热力学统计物理 课后习题 答案
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。
问：（a ）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b ）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a ）根据1.2题式（2），有（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变，与的关系为（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得11,T T pακ==11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰00(,)T p ()0,T p ,T pV V000ln=ln ln ,V T pV T p -000p V pV C T T ==.pV CT =11,T T pακ==0Cnp 51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和10Cnp np .T dVdT dp Vακ=-dVdTdpdpdT.Tdp dT ακ=αTκ（1）（2）（3）根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有（4） （5）从这两个方程消去和，得（6）故（7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在2111ln ,V Q RT V =3224ln,V Q RT V =32121214lnln .V V W Q Q RT RT V V =-=-1223()(),F T V F T V =2411()(),F T V F T V =1()F T 2()F T 3214,V V V V =2121()ln,V W R T T V =-γ2111.T WQ T η==-p V-CAB故电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为1.19 均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。
解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。
解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
热力学统计物理 课后习题 答案 (2)
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηπε，（ Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηπε （ Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++=ηπ，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222zy x n n n Lc cp ++==ηπε， Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n nn n n n Lczy x++=ηπε， Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++=ηπ，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
热力学统计物理课后习题答案33799
第三章 单元系的相变求证 （1）VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ （2）PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 证明：（1）由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
（2）由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
求证μ-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V T n U ,nV T T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=μ 解：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有VT V T V T n S T n U n F ,,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--=可得VT n F ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ， V T n S T ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂=-n V T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ （2） 代入（1），即有V T n U ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-μ=-T nV T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 两相共存时，两相系统的定压热容量C P =pT S T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂，体胀系数 P T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α和等温压缩系数TP V V k T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=1均趋于无穷。
试加以说明。
解： 我们知道，两相平衡共存时，两相的温度，压强和化学式必须相等。
如果在平衡压强下，令两相系统准静态地从外界吸取热量，物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相，过程中温度保持为平衡温度不变。
两相系统吸取热量而温度不变表明他的热容量 C P 趋于无穷。
在上述过程中两相系统的体积也将变化而温度不变，说明两相系统的体胀系数PT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α也趋于无穷。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= dp dT VdV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pT V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
热力学与统计物理课后习题答案
T
S T
V
；即
T T 0 S V CV
于是： 0>
p 正p数
V T V S
于是：
< 0p
V S
CP
T
S T
P
T
S , T ,
p p
T
S, p S,V
S,V T , p
T
p V
S
S,V T , p
T p V S
S T
,V ,V
T ,V T , p
化简。
解：由式(3.2.7)得：U TS pV ；又由式(3.4.6)得：
