高二人教版数学选修2-3：1.2.2组合与组合数公式(第1课时)练案(教师用)
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：1.2.2_第一课时_组合与组合数公式_Word版含解析
1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
高中数学选修2-3精品学案：1.2.2 第1课时 组合与组合数公式
1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？[答案]①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.(×)2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(√)3．C35＝5×4×3＝60.(×)4．C2016＝C12017＝2017.(√)2017类型一组合概念的理解例1给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10. (2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)求证：C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1.考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用(2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ， 左边＝C m n ，所以左边＝右边，所以原式成立． 反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n ！m ！(n －m )！计算． (3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017的值为( )A ．C 42017B ．C 52017 C ．C 42018－1D ．C 52017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 [答案] (1)C (2)5150[解析] (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32017－1＝… ＝C 42017＋C 32017－1＝C 42018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8； (2)解不等式C 4n >C 6n .考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84. (2)由C 4n >C 6n，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4，即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5. 所以x ＝11或x ＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11. 类型三 简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 考点 组合的应用题点 无限制条件的组合问题 [答案] (1)45 (2)21 (3)90[解析] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计算原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)． 反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．3B．2C．1D．0考点组合的概念题点组合的判断[答案] B[解析]①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算[答案] D[解析]由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－3，则n等于()12A．3B．5C．3或5D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题[答案] C[解析]由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有()A．15种B．30种C．45种D．90种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题[答案] C[解析]分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13·C25＋C23·C15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．考点组合的概念题点组合的判断[答案]1020[解析]从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)组合数的两个性质：性质1：C m n＝C n－mn；性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n.。
人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 第1课时 组合及组合数公式
1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成______，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？思考3你能得出C24的计算公式吗？梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝__________________＝__________性质①C m n＝________；＝________；②C m n＋C m－1n③C0n＝____类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？类型二组合数公式与性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例2(1)计算：C410－C37·A33；＋C3n21＋n的值；(2)求C38－n3n(3)证明：m C m n＝n C m－1.n－1反思与感悟(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.跟踪训练2(1)计算C98100＋C199200＝________.(2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为() A．C42 015B．C52 015C．C42 016－1 D．C52 015－1命题角度2含组合数的方程或不等式例3(1)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求Cm8＋C5－m8；(2)解不等式：C4n>C6n.反思与感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3(1)若1C3n－1C4n<2C5n，则n的集合为______．(2)解方程C x－2x＋2＋C x－3x＋2＝110A3x＋3.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}3．若C2n＝21，则n！3！(n－3)！的值为()A．6 B．7 C．35 D．704．不等式C2n－n<5的解集为________．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．答案精析问题导学知识点一思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一组知识点二思考1 A 24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22＝12.思考3 因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6. 梳理 (1)所有组合 C m n(2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！C n －m n C m n ＋1 1 题型探究例1 解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．跟踪训练1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．例2 (1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.跟踪训练2 (1)5 150 (2)C例3 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎨⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．跟踪训练3 (1){5,6,7,8,9,10,11}(2)解 原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3， 即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， ∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝110·(x ＋3)！x ！， ∴1120(x －2)！＝110·1x (x －1)(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3.又∵0≤x －3≤x ＋2且x ＋3≥3，x ∈N ＋，∴x ≥3且x ∈N ＋，∴x ＝4.当堂训练1．C 2.D 3.C 4.{2,3,4}5．解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．。
2020-2021学年数学人教A版选修2-3学案：1.2.2 第1课时 组合与组合数公式
