5-5 驻波
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种传递能量的波动现象，广泛应用于机械、声学等领域。
其中，驻波和共振是机械波研究中的两个重要概念。
本文将探讨机械波的驻波与共振的原理和应用。
一、驻波的概念及特点驻波是一种在空间中呈现固定形态的波动现象。
它是由相同频率、相同振幅的两个波在相同介质中相互干涉形成的。
在驻波中，存在着一些特点：1. 节点和腹点：两波叠加后，在某些位置上会形成振幅为零的节点，而在其他位置上形成振幅最大的腹点。
2. 振幅不变：整个驻波系统中，波的振幅保持恒定，不随时间和空间的变化而变化。
3. 波动不传播：驻波中的能量不传递，而是呈现固定形态，并在介质中来回反射。
二、驻波的形成条件驻波的形成需要满足一定的条件：1. 两个相同频率的波在相同介质中传播，并沿相反方向传播。
2. 波的振幅和频率相同。
3. 波的传播速度相同。
三、驻波的应用驻波在实际应用中有着广泛的用途，以下是其中几个例子：1. 物理教学实验：驻波实验是许多物理实验中常见的一种，通过声波或水波在实验装置中形成驻波，直观地展示波动的特性和干涉现象。
2. 乐器制作：驻波的概念也可以应用于乐器的制作和改良中。
比如，弦乐器中的驻波现象决定了乐器的音调和音质。
3. 通信技术：驻波的特性在微波通信中有着重要的应用。
例如，微波天线中的驻波比可以用来描述天线的工作状态和匹配程度。
四、共振的概念及特点共振是指当外界激励频率与系统的固有频率相同时，系统会发生共振现象。
在机械波中，也存在共振现象，并具有以下特点：1. 能量传递：共振现象下，能量会从外界传递到系统中，使系统的振幅不断增大。
2. 振幅最大化：共振频率下，系统的振幅会不断增大，直到达到最大值。
3. 导致破坏：如果外界激励持续存在，振幅可能超过系统的承受范围，导致系统的破坏。
五、共振的应用共振在实际应用中也有着重要的作用：1. 振动工程：共振现象的控制和利用在振动工程中具有重要意义。
例如，振动台可以通过调整频率和振幅，实现对被测物体的共振激励。
5波的叠加与驻波
dengyonghe1@
y = y A + yB
= 2 A cos(
π
2
x − 7π ) cos( 200πt +
λ /2
波腹
振幅为2A 振幅为
λ
x = ±k
④.相邻波腹距离 相邻波腹距离
λ
2
( k = 0,1,2⋯)
x k +1 − x k = ( k + 1) − k = 2 2 2
dengyonghe1@
λ
λ
λ
λ /2
波节
波节与波腹之间的距离为
λ /2
λ /4
波腹 λ /4
0 → 2A
除波节、波腹外，其它各点振幅 除波节、波腹外，
共振： 共振：当某一频率激起的振动与某个简振模式的频率 相同，会激起驻波。 相同，会激起驻波。 驻波系统的振动是各种简正模式的叠加。 驻波系统的振动是各种简正模式的叠加。 乐器中，音调由基频 决定，同时谐频ν 乐器中，音调由基频ν1决定，同时谐频 n和 强度决定音色。 强度决定音色。
P200，例5.4讲解 ， 讲解
波腹----振幅始终最大的位置 3.波腹 振幅始终最大的位置。 波腹 振幅始终最大的位置。
波节
4.波节、波腹位置 波节、 波节 ①.波节位置 波节位置
波腹 x =0
2 A cos 2π
2π
x
λ
λ
= ±(2k + 1)
水声材料驻波管测量方法
水声材料驻波管测量方法驻波管法是一种测量水声材料声速和衰减系数的重要方法。
其原理是利用驻波管中声波的干涉现象，根据驻波的波长和波腹波谷间的幅度差，推导出水声材料的声学特性。
实验装置驻波管法测量所需的装置包括驻波管、声源、接收器、频率发生器和数据采集系统。
驻波管：通常为圆柱形或矩形管，内衬被测水声材料。
声源：产生声波，激发驻波管内的驻波。
接收器：测量声波的声压，确定驻波的波形。
频率发生器：控制声波的频率，以获得不同频率下的驻波特性。
数据采集系统：记录接收器输出的声压信号，并进行分析处理。
测量步骤1. 选择合适的频率范围：根据被测水声材料的特性，选择合适的频率范围，确保在该范围内能激发清晰的驻波。
2. 激发驻波：通过声源向驻波管中输入声波，调整频率至出现驻波。
3. 移动接收器：沿驻波管轴线移动接收器，测量声压，记录驻波的波形。
4. 采集数据：使用数据采集系统记录接收器输出的声压信号，并进行数字化处理。
5. 分析数据：利用傅里叶变换或其他信号处理方法，分析声压信号，提取驻波的波长和波峰值。
