数学思想在中考中的运用
浅析数学思想方法在中考命题的渗透
浅析数学思想方法在中考命题的渗透【摘要】掌握数学思想方法是提高学生数学素质的必要条件。
《义务教育初中数学教学大纲》已经把数学思想方法列为数学基础知识，近年来中考命题趋向于数学思想方法的应用。
初中数学教师应增强数学思想方法的教学意识，在教学过程中渗透数学思想方法内容，在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法，在问题解决过程中强化数学思想方法，并及时总结以逐步内化数学思想方法。
【关键词】数学思想方法中考命题渗透挖掘强化内化数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。
数学教学中必须重视思想方法的教学，其理由是显而易见的。
数学思想方法是数学的精髓，也是知识转化的桥梁，用数学思想方法去沟通知识间的内在联系，可以对重点知识的本质及规律有深刻的认识，数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是数学知识的重要组成部分，它的应用可以避免解题中的计算、形成演绎的盲目性，掌握数学思想方法可以提高解题能力。
近年来中考命题类型趋向于的数学思想方法主要有：函数和方程、化归、分类、数形结合等。
数学思想方法也是历年中考的必考内容。
1.方程和函数思想把研究数学问题中的已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而是问题得到解决的方法就是方程思想。
一般主要有列方程（组）解应用题和解代数题或几何题，解题时要建立正确的方程模型，以便使问题得到解决。
例1：（2010·烟台）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾。
解放军某部接到了限期打30口井的作业任务。
部队官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。
求原计划每天打多少口井？解析：列方程（组）解应用题必须弄清题意，设好未知数，并且找出等量关系列出方程（组）.解：设原计划每天打x口井，依题意可得：30x-30x+3=5去分母得，30（x+3）-30x=5x（x+3），整理得，x2+3x-18=0解得：x1=3，x2=-6（不合题意，舍去）经检验：x=3是方程的根。
如何运用数学思想解决中考题第35讲
第36讲：如何运用数学思想解决中考题数学思想是解决数学问题的灵魂，因此，也是中招考试的重点.初中最常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化思想等.一、转化思想： 将较抽象、复杂或较隐含的已知条件或结论转化为较直观、简单或较浅显的已知条件或结论的思想即为转化思想. 例1：已知5=a ，b 是a的小数部分，求ba 1-的值.解析：本题目中的“b 是a 的小数部分”一句话较抽象，按照常规的思路，即因为236.25==a ，所以b =0.236….显然这样是很难求解的.若能够把这句话转化理解为：因为b a +==25，所以25-=b ，则显然有225151-=--=-b a .转化思想是最常见的数学思想之一，我们做题过程本身就是问题的转化过程.我们平时做题时所用到的等量代换、比例式与乘积式的互化、换元法等等都是转化的手段.灵活运用转化思想，能够深入挖掘题目中的隐含条件，将复杂的问题简单化.二、数形结合思想： 数学家华罗庚说过；“数无形，少直观；形无数，难入微.”数和形是事物存在的两个方面，数形结合思想也是一种很重要的数学思想.有效的利用数形结合思想，便于我们深刻理解题意，也是化难为易的捷径.例2：（2007丽水）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''，则点B '的坐标是（ ）A . （3，4）B . （4，5）C . （7，4）D . （7，3）解析：结合图形知，易求得OA=3,OB=4。
△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''后，O /A ⊥x 轴，O /B /∥x 轴，则点B '的横坐标=OA+OB=7, 点B '的纵坐标=OA=3，所以选择D 。
例3：（2006年重庆课改卷）如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P , 则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是解析：结合一次函数的图像，因为两个一次函数的图像的交点为（—4，—2），则方程组的解为⎩⎨⎧-=-=24y x .评注：此题的解法，把抽象的数（方程组的解）用直观的点（的坐标）来表示，充分运用了数形结合思想.三、方程思想：解答数学问题时，通过列方程的方法，把已知条件和某些未知的结论联系起来，从而达到求解的目的，这种思想就是方程思想. 例4：（2005年太原）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD 的面积等于（ ）FCD4题A16225 B15226 C17256 D16289解析：根据勾股定理的逆定理，易判断三角形AEF 为直角三角形， 则∠AEB+∠FEC=900,易判断△ABE ∽△ECF ，不放设BE=x,AB=y,则EC=y-x ，因为,34==EC AB EF AE 所以,34=-x y y 即,4,4222=+=y x x y ∴,16172=x ∴,174=x ∴,1716=y ∴172562==yS ，选C.评注：解决此题的关键就是利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理构造方程，从而达到了求解的目的.四、分类讨论思想： 分类讨论思想就是把事物可能出现的各种情况分类别并加以讨论的数学思想，例如去绝对值符号时要考虑数的正负，开平方时的两个平方根，不等式两边同乘以或除以一个代数式时应考虑其正负等，均为分类讨论思想.几何上如圆周角定理的证明也运用了分类讨论思想. 分类讨论思想能考查思维的周密性，若不能合理分类或分类不完整，就会导致解题时出现错误或漏解，尤其是在解决一些让自己画图的几何计算或证明题时，要把图形可能出现的各种情况都考虑在内. 例5：（2006年江苏盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 . 解析：有两个2和—2.例6：（2005荆门）已知直角三角形两边x 、y 的长满足240x -+=，则第三边长为 ．分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．五、运动变换思想： 运动变换思想是研究某些几何图形的性质和某些函数问题的重要思想方法.运用运动变换思想解题时，既要用动态的观点去分析问题，解决问题，又要抓住问题的实质，分清在运动变化过程中哪些量、性质没有变，以不变应万变，使问题得以圆满解决.在特定的条件下（某个特殊时刻），把运动的点或者图形当作静态的点或者图形去研究是解决这类问题的根本方法.例7：（2007山东滨州）如图1所示，在A B C △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为B C的中点，动点E 在B A 边上自由移动，动点F 在A C 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，O E F △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出O E F △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设B E x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与A B 相切（如图2），试探究直线E F 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，O E F △能成为45E O F ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是B A 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是A C 的中点．