空间的夹角与距离与概率
空间的夹角与距离
典型例题:
例1、 空间四边形ABCD 中AC=10,BD=6,M,N 分别是AB,CD 中点MN=7求异面直线AC,BD 所成
角
练习：正四面体ABCD 中M,N 分别是AB,CD 中点求直线MN 与AC 所成角
例2、长方体中，AB=BC=2,1AA 1=,E,H 分别是111BB ,B A 中点 1)求EH 和1AD 所成角2）求1BD 和C B 1所成角
例3、Rt △ABC 中∠ACB=0
90，AC=BC=1,PA ⊥平面ABC, PA=2 1）求证：平面PAC ⊥平面PBC 2）求PC 和平面PAB 所成角正切值 3）求点A 到平面PBC 距离
练习：正三棱柱111C B A -ABC 中侧棱长和底面边长都为2，D 是
1）求证：D A BD 1⊥,2）求直线B A 1与平面11A ACC 所成角
3）求点1B 到平面BD A 1距离
例4、正四面体中各棱长均为a ，E 为AD 中点 1）求AB 与底面BCD 所成角 2）CE 和底面BCD 所成角
C
B
1．(统计)某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如
图4所示,其中成绩分组区间是:、、、
、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
2、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人
数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
例2某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，，第八组[]130,140，图
1是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）估计该校2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；
（3）若从样本成绩属于第六组合第八组的所有学生中随机抽取
两名，求他们的分差不不小于10分的概率.
[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100a。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点P，则点P到直角顶点A的距离小于的概率为【答案】【解析】点P到直角顶点A的距离小于，则点P在以点A为圆心为半径的扇形区域内，则其概率为2.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角3.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，则该四棱台的侧面积等于．【答案】．【解析】因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，所以正四棱台的斜高，则该四棱台的侧面积为．【考点】正四棱台．4.已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2B．1或4C．0或2D．2或4【答案】D【解析】或【考点】空间两点间距离5.三棱锥A—BCD的四个顶点同在一个球O上，若AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于．【答案】【解析】易知，棱AD的中点即为球心O．由已知条件可得AD=．所以球半径为，则其表面积等于．【考点】多面体与其外接球问题．6.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A．与成角B．与成角C．D．【答案】A【解析】直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选A．同时可分别证明答案B、C、D是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．7.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【答案】；【解析】根据题意可得该几何体是正四棱锥，底面为2的的正方形，因为侧面斜高为，所以可得高为2，即可求得表面积与体积试题解析：（1）此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为表面积为体积为【考点】1．三视图；2．几何体的体积、表面积公式8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体是下边是一个圆柱，上边是一个球体，且球的半径和圆柱的底面圆的半径是相等的，可知其表面积是圆柱的表面积加上球的表面积，即为，故选D．【考点】根据几何体的三视图，求其表面积．9.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；【答案】（1）（2）【解析】（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小。
湖北高三数学知识点大汇总
湖北高三数学知识点大汇总一、函数与方程1. 函数的概念及性质函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系，通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
函数有定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。
2. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为常数，表示一条直线。
二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，表示一条抛物线。
掌握函数图像、最值、对称轴等基本特性。
3. 指数函数与对数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a>0且a≠1，表示递增或递减的曲线。
对数函数的表达式为y=logₐx，其中a>0且a≠1，表示指数函数的反函数。
熟练掌握指数与对数之间的基本关系。
4. 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，熟练掌握其定义、性质、图像、周期性等。
掌握三角函数的基本变换、和差化积、倍角公式等。
二、数列与数列求和1. 数列概念与性质数列是按照一定的规律排列的一组数，包括等差数列、等比数列等。
了解数列的首项、公差、通项公式等基本概念。
2. 等差数列等差数列是指相邻两项之间的差固定的数列。
掌握等差数列的通项公式、前n项和公式等。
3. 等比数列等比数列是指相邻两项之间的比固定的数列。
掌握等比数列的通项公式、前n项和公式等。
4. 数列求和掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，熟练运用求和公式解决数列求和问题。
同时理解求和符号∑的意义与用法。
三、平面向量1. 平面向量的概念及运算平面向量由大小和方向确定，能够进行向量加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等运算。
2. 平面向量的表示法包括坐标表示法和分量表示法，熟练转换和运用。
3. 平面向量的共线与垂直理解平面向量共线与垂直的几何意义，掌握判断条件。
4. 平面向量的数量积了解平面向量数量积的定义、计算方法以及几何意义。
掌握数量积的性质与应用，如判断两向量的夹角、判断正交、共线等。
四、空间几何1. 点、直线、平面的位置关系了解点、直线、平面的基本性质及其相互关系。
高中数学公式大全(完整版)
(3) ;(4) .