1．2.2组合第1课时组合与组合数公式[目标] 1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合.2.能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．[重点] 掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．[难点] 组合与排列的区别与联系．知识点一组合的概念[填一填]一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．[答一答]1．组合与排列的概念有何异同点？提示：共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”．2．从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？提示：是，组合与顺序无关．知识点二 组合数与组合数公式[填一填][答一答]3．在组合数公式C m n 中，m ，n 应满足什么条件？ 提示：m ，n ∈N *，且m ≤n . 4．一个组合与组合数有何区别？提示：一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数．解题时应分清求组合还是组合数．5．组合数公式C m n ＝A m n A m m与C mn ＝n ！m ！(n －m )！在作用上有什么不同？ 提示：C m n ＝A m n A m m一般用于求值、计算，而C mn ＝n ！m ！(n －m )！一般用于化简、证明，但二者上述作用不是绝对的，有时要相结合使用．1．对组合的三点认识(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”．(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合．2．组合数两个性质的应用要注意性质C m n＋1＝C m n＋C m－1n的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C m－1n＝C m n＋1－C m n的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.类型一组合的概念【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学．【分析】判断一个问题是组合问题还是排列问题，关键看元素之间是否与顺序有关．【解】(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．,排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序问题，元素与顺序无关是组合问题，元素与顺序有关是排列问题.有甲、乙、丙、丁四人相见，他们相互握手1次，问他们握手共有多少种不同的组合？解：将甲、乙、丙、丁按照一定顺序排好，然后按顺序用如图所示的方法将各个组合逐个写出：由图可知他们握手的组合有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁6种．类型二 组合数的计算与证明【例2】 (1)求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1(2)证明：C m n ＝nn －m C m n －1. 【分析】 (1)首先确定n 的值；(2)按组合数公式的阶乘形式展开． 【解】 (1)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.(2)证明：n n －m C m n －1＝n n －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n .(1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( D )A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100解析：分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n .故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100.(2)证明：m C mn ＝n C m －1n －1证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.所以原式成立． 类型三 组合的简单应用【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【分析】 首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21种．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏.某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325种不同的投资方式．规范解答系列：组合数性质巧用【例4】 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 013的值为( ) A ．C 42 014B ．C 52 014C ．C 42 014－1D ．C 52 014－1(2)求证：C n m ＋2＝C n m ＋2C n －1m ＋C n －2m . 【解析】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 013 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 013－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 013－1＝… ＝C 42 013＋C 32 013－1＝C 42 014－1.(2)证明：由组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n可知，右边＝(C n m ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C n m ＋1＋C n －1m ＋1＝C n m ＋2＝左边．所以原式成立．【★★答案★★】 (1)C (2)见解析【解后反思】 本题是组合数公式和组合数性质的应用，多个组合数的和化简为一个组合数的关键在于掌握性质2两边的上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组合式的特征．(1)计算C 98100＋C 199200； (2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ； (3)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值． 解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由题意得3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＝18－(4n －2)，解得n ＝2或n ＝8.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4，且n ∈N *， ∴n ＝8不合题意，应舍去，∴n ＝2.(3)根据题意C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得，C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ，由组合数的性质，可得C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，即C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n＋1，解得n ＝14.1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( C ) ①由1,2,3,4构成的2个元素集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( C )A ．2B ．4C ．4或2D ．3解析：由组合数性质知x ＝2或6－x ＝2，即x ＝2或4.3．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝165.解析：由组合数性质知C 22＋C 23＝C 34，C 34＋C 24＝C 35，…， ∴C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 311＝11×10×93×2×1＝165.4．若C 4n ＝C 6n ，则C 8n ＝45.解析：∵C 4n ＝C 6n ，∴n －4＝6，∴n ＝10， ∴C 8n ＝C 810＝C 210＝45. 5．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； 解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×(6＋5×42×1)＝32.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
人教版高中数学 选修2-3 1.2.2 组合教案
2、通过生生、师生之间的交流，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
1、学生练习，教师巡视，并对学生个别指导.
2、学生口答，并加以分析，其他学生给予评价，教师总结.
是相同的组合吗？
②两个相同的排列有什么特点？两个相同组合呢?
辨析概念
学生讨论、交流、归纳、总结.
练习
应用概念
学生独立思考解答，出现的错误有其他学生纠正.
教学内容
设计意图
师生互动
概念导学
组合数
问题1：组合数的概念是什么？
学习概念
学生阅读教材
新
课
导
学
问题2：组合数公式的推导过程
问题：写出从a、b、c、d四个元素中任取三个元素的所有组合和排列
变式练习：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？.
（2）抽出的3件中恰有一件是次品的抽法有多少种？
学生互相讨论、交流意见，书写解题过程.
当
堂
检
测
1．A、B、C、D4个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛____场;（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有_____种.
2．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画______条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画______个圆内接三角形
3．（1）凸五边形有_____条对角线；（2）凸边形有_____条对角线
4．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成______种币值.
5. ________
通过两个问题的比较，在引出组合概念的同时，让学生体会组合与排列的联系与区别.
选修2-3第一章1-2-2组合第1课时组合与组合数公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
m m 1 4．对等式 Cm ＝ C ＋ C 的理解 n ＋1 n n 在确定从 n＋ 1 个不同元素中取 m 个元素的方法时，对于 某一元素， 只存在着取与不取两种可能．如果取这一元素， 则需从剩下的 n 个元素中再取出(m－ 1)个元素，所以共有 m－1 Cn 种，如果不取这一元素，则需从剩下 n 个元素中取出 m 个元素， 所以共有 Cm 由分类加法计数原理得 Cm n 种． n＋1＝ m－1 Cm ＋ C n n .