（2）在O E B △和FO C △中，135E O B F O C ∠+∠=°，135EO B O EB ∠+∠=°，F O C O E B ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，O E B F O C ∴△∽△．B E B O C OC F=∴．B E x =∵，CF y =，O B O C ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）E F 与O 相切．O E B F O C∵△∽△，B E O E C OO F=∴．B E O E B OO F=∴．即B EB O O EO F=．又45B EO F ∠=∠=∵°，B E O O E F ∴△∽△．B E O O E F ∠=∠∴．∴点O 到A B 和E F 的距离相等．A B ∵与O 相切，∴点O 到E F 的距离等于O 的半径．E F ∴与O 相切．六、整体思想：即把方程、代数式里的某些项当作一个整体去看待，如解方程里的换元法等等就是整体思想. 例8：（2006年黄冈）已知x 2+x-1=0，求x 3+2x 2+2005的值.解析：x 3+2x 2+2005=(x 3+x 2)+(x 2-1)+2006=x 2(x+1)+(x-1)(x+1)+2006=(x+1)(x 2+x-1)+2006.∵x 2+x-1=0，∴原式=2006.另解：x 3+2x 2+2005=x 3+x 2+x 2+2005=x （x 2+x ）+x 2+2005=x+x 2+2005=2006例9：（2006年武汉）已知a+b+c=0，且a 、b 、c 互不相等，证明：.1222222222=+++++abc cca b bbc a a证明：∵a+b+c=0，∴a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)，∴abc ccab bbca a+++++222222222ab c b a c ccab ac b bbca cb a a++-+++-+++-=)()()(222222))(())(())((222b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--=))()(()()()(222a c cb b a b ac a c b c b a ----+-+--=图1A B图2A B.1))()(())()((=------=a c cb b a b a ac c b分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x 、y的长满足240x -+=，则第三边长为 ． （2005青湖北省荆门市中考题）分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．例2：⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是（ ） （A ）7㎝ （B ）8㎝ （C ）7㎝或1㎝ （D ）1㎝ （2005湖北省襄樊市中考题）分析与解答 因为弦AB 、CD 均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB 和CD 的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O 的同侧，二是位于圆珠笔心O 的异侧，如图2-4-1，过O 作EF ⊥CD ，分别交CD 、AB 于E 、F ， 则CE=4㎝，AF=3㎝．由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝．当AB 、CD 在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C ．例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．图2-4-1（2005青海省西宁市中考题） 分析与解答 勾股定理可得当△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，D M M N ABAE=，即15D M D M ==．（2）当DM 与AB 是对应边时，DM M N ABAE=，即25D M D M ==故DM55例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？（2005年湖北省中考改编）B ACQDPM分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12． ∵QB=16-t ，∴112(16)9662St t=⨯⨯-=-．（3） 由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ ． 在Rt △PMQ 中，2222222212.,12(16)PQ t PQ BQ t t =+=+=-由得，解得72t=．② 若PQ=BQ ．在Rt △PMB 中，22222222(16)12.,)12(16)BP t BQ t t =-+=+=-由BP 得(16-2，即23321440t t -+=，∵△=7040-<， ∴解得23321440t t -+=无解，∴B PB Q≠．图2-4-2E NMD CBA③若PB=PQ ．在Rt △PMB 中，，222222,12(162)12QP t t =+=-+由BP得．解得1216,163t t ==不合题意，舍去）．综合上面原讨论可知：当72t=秒或163t=秒时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形．说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝（2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目） 2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则（2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O内作了长为AB ，连续PB ，则PB 的长为（2005年湖北省黄冈市中考题）5．在直角坐标系xoy 中，一次函数23y=+的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ．（1）苈以原点O 这圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5.（1）3()22（2）满足条件的点P 存在，它的坐标是0)(0)(40)(40)3----或或或第2讲 转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9．（1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，•T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值．∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y=12x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2m n+=9…①又∵点P （m ，n ）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）． （2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC ∽△BRT ， 设BT=a ，RT=b ． 分类讨论： ①当24b a=…①又由P 点求出可确定反比例函数y=6x又∵R （m+a ，b ）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1M B+1N B的值；（2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2，过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形．（1）求m ，n ，t 的值；（2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ． （1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB²OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1²x2=1a，∴OB²OC=│x1│²│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1²x2<0），•∴OB²OC=-1a，又∵OA2=OB²OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD²FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184D F=，DF=2cm，∴BD2=16，∴DE=BD=4cm．3．（1）∵111N B M B A B M B =，即11N B M B M B =-，得MB+NB=MB ²NB ，两边同除以MB ²NB 得1M B+1N B=1．（2）12MB ²NB=52，即MB ²NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB ²NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 12x 22，∵MB<NB ，∴2，2（3）B 1M=3-2，EN=3-2，∴MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ²cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400x-x=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区． 5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1³t=t ，OP=1³t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12³•OP ³OQ=12³t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6）（2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3，∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，∴点C 不落在直线AB 上． （3）△POQ ∽△AOB 时， ①若O Q O P O BO A =，即6612tt-=，12-2t=t ，∴t=4．②若O Q O P O AO B=，即6126t t -=，6-t=2t ，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．考前热身训练 1．（1）开口向上，P （2，-m 2）．（2）设对称轴与x 轴交于点C ，令（x-2）2-m 2=0，得x 1=-m+2，x 2=m+2， ∴A （-m+2，0），B （•m+2，0）， ∴AC=│2-（-m+2）│=m ，（∵m>0）由抛物线对称性得PA 2=AC 2+PC 2=m 2+（-m 2）2． ∵∠APB=90°，∴易证AC=PC ，即│m │=│-m 2│，∴m 1=0，m 2=±1． ∵m>0，∴m=1，∴△ABC 的周长为2．（1）m=-2，．（2）L 1：y 2L 2：y=3．（3）过B 作BP 1⊥AC 于P 1，则P 1（32，2），过B 作BP 2⊥AB 于P 2，则P 2（-22）．3．（1）y=1x（． （2）2（3）若△AEP ∽△BEC ，则A E A P B EB C=，易知Rt △BAP ≌Rt △CBE ，BE=AP ．设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ， ∴11t t t-=，∴t=12-±，又∵0<t<1，∴t=12-，即P 点存在，且12+．第3讲 数形结合思想概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，•能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．典型例题精析例．以x 为自变量的二次函数y=-x 2+2x+m ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点．（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，•使得以B C Ay xPOA 、P 、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等），若存在，请求出点P 、点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）∵y=-x 2+2x+m 与y 轴交于C （0，3），∴3=m ，代入y=-x 2+2x+m 得y=-x 2+2x+3， 令-x 2+2x+3=0，x 2-2x-3=0，x 1=-1，x 2=3． ∴A （-1，0），B （3，0），由y=-x 2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M （1，4）． （2）若存在这样的P 、Q 点，一定是∠PAQ=∠ACO ．∵若∠PAQ=∠CAO ，则△ACO ∽△AQP 不合题意，若∠PAB=90°=∠AOC ，显然P•点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑．①当∠AOC=∠PQA ，∠ACO=∠PAQ 时，有△AOC ∽△PQA （如图1） 设Q （x 1，0），P （x 1，y 2）由A Q Q P O CA O=得11131x y +=，而y 1=-x 12+2x 1+3，∴x 1+1=3（-x 12+2x 1+3）， 3x 12-5x 1-8=0， x 1=83或x 1=-1（不合题意，舍去）把x 1=83代入y 1=-x 12+2x 1+3=119， ∴Q （83，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△PQA ．②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP 时，有△AOC ∽△APQ过P 作PN ⊥x 轴于N ，设Q （x ，0），P （，） 由△AOC ∽△APQ 得AC C O AQAP= 得231x =+ 解得8327， ∴Q （8327，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△APQ说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．