优化方案高考文科数学北师大一轮复习练习：第2章 基本初等函数导数及其应用 第4讲知能训练轻松闯关 含答案
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用知能训练轻松闯关文北师大版
第10讲 函数模型及其应用1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a ent ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 解析：选A.由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180， 所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．(2016·长春联合测试)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利 B ．略有亏损 C ．没有盈利也没有亏损 D ．无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购这只股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这只股票略有亏损．6．(2016·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析：由题意，第k 档次时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N )，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大． 答案：9 7.某人根据经验绘制了2016年元旦前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19098．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2. 所以一至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2， 所以x min ＝20. 答案：209．(2016·中山模拟)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m ，修建此矩形场地围墙的总费用为y 元．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用． 解：(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m ， 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知得xa ＝360，得a ＝360x.所以y ＝225x ＋3602x－360(x >2)．(2)因为x >2，所以225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.所以y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图像是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知答案为D.2．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．解：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400，所以当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， 所以当t ＝31时，S 的最大值为6 210. 因为6 210＜6 400，所以当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.3．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；①当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．。
高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第12讲 导数与函数的单调性课件 文 北师大版
的单调性． 解. 因为 f(x)＝ln x－12x2＋x－12，且定义域为(0，＋∞)，
所以 f′(x)＝1x－x＋1＝－x－1－2
5x－1＋2
x
5，
令 f′(x)＝0，所以 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5(舍去)．
当 x∈0，1＋2 5时，f′(x)>0；当 x∈1＋2 5，＋∞时， f ′ (x)<0 ， 所 以 f(x) 在 0，1＋2 5 上 是 增 函 数 ； 在 1＋2 5，＋∞上是减函数．
当 a>0 时，x∈(－∞，－23a)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(－ 23a，0)时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)在(－∞，－23a)，(0，＋∞)上是递增的，在(－ 23a，0)上是递减的； 当 a<0 时，x∈(－∞，0)∪(－23a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈ (0，－23a)时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)在(－∞，0)，(－23a，＋∞)上是递增的，在(0， －23a)上是递减的．
f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54.
(2)由(1)知 f(x)＝x＋ 5 －ln x－3，
4 4x
2
则
f′(x)＝x2－44xx2－
5 .
令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5.
因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当 x∈(0，5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，5)内为减函数；
x.
令 g′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1 或 x＝－4.
当 x＜－4 时，g′(x)＜0，故 g(为减函数；
当－4＜x＜－1 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数；
高考数学(文)一轮复习文档：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲导数与函数的单调性 Word版含答案
第11讲导数与函数的单调性,)函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．注意：由函数f(x)在区间内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．1.教材习题改编函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )C 根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.2.教材习题改编函数f(x)＝x3－3x＋1的单调增区间是( )A．(－1，1) B．(－∞，1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)D f′(x)＝3x2－3.由f′(x)>0得，x<－1或x>1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.3.教材习题改编函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D 因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.4.教材习题改编函数f (x )＝sin x ＋kx 在(0，π)上是增函数，则实数k 的取值范围为________．因为f ′(x )＝cos x ＋k ≥0， 所以k ≥－cos x ，x ∈(0，π)恒成立． 当x ∈(0，π)时，－1<－cos x <1， 所以k ≥1.k ≥15.教材习题改编函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．f ′(x )＝2x －a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a ≤2x ，所以a ≤2.a ≤2利用导数判断或证明函数的单调性已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .讨论f (x )的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－（2x ＋1）（ax －1）x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，当x >1a时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增．求函数的单调区间求函数f (x )＝ln x －12x 2＋x －12的单调区间．【解】 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－（x －1－52）（x －1＋52）x.令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去)．当x ∈(0，1＋52)时，f ′(x )>0；当x ∈(1＋52，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1＋52)，单调递减区间为(1＋52，＋∞)．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调区间． (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的单调递减区间为(－∞，－4)，(－1，0)，单调递增区间为(－4，－1)，(0，＋∞)．函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知函数单调性求参数的取值范围； (2)比较大小或解不等式．(1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ． 