计算声学特性根据驻波的波长和波峰值，可以计算水声材料的声速和衰减系数。
声速（c）：c = 2L / n，其中L为驻波管长度，n为驻波波长。
衰减系数（α）：α = (1/2) (InA1 - InA2) / L，其中A1和A2分别为驻波波峰和波谷处的声压幅度。
注意事项驻波管尺寸：驻波管的长度和直径应与被测频率相匹配，以确保能激发清晰的驻波。
声源功率：声源功率应足够大，以产生足够的声压，但又不会造成非线性失真。
接收器灵敏度：接收器灵敏度应足够高，以检测驻波的细微变化。
环境噪声：测量环境应尽量减少噪声干扰，以提高测量精度。
数据处理：数据处理应使用经过验证的算法和方法，以确保结果的准确性。
驻波比的计算公式
驻波比的计算公式驻波是在传播介质中发生的波动现象，其计算公式主要涉及到波长、波速和传播介质的特性。
驻波的计算公式主要有两个方面：波长和节点位置的计算。
1.波长的计算：波长是指同相位波之间的空间距离。
在一个驻波系统中，波长通常由以下公式给出：λ=2L/n其中，λ表示波长，L表示传播介质的长度，n表示节点数。
驻波系统中的节点是指波波动幅度为零的位置。
例如，当一条绳子两端固定且在上面产生驻波时，绳子上的节点数量为n=1,2,3,...，依此类推。
2.节点位置的计算：节点是指波动幅度为零的位置。
在一个简单的驻波系统中，可以使用以下公式计算节点位置：x=(2m+1)L/4n其中，x表示节点位置，L表示传播介质的长度，m表示节点序号（从0开始计算），n表示节点数。
例如，在一个固定两端的弦上产生的驻波系统中，第一个节点的位置为x=L/4，第二个节点的位置为x=3L/4，依此类推。
需要注意的是，以上的计算公式适用于基本的驻波系统。
但在实际情况中，还有其他一些因素需要考虑，比如边界条件、波速等。
3.边界条件：在实践中，边界条件对驻波的形成和位置起着重要作用。
例如，在固定两端的弦上形成驻波时，两端固定的条件限制了节点的位置。
当一个驻波系统在两端固定条件下形成时，节点位置的计算公式如下：x=(2m)L/2(n+1)其中，x表示节点位置，L表示传播介质的长度，m表示节点序号（从0开始计算），n表示节点数。
例如，在一个固定两端的弦上产生的驻波系统中，第一个节点的位置为x=L/(n+1)，第二个节点的位置为x=2L/(n+1)，依此类推。
4.波速的计算：波速是指波的传播速度。
在一个波动系统中，波速通常由以下公式给出：v=λf其中，v表示波速，λ表示波长，f表示波的频率。
在一个驻波系统中，波速也可以通过节点位置的计算进行估算。
根据节点位置的计算公式，在一个固定两端的弦上形成驻波时，节点之间的距离为λ/2、因此，波速可以通过以下公式计算：v=2f(x2-x1)其中，v表示波速，f表示波的频率，x2和x1表示两个相邻节点的位置。
10-5驻波
12-5 驻波1、理解驻波形成的条件和特点驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；2、理解驻波中的相位和能量，建立半波损失的概念。
重点：驻波形成的条件和特点、驻波方程的建立、驻波中的相位和能量；难点：驻波的形成，半波损失课堂讲授（MCAI教学）1个学时干涉是特定条件下波的叠加，驻波是特定条件下波的干涉。
一、驻波的产生及特征1、产生条件：两列波：（1）满足相干条件；（2）相同振幅；（3）速度相同；（5）沿同一直线相向传播相遇而产生驻波。
2、驻波的特征(1)某些点始终不动—波节，某些点振动最大—波腹。
(2)波腹、波节等间隔稳定分布(波形没有跑动)。
(3)媒质质元分段振动，各分段步调一致，振幅不同。
二、驻波方程分析1、驻波方程：设两列平面相干波沿x轴正、负向传播，在x=0处相位相同。
右行波：1cos2πνλ⎛⎫=-⎪⎝⎭xy A t左行波：x 轴上的合振动为：122cos 2cos 2ππνλ=+=x y y y A t 2、驻波的振幅 由驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=x y A t 与时间无关的因子为振幅分布因子，与时间有关的为谐振动因子。
振幅为：2cos 2πλxA(1) 驻波的振幅沿x 轴周期变化。