（2）第二种情况的P 点可以认为和第一种情况是同一点．（3）能够求出Q 、P 点坐标为存在，不能求出P 、Q 点坐标（即方程无解）为不存在．中考样题看台1．已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD•的长是关于x•的方程x 2-2mx+（m-12）+74=0的两个根．M OBCAy xQ P（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB<CD，求AB、CD的长；（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan•∠BDC和tan∠BCD．2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求A BA C的值．3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）•，D（-2，92），E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，•请用约定的方法一一表示出来；（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由．4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，……（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染．（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，•所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．考前热身训练1．已知，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC•上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合．（1）求证：S四边形AEDF =12r2；（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）当S△OEF =518S△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F之间的距离．A2．已知二次函数y=x2-（m2-4m+52）x-2（m2-4m+92）的图象与x轴的交点为A、B（点B•在点A的右边），与y轴的交点为C．（1）若△ABC为直角三角形，求m的值；（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连接AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积．（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=12，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB•的外接圆半径为134？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案中考样题看台1．（1）当m=2时，x2-4x+4=0，∴△=0，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．当m>2时，△=（-2m）2-4[（m-12）2+74]=m-2>0．又AB+CD=2m>0，AB ²CD=（m-12）2+74>0，∴AB ≠CD ，•∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是梯形．（2）∵AM=MD ，BN=NC ，AB ∥CD ，∴MN ∥AB ，MN ∥CD ， ∴AP=PC ，BQ=QD ，∴QD=12DC ，PN=12AB ，∵AB<CD ，PQ=1，∴12DC-12AB=1，∴DC-AB=2，由已知得AB+CD=2m ，AB ²CD=（m-12）2+74=m 2-m+2，∵（DC-AB ）2=（DC+AB ）2-4DC ²AB ， ∴22=（2m ）2-4（m 2-m+2），∴m=3， 当m=3时，x 2-6x+8=0，•∴x 1=2，x 2=4， ∵AB<CD ，∴AB=2，CD=4．（3）由（1）知，四边形ABCD 是梯形， ∵AD=BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，•过点B•作BE ∥AD ，交DC 于点E ， ∴ED=AB=2，∴CE=2，∴BC=BE=CE=2，∴△BEC 为等边三角形，•∴∠BCD=60°，∠BDC=30°， ∴tan ∠tan ∠BDC=3．∴所求方程为y 2-43y+1=0．2．（1）过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O ，∴OA=OB ，同理OA=OC ，∴OA=OB=OC ，•于是△BAC 是直角三角形，∠BAC=90°，所以AB ⊥AC ．（2）连结OO ，OO ，与AB 、AC 分别交于点E 、F ，∴O 1O ⊥AB ． 同理OO 2⊥AC ，根据（1）•的结论AB ⊥AC ， 可知四边形OEAF 是矩形，有∠EOF=90°， 连结O 1O 2，有OA ⊥O 1O 2，在Rt △O 1OO 2中，•有Rt △O 1AD ∽Rt △OAO 2，于是OA 2=OA·O 2A=r 1·r 2=2r 22，∴2，又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角，•∴∠ACB=∠AO 2O ， 在Rt △OAO 2中，tan ∠AO 2O=2O A O A∴A B A C=tan ∠ACB=tan ∠AO 2O=3．解：（1）符合条件的抛物线还有5条，分别如下：①抛物线AEC ；②抛物线CBE ；•③△DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC ．（2）在（1）中存在抛物线DBC ，它与直线AE 不相交， 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c ，将D（-2，92），B（1，0），C（4，0）三点坐标分别代入，得：9 4220 1640a b ca b ca b c⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组，得：a=14，b=54，c=1．∴抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1．另法：设抛物线为y=a（x-1）（x-4），代入D（-2，92），得a=14也可．又设直线AE的解析式为y=mx+n．将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入，得：206m nn-+=⎧⎨=-⎩解这个方程组，得m=-3，n=-6，∴直线AE的解析式为y=-3x-6．4．解：（1）由图知∠AFC对ABC，因为AD=CF，而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC，所以∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相等．