弹性体的一维振动_图文
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弹性体的振动
2 j
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
5弹性体振动
Y
x0
0,
d 2Y dx2 d 2Y
0
x0
xl xl
EJ l A 两端简支梁横向弯曲振动的振型函数为：
2
YxC2TxC4Vx
1 2 1
2
由此可见，两端简支梁的振型函数是个正弦函数，把与各 阶固有频率相对应的的值代入上式，可得出两端简支梁的 各阶主振型。其前三阶主振型表示在图5.10之中。
(1) 两端自由梁
这种梁弯曲的边界条件是两端弯矩与剪力为，即：
d 2Y dx2 d 2Y dx2 0,
x 0
d 3Y dx3 d 3Y dx3
0
x 0
0,
x L
0
x L
两端自由梁横向弯曲振动的频率方程是一个超越方程， 常用图解法来求它的根。为此，可改写成：
1 cosl chl
也就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。 5.2.2 固有频率和主振型 如上所述，求解机械系统自由振动的运动方程，可 以求出机械系统的固有频率和主振型。现在要求均质直 杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解上式所示 的偏微分方程。
进一步分析，对多自由度机械振动系统的了解，仍然用待 定系数法来寻找其简谐振动的特解。如前所述，多自由度 机械振动系统自由振动的解为：
5.5.1 主振型的正交性
4
如前所述，梁弯曲振动的振型函数关系式为：
上式进一步写成以下形式：
或
d 4Yx 4Yx 4 n 2A EJ dx4 d 4Yx n 2AYx EJ dx4
被称为梁的特征值问题。
设以 Yrx和Ysx 分别表示对应于第r阶和第s阶固有频率 的两个不同阶的振型函数，则
5.5.2
当等截面梁受到横向分布激振力 fx,t 作用时，梁振动的微 分方程可以根据梁弯曲的自由振动方程（5.31）式改写成如 下形式： 2 y 4 y
x0
0,
d 2Y dx2 d 2Y
0
x0
xl xl
EJ l A 两端简支梁横向弯曲振动的振型函数为：
2
YxC2TxC4Vx
1 2 1
2
由此可见，两端简支梁的振型函数是个正弦函数，把与各 阶固有频率相对应的的值代入上式，可得出两端简支梁的 各阶主振型。其前三阶主振型表示在图5.10之中。
(1) 两端自由梁
这种梁弯曲的边界条件是两端弯矩与剪力为，即：
d 2Y dx2 d 2Y dx2 0,
x 0
d 3Y dx3 d 3Y dx3
0
x 0
0,
x L
0
x L
两端自由梁横向弯曲振动的频率方程是一个超越方程， 常用图解法来求它的根。为此，可改写成：
1 cosl chl
也就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。 5.2.2 固有频率和主振型 如上所述，求解机械系统自由振动的运动方程，可 以求出机械系统的固有频率和主振型。现在要求均质直 杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解上式所示 的偏微分方程。
进一步分析，对多自由度机械振动系统的了解，仍然用待 定系数法来寻找其简谐振动的特解。如前所述，多自由度 机械振动系统自由振动的解为：
5.5.1 主振型的正交性
4
如前所述，梁弯曲振动的振型函数关系式为：
上式进一步写成以下形式：
或
d 4Yx 4Yx 4 n 2A EJ dx4 d 4Yx n 2AYx EJ dx4
被称为梁的特征值问题。
设以 Yrx和Ysx 分别表示对应于第r阶和第s阶固有频率 的两个不同阶的振型函数，则
5.5.2
当等截面梁受到横向分布激振力 fx,t 作用时，梁振动的微 分方程可以根据梁弯曲的自由振动方程（5.31）式改写成如 下形式： 2 y 4 y
最新工程物理基础 第1篇 声学基础 第2章 弹性体的振动.教学讲义ppt课件
因为弦有一系列简正频率，也就是说，当弦作自由振动 时，一般可以以许多频率同时在进行振动，而一系列fn对应 的位移可根据式（2-1-12）为
式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn，
由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率
的振动情况便完全确定。
图24是按式（2-1-17）计算出来
由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式．
每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是
式中， 波长。
称为第n次振动方式的波数， 为相应的
个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。
是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n＞1的各 次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也 称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第 一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。
2.1 弦的振动
弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的 振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝 或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进 行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来 说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。
2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解
上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式：
式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn，
由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率
的振动情况便完全确定。
图24是按式（2-1-17）计算出来
由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式．
每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是
式中， 波长。
称为第n次振动方式的波数， 为相应的
个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。
是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n＞1的各 次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也 称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第 一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。
2.1 弦的振动
弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的 振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝 或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进 行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来 说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。
2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解
上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式：
机械振动第7章-弹性体振动
a
a
ni
2i 1
2l
E
i 1,2
Xi
(
x)
sin(
2i 2
1
x)
l
低应变测试及其应用
适用条件
判断基桩完整性.-质量检测（Quality Inspection）
基本假定
1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆； 2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为
平面，横截面上应力分布均匀。
➢ 基本原理
C1 C3 0
C3 C1
Y ' (0) 0 Y ' (l) 0
C2 C4 0 C4 C2
(chl cosl)C1 (shl sin l)C2 0
(shl sin l)C1 (chl cosl)C2 0
特征方程
coslchl 1
1l 4.730
2l 7.853
ni
i
l
E
Xi
(x)
sin
ix
l
2. 两端自由杆
i 1,2
dX (0) dX(l) 0
dx
dx
有C 0 及
n DSin n l 0
a
a
ω
n
0
或
Sin n
a
l
0
ni
i
l
E
Xi (x)
cos
i
l
x
3. 一端固定一端自由杆
X (0) 0
D0
dX(l) 0 dx
cos n l 0
a
n C cos n l 0
自由度，因而具有无限多个固有 频率和无限 多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可 表示为各主振型的线 性叠加。因而对于弹性 体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。
第8章 弹性体振动
第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
一维振动方程ppt课件
第四章、球函数
