质量工程师考试辅导教材

离散分布与连续分布对照表：
定义及说明 表示分布的中心位
离散分布
连续分布 E(X)= ∫
b
均值 置，用E(X)表示 用来表示分布的散
E(X)=
∑x p
i i
i
a
xp(x)dx
V 方差 布大小，用Var(X) 表示 标准差
∑ [xi − E ( X )]
i
a
r
(
X
)
=
2
pi
[x − E ( X )] Var(X)= ∫
b a
2
p( x)dx
方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量与X的量纲相同，常对 方差开方，即它的平方根为 σ ，
σ = σ ( X ) = Var ( X )
3•D 超几何分布 名称 超几何分布 设有N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品。若从中随机不放 回的抽取n个产品，则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量， 假 如 n ≤ M ， 则 X 可 能 取 0,1, L , n ; 若 n > M , 则 X 可 能 取
−
Ω
A
A
−
b•j 【事件A与B的并】，由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为A 与B的并，记为AUB，意味着至少一个发生。
Ω
A B
c•j 【事件A与B的交】，由事件A与B中公共样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为AB 或者A∩B。
3， 样本均值、样本中位数、样本众数
Fi 为高作矩形。
【样本均值】也称样本平均数，记为 x ，是样本数的算术平均值，是使用最广泛的反映数据集中 位置的度量，缺点是受极端值的影响较大。 【样本中位数】用符号Me 或 x 表示，是有序样本中位置居于中间的数值。确定时，需要将样本 数据按照数值大小重新排列为有序样本。与均值相比，不受极端值的影响。 【样本众数】常记为Mod，是指样本数据中出现频率最高的值。主要缺点是受数据的随机性影响 较大，样本较大时很难确定，也不唯一，较多采用分组数据。 4， 样本极差、样本方差、样本标准差、样本变异系数 【样本极差】样本数据最大值和最小值的差，用R表示。常用于n不大的情况。 【样本方差】离差平方和除以n-1，用 s 表示。样本方差的算术平方根称为样本标准差。 数据的分散程度可以用每个数据
5，统计定义 概率的统计定义确定概率的方法的要点如下： a) b) 与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的； 若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为fn(A)=kn/n=事件A发生 的次数/重复试验次数，频率fn(A)确能反映事件A发生的可能性大小； c) 频率fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A 的概率。实际中，人们只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率。 （三）概率的性质和运算法则 1．概率的基本性质和加法法则 【性质1】概率是非负的，其数值介于0和1之间，即对任意事件A，有: 0≤P(A) ≤1
样本量n 50~100 101~200 201~500 501~1000 推荐组数k 7~9 8~10 9~11 10~15
c）确定组限，即每个区间的端点及组中值。通常将个组的区间确定为左开右闭的。
d）计算落在每组的数据的频数及频率
fi = n 落在每组中的数据个数 i ,频率
为分布的概率函数。
2，离散随机变量和连续随机变量均值、方差和标准差的定义 均值与方差的运算性质： a) 设X为随机变量，a与b为任意常数，则有： E(aX+b)=a E(X)+b Var(aX+b)=a2Var(X) b)对任意两个随机变量 X 1 与 X 2 ，有 E ( X 1 + X 2) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) c) 设随机变量 X 1 与 X 2 独立，则有 Var ( X 1 ± X 2) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 ) 注：性质b 、c可以推广到三个或更多个随机变量场合。但方差的性质不能推广到标准差场 合。
x1 , x 2 , L, x n
的概率分别为
p1 , p 2 , L , p n
，将这些列在一张表上（略），或用一个数学式子表示出来： P （ X=
xi ） =
p i ，i=1,2,3,…,n
这些
p i 满足两个条件 p i ≥0, p1 + p 2 + L + p n = 1 。则称为离散分布，这一组 p i 也称
r n
【重复排列】：从n个不同元素中每次取出一个作记录，放回后再取下一个，如此连续取r次
所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有 n 个。注意，这里的r允许大于
rБайду номын сангаас
n。
【组合】从n个不同元素中任取 r ( r ≤ n) 个元素并成一组(不考虑其间顺序)称为一个组合，此
种组合数为：
r n pn n n(n − 1) L (n − r + 1) n! = = r r! = =1 r! r!(n − r )! ，规定0！=1， 0 。
c•j 事件A的表示可以用集合，也可以用语言，但所用语言是明确无误的； d •j 任一样本空间 Ω 都有一个最大子集，这个最大子集就是 Ω ，它对应的事件称为必然事 件，仍用 Ω 表示； e•j 任一样本空间 Ω 都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事 件，记为 φ 。 3，事件的运算 事件的运算有四种 a•j 【独立事件】,在一个随机现象中， Ω 是样本空间，A为事件，由在 Ω 中而不在A中的样本 点组成的事件称为A的独立事件，记为 A 。
r pn
【排列】从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排
列其有 n × ( n − 1) × L × ( n − r + 1) 个，记为 为
。若r=n，称为全排列，全排列数共有n!个，记
pn
，即：
p = n( n − 1) L ( n − r + 1), p n = n!