（2）因为∠A对BEG，∠B对CEA，又因为∠A=∠B，所以∠BEG=∠CEA．所以BC=AG，•同理AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG．所以，七边ABCDEFG是七边形．（3）猜想：当边数是奇数时（即当边数是3，5，7，9，……时），• 各内角相等的圆内接多边形是正多边形．5．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111．到第5天得禽流感病鸡数为1000+111=11111．到6天得禽流感病鸡数为100000+11111>800000．所以，到第6天所有鸡都会被感染．（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连结OC、OA．∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2，在Rt•△OCE中，OE2=32-22=5．在Rt△OAE中，∴，∵AC=BC，∴．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．考前热身训练 1．（1）先证△BOE ≌△AOF ．∴S四边形AEOF=S △AOB =12OB ²12OA=r 2．（2）由∠EAF=90°且， ∵y=S △OEF =S 四边形AEOF-S △AEF ，∴y=12x 2-2rx+12r 2（）．（3）当S △OEF =518S △ABC 时，即y=518（12²2r ²r ）=518r 2∴12x 2-2rx+12r 2=518r 2．即12x 2-2rx+29r 2=0．解之得x 1=3r ，x 2=3r ．∴S △OEF =518S △ABC 时，A E A B=13，A F A C=23或A E A B=23，A F A C=13．当AE=3r 时，AF=3r ，3r ；当AE=3r 时，AF=3r ，EF=3r ．2．A （-2，0），B （m 2-4m+92，0），C[0，-2（m 2-4m+92）]．（1）m=2．（2）过A 作AD ⊥BC 于D ，sin ∠ACB=A D A C=45．（3）m=2时，S 最小值=54．3．解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），由题设可求得C 点的坐标为（0，c ），且x 1<0，x 2>0 ∵a<0，∴c>0由S △AOC -S △BOC =OA ³OB 得：-12x 1c-12x 2c=-x 1x 2得：12c（-ba）=ca，得：b=-2．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N．∵tan∠CAB=12，∴OA=2²OC=2c，∴A点的坐标为（-2c，0），∵A点在抛物线上．∴x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=-54c．又∵x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根，∴x1+x2=2a即：-2c+x2=2a=-85c．∴x=25c．∴B点的坐标为（25c，0）．∴顶点P的坐标为（-45c，95c）．由相交弦定理得：AM²BM=PM²MN．又∵AB=125c，∴AM=BM=65c，PM=95c，∴c=52，a=-12．∴所求抛物线的函数解析式是：y=-12x2-2x+52．第4讲方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ACD≌△AED ∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE ：ED=1：4，∴设CE=x ，则ED=4x ，由相交弦定理得 CE ²ED=AE ²EB ， 即x ²4x=2³2， 4x 2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ，a ，求△PMB 的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x ，则由PM 2=PB ²PA （方程出来了））2=x （x+2a ）， x 2+2ax-3a 2=0， （x+3a ）（x-a ）=0，∴x 1=a ，x 2=-3a （舍去）∴x=a ，即BP=a ，连结MO （常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a ，则MB 为Rt △OMP 的斜边上的中线，∴MB=12OP=a ．∴△MBP 的周长为．例4．如图，圆心在Rt △ABC 斜边AB 上的半圆切直角边AC 、BC 于M 、N ，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径． 分析：设半径为R ，（一个未知数建立一个方程即可），连OM 、ON 、OC ，则OM=ON=R ，用面积，S △AOC +S △BOC =S △ABC ， 得6R+8R=6³8（一元一次方程） 14R=48，R=247．中考样题训练: 1．（2004，兰州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上的一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+21x）-5（x+1x）=2的一个根，求CD 的长．B CAD2．（2003，武汉）如图，已知直线BC 切⊙O 于C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD•的延长线交于点A ，∠A=28°，∠B=26°，求∠PDC 的度数．3．（2003，黄冈）已知，如图，C 为半圆上一点，AC C E ，过C 作直径的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC ，CB 于点D ，F ．（1）求证：AD=CD ；（2）若DF=54，tan ∠ECB=34，求PB 的长．4．（2005，荆门）已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+14k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2时，求k 的值．5．（2005，常德市）如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF²DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想： AB与 A F有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22k kk k->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，求sin2∠A的值．C。
浅谈中考解题中数学思想的运用
２ 数形 结 合 思 想
著 名 数 学家 华 罗庚 先 生 说 ： 数 与 形 ， “ 本 分 利 用 函 数 的 概 念 、 图像 和 性 质 去 观 察 分 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 形 时 少 直 析 并 建 立 相 应 的 函数 模 型 解 决 问 题 。 怎 数 说 ， 少数时难 入微 ， 形 结合百般 好 ， 形 数 隔 离 分 家 万 事 休 。 这 充 分 说 明 了数 形 结 合 思 ５ 整 体 思 想 ” 想 在 数 学 中的 重 要 性 。 形 结 合 思 想 ， 以 数 可 研 究 某 些 数 学 问 题 时 ， 往 不 是 以 问 往