因为函数f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k ≤1x在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x＜1，故k ≤0.(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．(1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．角度一 已知函数单调性求参数的取值范围1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －1，x ≤1log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2，3]． (2，3]角度二 比较大小或解不等式2．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．D ．(0，8)B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f ≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9., )——分类讨论思想研究函数的单调性已知函数f (x )＝(ax 2－x ＋a )e x，试讨论函数f (x )的单调性． 【解】 f ′(x )＝(x ＋1)(ax ＋a －1)e x.当a ＝0时，f ′(x )在(－∞，－1)上时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；f ′(x )在(－1，＋∞)上时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a >0时，因为－1＋1a >－1，所以f (x )在(－∞，－1)和(－1＋1a，＋∞)上单调递增，在(－1，－1＋1a)上单调递减；当a <0时，因为－1＋1a <－1，所以f (x )在(－∞，－1＋1a)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－1＋1a，－1)上单调递增．(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2)本题求解中分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x .求函数f (x )的单调区间．f ′(x )＝a x ＋x －(1＋a )＝x 2－（1＋a ）x ＋a x ＝（x －1）（x －a ）x.当a ≤0时，若0<x <1，则f ′(x )<0，若x >1，则f ′(x )>0，故此时函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；当0<a <1时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x≥0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >1时，同0<a <1时的解法，可得函数f (x )的单调递增区间是(0，1)，(a ，＋∞)，单调递减区间是(1，a )．, )1．函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518]B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞)D ． f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间上单调递减，则有f ′(x )≤0在上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在上恒成立，则t ≥32(x ＋1x )在上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) A 因为f (x )＝x ·sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故选A. 5．(2017·郑州第一次质量预测) 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)B 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≥11B ．a ≤11C ．a ≥418D ．a ≤418A f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.因为x ∈，所以a ≥9x ＋3x 2－1x 3.令1x＝t ，则当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，a ≥9t ＋3t 2－t 3.令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.所以h ′(t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以h ′(t )min ＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34＋12＞0. 所以h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以a ≥h (1)＝11，故选A.7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x<0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0，1)．(0，1)8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在上单调递减，则实数a 的值为________．因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. －49．(2017·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2xln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.(1，2)10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．(－3，0)∪(0，＋∞)11．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当a >0时，由f ′(x )>0得，x >a 或x <0；由f ′(x )<0得0<x <a .即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． ③当a <0时，由f ′(x )>0得，x >0或x <a ；由f ′(x )<0得，a <x <0.即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(a ，0)．12．(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x e x，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x . (1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x，所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0. (2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x (x >0)． 设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1，则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13. 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13. 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227>0. 所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x >0恒成立．所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．13．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对任意x∈R都成立．即e x≤0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≥0对任意x∈R都成立．所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对任意x∈R都成立，即e x≥0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≤0对任意x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不是R上的单调函数．。
高考文科数学(北师大版)一轮复习练习：第2章 基本初等函数、导数及其应用 第12讲
