解：(1) e(x)????xf(x)dx??0
??
?2x
2
x??，
3?2
2
???)???，得?令e(x
(2)似然函数为：l(xi,?)??
i?1n
2
33
为参数?的矩估计量。 2?2n
2xi
?2?2n
0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，
i?1
n
??max{x,x,?,x}。而l(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估
计量为? 12n
四、（本题14分）设总体x~n(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2，（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知y?
2
x2
?2
?x2?
?~?(1)，求d???3?的置信??
2
22
水平为0.95的置信区间；（?0。 .975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）解：
?1818??，即为（0.9462，6.6667）（1）?2的置信水平为0.95的
置信区间为?2； ,2???(9)?(9)0.975?0.025?
?x2?1?x2?122
?=???（2）d?； dd[?(1)]?2??3??2??2??2
?????
?22??x2?22??， ??由于d?是的单调减少函数，置信区间为?,??3??2?22?
????
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体x服从参数为?的指数分布，其中??0未知，x1,?,xn为取自总体x的样本，若已知u?
xi~?2(2n)，求： ??i?1
2
n
（1）?的置信水平为1??的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得
容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿
命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
22(?0)?44.985,?0.05(31.10(32)?42.585)。
??2n?2n???2解：(1) ?p????(2n)??1??,?p???2??1??,
???(2n)??????
即?的单侧置信下限为??
2?16?50102n；（2）??3764.706。 2
42.585??(2n)
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的
浓度x~n(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是
22否正常？
（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）解：
（1）检验假设h0：?=1，h1：?≠1；取统计量：??
2
2
2
(n?1)s2
?
2
；
拒绝域为：?2≤?
21?
?
2
2222
(n?1)??0.975(9)=2.70或?≥??(n?1)??0.025=19.023，
2
经计算：??
2
(n?1)s2
2
?0
9?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，
1
故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。 ?：??10，h1?：??10；取统计量：t?（2）检验假设h0
x?10s/~ t?(9)；
2
拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t?
10.8?101.2/?， ?2.10282.2622 ，所以接受h0
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/l）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设x1,x2,x3,x4为取自总体x~n(?,42)的样本，
对假设检验问题（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若?=6，求上述检验所犯h0:??5,h1:??5，的第二类错误的概率?。解：(1)
拒绝域为z?
?54/4
?
?5
?z0.025?1.96; 2
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当?=6时，接受h0的概
率为
??p{1.08??8.92}???
?8.92?6??1.08?6?
??????0.921。 2?2???
八、（本题8分）设随机变量x服从自由度为(m,n)的f分布，(1)证明：随机变量自由度为(n,m)的f分布；(2)若m?n，且p{x??}?0.05，求p{x?证明：因为x~f(m,n),由f分布的定义可令x?与v相互独立，所以
1
服从 x
1
?
的值。
u/m
，其中u~?2(m),v~?2(n)，uv/n
1v/n?~f(n,m)。 xu/m11
当m?n时，x与服从自由度为(n,n)的f分布，故有p{x??}?p{x?， x?111
从而 p{x??p{??}?1?p??}?1?p{x??}?1?0.05?0.95 。
?xx
数理统计试卷参考答案
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、n(0)； 2、0.01； 3、
t?(n?1)
2
12
sn
2
； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、b； 2、d； 3、c； 4、a；
5、b.
三、（本题14分）解：(1) e(x)????xf(x)dx??0
??
?2x
2
x??，
3?2
2
???)???，得?令e(x
(2)似然函数为：l(xi,?)??
i?1n
2
33
为参数?的矩估计量。 2?2n
2xi
?2?2n
0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，
i?1
n
??max{x,x,?,x}。而l(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为? 12n
【篇三：数理统计部分经典习题答案】
class=txt>p33思考练习
1题 (1)p(a)=c1095
c28
5?c95c10?0.584(2)p(b)?10
?0.070100c100
3题（1）5题设a-甲反应罐需要照顾 b-乙反应罐需要照顾a,b两个事件相互独立
?6题(1)p(ab)?p(b)?p(b)?0.09(2)p(ba)?p(ab)
p(a)
?0.45(3)p()?p(b)?p(b)?0.3*0.7?0.21(4)p(?b)?p()?p(b)?p()?0.89 7题（贝叶斯公式）设ai?飞机由i个人射中( i=1,2,3) b-飞机被击落ci- 第i个射击手射中飞机 i=1,2,3(c1,c2,c3相互独立）
a1?c123?1c23?12c3 a2?1c2c3?c12c3?c1c23a3?c1c2c3
p(a1)?p(c123?1c23?12c3)
?p(c123)?p(1c23)?p(12c3)(不相容事件加法）
=p(c1)p(2)p(3)?p(1)p(c2)p(3)?p(1)p(2)p(c3（独
立）)?0.4*0.4*0.3?0.6*0.6*0.3?0.6*0.4*0.7?0.324p
（a2)?p(1c2c3?c12c3?c1c23)?0.436p(a3)?p(c1c2c3)?p(c1)p(c2) p(c3)?0.168a1,a2,a3组成互斥完备群，由题意得
p(ba1)?0.2p(ba2)?0.6，p(ba3)?1.0p(ap(a3b)p(a3)?p(ba3)
3b)?p(b)?p(a?0.168
?0.333i)?p(bai)0.0648?0.2616?0.168
13题（1）?
+?
11
-?
f(x)=1?
?
+1
-1
f(x)=1?c?arcsinx?1
?1?c?
?(2)p(?0.5?x?0.5)?
?
+0.5
f(x)=
1-0.5
?(?
