空间的夹角与距离与概率
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点P，则点P到直角顶点A的距离小于的概率为【答案】【解析】点P到直角顶点A的距离小于，则点P在以点A为圆心为半径的扇形区域内，则其概率为2.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角3.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，则该四棱台的侧面积等于．【答案】．【解析】因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，所以正四棱台的斜高，则该四棱台的侧面积为．【考点】正四棱台．4.已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2B．1或4C．0或2D．2或4【答案】D【解析】或【考点】空间两点间距离5.三棱锥A—BCD的四个顶点同在一个球O上，若AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于．【答案】【解析】易知，棱AD的中点即为球心O．由已知条件可得AD=．所以球半径为，则其表面积等于．【考点】多面体与其外接球问题．6.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A．与成角B．与成角C．D．【答案】A【解析】直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选A．同时可分别证明答案B、C、D是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．7.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【答案】；【解析】根据题意可得该几何体是正四棱锥，底面为2的的正方形，因为侧面斜高为，所以可得高为2，即可求得表面积与体积试题解析：（1）此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为表面积为体积为【考点】1．三视图；2．几何体的体积、表面积公式8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体是下边是一个圆柱，上边是一个球体，且球的半径和圆柱的底面圆的半径是相等的，可知其表面积是圆柱的表面积加上球的表面积，即为，故选D．【考点】根据几何体的三视图，求其表面积．9.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；【答案】（1）（2）【解析】（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小。
湖北高三数学知识点大汇总
湖北高三数学知识点大汇总一、函数与方程1. 函数的概念及性质函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系，通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
函数有定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。
2. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为常数，表示一条直线。
二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，表示一条抛物线。
掌握函数图像、最值、对称轴等基本特性。
3. 指数函数与对数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a>0且a≠1，表示递增或递减的曲线。
对数函数的表达式为y=logₐx，其中a>0且a≠1，表示指数函数的反函数。
熟练掌握指数与对数之间的基本关系。
4. 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，熟练掌握其定义、性质、图像、周期性等。
掌握三角函数的基本变换、和差化积、倍角公式等。
二、数列与数列求和1. 数列概念与性质数列是按照一定的规律排列的一组数，包括等差数列、等比数列等。
了解数列的首项、公差、通项公式等基本概念。
2. 等差数列等差数列是指相邻两项之间的差固定的数列。
掌握等差数列的通项公式、前n项和公式等。
3. 等比数列等比数列是指相邻两项之间的比固定的数列。
掌握等比数列的通项公式、前n项和公式等。
4. 数列求和掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，熟练运用求和公式解决数列求和问题。
同时理解求和符号∑的意义与用法。
三、平面向量1. 平面向量的概念及运算平面向量由大小和方向确定，能够进行向量加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等运算。
2. 平面向量的表示法包括坐标表示法和分量表示法，熟练转换和运用。
3. 平面向量的共线与垂直理解平面向量共线与垂直的几何意义，掌握判断条件。
4. 平面向量的数量积了解平面向量数量积的定义、计算方法以及几何意义。
掌握数量积的性质与应用，如判断两向量的夹角、判断正交、共线等。
四、空间几何1. 点、直线、平面的位置关系了解点、直线、平面的基本性质及其相互关系。
高中数学公式大全(完整版)
(3) ;(4) .
的角度
的弧度
无
无
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图象
定义域
值域
最值
当 时， ；当
时， ．
当 时，
；当
时， ．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在 上是增函数；在
上是减函数．
在
16.等差数列的通项公式 ；
其前n项和公式为 .
17.等比数列的通项公式 ；
其前n项的和公式为 或 .
18.同角三角函数的基本关系式
， =
19正弦、余弦的诱导公式
20和角与差角公式 ;
;
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
．
（ ， ）．
．
22.三角函数的周期公式
设a= ,b= ，且b 0，则
A||b b=λa .
a b(a 0) a·b=0 .
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则
（1） 为 的外心 .（2） 为 的重心 .
（3） 为 的垂心 .
38.常用不等式：
（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3） .