1．(2016·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x 的递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0，3)C ．(1，4)D ．(2，＋∞)解析：选D.函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)·e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．(2016·郑州一模)设函数f ′(x )＝x 2＋3x －4，则y ＝f (x ＋1)的递减区间为( )A ．(－4，1)B ．(－5，0)C.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B.由f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )<0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数f (x )的递减区间为(－4，1)，所以y ＝f (x ＋1)的递减区间为(－5，0)．3．(2016·江西省质检)函数f (x )＝x e x －1＋x 2的大致图像是( )解析：选B.f (x )是偶函数，排除A ，D ；x >0时，f ′(x )＝12·e 2x －2x e x －1（e x －1）2，记h (x )＝e 2x －2x e x －1，因为h ′(x )＝2e x (e x －x －1)>0，所以h (x )>h (0)＝0，所以f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是递增的，排除C ，所以选B.4．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (x )≥f (a )B ．f (x )≤f (a )C ．f (x )>f (a )D ．f (x )<f (a )解析：选A.由(x －a )f ′(x )≥0知，当x >a 时，f ′(x )≥0；当x <a 时，f ′(x )≤0.所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )．5．(2016·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选B.依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0<a <34B.12<a <34 C ．a ≥34 D ．0<a <12解析：选C.f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.故选C. 7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是________．解析：在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0，2π)上是递增的．★答案☆：增函数8．(2016·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.★答案☆：(1，2)9．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≥a ，e －x ＋a ，x <a 知，当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a 的取值范围为(－∞，1]．★答案☆：(－∞，1]10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．★答案☆：(－3，0)∪(0，＋∞)11．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ln x －x 1＋2x. (1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上递增；(2)若f [x (3x －2)]<－13，求实数x 的取值范围． 解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x －x 1＋2x，所以f ′(x )＝1x －1＋2x －2x （1＋2x ）2＝4x 2＋3x ＋1x （1＋2x ）2. 因为x >0，所以4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0.所以当x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上递增．(2)因为f (x )＝ln x －x 1＋2x ，所以f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13. 由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)． 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x （3x －2）>0，x （3x －2）<1， 解得－13<x <0或23<x <1. 所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫23，1.1．(2016·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a x e x ，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．解：函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x . (1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2·e x (x >0)．设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1， 则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13. 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13. 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，13上是减函数，在⎝⎛⎭⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值，且g ⎝⎛⎭⎫13＝2227>0. 所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2·e x >0恒成立． 所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．2．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上是递减的，则f′(x)≤0对任意x∈R都成立．即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≥0对任意x∈R都成立．所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上是递减的．若函数f(x)在R上是递增的，则f′(x)≥0对任意x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≤0对任意x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上是递增的．综上可知函数f(x)不是R上的单调函数．。
高考高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大
第8讲函数的图象1．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图像是()解析：选B.由x －1x>0得函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(1，＋∞)，可排除选项A 、D ；当x →＋∞时，函数f (x )的函数值大于零，可排除选项C ，故选B.2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图像与y ＝e x的图像关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值是()A ．－eB ．－1eC ．e D.1e解析：选B.由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.3．已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图像为()解析：选A.由f (－x )＝x 2＋ln|x |x≠－f (x )可知函数f (x )不是奇函数，排除B 、C ，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2－ln x x，因为当x ∈(0，1)时，y ＝ln x <0，则f (x )>0，排除D ，故选A.4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点()A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，由y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是() A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0)解析：选A.在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________． 解析：由图像知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2. 答案：28．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1，4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________． 解析：法一：函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4)9．已知图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|； ③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图(2)是由题图(1)在y 轴左侧的部分(含原点)及其关于y 轴对称的图形构成的，故④正确． 答案：④10．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 11．已知函数f (x )＝x1＋x.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 解：(1)f (x )＝x1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图像是由反比例函数y ＝－1x 的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f (x )有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）. 作出函数图像如图．(1)由图像知函数的增区间为[1，2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)． 由图知0＜m ＜1，所以M ＝{m |0＜m ＜1}．1.函数f (x )的图像如图所示，若函数y ＝2f (x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，则c 的取值范围是() A ．(－1，2.5) B ．