(2) 波腹——振幅最大最大振幅为2A 由22cos 22πππλλ=⇒=±xxA A k 相邻两波腹间距12λ+∆=-=k k x x x 波腹处坐标：2λ=±⋅x k （k = 0，1，2，…）(3) 波节——振幅为零 由22cos 20(21)2πππλλ=⇒=±+x x A k (21)4λ=±+x k 相邻两波节的间距12λ+∆=-=k k x x x3、驻波的相位 2cos 2πνλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x y A t驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=xy A t 可写为： 2c o s 2c o s 2(c o s 20)ππνπλλ=>x x y A t 2cos 2cos(2)(cos 20)ππνππλλ=+<x xy A t驻波的相位与坐标无关，说明不象行波随位置依次落后，即驻波的相位不向前传播。
88。5驻波
三. 驻波的特征 1. 非行波
y ( x , t ) [2 A cos( 2
x )] cos( t ) x 式中 x 与 t 被分隔开，不符合 f ( t ) 的函数形式 u 完全失去了行波的特征。 —“驻”的第一层含义
驻波方程可以看成这样的形式
y ( x, t ) A( x ) cos( t )
( x L)
2
n
2
x Ln
( x L)
2
(2n 1)
2
2
n 的取值要保证 x L
讨论
波腹、波节位置，可直接应用入 射波和反射波的干涉结果确定。
r2 r1
振幅加强（波腹） 2 1 2
振幅减弱（波节） 2 1 2
从空间上看，波腹处 cos
sin
2
2
x 1
动能随时间变化
x 0 势能始终为零
2 动能、势能幅值相等，其余处皆不同 在 处， x 2
2
综上可知： ① 各质点位移达到最大时，动能为零；
在波节处相对形变最大，势能最大；
在波腹处相对形变最小，势能最小。 势能集中在波节附近。
② 当各质点回到平衡位置时，势能为零；
例题1 ：
普通物理学教案
设 yo A cos t , 在 x L 处发生反射，反 射点为一固定端。求：①反射波的波动方程②合成 波即驻波的方程，并求出波节和波腹的位置。 y u入 解：先给出入射波方程 x y A cos (t ) x u o L P u 入射波在 L 点的振动方程 反 L y L A cos ( t ) u L y反L A cos[ ( t ) ] 将 L 点视为反射波源 u L x L ) ] 则，反射波方程为 y反 A cos[ ( t u u
驻波比取值范围
驻波比取值范围
驻波是一种在介质中传播的波，其振动方向与传播方向垂直。
在某些情况下，驻波会在介质中形成定态，此时波的振幅为定值，这种现象被称为驻波。
驻波的形成需要两个波源，它们之间的距离必须是波长的整数倍。
当两个波源发射的波完全相位相反时，它们会产生波的叠加，形成一个节点。
当两个波源发射的波相位相同时，它们会产生波的加强，形成一个波峰。
在驻波中，波的振幅是不同的，它们的取值范围可以通过以下公式计算：A = Amax * sin(n * π * x / L)，其中A表示振幅，Amax 表示波的最大振幅，n表示节点的数量，x表示距离节点的距离，L
表示波长。
从公式中可以看出，节点处振幅为0，而波峰处振幅为Amax。
在节点和波峰之间，振幅的取值范围是[-Amax, Amax]。
这个范围是不
断重复的，因为驻波是在介质中周期性地重复出现的。
- 1 -。
驻波检测理论分析
驻波检测理论分析驻波检测理论分析电压驻波⽐介绍电压驻波⽐（VSWR）为英⽂Voltage Standing Wave Ratio 的简写。
电压驻波⽐产⽣的原因主要是由于在系统或者电路中存在阻抗不匹配，在⽆线电通信中，由于天线与馈线的阻抗不匹配或天线与发信机的阻抗不匹配，⾼频能量就会产⽣反射折回，并与前进的部分⼲扰汇合发⽣驻波。
为了表⽰和测量天线系统中的驻波特性，也就是天线中正向波与反射波的情况，⼈们建⽴了“驻波⽐”(Standing Wave Ratio)这⼀概念，驻波⽐的全称是电压驻波⽐。
当两个阻抗数值⼀样时，即达到完全匹配，反射系数Γ等于0，驻波⽐为1。
这是⼀种理想的状况，实际上总存在反射，所以驻波⽐总是⼤于1 的。
理想的⽐例为1:1 ，即输⼊阻抗相等于传输线的特性阻抗,但⼏乎不可能达到，如果当VSWR 1.25:1 时，反射功率⼤概为1.14 %，当VSWR 1.5:1 反射功率为4.06 %，当VSWR 1.75:1时，反射功率为7.53 %，由这个数字我们可以知道, 驻波⽐越⼤, 反射功率越⾼。