3
)?1/3 1
（1）p(ab)=p(a)*p(b)=0.1*0.2=0.02
p59??思考练习
一选择1~5 dＢＤcc 6~10 debbe二简答（略）三计算
2题 933名正常人转氨酶的频数分布显示呈偏态分布（1）偏态分布平均数选择中位数转氨酶人数累计频数累计频率
0~ 76 760.081 （首次超过5%） 20~ 198 2740.294（首次超过25%）40~ 241 5150.552（首次超过50%）60~ 166 6810.730
80~ 144 8250.884 （首次超过75%）100~ 62 8870.951 （首次超过95%） 120~ 34 9210.987 140~160 12 9331.000 px?l?i?
(n?x%?fl)
fx
中位数p(933?50%?274)
50?40?20?
241?56.0
x
（2）下四分位数p(933?25%?76)
25?20?20?198
?35.9
上四分位数p75?80?20?
(933?75%?681)
144
?82.6
四分位数间距?p75?p25?46.7
（3）偏态分布的90%参考值范围：（p5，p95）p(933?5%?0)
5?0?20?
76
?12.3
p?(933?95%?825)
95?100?2062
?119.8
90%参考值范围:（12.3,119.8)p62题5 统计图：直条图
2
p79~80
一，选择 1~5 c e b c b 二，略三，计算题
总体均数1-?的可信区间(x?t?(n?,x?t?(n?2
2
本题：x?4.5,s?0.61，n=100,?=0.05，(4.38 , 4.62)(mol/l)总体方差1-?的可信区间((n?1)s2(n?1)s2
?2(n?1),?2)
?1??(n?1)
2
2
?2(99)?129.56，
?21?1)?74.22，（0.28，0.50）（mol/l）20.052
?
?(n2
p100~101
一．选择题 1~5 c aＣeＥ三计算题
1.属单样本t检验(提供了一组高原地区居民样本) 1) h:?
?155,h:??155,?
01
?0.05
2)计算t?
?4.8,??143
3)查表t0.05(143)?z0.05?1.64, p?0.05,拒绝h0,可以认为高原地区居民血红蛋白高于一般人 2.属配对两样本t检验(同一组患者术前术后自身配对) 1) h0:?d?0,h1:?
d?0,??0.05
2)计算t???1.33,??n?1?11
3)查表t0.025(11)?2.201, p?0.05,接受h0,可以认为胃溃疡患者手术
前后体重没有发生变化.
3
3.属两独立样本t检验
方差齐性检验 h2220:?1??2,h1:?1??22,??0.10
s2 计算f?1s2?2.10?3,可以认为两总体方差相等,2 作方差齐性条件下两独立样本t检验
1) h0:?1??2,h1:?1??2,??0.05 2)计算t?1?2
?6.68,??n1?
sn2?2?22
1?2 3)查表t0.025(22)?2.074 p?0.05,拒绝h0,可以认为患者与健康人血清转铁
蛋白含量有差异.p118~119思考练习
一.最佳选择题1~7 bcc dd a a
计算题 1
完全随机设计方差分析首先 ,方差齐性验证
h20:?1??22??23,h1:?21,?222?3不全相等
??0.10
计算?2?2.067,?20.10(2)?4.61
p0.10,接受h0受可以认为总体方差都相等,
再作方差分析
1) h0:?1??2??3,h1:?1,?2,?3不全相等
??0.05
2)计算f?
ms组间
ms?7.70,?组间?2,?组内?27组内
3)查表f0.05(2,27)?3.35
p?0.05,拒绝h0,可以认为各期患者的血清铜蓝蛋白量
不全相同,以下进行两两比较q检验
4
两两比较q检验
?1与?2 q?3.68,组数a?2,q0.05=2.89,p0.05?1与?3 q?7.35,组数a?3,q0.05=3.49,p0.05?2与?3 q?3.39,组数a?2,q0.05=2.89,p0.05所以各期患者的血清铜蓝蛋白量两两各不相同.2 随机区组设计方差分析（配伍组方差分析）1) h0:?1??2??3,h1:?1,?2,?3不全相等
??0.05
2)计算f处理?
ms处理
?4.94,?处理?2,?误差?16
ms误差
3)查表f0.05(2,16)?3.63
p?0.05,拒绝h0,可以认为各时间段的尿氟排出量不全相同.另外根据
f区组?
ms区组
?1.65,?区组?9,?误差?16
ms误差
f0.05(9,16)?2.54,p?0.05,可以认为不同工人之间尿氟排出量没有差异.
p135~136
一选择１～７ b b a b e c Ａ二问答
１. 卡方检验用途：多个率或多个构成比比较；两个分类变量的关联
性研究；拟合优度检验。２. 卡方检验思想：理论频数与实际频数的
差异是否是抽样误差引起。（抽样误差引起的理论频数与实际频数
的差异相对较小，可以认为总体率一致，如果理论频数与实际频数
的差异过大则可以认为总体率不同）
3.当n?40，出现1?t?5时，需要用校正卡方公式，因为这种情况下
卡方检验近似情况较差。
4.不同：条件不同（各自条件略）；z检验可以做单侧检验，卡方检
验只可以做双侧检验: 思想基础不同（z检验利用正态分布理论，卡
方检验思想：理论频数与实际频数的差异是否是抽样误差引起。相同：都可以做两个总体率的比较
5.注意事项p131 (一般不能有1/5以上格子的理论频数小于5,或不
能有理论频数小于1) 三.计算
第2题 (整理四格表数据,判断是否要校正)
经过最小理论频数计算,本题有理论频数小于5,需要校正卡方检验
h0:?1??2,即两药治疗慢性咽炎的有效率一致h1:?1??2,即两药治疗慢性咽炎的有效率不同
?=0.05，计算校正?2值（p123公式7?5或7?6）?2?3.38
可以认为两药治疗慢性咽炎的有效率一致。
自由度??1，界值?20.05（1）?3.84，p?0.05,接受h0，按?=0.05， 5