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【课标要求】
理解组合与组合数的概念． 1． 会推导组合数公式，并会应用公式求值． 2． 3． 了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【核心扫描】
组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点) 1．
组合数公式的推导．(难点) 2． 组合数公式的应用．(重点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．组合 不同 元素中__________________________ 取出m(m≤n)个元素合成一组 ， 一般地，从n个_____ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
想一想：组合与排列有什么异同点？ 提示 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任 取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者 要“按照一定顺序排成一列”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列 数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中
人教版高中数学选修(2-3)-1.2《组合(第1课时)》教学设计
1.2.2 组合(陈莉)一、教学目标【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力．【学习目标】（1）判断具体问题是组合还是排列（2）组合数公式的推导（3）组合数公式的应用【学习重点】1明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.2理解组合的概念，组合数公式，组合数公式的简单应用.【学习难点】组合数公式的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P21－P26，思考：组合的内容是什么？组合数有哪些应用？任务2 默写组合数公式的具体内容2．预习自测1.组合的概念①从全班40人中选出5人组成班委会．②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？解：②是排列，①中选出的5人无需排列，②中选出的5人有顺序．2．组合数公式与性质①计算组合数=37C ；②计算=+3626C C .解：35 35（二）课堂设计1．知识回顾（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）排列的概念；（4）排列数的定义.2．问题探究问题探究一 排列与组合的区别和联系引导学生通过实例，辨析“有序（排列）”与“无序（组合）”.引入：判断下列问题是组合还是排列①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2017年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ 答案：①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同问题探究二 组合数公式的推导引例：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；。
高中数学选修2-3精品教案3：1.2.2 组合 ( 1 )教学设计
1.2.2 组合（1）教学目的：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反三、融会贯通.教学重点：组合的概念和组合数公式.教学难点：组合的概念和组合数公式.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪情境设置一、问题1（1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、问题2有6本不同的书：（1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？三、温故而知新什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.新知探究一、组合定义1、一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．4、什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？二、组合数1、从n 个不同元素中取出m （m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记为即时体验例1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个?（组合问题）（2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?（组合问题）(3)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?（组合问题）四、计算组合数1、引入：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的组合数是多少？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． 2、求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有种不同的排法. m nC mn C mm A根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．3、组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 即时体验例2．计算：（1）47C ；（2）710C ； （1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例3．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C 巩固练习：1．（1）从9名同学中选两名同学担任正副班长，共有多少种不同的选法.（2）若选出两名代表参加一个会议，共有多少种不同的选法.（1）72种（2）36种2．(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?（1）45条（2）90条3．在10件产品中,有8件合格品,2件次品.从这10件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?（1）310C(2)1228C C ( 3) 310C -38C课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念.②利用组合和排列的关系得到了组合数公式. 板书设计：（略）教学反思：。
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x)
11(x 1)x 将 n
3x 代入得 x
5，则 n
15 .
3
练后反思
1.2.2 组合与组合数公式（第 1 课时） 练案
考试要求 1. 理解组合的意义； 2. 掌握组合数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
基础训练
一、选择题
r
1.组合数 Cn (n
r 1,n、r
N ) 恒等于（ D
）
A.
r+1
C
r n
1 1
B.
n +1
(n+1)(r+1)
Cr 1 n1
C.
nr
C
2 197
)
种
C.
C3 200
C4 197
种
D.
(C
5 200
C
1 3
C
4 197
)
种
4.
式子
C1m0
2
+C
17 10
m(m
N ) 的值的个数为（
A
）
A.1
B.2
C.3
D. 4
5. 异面直线 a , b 上分别有 4 个点和 5 个点，由这 9 个点可以确定的平面个数是（
B）
A. 20
B.9
C.
C
3 9
C
x n
1
11 3
C
x n
1,
求
x, n 的值
.
解析：（ 1）原方程化为
C
5 n
1
C
3 n
3
1
3 4 ， 解得 n 9 或 n 5
6 （舍去） .
（ 2）∵ x
0, x
1
0, x 1
0 ，∴ x
1，由
x
Cn
nx
Cn
2x
Cn ，∴ n x
2x ， n 3x ，
由
C
x n
1
11
C
x n
1
，得
3(n
x 1)(n
解析：（ 1）共有
C
4 8
70 种不同的选法 . （ 2）分三类： 3 男 2 女， 2 男 3 女， 1 男 4 女 .
共有
C
63C
2 4
C
62C
3 4
C
61C
4 4
186 种不同选法 .
C
5 n
1
C
3 n
31Βιβλιοθήκη . （ 1）已知C3 n
3
4 3 ，求 n 的值 .
5
（ 2）已知
C
x n
C
2 n
x
,
的调整方案有 70
种.
解析： 从 7 人中选出 3 人有 C73 35 种情况，再对确定的 3 人相互调整座位，有 2 种情况，故
共有 2C73 70 种不同的调整方案 .
三、解答题 11. 要从 6 男 4 女中选出 5 人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ （ 1）甲当选且乙不当选； （ 2）至少有 1 女且至多有 3 男当选 .
r n
1 1
D.
2.
(C1200
+C
97 100
)
A3
101 的值为（ C
n r
C
r n
1 1
）
A.6
B.101
1
C.
D. 1
6
101
3.假设 200 件产品中有 3 件次品，现在从中任取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有（ B ）
A.
C
2 3
C
2 198
种
B.
(
C
2 3
C
3 197
C
3 3
C
D.
C
2 4
C
1 5
C
2 5
C
1 4
6.已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任何两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点 有（ D ）
A. 36 个
B.72 个
C.63 个
D.126 个
解析： 转化为圆上 9 个点可组成多少个四边形，有
C
4 9
126 个 .
二、填空题
7. 若
C
13 n
C
7 n
，则
C
18 n
190 .
8
化简
C
9 m
C
9 m
1
C
8 m
0.
9. C30 C41 C52
C
18 21
的值等于
7315
.
解析： 原式
(C
0 4
C
1 4
)
C
2 5
C 18 21
C 18 22
C
4 22
7315 .
10.（ 易错题 ）某班有一个 7 人小组，现任选 3 人相互调整座位，其余 4 人座位不变，则不同