2019届高考数学一轮复习核心素养提升系列(六)概率与统计高考中档大题的规范问题练习文

1． (2018·成都市模拟)某医疗科研项目对5只实验小白鼠体内的A 、B 两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：
(1)若通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B 项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；
(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只B 项指标数据高于3的概率．
解：(1)根据题意，计算x －＝1
5
×(5＋7＋6＋9＋8)＝7，
＝
5×2＋7×2＋6×3＋9×4＋8×4－5×7×352＋72＋62＋92＋82－5×72
＝5
10 ＝12a ^＝y －－b ^x －＝3－12×7＝－1
2， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝12x －12
.
(2)从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件数为223,224,224,234,234,244,234,234,244,344共10种不同的取法；
其中至少有一只B 项指标数据高于3的基本事件是224,224,234,234,244,234,234,244,344共9种不同的取法，故所求的概率为p ＝
910
.
2． (2018·广州市一模)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检
查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品。

表是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。

甲流水线样本的频数分布表
(1)若该项质量指标值落在直方图中，估计乙流水线生产该产品质量指标值的中位数；
(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
附：K 2
＝
n ad －bc a ＋b c ＋d a ＋c
b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋
c ＋
d 为样本容量)
解：因为0.48＝(0.012＋0.032＋0.052)×5＜0.5＜(0.012＋0.032＋0.052＋0.076)×5＝0.86， 则(0.012＋0.032＋0.052)×5＋0.076×(x －205)＝0.5， 解得x ＝3 900
19
.
(2)由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为p 甲＝1550＝3
10
，
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为p 乙＝(0.012＋0.028)×5＝1
5
，
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5000×310＝1 500,5 000×1
5
＝1 000.
(3)2×2列联表：
则K 2
＝100350－60050×50×75×25
＝4
3×1.3.
因为1.3＜2.072，
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．
3．在年初某项民意测试中，由10人专家团对被测评人进行打分，其中10人给出的分数分别为：5,5,6,6,6,7,7,8,10,10.把这10人给出的分数看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样的方法从这10人给出的分数中抽取2个，组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：(1)总体平均数为1
10
×(5＋5＋6＋6＋6＋7＋7＋8＋10＋10)＝7.
(2)设“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”为事件A ，从总体中用简单随机抽样的方法抽取2个个体的全部可能的基本结果有(5,5)，(5,6)，(5,6)，(5,6)，(5,7)，(5,7)，(5,8)，(5,10)，(5,10)，…，(10,10)，
共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(个)基本结果，事件A 包括的基本结果有(5,8)，(5,10)，(5,10)，(5,8)，(5,10)，(5,10)，(6,7)，(6,7)，(6,8)，(6,7)(6,7)，(6,8)，(6,7)，(6,7)，(6,8)，(7,7)，(7,8)，(7,8)，共有18个基本结果，故所求的概率为P (A )＝1845＝2
5
.
4．(2018·海淀区模拟)股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国.2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
(1)投资股市：
(2)购买基金：
(1)当时p ＝1
2
，求q 的值；
(2)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；
(3)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．
解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p ＋13＋q ＝1，又因为p ＝12，所以q ＝1
6
.
(2)由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q <3
8.
因为p ＋1
3
＋q ＝1，
所以q ＝23－p <38，解得p >7
24.
又因为p ＋1
3＋q ＝1，q ≥0，
所以p ≤2
3，
所以724<p ≤23
.
(3)记事件A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，
用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，
则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3×3＝9种，它们是：(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，x )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，
所以事件A 的结果有5种，它们是：(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(c ，x )． 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P (A )＝59.。