的角度
的弧度
无
无
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图象
定义域
值域
最值
当 时， ；当
时， ．
当 时，
；当
时， ．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在 上是增函数；在
上是减函数．
在
16.等差数列的通项公式 ；
其前n项和公式为 .
17.等比数列的通项公式 ；
其前n项的和公式为 或 .
18.同角三角函数的基本关系式
， =
19正弦、余弦的诱导公式
20和角与差角公式 ;
;
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
．
（ ， ）．
．
22.三角函数的周期公式
设a= ,b= ，且b 0，则
A||b b=λa .
a b(a 0) a·b=0 .
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则
（1） 为 的外心 .（2） 为 的重心 .
（3） 为 的垂心 .
38.常用不等式：
（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3） .
39已知 都是正数，则有（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
1-3概率的公理化体系及性质
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
2015年重庆市高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A ．A=B B．A∩B=∅C．A BD．B A考点：子集与真子集．专题：集合．分析：直接利用集合的运算法则求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A ．﹣1 B．0 C．1 D．6考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差中项求解即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A ．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．解答：解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A ．B．C．D．π考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．解答：解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s≤B．s≤C．s≤D．s≤考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A ．2 B．C．6 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．解答：解：tanα=2tan，则========== ===3．故答案为：3．点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．解答：解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．点评：本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．解答：解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．解答：解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．考点：椭圆的简单性质．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．63．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s ≤ B ．s ≤ C ．s ≤D ．s ≤8．（5分）（2015•重庆）已知直线l ：x+ay ﹣1=0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴．过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ． 2 B ． C ． 6 D ．9．（5分）（2015•重庆）若tan α=2tan ，则=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣，0）∪（0，）D ． （﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为，则（a+bi ）（a ﹣bi ）= ．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x 8的系数是 （用数字作答）．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．。
各种数学公式
各种数学公式1. 二次函数公式二次函数是一种常见的数学函数，其公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
2. 导数公式导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的公式可以表示为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
其中，f'(x)表示函数f(x)在x点的导数，h为自变量的增量。
3. 积分公式积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
积分的公式可以表示为：∫f(x) dx = F(x) + C。
其中，∫表示积分运算符，f(x)表示被积函数，F(x)表示f(x)的一个原函数，C为常数。
4. 泰勒级数公式泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，用于近似表示复杂函数。
泰勒级数的公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...。
其中，f(x)表示函数f在点x处的值，a 为近似点。
5. 矩阵乘法公式矩阵乘法是线性代数中的重要运算，用于将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的公式可以表示为：C = A * B。
其中，A和B 为两个矩阵，C为它们的乘积。
6. 三角函数公式三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的公式可以表示为：sin(x)、cos(x)、tan(x)等。
其中，x为角度或弧度。
7. 球体体积公式球体体积是几何中的一个重要概念，表示一个球的内部空间的大小。
球体体积的公式可以表示为：V = (4/3)πr^3。
其中，V表示球体的体积，r表示球的半径，π为圆周率。
8. 斜率公式斜率是直线的一个重要特征，表示直线上两个点之间的纵向变化与横向变化的比值。
斜率的公式可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
向量的夹角与距离计算
向量的夹角与距离计算在数学和计算机科学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用于表示方向和大小，是许多问题中的基本元素。
本文将探讨向量之间的夹角和距离计算，这在许多领域中都有广泛的应用，比如机器学习、物理学和工程领域等。
向量的夹角计算在二维空间中，可以用余弦定理计算两个向量之间的夹角。
设存在两个向量a 和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的夹角θ可以由以下公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))其中，sqrt代表平方根。
通过计算这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角。
在三维空间中，向量a和b的夹角可以通过余弦公式来计算。
同样，设a和b 的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的夹角θ可以通过下面的公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * s qrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的夹角，这在许多领域中都有广泛的应用。
向量的距离计算向量之间的距离计算也是一个常见的问题。
在二维空间中，两个向量a和b之间的距离可以通过欧氏距离来计算。
设a和b的坐标为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2)这个公式可以帮助我们计算二维空间中任意两个向量之间的距离。
在三维空间中，同样可以使用欧氏距离来计算两个向量之间的距离。
设a和b 的坐标为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + (a3 - b3)^2)这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的距离，这在许多问题中都有重要的应用。
考研高数概率公式汇总