［】刘 亦 春 ． 学 思 想 方 法 探 析 ［］ 济 南 职 １ 数 Ｊ． 业 学 院学 报 ， ０ ９４ ： ２ ４ ２ ０ （ ） ７ ～７ ．
中国科教创新导 刊
Ｃｈｎ Ｅ ｕ ａｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｉａ ｄ ｃ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ３
１ 转 化与化归思想
前 苏 联 数 学 家 雅 诺 夫 斯 卡 亚 在 回答 解
题 意 味 着 什 么 时 说 ： 解 题 ——就 是 意 味 着 “ 把 所 有要 解 决 的 问题 转化 为 已经 解 过 的 问 题 。 面 对 一 个 新 的 问题 ， 何 利 用 已 有 的 ” 如 知 识去 求解 。 对 一 个 抽 象 的 问题 ， 何 将 面 如 其形象化 、 体化 ， 就需要 转化 。 具 这 例 １ （０ ９ 福建 泉 州） ：２ ０ 年 在直 角坐标 系 中， 点Ａ（， ） 原点０ 对称点 为点 Ｃ 图 １。 ５ ０关于 的 （ ） （） １ 请直 接 穹 出 点 Ｃ 坐 标 ； 的 （） 点Ｂ ２ 若 在第 一象限 内 ， Ｏ Ｂ Ｏ Ａ， Ａ ＝ Ｂ 并且 点Ｂ关 于原 点Ｏ的对 称 点为 点 Ｄ。 ①试 判 断 四 边 形 Ａ Ｄ的形 状 ， 说 明 ＢＣ 并 理 由 ； 现 有 一 动 点 Ｐ从 Ｂ点 出发 ， 路 线 ② 沿 Ｂ Ａ— ＡＤ以每 秒 １ 单位 长 的速 度 向终 点 Ｄ 个 运 动 ， 一 动 点 Ｑ Ａ点 同时 出发 ， Ａｃ 另 从 沿 方 向 以 每 秒 ０ ４ 单 位 长 的 速 度 向 终 点 ｃ运 ．个 动， 当其 中一 个 动 点 到 达 终 点 时 ， 一 个 动 另 点也 随之 停 止 运动 ． 已知 ＡＢ＝６ 设 点Ｐ、 ， Ｑ的 运 动 时 间为 ｔ ， 运 动 过 程 中 ， 秒 在 当动 点 Ｑ在 以ＰＡ为 直 径 的 圆上 时 ， 求 ｔ 试 的值 。 解 ：１ｃ 一 ， ） （ ） （ ５ ０ （ ） 四边 形 ＡＢＣＤ为 矩 形 ， 由如 下 ： ２① 理 如 图 ， 已知 可 得 ： Ｏ、 在 同 一直 线 由 Ａ、 ｃ 上 ， ０Ａ＝ＯＣ； Ｏ、 且 Ｂ、 Ｄ在 同 一 直 线 上 ， 且 ＯＢ＝ＯＤ，‘四 边 形ＡＢＣＤ是 平 行 四 边 形 。 ． ． ’ ０ ＡＢ＝ Ｏ ＢＡ ，． Ｏ Ａ＝ ＯＢ ， ‘ ． 即
数学思想在初中数学应用题中的应用分析
数学思想在初中数学应用题中的应用分析【摘要】初中数学中，方程和函数是密切相关的，解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点或交点个数；合参数的方程f（x， y，t）=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。
它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。
正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。
本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。
【关键词】方程函数初中数学在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。
方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。
函数思想在中考中的应用主要是函数的概念，性质及图象的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。
方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。
包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。
例1：已知函数y=x3的图象，求解方程x3-x2+1=0。
分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图象与方程结合出来，却完全可以达到事半功倍的效果。
错误解法：完全运用方程的思想。
x3-x2+1=0 → x2（x-1）+1=0 → x2（x-1）=-1进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x2这个目前完全大于0的数，所以可以得出：x=0不成立，x2>0 → x-1=-1 → x=0 ？这里你没有看错，先前我们假定x不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。
中考专题复习数学思想方法
3.映射模型（结构型）；如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米， P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个 水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设 的管道，则铺设的管道最短的是()
（2）数形结合思想
由数想形
1.如图
6，直线 l
:
y
2 3
x
3与直线
y
a
(
a
为常数)的交点在第四象限，则
a 可能在(
)
A.1 a 2
B. 2 a 0
见形C思. 数3 a 2 D. 10 a 4
2.有如图所示的两种广告牌,其中图是由两个等腰直角三角形构成的,
图是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种
【特别提醒】 1.分类中的每一部分是相互独立的. 2.一次分类必须按同一个标准. 3.分类讨论应逐级进行,做到不重、不漏. 4.最后必须归纳小结,综合得出结论.
1. 已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 多少？ 2.(2015·攀枝花中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩 形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD 为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为________.
（4）数学建模思想
1.函数模型（定义型）；
10.一台印刷机每年印刷的书本数量 y(万册)与它
的使用时间 x(年)成反比例关系，当 x=2 时，y=20，
则 y 与 x 的函数图像大致是(
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 用数学思想解决交点问题
与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≤－2
9 B．a＜8
C．1≤a＜98或 a≤－2 D．－2≤a＜98
16．★(2021·贵阳模拟)二次函数 y＝(x－b)2＋b＋1 的图象与一次函数
y＝－x＋5(－1≤x≤5)的图象没有交点，则 b 的取值范围是 ( C )
A．b＜－4
B．2 个
C．3 个
D．4 个
13．(2022·鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一
1 次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，且 k＜0)的图象与直线 y＝3x 都经过点
1 A(3，1)，当 kx＋b＜3x 时，根据图象可知，x 的取值范围是
(A)
A．x＞3
B．x＜3
C．x＜1
D．x＞1
(3)k2x＋b2＝0 的解为 xx＝=－－33.