x , x 2 , L, x n 看作为一个【样
x max
和最小值 x min ，计算它们的差R=
x max x min ,R称为【极值】。
b）根据数据个数，即样本量n,决定分组数k及组距h.。 选择k的原则是要能显示出数据中所隐藏的
规律，通常区组距h为接近R/k的某个整数值。
直方图参考分组数表：
e）制作频数频率直方图
ni
n ，列出每组的频数、频率表
以区间为底，频数为高作矩形；在分组不完全等距的情况下，应当用每个组的频率与组距的比值
f i / hi 为高作矩形，此时面积表示频率。
f）累积频数和累积频率直方图
将一组的频率和前面所有组的频率累加，以累积频率
不可能事件的概率为0，必然的事件概率为1。即P( Φ )=0，P( Ω )=1 【性质2】若 A 是A的对立事件，则：P(A)+ P( A )=1 或P( A )=1- P(A) 【性质3】若A>B，则：P(A-B)= P(A)- P(B) 【性质4】事件A与B 的并的概率为：P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)这个性质称为概率的加法法 则。当A与B不相容时，由于P(AB)= P( Φ )=0， 则P(AUB)= P(A)+ P(B) 【性质5】对于多个互不相容事件A1，A2，A3，…，也有类似的性质：
均值 方差 4，连续随机变量的分布
E( X ) =
Var( x) =
nM N
n( N − n) M M • 1 − N −1 N N
0,1, L , M ，有古典方法可以求得X=x的概率是：
说明及概率函数
M N − M x n−x , x = 1,2,L r P( X = x) = N n
，
其中 r = min( n, M ), 这个分布称为超几何分布，记为 h( n, N , M )
Ω
A
-
B
-
d•j 【事件A对B的差】，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为 A-B。
Ω
A B
Ω
A B
4，古典定义：乘法原理、加法原理、排列、重复排列、组合 【乘法原理】如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种
方法，…，做第k步有
2
~
xi 离其均值 x 的差 xi - x 来表示， xi - x 称为 xi 的【离差】。 n
个离差的综合为0，所以对于n 个独立数据，独立的离差个数只有n-1个，称为离差（或离差平方 和）的【自由度】。 【样本变异系数】样本标准差与样本均值之比称为样本变异系数，有时也称之为相对标准差， 记为cv,cv=s/ x （二）概率基础 1，维恩（Venn）图 【维恩图】是概率论中常使用的一种用一个长方形示意样本空间 Ω ，用在其中的一个圆或其 他几何图形来示意事件A的一类图形。 在下面介绍事件运算的图形就是维恩图。 2，随机事件 【随机现象】在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，有两个特点a)结果 至少有两个；b)人们事先不知道哪一个出现。 随机现象在质量管理中随处可见。认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的 基本结果。这里的基本结果是指抽样单元，故又称【样本点】，随机现象一切可能样本点的全体 称为这个随机现象的【样本空间】，常记为 Ω 。 【随机事件】随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、
− − −
P ( A1 U A2 U A3 U L) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + L …