(－1，5) C ．(－2，2.5) D ．(－2，5)解析：选D.函数y ＝2f (x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，即方程2f (x －1)－c ＝0有四个不同的解，即y ＝f (x －1)与y ＝12c 有四个不同的交点．因为函数y ＝f (x －1)与函数y ＝f (x )上下分布相同，所以可以把问题转化为c 取何值时，曲线y ＝f (x )与y ＝12c 有四个不同的交点，结合图形可知c ∈(－2，5)．2．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．解析：y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3x －2，图像如图所示．可知②③正确．答案：②③3．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的递减区间；(4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1，5)时函数的值域． 解：(1)因为f (4)＝0， 所以4|m －4|＝0， 即m ＝4.(2)由(1)得f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4. f (x )的图像如图所示．(3)f (x )的递减区间是[2，4]．(4)由图像可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)因为f (5)＝5>4，所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．4．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图像上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得 f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图像上． 所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又因为a ≠0，所以2a －1＝0，得a ＝12.。
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第12讲导数与函数的单调性知能训练轻松闯关文北师大版
第讲导数与函数的单调性．(·九江模拟)函数()＝(－)的递增区间是( )．(－∞，) ．(，)．(，) ．(，＋∞)解析：选.函数()＝(－)的导数为′()＝[(－)·]′＝＋(－)＝(－)·.由函数导数与函数单调性的关系，得当′()>时，函数()递增，此时由不等式′()＝(－)>，解得>.．(·郑州一模)设函数′()＝＋－，则＝(＋)的递减区间为( )．(－，) ．(－，)解析：选.由′()＝＋－，令′()<，即＋－<，解得－<<，所以函数 ()的递减区间为(－，)，所以＝(＋)的递减区间为(－，)．．(·江西省质检)函数()＝＋的大致图像是( )解析：选()是偶函数，排除，；>时，′()＝·，记()＝－－，因为′()＝(－－)>，所以()>()＝，所以′()>，即()在(，＋∞)上是递增的，排除，所以选.．对于在上可导的任意函数()，若满足(－)·′()≥，则必有( )．()≥() ．()≤()．()>() ．()<()解析：选.由(－)′()≥知，当>时，′()≥；当<时，′()≤.所以当＝时，函数()取得最小值，则()≥()．．(·郑州第一次质量预测)已知定义在上的函数()满足(－)＝()＝，′()为()的导函数，且导函数＝′()的图像如图所示，则不等式()＜的解集是( )．(－，) ．(－，)．(，) ．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：选.依题意得，当>时，′()>，()是增函数；当<时，′()<，()是减函数．又(－)＝()＝，因此不等式()<的解集是(－，)．．已知≥，函数()＝(－)，若()在[－，]上是减函数，则的取值范围是( )．<< <<．≥．<<解析：选′()＝(－)＋(－)＝[＋(－)－]，由题意当∈[－，]时，′()≤恒成立，即＋(－)－≤恒成立．令()＝＋(－)－，则有即解得≥.故选.．函数()＝＋－在(，π)上的单调情况是．解析：在(，π)上有′()＝－ >，所以()在(，π)上是递增的．答案：增函数．(·石家庄二中开学考试)已知函数()＝＋，若(＋)<()，则实数的取值范围是．解析：由题可得函数定义域为(，＋∞)，′()＝＋，所以在定义域内′()>，函数递增，所以由(＋)<()得＋<，所以<<.答案：(，)．已知函数()＝－(为常数)，若()在区间[，＋∞)上是增函数，则的取值范围是．解析：由()＝－＝知，当≥时，函数()为增函数，而已知函数()在区间[，＋∞)上为增函数，所以的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．若函数()＝＋－恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是．解析：由题意知′()＝＋－，由函数()恰好有三个单调区间，得′()有两个不相等的零点，所以＋－＝满足≠，且Δ＝＋>，解得>－，所以实数的取值范围是(－，)∪(，＋∞)．答案：(－，)∪(，＋∞)．(·云南省第一次统一检测)已知函数()＝－.()求证：()在区间(，＋∞)上递增；()若[(－)]<－，求实数的取值范围．解：()证明：由已知得()的定义域为(，＋∞)．因为()＝－，所以′()＝－＝.因为>，所以＋＋>，(＋)>.所以当>时，′()>.所以()在(，＋∞)上递增．()因为()＝－，所以()＝－＝－.由[(－)]<－得[(－)]<()．由()得解得－<<或<<.所以实数的取值范围为∪.．(·河北省衡水中学模拟)已知函数()＝，∈.()当＝时，求曲线＝()在点(，())处的切线方程；()当＝－时，求证：()在(，＋∞)上为增函数．解：函数()的定义域为{≠}，′()＝.()当＝时，()＝·，′()＝(＋)，所以()＝，′()＝.所以曲线＝()在点(，())处的切线方程是－＝(－)，即－－＝.()证明：当＝－时，′()＝·(>)．设()＝＋－＋，则′()＝＋－＝(－)(＋)．。
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.7 二次函数、幂函数课时规范训练 理 北师大版
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.7 二次函数、幂函数课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·哈尔滨模拟)幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逐个验证知m ＝1，故选B. 答案：B2．(2016·长沙模拟)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析：结合图像可知是③，由－b2a >0，f (0)＝a 2－1＝0，解得a ＝－1或1(舍)．答案：B3．(2016·山东实验中学测试)“m ＝1”是“函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数的充要条件是3m ≥3，即m ∈[1，＋∞)．又{1}是[1，＋∞)的真子集，所以“m ＝1”是“函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选B.答案：B4．(2016·临川模拟)已知幂函数y ＝x (m ∈N ＋)的图像与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝__________.解析：由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3<0，由m 2－2m －3<0得－1<m <3，又m ∈N＋，故m ＝1,2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)．当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 答案：25．(2016·石家庄调研)已知幂函数f (x )＝k ·x α(k ，α∈R )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k＋α＝__________.解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入得22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，从而α＝12，故k ＋α＝32.答案：326．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则函数y ＝f (x )的最小值为________．解析：由条件可知，f (x )为偶函数，∴b ＝0，又定义域为[a －1,2a ]，根据偶函数的定义，知2a ＝1－a ，即a ＝13，∴f (x )＝13x 2＋1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23，∴|x |≤23，∴f (x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝3127，∴3127≥f (x )≥1.答案：17．(2016·徐州一模)已知幂函数f (x )＝x(m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数， ∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数还经过点(2，2)，∴m 2＋m ＝2，解得：m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x . 又∵f (2－a )＞f (a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得：1≤a ＜32，故m 的值为1.满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪1≤a <32. 8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示．(1)补全函数f (x )的图像；(2)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (3)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(4)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值．