1．直线 y＝k1x＋b1 与 x 轴交点的横坐标就是方程 k1x＋b1＝0 的解．
2 ． 直 线 y ＝ k1x ＋ b1 与 y ＝ k2x ＋ b2 交 点 的 横 、 纵 坐 标 就 是 方 程 组 yy＝＝kk12xx＋＋bb12，的解． 3．根据满足不等式的图象在交点的左边或右边确定不等式的解集．
直线 x＝1，若关于 x 的一元二次方程 x2－2x－1－t＝0(t 为实数)在－1
＜x＜4 的范围内有实数解，则 t 的取值范围是
(B )
A．t≥－2
B．－2≤t＜7
C．－2≤t＜2
D．2＜t＜7
9．★(2022·孝南区模拟)已知二次函数 y＝－x2＋x＋6，将该二次函数
在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到
数学在中考中的重要性有哪些
数学在中考中的重要性有哪些数学学习的重要性，下面就让我们一起来看看中数学在中考中的重要性有哪些数学在中考中的重要性有哪些1.中考“考什么”(1)考基础知识，基本技能，纲本意识强。
(2)考数学思想和方法，体现数学素养。
a)考查一般数学方法。
初中阶段学习的一些重要的数学方法，如代入法、消元法、换元法、构造法、等量代替法等等，这些重要的数学方法，在中考题的设计中，都会作重点考虑。
b)考查思维方法，由特殊到一般的归纳思维，由一般到特殊的演绎思维，相近事物之间的类比思维，以及观察、判断、试验、猜想等思维方法。
这常常是课堂上师生交锋的“界面”。
c)考查数学思想。
重点考查四种数学思想：方程思想，分类讨论，数形结合及化归思想。
由于函数是高中教学内容的核心，从初高中衔接角度考虑，会将函数作为重点内容考查，而且函数思想脉络中蕴含着极为丰富的数学思想内容，因此历来是各省中考题中“兵家必争之地”。
(3)考查创新意识与应用意识。
课本是“确定性教学”的学习内容，但这很可能受它的严格规范，同学们习惯了用纯粹、严格的程式化的方法去解决问题，这就显得美中不足了。
为了平衡，于是中考卷就表现出一定的创新意识，为体现数学素养，试卷会重视实际生活，社会知识和其它学科的背景，提出一些应用命题，从而增强数学的实用性。
2.“怎样考”：试卷结构，题型(1)基础题(近100分)包括填空(3分一题，共12题)选择(4分一题，共4题)简答题(5题，共48分)加强客观题解题速度和正确率的强化训练，中考采取了客观题起点低，减少运算量，让学生有更多的时间完成解答题，充分发挥选拔功能的作用，这就需要在速度、准确率上下功夫，定时定量强化训练。
(2)中等难度题(近30分)有些试题的解答结构基本稳定，具有一类试题解答结构的代表性，如果掌握了这些试题的解答要点，加强训练，形成基本稳定的模式，再来解答此类试题就轻车熟路，迅速准确，简明扼要。
突出学生阅读分析能力训练。
当试题的叙述较长时，不少学生往往摸不着头脑，抓不住关键，从而束手无策，究其原因就是阅读分析能力低。
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数学思想在中考解题中的应用要提高我们分析和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想。
数学思想包括方程思想、不等式思想、函数思想、统计思想、整体代换思想、数行结合思想、分类讨论思想等。
能否运用数学思想方法进行分析问题、解决问题关系到中考的成败。
纵观各年的中考试题，在注重运用考察数学核心内容与基本能力的同时，考题中都突出了数学思想方法的理解和简单运用。
下面我谈几种中考中常见的数学思想。
一、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决。
例1.一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是。
答案:因为是平均降价,相当于降了两次同样的幅度,设每次降价x,则有：60·（1-x）2=48.6x1=10% ,x2=190%(不合，舍去)答：降价的百分率是10%。
课堂练习：1．水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？2．据报道，徐州至连云港铁路的提速改造工程已全面开工建设，工程完成后，旅客列车的平均速度比现在提高50千米/时，运行时间将缩短38分钟，徐州站到连云港站之间的行程约为190千米，那么提速后旅客列车的平均速度是多少？二、函数思想它一方面是指以函数概念为依托，运用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，（即建立函数表达式）并加以研究，从而使问题获得解决。
另一方面函数思想是对函数概念本质的认识，即利用函数的图像或函数的性质去分析、观察其它数学问题并加以解决。
例2在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧Array时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是。
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？答案:解：（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时。
（2）设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为11b x k y +=。
由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），∴⎩⎨⎧==+3002111b b k ，解得⎩⎨⎧=-=301511b k ∴ y ＝－15x ＋30设乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为22b x k y +=。
由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），∴2222.5025k b b +=⎧⎨=⎩，解得⎩⎨⎧=-=251022b k ∴ y ＝－10x ＋25（3）由题意得 －15x ＋30＝－10x ＋25，解得x ＝1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。
观察图象可知：当0≤x ＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x ＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低。