在射频系统阻抗匹配中,特别要注意要使电压驻波⽐达到⼀定要求，在移动通信系统中，⼀般要求驻波⽐⼩于1.5，⼀样⼀般可以保证通信系统的良好⼯作。
同时，因为在宽带运⽤时频率范围很⼴，驻波⽐会随着频率⽽变，所以应使阻抗在宽范围内尽量匹配。
电压驻波⽐对系统性能的影响随着驻波⽐的恶化，有效传输的功率将会减少，这是由于理想的阻抗匹配(VSWR=1:1)可以使功率⽆损传输，⽽严重的阻抗失配(⾼VSWR)将导致传输到负载的功率减少。
⾼的VSWR可能引起多种系统问题，其中对VSWR最为敏感的器件是功率放⼤器，因为其输出功率较⼤可能达到200 ⽡左右，导致很⼤的功率反射，从⽽造成⽆线电装置的⼯作范围缩⼩、发射信号使接收部分饱和。
更为严重的影响是损坏发射机并且击穿传输电介质。
同时由于天线上反射回的信号在功率放⼤器处再次反射，然后重新发射出去，导致了类似多径现象，因此⾼VSWR可能引起基站系统的遮蔽衰落VSWR 值很⾼也有可能会损坏天馈系统，反射波在天线和发射机之间来回反复时会丧失⼀部分能量⽽转化为热能损耗了，这⼀部分热量增加了馈线对热损耗的承受能⼒，会产⽣破坏作⽤。
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k 0,1, Amin 0
5–5
驻 波
5
2 同一段上的各质点振动位相相同，相邻两段 中各质点的振动位相相反，在波节处产生 π 的相位 跃变 .（与行波不同，无相位的传播）.
2π y 2 A cos x cos t
例 x
2
y
4
3
2 4
4
为波节
o
4
x
2π cos x 0 , x , 4 4 2π 3 cos x 0 , x , 4 4
y y1 y2
A cos( t 2π
2π 2 A cos x cos t
x) A cos(t
2π
x)
驻波的振幅 与位置有关
第5章 机械波
各质点都在作同 频率的简谐运动
5–5
驻 波
4
二 驻波的特点 1 振幅
2 A cos
2π
cos
2π
x
1
0
2π
x 随 x 而异， 与时间无关.
2πx
x k π
(2k 1)
k 0,1, 2,
k 0,1, 2,
波腹 波节
x
k
2 相邻波节和波腹距离 4
第5章 机械波
相邻波节（腹）距离
2 (2k 1) 4
2 k 0,1, Amax 2 A
5–5
驻 波
1
驻波的产生 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
第5章 机械波
5–5
驻 波
2
驻波的形成
第5章 机械波
5–5
驻 波
3
一 驻波方程 正向
负向
y1 A cos( t
y2 A cos( t
2π
2π
x)
x)
2l l n ，即 (n 1, 2,3) 2 n
n T 2l
对于弦线
u T /
n＝1对应的频率称为基频，其后频率依次称为2次， 3次……谐频.各种允许频率所对应的驻波振动(即简 谐振动模式)称为简正模式(或称本征振动)
Hale Waihona Puke 第5章 机械波π第5章 机械波
5–5
驻 波
8
观察在反射点入射波和反射波两振动的位相关系
波从波密介质入射而从波疏介质上反射时，界面处 形成波腹. 入射波与反射波在此处的位相始终相同， 即反射波在分界处没有半波损失.
第5章 机械波
5–5
驻 波
9
*四 简正模式（自本征振动）
第5章 机械波
5–5
驻 波
10
驻波波长与弦长
第5章 机械波
5–5
驻 波
7
三 半波损失
观察在反射点入射波和反射波两振动的位相关系
u
较 小
波 疏 介 质
u
较 大
波 密 介 质
波从波疏介质入射而从波密介质上反射时，界面处形 成波节.入射波与反射波的位相始终相反，或者说在 界面处入射波的位相与反射波的位相始终存在着 的位相差，这种现象叫做半波损失.
第5章 机械波
y 2 A cos
2π
x cos t
2π y 2 A cos x cos( t π)
5–5
驻 波
6
*3 驻波能量
位移最大时
波 节
波 腹 A B C
x x
平衡位置时
y 2 dWp ( ) x
y 2 dWk ( ) t
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能 主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长 距离的能量传播.