dp L dT TV
；L TS
Pa
U L L p dT T dp
L1
p T
dT dp
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡
=0。
解： 由式(2.2.7)得：
(
U V
)T
p
=T
( T
)V
-p;
(
U V
)T
=0
;
p
T
( p T
)V
( U V
)T
=
(U ,T ) (V ,T )
(U ,T )
=
( p,T )
( p,T ) (V ,T )
U =0= ( p )T
(
p V
)T
∵
( p V
)T≠0
;
(
U p
)=T 0。
习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无
)U
>0
证: 由式(2.1.2)得： dH TdS VdP
等H过程: (TdS )H (VdP)H
热力学统计物理 课后习题 答案
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212zy x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
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第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为mP 22=ε因此 εm P 2=， εmd PdP =将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫⎝⎛证明：对于一维自由粒子，有n Lhn L p ==π2 dn Lhdp =∴由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d hLd 2n = 再由 εεm mp 2p 22==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}'l l a a 和必须满足：∑=llN a， ∑=llN a''，∑∑=+llllll E aa ''εε，其中E 为系统总能量。
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第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β与等温压缩系数κT 。
解:已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α, 压强系数TpV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P 的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数与等温压缩系数,根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ,如果PTT 1,1==κα,试求物态方程。
解: 体胀系数pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数TT p V V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=1κ 以T,P 为自变量,物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=dp dT VdVT κα-= 这就是以T,P 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得()⎰-=dp dT V T καln根据题设 , 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pTV +=lnln , PV=CT 要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1.4描述金属丝的几何参量就是长度L,力学参量就是张力£,物态方程就是(£,L,T)=0,实验通常在大气压下进行,其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ,等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,其中A 就是金属丝的截面。
一般来说,α与Y 就是T 的函数,对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大,可以瞧作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明,当温度由T1降至T2时,其张力的增加为)T -(T -Y A £12α=∆。
解: f (£,L,T)=0 ,£=F£(L,T) dT T dL L dT T d LT L ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=££££ (dL=0) 1££-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂TF L L L T T ααYA L AY L L T L T TF L -=-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂££ dT YA d α-=£所以 )T -(T -Y A £12α=∆1.6 1mol 理想气体,在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体所做的功与所吸收的热量。
解:将气体的膨胀过程近似瞧做准静态过程。
根据⎰-=VBVApdV W ,在准静态等温过程中气体体积由V A 膨胀到VB,外界对气体所做的功为A B A B VBVAVBVAP P RT V V RT V dVRT pdV W ln ln -=-=-=-=⎰⎰ 气体所做的功就是上式的负值, - W =ABP P RT ln-= 8、31⨯300⨯ln20J= 7、47⨯10-3J 在等温过程中理想气体的内能不变,即∆U=0 根据热力学第一定律∆U=W+Q,气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= - W = 7、47⨯10-3J 1、7 在25o C 下,压强在0至1000pn 之间,测得水的体积为V=18、066-0、715⨯10-3P+0、046⨯10-6P 2cm 3⋅mol -1如果保持温度不变,将1mol 的水从1pn 加压至1000pn,求外界所作的功。
解:将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2 由此得到 dV=(B+2CP)dP保持温度不变,将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn,在这个准静态过程中,外界所作的功为⎰-=VB VA pdV W =⎰+-PBPAdp P 2CP)(B =1000132)CP 32BP 21(+-=33、1J ⋅mol -1 1.11满足PV n =C 的过程称为多方过程,其中常数n 名为多方指数。