39已知 都是正数，则有（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
1-3概率的公理化体系及性质
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
2015年重庆市高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A ．A=B B．A∩B=∅C．A BD．B A考点：子集与真子集．专题：集合．分析：直接利用集合的运算法则求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A ．﹣1 B．0 C．1 D．6考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差中项求解即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A ．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．解答：解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A ．B．C．D．π考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．解答：解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s≤B．s≤C．s≤D．s≤考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A ．2 B．C．6 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．解答：解：tanα=2tan，则========== ===3．故答案为：3．点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．解答：解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．点评：本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．解答：解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．解答：解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．考点：椭圆的简单性质．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．63．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s ≤ B ．s ≤ C ．s ≤D ．s ≤8．（5分）（2015•重庆）已知直线l ：x+ay ﹣1=0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴．过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ． 2 B ． C ． 6 D ．9．（5分）（2015•重庆）若tan α=2tan ，则=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣，0）∪（0，）D ． （﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为，则（a+bi ）（a ﹣bi ）= ．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x 8的系数是 （用数字作答）．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．。
各种数学公式
各种数学公式1. 二次函数公式二次函数是一种常见的数学函数，其公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
2. 导数公式导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的公式可以表示为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
其中，f'(x)表示函数f(x)在x点的导数，h为自变量的增量。
3. 积分公式积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
积分的公式可以表示为：∫f(x) dx = F(x) + C。
其中，∫表示积分运算符，f(x)表示被积函数，F(x)表示f(x)的一个原函数，C为常数。
4. 泰勒级数公式泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，用于近似表示复杂函数。
泰勒级数的公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...。
其中，f(x)表示函数f在点x处的值，a 为近似点。
5. 矩阵乘法公式矩阵乘法是线性代数中的重要运算，用于将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的公式可以表示为：C = A * B。
其中，A和B 为两个矩阵，C为它们的乘积。
6. 三角函数公式三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的公式可以表示为：sin(x)、cos(x)、tan(x)等。
其中，x为角度或弧度。
7. 球体体积公式球体体积是几何中的一个重要概念，表示一个球的内部空间的大小。
球体体积的公式可以表示为：V = (4/3)πr^3。
其中，V表示球体的体积，r表示球的半径，π为圆周率。
8. 斜率公式斜率是直线的一个重要特征，表示直线上两个点之间的纵向变化与横向变化的比值。
斜率的公式可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
向量的夹角与距离计算
向量的夹角与距离计算在数学和计算机科学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用于表示方向和大小，是许多问题中的基本元素。
本文将探讨向量之间的夹角和距离计算，这在许多领域中都有广泛的应用，比如机器学习、物理学和工程领域等。
向量的夹角计算在二维空间中，可以用余弦定理计算两个向量之间的夹角。
设存在两个向量a 和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的夹角θ可以由以下公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))其中，sqrt代表平方根。
通过计算这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角。
在三维空间中，向量a和b的夹角可以通过余弦公式来计算。
同样，设a和b 的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的夹角θ可以通过下面的公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * s qrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的夹角，这在许多领域中都有广泛的应用。
向量的距离计算向量之间的距离计算也是一个常见的问题。
在二维空间中，两个向量a和b之间的距离可以通过欧氏距离来计算。
设a和b的坐标为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2)这个公式可以帮助我们计算二维空间中任意两个向量之间的距离。
在三维空间中，同样可以使用欧氏距离来计算两个向量之间的距离。
设a和b 的坐标为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + (a3 - b3)^2)这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的距离，这在许多问题中都有重要的应用。
考研高数概率公式汇总
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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空间的夹角与距离
典型例题:
例1、 空间四边形ABCD 中AC=10,BD=6,M,N 分别是AB,CD 中点MN=7求异面直线AC,BD 所成
角
练习：正四面体ABCD 中M,N 分别是AB,CD 中点求直线MN 与AC 所成角
例2、长方体中，AB=BC=2,1AA 1=,E,H 分别是111BB ,B A 中点 1)求EH 和1AD 所成角2）求1BD 和C B 1所成角
例3、Rt △ABC 中∠ACB=0
90，AC=BC=1,PA ⊥平面ABC, PA=2 1）求证：平面PAC ⊥平面PBC 2）求PC 和平面PAB 所成角正切值 3）求点A 到平面PBC 距离
练习：正三棱柱111C B A -ABC 中侧棱长和底面边长都为2，D 是
1）求证：D A BD 1⊥,2）求直线B A 1与平面11A ACC 所成角
3）求点1B 到平面BD A 1距离
例4、正四面体中各棱长均为a ，E 为AD 中点 1）求AB 与底面BCD 所成角 2）CE 和底面BCD 所成角
C
B
1．(统计)某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如
图4所示,其中成绩分组区间是:、、、
、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
2、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人
数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
例2某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，，第八组[]130,140，图
1是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）估计该校2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；
（3）若从样本成绩属于第六组合第八组的所有学生中随机抽取
两名，求他们的分差不不小于10分的概率.
[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100a。