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
第六章弹性体的一维振动
T (t) at b
主振动为 :
u(x,t) U (x)T (t) c(at b)
杆的一般形式为: u(x ,t) U (x)b sin( t )
确定简单边界条件下杆的固有频率和主振型
(a) 两端固定
将边界条件代入,得到 :
B2
0,
B1
sin
a
l
0
即: sin l 0,
a
为频率方程
斜拉索就如同一根拉紧的弦，它的自振频率与拉索索力间有着确定的函数关 系，可用动力平衡微分方程表示。当忽略弯曲刚度时，可表示为
W • 2y 2y 0 g t 2 x2 式中 y----垂直于索长度方向的横向坐标； x----纵向坐标； W----索单位长度的重量； g----重力加速度； T----索的拉力； t----时间。
索的边界条件为两端固定时，上述微分方程的解为
4WL 2 n2g
•
fn2
由上式可知，只要测知f1 或 f 2 ，便可计算出索力。 在本文中，索力的计算采用公式
K 4WL2 f n 2 n2g
把重量W mg 代入上式，得
式中
K 4mL2 n2
fn2
T----索的拉力
m---线密度（索单位长度的质量）
U '' x U x
得:
U
'' x
a2
U
x
Байду номын сангаас
0
Tt T t 0
右端固定,有 : ux, t U lT t 0 xl
右端自由,有 : EA u EAU 'lT t 0
x xl
两端固定 :U 0 0,U (l) 0
等直杆的简单边界条件 : 一段固定 :U (0) 0,U ' (0) 0 两端自由:U ' (0) 0,U ' (l) 0
振动力学第六章弹性体的一维振动
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2
p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x
0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl
D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
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就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振型函数
代入
振动规律
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下 ，求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问 题。p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固 有频率。
例6-1 一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横 截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹 簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。
解：杆的端部连接弹簧或带有 集中质量时，称复杂边界条件。
杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l) 之力。 因此，边界条件为
6.1.1等直杆的纵向振动
EA是常数，可写成
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
Mechanical and Structural Vibration
表示弹性波 沿杆的纵向 传播的速度
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
得到杆的纵向自由振动微分方程为
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假 设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有点 都做简谐运动。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
频率方程 相应于固有频率pi的主振型为
x=l处杆的抗压刚度
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
讨论两个极端的情况
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
三角函数的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
受迫振动微分方程
通乘以 并沿杆长l积分
利用正交性及归一化的条件
这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的 运动微分方程。
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。
因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的
质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向
振动微分方程式为
将杆的主振动的表达式
代入
取特征值问题的两个解 代入
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
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6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
6.1 杆的纵向振动
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
6.1.2固有频率和主振型
即为两端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 相应的主振型为 当p = 0时，对应了杆的刚体振型。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
写出第i个以正则坐标表示的响应为。 将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始 条件下对任意激励的响应为
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的 基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。 杆的自由振动微分方程
假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正 则振型。
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
设杆的初始条件为
正则坐标变换
乘以 沿x杆长对积分，得
将正交性和归一化条件代入
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
弹性体的一维振动_图文.ppt
第6章 弹性体的一维振动
目录
6.1 杆的纵向振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动
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第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
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当i = j 时，式总能成立，令
为第j阶主质量
第j阶主刚度 关系 Kpj与Mpj的大小取决于第j阶主振动中常数的选择
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性与源自自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如 果主振型中的常数按下列归一化条件确定
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
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6.2.1 杆对初始条件的响应
得到正则坐标表示的初始条件为
得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 于是杆的自由振动为
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令x=l，其中
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
，得杆的自由端的自由振动
若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。
当
时，相当于固定端，有
,即
则频率方程为
相应的主振型为
若 ，相当于自由端，即
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
则得到的主振型 称为正则振型， 这时相应的第j阶主刚度
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第6章 弹性体的一维振动
6.2 杆的纵向受迫振动
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6.2 杆的纵向受迫振动 6.2.1 杆对初始条件的响应 6.2.2 杆对任意激励的响应
得频率方程
对于 ，可以取
则得到
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
的情况， 将很小，即杆的质量远小于集中质量时
对于基频情况，有
其中 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可表示为 由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动