试证明,理想气体在多方过程中的热容量为V C 1-n -n Cn γ= 解: nVn n T n dT dV P C dT PdV dU T V P U C ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+∆=→∆0lim 理想气体多方过程 PV=RT PV n =C有 ⎩⎨⎧=+=+⋅=+-0,01VdP nPdV dP V ndV PV RdT VdP PdV nn dT n R PdV 1--=⇒ 所以 1--=n RC C V n 另一方面,理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γVp V p C C R C C所以得 V C 1-n -n Cn γ= , 证毕1.12 试证明,理想气体在某一过程中的热容量Cn 如果就是常量,该过程一定就是多方过程。
多方指数CvCpn --=Cn Cn 。
假设气体的定压热容量与定容热容量就是常量。
解:根据热力学第一定律,dU=dQ+dW (1) 对于准静态过程 有dW= - pdV 对于理想气体有 dU = Cv dT气体在过程中吸收的热量为 dQ = CndT则 热力学第一定律 (1)可表达为 (Cn - Cv ) dT=pdV用理想气体的物态方程 γRT= pV 去除 上式,以及代入Cp -Cn= γR得到VdVCv T dT Cv )(Cp )(Cn -=- (2) 理想气体的物态方程的全微分为 TdTV dV P dP =+ (3) 以上两式联立,消去T dT ,得0)(Cn )(Cn =---VdVCp P dP Cv (4) 令CvCp n --=Cn Cn ,上式(4)表示为 0=+VdV n P dP 若Cp,Cv,Cn 都就是常量, 将上式积分得 PV n =C上式表明,过程就是多方过程。
1.16假设理想气体的定压热容量与定容热容量之比γ就是温度的函数,试求在准静态绝热过程中T 与V 的关系。
该关系式中要用到一个函数F(T),其表达式为()()⎰-=T dTT F 1ln γ。
解: PdV Tds dV -=, dT C dV V = 对准静绝热过程, dS ＝0, 得到 ()PdV dV dT C s V -==另一方面,理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γVp V p C C R C C且 PV ＝RT 于就是, 1-=γR C V ,VRT P = 即得到dV VRT dT R -=⋅-1γ ()01=-+T dT VdV γ 令 ()()⎰-=T dT T F 1ln γ , ()T dTFdF 1-=γ 有 ()0ln =⋅F V d , ()Const T F V =⋅1、21温度为00C 的1kg 水与温度为1000C 的恒温热源接触后,水温达到1000C 。
试分别求水与热源的熵变,以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变,应如何使水温从00C 升至1000C ？已知水的比热容为4、18J ⋅g -1⋅K -1解:00C 的水与温度为1000C 的恒温热源接触后,水温达到1000C 。
这一过程就是不可逆过程。
为求水、热源与整个系统的熵变,可以设想一个可逆过程,它使水与热源分别产生原来不可逆过程中的同样的变化。
通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为了求水的熵变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。
其温度分布在00C 与1000C 之间。
令水依次从这些热源吸收热量,使水温由00C 升至1000C 。
在这可逆过程中,水的熵变为1133732736.1304273373ln 18.410273373ln --⋅=⋅⨯⨯===∆⎰K J K J mC T dT mC S P P 水 (1) 水从00C 升至1000C 所吸收的总热量Q 为 Q=mC P ∆T=103⨯4、18⨯100J=4、18⨯105J为求热源的熵变,可令热源向温度为1000C 的另一热源放出热量Q 。
在这可逆过程中,热源的熵变为1156.11203731018.4--⋅-=⋅⨯-=∆K J K J S 热源(2)由于热源的变化相同,式子(2)给出的熵变也就就是原来的不可逆过程中热源的熵变。
整个系统的总熵变为∆S 总=∆S 水+∆S 热源=184 J ⋅ K -1为使水温从00C 升至1000C 而参与整个过程的整个系统的熵保持不变,应令水与温度分布在00C 与1000C 之间的一系列热源吸热。
水的熵变∆S*水仍由式子(2)给出。
这一系列热源的熵变之与为1133732736.1304273373ln 18.410273373ln *--⋅-=⋅⨯⨯-=-=-=∆⎰K J K J mC T dT mC S P P 热源参与过程的整个系统的总熵变为∆S*总=∆S*水+∆S*热源=0 (5)1、22 10A 的电流通过一个25Ω的电阻器,历时1S 。
(A)若电阻器保持为室温270C,试求电阻器的熵增加值。
(B)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为270C,电阻器的质量为10g,比热容C P 为0、84J ⋅g -1⋅k -1,问电阻器的熵增加值为多少？解:(A)以T,P 为电阻器的状态参量,设想过程就是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温270C 不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
(B)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热Q 将全部被电阻器吸收而使其温度由T 1升为T 2,所以有mC P ∆T= mC P (T 2- T 1)=i 2RT故K K mC RT i T T P 600)1084.01012510300(322212≈⨯⨯⨯⨯+=+=-电阻器的熵变可以参照1-17节例二的方法求出,为113212218.5)300600ln 1084.010(ln ---⋅=⋅⨯⨯===∆⎰K J K J T T mC T dT mC S P P T T 1、23均匀杆的温度一端为T1,另一端为T2,试计算达到均匀温度后的熵增。
解:0 l x第i 处的初温为 x lT T T T i 121-+= 设单位长度的定压热容量为Cx , ()x p C l C ⋅= 于就是⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=+⋅===⎰⎰++i x T T T i x x T T T x T T T C T T T C T dT C TdQS iiln 2ln 2ln 2122122121 总熵变 ⎰=lxdx SS 0⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=l i x dx T T T C 021ln 2ln ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⋅⋅=l x x dx x l T T T C T T l C 012121ln 2ln⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+⋅=211221ln 2ln T T x p T T l dy y C T T C ()21ln 2ln 1221T T x p p y y y T T C T T C -⋅--+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+⋅=1ln ln 2ln 12112221T T T T T T T T C p。