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高中数学选择性必修一-二。三知识点汇编
高中数学选择性必修一-二。
三知识点汇编选择性必修一第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =xa +yb. 二、空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p =xa +yb +zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 运算 坐标表示加法 a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) 减法 a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) 数乘 λa =(λa 1,λa 2,λa 3),λ∈R数量积a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 32.空间向量常用结论的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 结论 坐标表示共线 a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R) 垂直a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0向量长度 |a |=√a ·a =√a 12+a 22+a 32向量夹 角公式cos<a ,b >=a ·b|a||b|=112233√a 1+a 2+a 3·√b 1+b 2+b 33.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l ,m 的方向向量分别为μ,v ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv ,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v =0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 线线夹角 l ,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l ,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u ,点P 到直线l 的距离PQ =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2. 3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α斜率公式 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A ,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率 若直线l 的斜率为k ,则直线l 的一个方向向量为(1,k )4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2. 位置关系 判定特例平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2 直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行垂直l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式 纵截距、斜率 y =kx +b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y -y 0=k (x -x 0)两点式 过两点y−y 1y 2-y 1=x−x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 横、纵截距x a +yb=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l :Ax +By +C =0 d =00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0d =12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 圆 的方 程 标准式 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心坐标:(a ,b )半径为r 一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 圆心坐标:(-D2,-E2) 半径r =12√D 2+E 2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系判断; (2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 几何法代数法相交 d <r Δ>0 相切 d =r Δ=0 相离d >rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d =|O 1O 2|与r 1+r 2或|r 1-r 2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离 d >r 1+r 2 无解 外切 d =r 1+r 2一组实数解 相交 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2两组不同的实数解 内切 d =|r 1-r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1-r 2|(r 1≠r 2)无解第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数 轨迹类型a >c点M 的轨迹为椭圆 a =c点M 的轨迹为线段 a <c点M 不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形性范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b-a ≤y ≤a ,-b ≤x ≤b质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )A 1(0,-a ),A 2(0,a ),B 1(-b ,0),B 2(b ,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ,a 为长半轴长;短轴B 1B 2的长为2b ,b 为短半轴长焦距 |F 1F 2|=2c离心率e =ca ,e ∈(0,1),其中c =√a 2-b 2a ,b ,c 的关系a 2=b 2+c 2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a ,0<2a <|F 1F 2|},|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0 轨迹类型a <c点M 的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a =c点M 的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a >c点M 不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性 质范围 x ≤-a 或x ≥a ,y ∈R x ∈R,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线y =±ba xy =±ab x离心率 e =ca ,e ∈(1,+∞),其中c =√a 2+b 2轴实轴A 1A 2的长为2a ,a 为实半轴长; 虚轴B 1B 2的长为2b ,b 为虚半轴长a ,b ,c 的关c 2=a 2+b 2系 三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线符号语言 集合P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离) 特例当F ∈l 时,动点M 的轨迹是过F 点垂直于l 的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程 y 2= 2px (p >0) y 2= -2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离性质 顶点 O (0,0)对称轴 y =0 x =0焦点 F (p2,0)F (-p2,0)F (0,p2)F (0,−p2)离心率 e =1准线方程x =-p 2 x =p2y =-p2 y =p2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A =a +b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d.4.前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n -1)2d (n ∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *).(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1. 