解：(1)函数f (x )图像如图所示．(2)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ，x 2－2xx(4)当x ∈[1,2]时，g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2， 其图像的对称轴为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1； 当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4a .综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋a ，2－4a a[B 级 能力突破]1．(2016·天津模拟)若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥4解析：∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，对称轴为x ＝2， ∴由已知得a <0，结合二次函数图像知，要使f (m )≥f (0)，需满足0≤m ≤4. 答案：A2．(2016·江西南昌三校联考)设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)．若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图像对称轴为x ＝12，图像开口向上，且f (0)＝f (1)＝a >0.所以当f (m )<0时，必有0<m <1，而－1<m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：A3．(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：法一：分类讨论，再结合函数图像的特点用排除法求解． 分a ＞1,0＜a ＜1两种情形讨论．当a ＞1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a递增较慢，所以选D.法二：利用基本初等函数的图像的性质进行排除．幂函数f (x )＝x a的图像不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．答案：D4．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：∵函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b 的对称轴为x ＝－a ＋22，又∵函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于x ＝1对称，∴－a ＋22＝1且a ＋b2＝1，∴a ＝－4，b ＝6，f (x )＝x 2－2x ＋6(x ∈[－4,6])，因此，该函数当x＝1时取最小值5.答案：55．(2016·太原模拟)当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是__________．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图像，如图所示． 可知当0＜x ＜1时，h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )6．(2014·高考大纲全国卷)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：利用导数将f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2为减函数转化为导数f ′(x )≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立， f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ＝－4sin x cos x ＋a cos x .∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴cos x ＞0.∵f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即－4sin x ＋a ≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，∴a ≤(4sinx )min .又y ＝4sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2的最小值接近2，故a ≤2.答案：(－∞，2]7．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞上为减函数．(2)∵f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3， ∴N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a.当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1a －2，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0，∴函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上为减函数，当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a2>0， ∴函数g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数， ∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.故g (a )≥12.。
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1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 解析：选B.因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排除选项A 和C ；又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D ，故选B.2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1C ．3 D.3＋2解析：选D.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0 解析：选C.因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 016)＋f (2 017)＝f (672×3＋0)＋f (672×3＋1)＝f (0)＋f (1)，而由图像可知f (1)＝1，f (0)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＝0＋1＝1.4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x －2，g (x )＝x 3＋tan x ，那么( )A ．f (x )·g (x )是奇函数B ．f (x )·g (x )是偶函数C ．f (x )＋g (x )是奇函数D ．f (x )＋g (x )是偶函数解析：选 A.由已知易得f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，故f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数，A 正确，B 错误；f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f (x )在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f (3)＜f (1)，则( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (0)＞f (－1)C ．f (－1)＜f (1)D ．f (－3)＞f (－5)解析：选A.函数f (x )在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f (3)＜f (1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f (x )在区间[－5，5]上是减函数． 选项A 中，－3＜－1，故f (－3)＞f (－1)．选项B 中，0＞－1，故f (0)＜f (－1)．同理，选项C 中f (－1)＞f (1)，选项D 中f (－3)＜f (－5)．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图像如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)． 7．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________． 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________．解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． 答案：1 －19．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－110．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1， 则g (－x )＝－2x －sin x x 2＋1＝－g (x )， 所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.答案：211．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．－1C.45 D ．－45解析：选B.因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )的周期为4，由4<log 220<5得f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 45＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。