课堂练习：3.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米；(1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式。
(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0．2米的速度上升)4.用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm ，窗户的透光面积为ym 2，y 与x 的函数图象如图2所示。
（1）观察图象，当x 为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？三、整体代换思想例3.若m 、n 是方程x 2＋2006x －1＝0的两个实数根，求代数式m 2n ＋mn 2－mn 的值。
解：∵m ＋n ＝-2006，mn ＝－1∴m 2n ＋mn 2－mn＝ mn(m ＋n)－mn＝ mn(m ＋n －1)＝－1×(-2007)＝2007课堂练习：5.已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ）﹣1 D.16.已知实数a 、b 满足ab=1，a+b=2，求代数式a 2b+ab 2的值．7. 计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为（ ）A 、11.52B 、23.04C 、1200D 、2400 四、数形结合思想数学知识尽管来源于生活实践，但数学最本质的东西是从生活实践中概括和抽象出来的。
中考有些题需把抽象的知识具体化、形象化，通过直观的形象来分析解决问题。
这就需用到数形结合思想。
例4．如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．问：给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1；④a ＞1．其中正确的结论的序号是分析:开口向上a ＞0;对称轴x=2b a-＞0可以得出b ＜0; x=0时,y=c ＜0,①abc ＞0很易判断；有图像经过点（-1，2）和（1，0）,代入函数得2=a-b+c,0=a+b+c,两式相加易得a+c=1;因 a+b+c=0,得b=-1, 易判断2b a -＜0.5,解得a ＞1;知道了a ＞1, b=-1,得2a+b ＞0. 答案: ②，③，④课堂练习：8.已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y 2=kx+b （k ≠0）的图象如图2，则： 当x=___ ___时，y 1=0；当x____ __时，y 1<0；当x____ __时，y 1>y 2；9.方程组211y x y x =-⎧⎨=--⎩的解是_____________。
10、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图8所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．东北A B NM 五、转化思想转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想，转化思维是创造思维的核心。
如:在解方程（组）时用到的消元、降次的思想;解分式方程时把分式方程转化为整式方程等等。
任何一个数学问题都是通过“联想、构造、转化”的思维方式有机地进行数形转化，从而实现未知到已知的过程。
渗透转化思想要引导学生以下几点：1、解方程（组）降次、换元、公式变形。
2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想 3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化。
4、代数、几何之间的转化思想。
例5.证明方程 ( x - m )( x + n ) = 1有二个实根，证明一根大于m ，一根小于m 。
证：设 y = ( x - m )( x + n ) - 1 ，则其图像为开口向上的抛物线，取其上一点（ m , -1 ），此点在x 轴下方，根据抛物线向上无限伸展的特性，必然与x 轴交于两点，则交点 A(x1 , 0)，B(x2 , 0) 必在 (m ,-1) 点的两旁，原题得证。
(此题若用常规方法是十分困难的，但若能联系二次函数的图像，应用数形的转化，会使问题很快地得到解决。
)课堂练习：11.已知:x 2-4x+1=0,求1x x-的值. 12.如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？六、分类讨论思想分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思维方法.把问题中所涉及的对象不重不漏的分成有限的若干类的情况.然后对每一种情况逐一解决,从而解决问题.例6.如图所示,矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,若以A 点为圆心,使其它三个点至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,求该圆的半径r 的范围.分析:本题考察的是点与圆位置关系的实际意义.解:连接AC,由AB=6cm,BC=8cm,则若r ＜6cm, B 、C 、D 三点在⊙A 外;若r=6cm, B 点在⊙A 上,C 、D 在⊙A 外;若6cm ＜r ＜8cm, B 点在⊙A 内, C 、D 在⊙A 外;若r=8cm, B 点在⊙A 内, D 在⊙A 上, C 在⊙A 外;若8cm ＜r ＜10cm, B 、D 在⊙A 内, C 在⊙A 外;若r=10cm, B 、D 在⊙A 内, C 在⊙A 上;若r ＞10cm, B 、C 、D 都在⊙A 内;综上知,当6cm ＜r ＜10cm, B 、C 、D 至少有一个在⊙A 内,一个在⊙A 外.课堂练习：13.如果两点1P （1，1y ）和2P （2，2y ）都在反比例函数1y x= 的图象上，那么 A ．2y ＜1y ＜0 B ．1y ＜2y ＜0 C ．2y ＞1y ＞0 D ．1y ＞2y ＞014、已知等腰三角形边长为4和6,求它的面积.15.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.。