4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q =a 1-a n q 1−q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m(m ,n ∈N *).(2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n .(3)当q ≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n. 三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0f (x )=x α(α∈Q,且α≠0)f'(x )=αx α-1 f (x )=sin x f'(x )=cos x f (x )=cos x f'(x )=-sin x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=a x ln a f (x )=e xf'(x )=e x f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=1xlna f (x )=ln xf'(x )=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f (x ),g (x )的导数分别为f'(x ),g'(x ).若f'(x ),g'(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]'=f'(x )±g'(x ); (2)[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x ); (3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x . 四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f (x )的单调性与导函数f'(x )的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )>0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增; 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减. 2.函数的极值与导数条件f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0 x 0附近的左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n m表示.4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C n m 表示.5.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k a n -k b k +…+C n n b n ,n ∈N * .(2)二项展开式的通项:T k +1=C n k a n -k b k ,通项为展开式的第k +1项.6.各二项式系数的和(1)(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ,即C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)在(a +b )n 的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 1+C n 3+C n 5+…=C n 0+C n 2+C n 4+…=2n -1.二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则称P (B |A )=P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称条件概率.对任意两个事件A 与B ,若P (A )>0,则P (AB )=P (A )P (B |A ),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A 1,A 2,…,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪…∪A n =Ω,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=∑i=1n P (A i )P (B |A i ),称此公式为全概率公式.3.离散型随机变量的分布列、期望与方差名称 表现形式(或公式)性质分布列 X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p np i ≥0,i =1,2,3,…,n ; p 1+p 2+…+p n =1 期望 E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n =∑i=1n x i p i E (aX +b )=aE (X )+b 方差 D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E(X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =∑i=1n (x i -E (X ))2p i(1)D (aX +b )= a 2D (X ); (2)D (X )=E (X 2)-[E (X )]2 4.几种常见的概率分布名称 概念(或公式)数字特征 二项分布 P (X =k )=C n k p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,…,n.记作X~B (n ,p ) E (X )=np ; D (X )=np (1-p )超几何分布 P (X =k )=C M k C N−M n−k C N n ,k =m ,m +1,m +2,…,r.其中n ,N ,M∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m =max{0,n -N +M },r =min{n ,M }E (X )=nM N 正态分布 随机变量X 服从正态分布记为X~N (μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布 若X~N (μ,σ2),则E (X )=μ,D (X )=σ2; P (X ≤μ)=P (X ≥μ)=0.5三、成对数据的统计分析1.样本相关系数r =∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1(x i -x)2√∑i=1(y i -y)2. 2.经验回归方程方程y ^=b ^x +a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定参数,其最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y-b ^x. 3.2×2列联表Y =0 Y =1 合计 X =0a b a +b X =1c d c +d 合计a +cb +d a +b +c +d 4.独立性检验:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d.。
数学选修1知识点总结
数学选修1知识点总结一、直线与圆1. 直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相交；2. 切线的性质（1）切线的斜率与半径垂直；（2）相切圆的切线垂直于半径；3. 直线与圆的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的标准方程；（3）圆的标准方程。
二、平面向量1. 平面向量的基本概念（1）平面向量的定义；（2）平面向量的模；（3）平面向量的方向角；2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法；（2）平面向量的数量积；（3）平面向量的夹角；3. 平面向量的应用（1）平面向量与平行四边形；（2）平面向量的共线；（3）平面向量的坐标表示。
三、立体几何1. 空间直线与平面（1）空间直线的方程；（2）空间直线的位置关系；（3）空间直线与平面的位置关系；2. 空间中的夹角（1）直线与直线的夹角；（2）直线与平面的夹角；（3）平面与平面的夹角；3. 空间中的距离（1）点到直线的距离；（2）点到平面的距离；（3）直线与直线的距离。
四、三角函数1. 角度和弧度（1）角度与弧度的换算；（2）弧度的性质；（3）弧度与圆周角；2. 三角函数的定义（1）正弦函数；（2）余弦函数；（3）正切函数；3. 三角函数的性质（1）周期性；（2）奇偶性；（3）函数值的范围；4. 三角函数的图像和性质（1）正弦函数的图像和性质；（2）余弦函数的图像和性质；（3）正切函数的图像和性质。
五、导数与微分1. 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义；2. 导数的计算（1）导数的基本公式；（2）导数的四则运算；（3）高阶导数的计算；3. 导数的应用（1）切线方程与法线方程；（2）凹凸性与拐点；（3）运动学问题中的应用。
六、不定积分1. 不定积分的概念（1）不定积分的定义；（2）不定积分的性质；（3）不定积分的基本公式；2. 不定积分的计算（1）一类基本的积分；（2）有理函数的积分；（3）分部积分和换元积分；3. 不定积分的应用（1）定积分的计算；（2）曲线长度的计算；（3）曲线与坐标轴所围成的面积。